分式（講義）-2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

專題03分式的核心知識點精講

O復(fù)習(xí)目標(biāo)。

1.了解分式、分式方程的概念，進(jìn)一步發(fā)展符號感；

2.熟練掌握分式的基本性質(zhì)，會進(jìn)行分式的約分、通分和加減乘除四則運(yùn)算，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力與

代數(shù)恒等變形能力；

3.能解決一些與分式有關(guān)的實際問題，具有一定的分析問題、解決問題的能力和應(yīng)用意識；

4.通過學(xué)習(xí)能獲得學(xué)習(xí)代數(shù)知識的常用方法，能感受學(xué)習(xí)代數(shù)的價值。

O考點植理O

考點1:分式的概念

A

1.定義：一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子一叫做分式.其中A叫做分子,

B

B叫做分母.

2.最簡分式：分子與分母沒有公因式的分式；

3.分式有意義的條件：BW0；

4.分式值為0的條件：分子=0且分母W0

考點2：分式的基本性質(zhì)

分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變，這個性質(zhì)叫做分式的基本性質(zhì)，用

式子表示是：且=且叁，且=4±絲（其中M是不等于零的整式）.

BBxMBB三M

考點3：分式的運(yùn)算

同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減,即

a+b_a±b

ccc

異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑偌訙p

a,cadbead±be

--±----土—---------

bdbdbdbd

I廠1.分母中能分解因式的，先分解因式

通分—找最簡公分母~

L2.取各分母所有因式的最高次幕的積

bdbdbd

aca-i-cad

1.分子/分母中能分解因式的，先分解因式

找公因數(shù)

2.取分子/各分母相同因式的最低次嘉的積

分式的乘方是把分子、分母分別乘方，即

（n為正整數(shù)）.

ST

考點4：分式化簡求值

（1）有括號時先算括號內(nèi)的；

（2）分子/分母能因式分解的先進(jìn)行因式分解；

（3）進(jìn)行乘除法運(yùn)算

（4）約分；

（5）進(jìn)行加減運(yùn)算，如果是異分母分式，需線通分，變?yōu)橥帜阜质胶?，分母不變，分子合并同類?

最終化為最簡分式；

（6）帶入相應(yīng)的數(shù)或式子求代數(shù)式的值

%弓典例引領(lǐng)

【題型1：分式的相關(guān)概念】

【典例1】（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）在函數(shù)y=空中，自變量x的取值范圍是________.

x+2

【答案】%>3/3<x

【分析】本題主要考查函數(shù)自變量取值范圍，分別根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件列

出不等式求解即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得，x-3>0,且％+2力0,

解得，%>3,

故答案為：%>3,

1.（2024?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）使分式為有意義的X的取值范圍是.

【答案】XH2

【分析】本題考查了分式有意義的條件，掌握分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵.

分式有意義，則分母%-2力0,由此易求x的取值范圍.

【詳解】解：當(dāng)分母％-2左0,即XH2時，分式3有意義.

X-Z

故答案為：X豐2.

3

2.（2024?山東煙臺?中考真題）若代數(shù)式二在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為

Vx-1

【答案】X>l/l<x

【分析】本題考查代數(shù)式有意義，根據(jù)分式的分母不為0,二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，進(jìn)行求解即

可.

【詳解】解：由題意，得：%-1>0,

解得：%>1:

故答案為：%>1.

3.（2024?山東濟(jì)南?中考真題）若分式妥的值為0,則％的值是.

【答案】1

【分析】直接利用分式值為零的條件，則分子為零進(jìn)而得出答案.

【詳解】???分式受的值為0,

，xT=0,2XH0

解得:x=l.

故答案為：L

【點睛】此題主要考查了分式值為零的條件，正確把握分式的相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

G弓典例引領(lǐng)

【題型2：分式的性質(zhì)】

【典例2】（2023?甘肅蘭州?中考真題）計算：貯二替=（）

a—5

A.a—5B.a+5C.5D.a

【答案】D

【分析】分子分解因式，再約分得到結(jié)果.

【詳解】解：々

a—5

a（a—5）

a—5

=CL,

故選：D.

【點睛】本題考查了約分，掌握提公因式法分解因式是解題的關(guān)鍵.

即時檢浦

2232

1.(2023?廣東廣州?中考真題)已知a>3,代數(shù)式：A=2a-8,B=3a+6a,C=a-4a+4a.

⑴因式分解

⑵在4B,C中任選兩個代數(shù)式，分別作為分子、分母，組成一個分式，并化簡該分式.

【答案】(l)2(a+2)(a—2)

(2)見解析

【分析】(1)先提取公因式，再根據(jù)平方差公式進(jìn)行因式分解即可；

(2)將選取的代數(shù)式組成分式，分子分母進(jìn)行因式分解，再約分即可.

【詳解】(1)解:A=2a2—8=2(a2—4)=2(a+2)(a—2);

(2)解：①當(dāng)選擇/、3時：

B__3a?+6a_3a(a+2)_3a

A=2a2—8=2(a+2)(a-2)=2a—4'

A_2a2-8_2(a+2)(a-2)_2a-4

B3a2+6a3a(a+2)3a,

②當(dāng)選擇/、C時：

Ca3-4a2+4aa(a-2)2a2—2a

5-2a2—8―2(a+2)(a-2)2a+4

A2a2—82(a+2)(a-2)2a+4

Ca3—4a2+4aa(a—2)2a2—2a

③當(dāng)選擇8、C時：

C_a3—4a2+4a_a(a-2)2_a12—4a+4

B3a2+6a3a(a+2)3a+6'

B3a2+6a3a(a+2)3a+6

Ca3—4a2+4aa(a-2)2a2-4a+4*

【點睛】本題主要考查了因式分解，分式的化簡，解題的關(guān)鍵是掌握因式分解的方法和步驟，以及分

式化簡的方法.

典例引領(lǐng)

【題型3：分式化簡】

【典例3】(2024?四川南充?中考真題)計算六;一心7的結(jié)果為

【答案】1

【分析】本題主要考查了同分母分式減法運(yùn)算，按照同分母減法運(yùn)算法則計算即可.

【詳解】解：六-芻=—=1,

故答案為：1.

⑥⑦即時檢測

L（2024?天津?中考真題）計算言一言的結(jié)果等于（）

x3

A.3B.xC.―7D.

x-ix2-l

【答案】A

【分析】本題考查分式加減運(yùn)算，熟練運(yùn)用分式加減法則是解題的關(guān)鍵；運(yùn)用同分母的分式加減法則進(jìn)

行計算，對分子提取公因式，然后約分即可.

【詳解】解：原式=汽=華》=3

X—1X—L

故選：A

2.（2024?河北?中考真題）已知/為整式，若計算舟的結(jié)果為妥，則&=（）

xy-ry4>人/

A.xB.yC.x+yD.x-y

【答案】A

【分析】本題考查了分式的加減運(yùn)算，分式的通分，平方差公式，熟練掌握分式的加減運(yùn)算法則是解題

的關(guān)鍵.

由題意得號+k=舟，對上+三進(jìn)行通分化簡即可?

【詳解】解：.??號―忘的結(jié)果為5?，

yx-yA

?I■—----

"x2+xyxy—xy+y2f

y2+（第一y）（久+y）_，_x_.

*xy（x+y）xy（x+y）xy（x+y）xy+y2xy+y2f

???A=%,

故選：A.

3.(2024?甘肅?中考真題)計算：片—3=()

Za—b2a—b

2a-b

A.2B.2a—bC.---D.

2a—b2a—b

【答案】A

【分析】本題主要考查了同分母分式減法計算，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵.

4a2b4a-2b2(2a-b)?

【詳解】解:----=------=Z

2a—b2a—b2a—b2a—b

故選：A.

典例引領(lǐng)

【題型4：分式的化簡在求值】

【典例4】(2024?江蘇宿遷?中考真題)先化簡再求值：(1+京)?篝，其中久=打+3.

【答案】占T

【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，先對括號里面的通分，再利用平方差公式展開，最后約分,

然后再代入x的值代入計算，并利用二次根式的性質(zhì)化簡.

【詳解】解：(1+舟?氏

%+1+2%+1

x+1(%—3)(%+3)

__x+3久+1

一—x+1(x-3)(x+3)

1

一^i，

當(dāng)”=百+3時，原式=總工=5=字

1.(2024?黑龍江大慶?中考真題)先化簡，再求值：(1+三)+告%，其中久=-2.

【答案】嘉,-2

【分析】本題考查了分式的化簡求值.原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時

利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，把龍的值代入計算即可求出值.

【詳解】解：(1+三)+告%

\%-3/xz-6x+9

_(x~33、(%+3)(%-3)

_Q—3+X-3/丁(x-3)2

xx—3

x—3%+3

X

=~x+3J

當(dāng)％=-2時，原式=)|^=一2.

一Z十3

2.(2024?四川資陽?中考真題)先化簡，再求值：(上其中x=3.

'人/X十乙X

【答案】吉；1

【分析】本題主要考查了分式化簡求值，先根據(jù)分式混合運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，然后再代入數(shù)據(jù)求值即

可.

【詳解】解：怨-1)十皋

_.+10(%+2)(%—2)

-I%X),%(%+2)

1%(%+2)

x(%+2)(%—2)

1

"x-2"

把％=3代入得：原式=[■=1.

3—Z

3.（2024?四川廣元?中考真題）先化簡，再求值：六十J2]：2胃，其中。，6滿足2a=0.

a-ba-2ab+ba+b

【答案】念，1

【分析】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式的化簡求值方法是解題的關(guān)鍵.先將分式的分子

分母因式分解，然后將除法轉(zhuǎn)化為乘法計算，再計算分式的加減得到芻，最后將6-2a=0化為b=2a,

代人上即得答案?

—b

【詳解】原式=七+(a+b)(a—b)a

(a—b)2a+b

a(a—b)2a—b

-------x---------------------------------

a—b(a+b)(a—b)a+b

aa—b

a+ba+b

b

a+b

b—2a—0,

???b=2a,

???原式=居4

o好題沖關(guān)o

.與基礎(chǔ)過關(guān)

1.（2024?貴州?模擬預(yù)測）化簡黑+震結(jié)果正確的是（）

A.1B.aC.bD.m

【答案】D

【分析】本題考查分式的化簡，掌握同分母的分式求和及約分是解決問題的關(guān)鍵.

根據(jù)同分母的分式加法運(yùn)算法則求解后約分即可得到結(jié)論.

【詳解】黑+盤

ma+mb

a+b

7n（a+b）

a+b

=m.

故選：D.

2.（2024?湖北恩施?模擬預(yù)測）函數(shù)y="的自變量的取值范圍是（）

A.x<—3B.%之一3且%。2

C.%W—3且%。2D.%>—3

【答案】B

【分析】本題考查的是函數(shù)自變量的取值范圍的確定，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為0

是解題的關(guān)鍵.根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為0列出不等式組，解不等式組得到答案.

【詳解】解：由題意得：x+3>0H.%—20,

解得：%之一3且％m2,

故選：B.

3.（2024?河北?模擬預(yù)測）如圖，若a=6b,則去￡一若比）的值在（）

①②③④

—一、一—、，一、—一、

A.第①段B.第②段C.第③段D.第④段

【答案】D

【分析】本題考查了分式的值.把a(bǔ)=66代入即可求出分式的值，再看值的點落在的位置.

【詳解】解：士(人卓聲)

1a2—2ab+b2

=---------------------------

a-ba

1(a—b)2

=-------------------

a-ba

a-b

----,

a

va=6b,

二原式=*4

35"

-4<6<1,

故選：D.

4.（2024?安徽?三模）化簡（三一告）一六的結(jié)果是（）

22x22

BcD.

A?二T-FT-二Ix—1

【答案】B

【分析】本題考查的是分式的混合運(yùn)算，先去括號，再通分，計算分式的減法運(yùn)算即可.

【詳解】解：3-三）+六

=（--4r）g）

x—1

——1----------

X+1

—x—1x—1

X+1X+1

2x

一—x+l；

故選B

5.（23-24八年級上?四川瀘州?階段練習(xí)）下列分式中，屬于最簡分式的是（）

41-xx-12x

A.—B.--C.2rD.~r~

2xx-1x2-lx2+l

【答案】D

【分析】本題考查最簡分式定義，根據(jù)最簡分式的定義逐項驗證即可得到答案，熟記最簡分式定義:

分式的分子與分母除1以外再沒有其他公因式，是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、《=j故今不是最簡分式，不符合題意；

B、工_=壬。=_1,故〒不是最簡分式，不符合題意；

x—1x—1x—1

Y—1X—11Y—1

c、=去，故K不是最簡分式，不符合題意;

D、等是最簡分式，符合題意；

X+1

故選：D.

6.（2024?河北秦皇島?一模）若P=3則下列各式的值與尸的值一定相等的是（）

n-2n+22nn2

A?距B.訴C.—D.—

【答案】C

【分析】本題主要考查了分式的基本性質(zhì)，根據(jù)分式的基本性質(zhì)針對四個選項進(jìn)行分析即可.

【詳解】A、匕|不能再化簡，故本選項不符合題意；

771—Z

B、需不能再化簡，故本選項不符合題意；

C、/P,故本選項符合題意；

D、,=￡）2,故本選項不符合題意；

故選：C.

7.（2024?河北秦皇島?二模）已知?2+12="_巾一2,則3T勺值等于（）

A.1B.0C.-1D.——

【答案】C

【分析】本題考查分式的化簡求值，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，把所給等式整理為2個完全平方式的和為0的形

式是解決本題的突破點；用到的知識點為：2個完全平方式的和為0,這2個完全平方式的底數(shù)為0.

把所給等式整理為2個完全平方式的和為0的形式，得到機(jī)，九的值，代入求值即可.

【詳解】解：由+12=九一7n一2,得

（m+2）2+（71-2猿=0,

則zn=-2,n=2,

1111y

1'1

故選：C.

8.（22-23八年級下廣東梅州?期中）設(shè)—言，9=去一高，則p，q的關(guān)系是（）

A.p=qB.p>qC.p+q=0D.p<q

【答案】c

【分析】本題考查了分式的加減運(yùn)算，掌握分式的加減運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.

把兩個式子進(jìn)行相加運(yùn)算，從而可得結(jié)果.

【詳解】解：P=-一言，q=擊一言，

???p+q,

ab11

=—------------1-----------------,

a+1b+1a+1b+1

_a+1b+1

a+1b+1'

=1-1,

=0,

即p+q=0,

故選：C.

9.（22-23八年級下?河南平頂山?期末）化簡之一居的結(jié)果是——

【答案】擊/￡

【分析】本題考查分式的減法，解題的關(guān)鍵是掌握分式的性質(zhì)，根據(jù)題意，先通分，然后做減法計算

即可.

【詳解】解:白一目

a+36

a2—9a2—9

a+3-6

a2—9

CL—3

a2—9

1

a+3,

故答案為：

Q（2024?湖北襄陽?一模）計算：魯+悠

【答案】CL—b/—b+CL

【分析】本題考查了同分母分式的加法運(yùn)算，將分母統(tǒng)一是解題關(guān)鍵.利用同分母分式的加法運(yùn)算法

則求解即可.

【詳解】解：原式=注一強(qiáng)

a—ba—b

a2+b2-2ab

a-b

（a—b）2

a-b

=a-b.

故答案為：a—b.

,47

11.（2024?寧夏銀川?一模）化簡：于二+三=

4x—2---------------

【答案】ii

【分析】本題主要考查了分式的除法，先化簡分式，然后把除法轉(zhuǎn)化成乘法運(yùn)算，然后約分即可.

42

【詳解】解:

X2-4°x-2

4x-2

■-..................................xz______

(x+2)(%—2)2

_2

-x+2"

故答案為：

12.（2024?黑龍江綏化?模擬預(yù)測）化簡+（1+高）的結(jié)果是.

【答案】高

【分析】本題主要考查了分式的混合運(yùn)算，完全平方公式分解因式等知識點，熟練掌握分式的運(yùn)算法

則是解題的關(guān)鍵.

按照分式的運(yùn)算法則進(jìn)行計算即可.

【詳解】解：二）

m^—6m+9\m—3/

m-1/m-3

m2—6m+9^rn—3+

m—1m—1

(m-3)2*m-3

m—1m—3

-----------x--------

(m—3)2m—1

1

m-3'

故答案為：--T-.

13.（2024?湖南?模擬預(yù)測）先化簡，后求值：筆±1+言—％（%+2）,其中％=百一1.

【答案】％+2,V3+1

【分析】先對分式通分、因式分解、約分等化簡，化成最簡分式，后代入求值.

本題考查了分式的化簡求值，運(yùn)用因式分解，通分，約分等技巧化簡是解題的關(guān)鍵.

丫2_|_4丫+4久+2

【詳解】解:七丁―二F+2)

(%+2)2(x+1)(%—1)

-%(%+2)

%—1x+2

=(%+1)(%+2)—%(%+2)

=(%+1—%)(%+2)

=%+2,

當(dāng)％=百—1時,

原式=省+1.

14.（2024?廣東?模擬預(yù)測）下面是某同學(xué)化簡分式（高一烏型的運(yùn)算過程.

解：原式=（六一…第一步

—2-x-1簞一井

一:丁0-3）2…第一步

1-%>第二步

x-1（%—3）2…%一少

[—x

=（.3）2…第四步

上面的運(yùn)算過程中第一步出現(xiàn)錯誤，請你寫出正確的解答過程.

【答案】二，解答過程見解析

【分析】本題主要考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握分式的混合運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

逐一檢查每一步，發(fā)現(xiàn)錯誤，根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則計算即可.

【詳解】第二步出現(xiàn)錯誤，原因是分子相減時未變號，

/2\X2—6%+9

2—%+1x—1

x—1(%—3)2

3—%X—1

%—1(%—3)2

1

合能力提升

1.（2024?北京?三模）已知二一久—1=0,求（言一|）?皆詈的值是（）

A.1B.2C.-2D.—-

【答案】B

【分析】本題主要考查分式的化簡求值，將所求式子化簡為巴竽，再把/-尤-1=0變形為/=X+1,

然后整體代入計算即可

【詳解】解：(捷一3.名詈

4%—2(%+1)(%+I)2

x(x+1)x(x—1)

2(x—1)(x+I)2

%(x+1)x(x—1)

2(x+l)

X2；

=0,

?,?%2=%+1,

2Q+1)

???原式=

x+1=2,

故選：B

2.(2024?江蘇揚(yáng)州?一模)人們把寫這個數(shù)叫做黃金分割數(shù)，著名數(shù)學(xué)家華羅庚的優(yōu)選法中的0.618法就

2

應(yīng)用了黃金分割數(shù).設(shè)口=警，6=警，得協(xié)=1,記Sn=3?￡+安(〃取正整數(shù))，則￡+《+

22i+aL+D°i°2

搟+…+金的值為()

120232024

A----B，2024C------

20242025D.2025

【答案】D

【分析】本題考查了分式的化簡求值，正確的化簡計算是解本題的關(guān)鍵，化簡5,為九(九+1),代入算式,

利用裂項相消計算，即可解題.

【詳解】解：Sn=鬻+智，

n(n+l)(l+bn)n(n+l')(l+an')

—(1+。')(1+次)+(l+an)(l+L)'

n(n+l)(2+bn+an)

—(l+an)(l+Z)n)*

_n(n+l)(2+dn+an)

-l+anbn+Z?n+an?

ab=1,

??.(fbn=1,

n(n+l)(2+dn+an)

??Sn2+bn+an=九(九+1)，

1_11_11_11_1

y

Si-1x2’S2-2x3’S3-3x4....，S2024—2024x2025,

1111

不+不+不+…+7---，

?3?2024

1111

I1-....J

1x2___2x3___3x4----------2024x2025'

1,11111,11

4~2+2-3+3-4+1..+2024—2025’

2025'

_2024

―2025,

故選：D.

3.（2024?四川南充三模）己知/+a=2024,%2+/?=2026,且防=3,貝哈一貓值為（）

A.|B.±|C.警D.土空

J533

【答案】B

【分析】本題考查分式的化簡求值，利用整體代入的思想求b-a=2,再求出a+b可得結(jié)論.

22

【詳解】解：???x+a=2024,x+b=2026,

?,?b—a=2,

■'-a+b=±V（b-d）2+4ab=±V4+12=±4,

.b）_.2_“2_（b+a）（b—a）4x2__8

，，~ababab--3——3,

故選：B.

4.（2024?山東聊城?一模）已知?―?=5,那么等空馬=

%y2xz—xy—2yz------

【答案

【分析】本題考查了分式的化簡和求值，把y2=-5xy整體代入到代數(shù)式中化簡求值是解題的關(guān)

鍵.由條件q-：=5得%2一/=一5久y,整體代入到代數(shù)式中化簡求值即可.

【詳解】解：—=5得,爭=5,

???x2-y2=-5xy,

3x2+xy-3y2

<,2x2-xy-2y2

3（/—y2）+xy

2（x2—y2）—xy

—15%y+xy

—lOxy—xy

—14xy

—llxy

14

=n

故答案為：yy-

5.（22-23八年級上?河北邯鄲?期中）（新考法）試卷上一個正確的式子（總+去）一★=總，被小穎同學(xué)

不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代數(shù)式★為.

【答案】言

【分析】本題考查了分式的混合運(yùn)算.首先根據(jù)被除數(shù)除以商等于除數(shù)可得★=（焉+9）+生，根

據(jù)除以一個不為0的數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)把除法轉(zhuǎn)化為乘法，再利用乘法分配律可得原式=9+

券生,再根據(jù)異分母分式的加法法則進(jìn)行計算即可.

—D）

【詳解】解：白+a）+★;磊

=(3+3)義竽,

\a+ba-bJ2'

1a+b1a+b

------rx--—Ix-~-

a+b2a—b2

1a+b

—I------------

22(a-b)

a—ba+b

2(a—b)+2(a—b)

a—b+a+b

2(a—b)

2a

2(a—b)

故答案為：言.

6.（2024?天津河北?模擬預(yù)測）有一個計算程序，每次運(yùn)算都是把一個數(shù)先乘2,再除以它與1的和，多次

重復(fù)進(jìn)行這種運(yùn)算的過程如下：

>必=—T>y=—7------------->y=—7

第1次------X+1第2次-----2-必+1第3次-----3-%+1

則第"次的運(yùn)算結(jié)果是―（用含字母尤和n的代數(shù)式表示）.

［答案］(2"-l)x+l

【分析】此題考查了分式的規(guī)律題，根據(jù)分式的除法法則逐項計算，得到規(guī)律即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得丫1=名；

2yi4%

曠2===3%+1；

2y28%

—y2+i—7x+l

根據(jù)以上規(guī)律可得：/=（2-l）x+l-

7.(2024?江西宜春?模擬預(yù)測)閱讀下面的材料:

如果函數(shù)y=/(x)滿足：對于自變量工的取值范圍內(nèi)的任意%2,若%1<上，都有f(巧)</(乂2)，則

稱/(X)是增函數(shù)；若刀1<%2，都有/'(久1)〉/(久2)，則稱/(久)是減函數(shù).

例題：證明函數(shù)/(%)=%>0)是減函數(shù).

證明：設(shè)0<

66—X

6X2—6X16(X2I)

/(x1)-/(x2)=---—久1%2

6(久2一工1)

9>

,*,0V%-￡<%2,',%2—%1>0，%i%2>。,*,?>0.BP/(X1)-/(X2)0,

X1X2

?"01)>/(刀2).；,函數(shù)/(久)=5(X>0)是減函數(shù)一

根據(jù)以上材料，解答下面的問題:

已知函數(shù)fQ)=5+x(x<0)

(1)計算：/(-3)=，/(-4)=；

1

(2)猜想：函數(shù)/(%)=/+K(x<0)是函數(shù)(填"增"或"減");

⑶請仿照例題證明你的猜想.

【答案】⑴卷,

⑵增；

⑶見解析.

【分析】本題主要考查了函數(shù)的概念，分式的加減計算：

(1)根據(jù)題目中的函數(shù)解析式可以解答本題;

(2)根據(jù)-3>-4,宜_3)>/(一4),可猜想結(jié)論;

(3)設(shè)巧<犯<°，證明/(巧)一人>2)<。即可.

【詳解】(1)解：由題意得，宣-3)=5+(—3)=-全

r163

宣-4)==+(-4)=-/

(2)解：:―3>—4,/(—3)>/(—4)?

???可以猜想函數(shù)f(x)=e+%0<0)是增函數(shù)；

(3)證明：設(shè)％1<刀2<°，

?工。1)一宜%2)

11

=口+/一或一乂2

A-1八2

X22-Xl2

=%2%2

X1x2

(%2-Xi)(X2+%1)

22+乙一久2

XXX2

x2+x1\

22/

XY1xV2/

<冷V°，

'-X1—X2<0，%1+%2<0,

%2+久1

122VU,

x2+xr

-

?'?I-氣2~22>0,

支2+%l)

<0,

1-r2r2/

久1X2/

0

V，即f(%1)<f(%2)，

1、

???/(x)=裘+x(x<0)是增函數(shù)?

.，真題感知

1.（2024?四川雅安?中考真題）已知5+：=l（a+b40）.則落=（）

A.1B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】本題考查的是條件分式的求值，由條件可得26+a=ab,再整體代入求值即可;

71

【詳解】解：二+石=l（a+bK0），

；2b+a=ab,

a+ab

a+b

a+a+2b

a+b

2（a+h）

a+6

=2；

故選C

2.（2023?浙江湖州?中考真題）若分式合言的值為0,則x的值是（）

A.1B.0C.-1D.-3

【答案】A

【分析】分式的值等于零時，分子等于零，且分母不等于零.

【詳解】解：依題意得：=0且3%+1W0,

解得尤=1.

故選：A.

【點睛】本題考查了分式的值為零的條件.分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零.

3.（2023?貴州?中考真題）化簡匕工結(jié)果正確的是（）

aa

11

A-1B.aC,-D,--

【答案】A

【分析】根據(jù)同分母分式加減運(yùn)算法則進(jìn)行計算即可.

【詳解】解：/一5=*二=1，故A正確.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了分式加減，解題的關(guān)鍵是熟練掌握同分母分式加減運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計算.

4.（2023?湖北武漢?中考真題）已知/一久一1=0,計算Q1T一^一若冷的值是（）

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】A

【分析】根據(jù)分式的加減運(yùn)算以及乘除運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，然后把/=x+l代入原式即可求出答案.

【詳解】解：（二^一口十條三

\%+1%/X2+2X+1

_r2xx+ii-雙久-1）

l-x（x+l）x（x+l）J（x+1）2

0+1）2

-x（x+l）x（x-l）

x+1

下'

v%2—%—1=0,

-,?%2=%+1,

故選A.

【點睛】本題考查分式的混合運(yùn)算及求值.解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的加減運(yùn)算以及乘除運(yùn)算法則.

11

5.（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）在函數(shù)y=h+=中，自變量％的取值范圍是___.

V3+x%十」

【答案】%>-3>%^-2

【分析】本題考查了求自變量的取值范圍，根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件列出不等

式組解答即可求解，掌握二次根式有意義的條件和分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意可得，（^+2101

解得第>—3旦％H—2,

故答案為：%>—3旦%?！?.

6.（2024?湖北?中考真題）計算：三7+==.

【答案】1

【分析】本題主要考查了分式的加減運(yùn)算.直接按同分母分式加減運(yùn)算法則計算即可.

m1m+1y

【詳解】解:-----H-------=-----=1

m+1m+1m+1'

故選：1.

Ill

7.（2024?四川眉山?中考真題）已知01=%+1（%彳0且％。-1）,=1^7以3=17^，…以九=1一冊_1,貝1。2024

的值為.

【答案】T

【分析】此題考查了分式的混合運(yùn)算，利用分式的運(yùn)算法則計算得到每三個為一個循環(huán)，分別為尤+1,

-pAp進(jìn)一步即可求出口2024?

【詳解】解：,??=X+1,

_1_]_1

a2—1一的一l-(x+l)—~f

X

a6—x+19

由上可得，每三個為一個循環(huán),

???2024+3=674x3+2,

.__1

Aa2024=一亍

故答案為：-

11

8.（2024?四川內(nèi)江?中考真題）已知實數(shù)eb滿足防=1,那么云7+工的值為

a^+lb^+1

【答案】1

【分析】先根據(jù)異分母的分式相加減的法則把原式化簡，再把"二1代入進(jìn)行計算即可.

11

【詳解】解:----+-