高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重難點(diǎn)之統(tǒng)計(jì)和概率高頻考點(diǎn)突破

第06講：統(tǒng)計(jì)和概率高頻考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)梳理】

考點(diǎn)一.隨機(jī)抽樣

⑴簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：一般地，設(shè)一個(gè)總體含有“個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)不放回地抽取〃個(gè)個(gè)體作為樣本(〃wa,

如果每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相笠，就把這種抽樣方法叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.

(2)系統(tǒng)抽樣：當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)目較多時(shí)，可將總體分成均衡的幾個(gè)部分，然后按照事先定出的規(guī)則，從

每一部分抽取一個(gè)個(gè)體得到所需要的樣本，這種抽樣方法叫做系統(tǒng)抽樣.

(3)分層抽樣：一般地，在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例,從各層獨(dú)立地抽取一

定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣.

考點(diǎn)二.用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布

⑴在頻率分布直方圖中，縱軸表示頻率/組距,數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用各小長(zhǎng)方形的面積表示.各小

長(zhǎng)方形的面積總和等于L

(2)頻率分布折線圖和總體密度曲線

①頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上端的生虎，就得到頻率分布折線圖.

②總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時(shí)所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖會(huì)越來(lái)越

接近于一條光滑曲線，即總體密度曲線.

⑶莖葉圖

莖是指中間的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長(zhǎng)出來(lái)的數(shù).

考點(diǎn)三.用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征

⑴眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).

(2)中位數(shù)：將數(shù)據(jù)從小到大排列，若有奇數(shù)個(gè)數(shù)，則最中間的數(shù)是中位數(shù)；若有偶數(shù)個(gè)數(shù)，則中間兩數(shù)的

平均數(shù)是中位數(shù).

(3)平均數(shù)："7=>+益+?“+電,反映了一組數(shù)據(jù)的平均水平.

n

⑷標(biāo)準(zhǔn)差：是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，S=

XLXXLX----1-XLX.

⑸方差：/='[(XL：)』(劉一二)2+…+(%—三)2]區(qū)是樣本數(shù)據(jù)，〃是樣本容量，—是樣本平均數(shù)).

n

考點(diǎn)四.概率和頻率

⑴在相同的條件S下重復(fù)〃次試驗(yàn)，觀察某一事件/是否出現(xiàn)，稱〃次試驗(yàn)中事件/出現(xiàn)的次數(shù)必為事件

A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例￡04)=生為事件4出現(xiàn)的頻率.

n

(2)對(duì)于給定的隨機(jī)事件A,由于事件A發(fā)生的頻率￡(4)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P⑷,因此可以

用頻率￡(用來(lái)估計(jì)概率戶(用.

考點(diǎn)五.事件的關(guān)系與運(yùn)算

符號(hào)表

定義

示

應(yīng)A

若事件月發(fā)生，事件8一定發(fā)生，則稱事件6

包含關(guān)系(或

包含事件/(或稱事件A包含于事件B)

傕而

相等關(guān)系若應(yīng)/且Q8,則稱事件A與事件B相等A=B

若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件6發(fā)A^B

并事件

生，則稱此事件為事件A與事件占的并事件(或(或什

(和事件)

和事件)B)

若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件8發(fā)

交事件A^B

生,則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或

(積事件)(或AS)

積事件)

互斥事件AC6為不可能事件，則稱事件4與事件方互斥AnB=0

/A8=0

且

P(AU劭

若/C8為不可能事件，/U8為必然事件，則

對(duì)立事件

稱事件A與事件8互為對(duì)立事件

P(/)+

P(B)

=1

考點(diǎn)六.概率的幾個(gè)基本性質(zhì)

(1)概率的取值范圍：OWR/QWl.

(2)必然事件的概率戶(近=1.

(3)不可能事件的概率P3=0.

(4)概率的加法公式

如果事件/與事件8互斥，則果C4U6)=-a)+P(8).

(5)對(duì)立事件的概率

若事件A與事件8互為對(duì)立事件，則尸(4)=1—尸(8).

【題型梳理】

題型一：隨機(jī)抽樣

1.（2023秋?遼寧丹東?高一丹東市第四中學(xué)?？计谀┛傮w編號(hào)為01,02,29,30的30個(gè)個(gè)體組成.利

用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第3列和第4列數(shù)字開(kāi)始由左到右依次

選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來(lái)的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為（）

78161572080263150216431997140198

32049234493682003623486969387181

A.02B.15C.16D.19

【答案】D

【分析】根據(jù)個(gè)體編號(hào)規(guī)則，隨機(jī)表法依次取出5個(gè)個(gè)體編號(hào)，即可確定第5個(gè)個(gè)體的編號(hào).

【詳解】由題意，依次取到的編號(hào)為16、15、08、02、19,

所以第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為19.

故選：D

2.（2023秋?安徽蚌埠?高一統(tǒng)考期末）為慶祝黨的二十大勝利召開(kāi)，某校舉辦"學(xué)習(xí)黨的歷史，爭(zhēng)做新時(shí)代

好少年”主題教育活動(dòng).為評(píng)估本次教育活動(dòng)的效果，擬抽取150名同學(xué)進(jìn)行黨史測(cè)試.已知該校高一學(xué)生

360人，高二學(xué)生300人，高三學(xué)生340人，采用分層抽樣的方法，應(yīng)抽取高一學(xué)生人數(shù)為（）

A.60B.54C.51D.45

【答案】B

【分析】先求出抽樣比，乘以總?cè)藬?shù)即可求出抽取高一學(xué)生的人數(shù).

所以應(yīng)抽取高一學(xué)生人數(shù)為54人,

故選：B.

3.（2023春?江蘇蘇州?高一統(tǒng)考期末）從某班57名同學(xué)中選出4人參加戶外活動(dòng)，利用隨機(jī)數(shù)表法抽取樣

本時(shí)，先將57名同學(xué)按01、02、L、57進(jìn)行編號(hào)，然后從隨機(jī)數(shù)表第1行的第3列和第4列數(shù)字開(kāi)始往右

依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出的第4個(gè)同學(xué)的編號(hào)為（）

03474373863696473661469863716297

74246292428114572042533237321676

（注：表中的數(shù)據(jù)為隨機(jī)數(shù)表第1行和第2行）

A.36B.42C.46D.47

【答案】C

【分析】利用隨機(jī)數(shù)表可列舉出樣本前4個(gè)同學(xué)的編號(hào)，即可得解.

【詳解】由隨機(jī)數(shù)表法可知，樣本前4個(gè)同學(xué)的編號(hào)依次為47、43、36、46,

故選出的第4個(gè)同學(xué)的編號(hào)為46.

故選：C.

題型二：用樣本估計(jì)總體

4.（2023春?江蘇連云港?高一?？计谀┠掣咝閭鞒兄腥A文化，舉辦了"論語(yǔ)吟唱”的比賽在比賽中，由A,

B兩個(gè)評(píng)委小組（各9人）給參賽選手打分.根據(jù)兩個(gè)評(píng)委小組對(duì)同一名選手的打分繪制成如圖所示折線圖,

B.8組打分的中位數(shù)為75

C.A組的意見(jiàn)相對(duì)一致

D.B組打分的均值小于A組打分的均值

【答案】C

【分析】由折線圖中的數(shù)據(jù)，結(jié)合眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的定義對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,由折線圖可知，小組A打分的分值為：42,47,45,46,50,47,50,47,

則小組A打分的分值的眾數(shù)為47,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,小組B打分的分值為：55,36,70,66,75,68,68,62,58,

按照從小到大排列為：36,55,58,62,66,68,68,70,75,

中間數(shù)為66,故中位數(shù)為66,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于C；小組A的打分成績(jī)比較均勻，波動(dòng)更小，故A小組意見(jiàn)相對(duì)一致，故選項(xiàng)C正確；

42+47+45+46+50+47+50+47

對(duì)于D,小組A的打分分值的均值=46.7,而小組5的打分分值的均值

9

55+36+70+66+75+68+68+62+58C

------------------------------------------------=62,

9

所以小組8打分的分值的均值大于小組A打分的分值的均值，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：C.

5.（2023春?浙江麗水?高一統(tǒng)考期末）某中學(xué)組織三個(gè)年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行黨史知識(shí)競(jìng)賽.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，得到前200名

學(xué)生分布的扇形圖（如圖）和前200名中高一學(xué)生排名分布的頻率條形圖（如圖），則下列命題錯(cuò)誤的是（）

A.成績(jī)前200名的學(xué)生中，高一人數(shù)比高二人數(shù)多30人

B.成績(jī)前100名的學(xué)生中，高一人數(shù)不超過(guò)50人

C.成績(jī)前50名的學(xué)生中，高三人數(shù)不超過(guò)32人

D.成績(jī)第51名到第100名的學(xué)生中，高二人數(shù)比高一人數(shù)多

【答案】D

【分析】根據(jù)餅狀圖和條形圖提供的數(shù)據(jù)判斷.

【詳解】由餅狀圖，成績(jī)前200名的200人中，高一人數(shù)比高二人數(shù)多200x（45%-30%）=30,A正確；

由條形圖知高一學(xué)生在前200名中，前100和后100人數(shù)相等，因此高一人數(shù)為200X45%*:=45<5（）,B

正確；

成績(jī)前50名的50人中，高一人數(shù)為200*45%x0.2=18,因此高三最多有32人，C正確；

第51到100名的50人中，高一人數(shù)為200x45%x0.3=27,故高二最多有23人，因此高二人數(shù)比高一少，

D錯(cuò)誤.

故選：D.

6.（2023秋?北京?高一?？计谀┳钤绨l(fā)現(xiàn)于2019年7月的某種流行疾病給世界各國(guó)人民的生命財(cái)產(chǎn)帶來(lái)

了巨大的損失.近期某市由于人員流動(dòng)出現(xiàn)了這種疾病，市政府積極應(yīng)對(duì)，通過(guò)3天的全民核酸檢測(cè)，有效

控制了疫情的發(fā)展，決定后面7天只針對(duì)41類重點(diǎn)人群進(jìn)行核酸檢測(cè)，下面是某部門統(tǒng)計(jì)的甲、乙兩個(gè)檢

測(cè)點(diǎn)7天的檢測(cè)人數(shù)統(tǒng)計(jì)圖，則下列結(jié)論不正確的是（）

個(gè)人數(shù)

2000-?---------------------------------------------

1800----------▲--------------------------------------

1600--A--?--A-----------------

1200--------------------■----?-------------?--.甲

800：---------------------------------------------------▲乙

___?____?____?__?_____?__?____?____

o1234567天數(shù)

A.甲檢測(cè)點(diǎn)的平均檢測(cè)人數(shù)多于乙檢測(cè)點(diǎn)的平均檢測(cè)人數(shù)

B.甲檢測(cè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)極差大于乙檢測(cè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)極差

C.甲檢測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)的中位數(shù)大于乙檢測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)的中位數(shù)

D.甲檢測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)的方差大于乙檢測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)的方差

【答案】C

【分析】根據(jù)題意分別求甲乙監(jiān)測(cè)點(diǎn)的平均人數(shù)，極差，中位數(shù)及方差判斷即可.

2000+1600+1200+1200+800+1600+1200

【詳解】對(duì)于A:甲檢測(cè)點(diǎn)的平均檢測(cè)人數(shù)為?1371.43

7

丁工人、m上vtf4?人、n?(JULsr1600+1800+1600+800+1200+800+1600._,

乙檢測(cè)點(diǎn)1的平均檢測(cè)人數(shù)為-------------------------------------?1342.86

故甲檢測(cè)點(diǎn)的平均檢測(cè)人數(shù)多于乙檢測(cè)點(diǎn)的平均檢測(cè)人數(shù)，故A正確;

對(duì)于B：甲檢測(cè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)極差2000-800=1200

乙檢測(cè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)極差1800-800=1000,故B正確；

對(duì)于C:甲檢測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)為800,1200,1200,1200,1600,1600,2000,中位數(shù)為1200,

乙檢測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)為800,800,1200,1600,1600,1600,1800,中位數(shù)為1600,故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D:通過(guò)觀察平均數(shù)附近數(shù)據(jù)個(gè)數(shù),極差等或計(jì)算甲乙數(shù)據(jù)的方差，

都可以判斷乙檢測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)比甲檢測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)穩(wěn)定性強(qiáng),

故甲檢測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)的方差大于乙檢測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)的方差，故D正確.

故選：C.

題型三：平均數(shù)方差和百分位數(shù)

7.（2023秋?北京?高一?？计谀┙?jīng)過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣獲得的樣本數(shù)據(jù)為再，尤2,…,當(dāng)，且數(shù)據(jù)不，聲，…,馬的平

均數(shù)為亍，方差為則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若數(shù)據(jù)占,々,方差$2=0,則所有的數(shù)據(jù)w（f=1,2,…㈤都為o

B.若數(shù)據(jù)外,々，…，%，的平均數(shù)為于=3,則％=2升+1[=1,2「../)的平均數(shù)為6

C.若數(shù)據(jù)不,孫…,天,的方差為1=3,則y=2可+1。=1,2,…的方差為12

D.若數(shù)據(jù)玉,乙,的25%分位數(shù)為90,則可以估計(jì)總體中有至少有75%的數(shù)據(jù)不大于90

【答案】C

【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，方差，百分位數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)即可判斷.

【詳解】對(duì)于A,數(shù)據(jù)外,馬,…,％的方差S2=0時(shí)，說(shuō)明所有的數(shù)據(jù)玉,馬，…，%都相等，但不一定為0,故

選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,數(shù)據(jù)占,々,…,當(dāng)，的平均數(shù)為元=3,數(shù)據(jù)％=2%+1?=1,2,…的平均數(shù)為2x3+l=7,故選項(xiàng)B

錯(cuò)誤；

對(duì)于C,數(shù)據(jù)國(guó),尤2,…，尤,，的方差為S2=3,數(shù)據(jù)y=2%+l?=l,2,…的方差為22x3=12,故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D,數(shù)據(jù)冷無(wú)2,…,當(dāng)，的25%分位數(shù)為90,則可以估計(jì)總體中有至少有75%的數(shù)據(jù)大于或等于90,故

選項(xiàng)D錯(cuò)誤，

故選：C.

8.(2023秋?北京石景山?高一統(tǒng)考期末)甲、乙兩人進(jìn)行飛鏢游戲，甲的10次成績(jī)分別為8,6,7,7,8,

10,10,9,7,8,乙的10次成績(jī)的平均數(shù)為8,方差為0.4,則下列說(shuō)法不正確的是()

A.甲的10次成績(jī)的極差為4B.甲的10次成績(jī)的75%分位數(shù)為8

C.甲和乙的20次成績(jī)的平均數(shù)為8D.乙比甲的成績(jī)更穩(wěn)定

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，計(jì)算極差、75%分位數(shù)、平均數(shù)和方差，再逐一判斷即可.

【詳解】解：對(duì)于A,甲的10次成績(jī)分別為8,6,7,7,8,10,10,9,7,8,極差為10-6=4,故A

正確；

對(duì)于B,甲的10次成績(jī)從小到大依次為6,7,7,7,8,8,8,9,10,10,

?.7=10x75%=7.5,.?.甲的10次成績(jī)的75%分位數(shù)為第8個(gè)數(shù)是9,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,?.?甲的10次成績(jī)的平均數(shù)為，(6+7+7+7+8+8+8+9+10+10)=8,乙的10次成績(jī)的平均數(shù)為8,

二甲和乙的20次成績(jī)的平均數(shù)為或GxlO+gxlOI,故C正確；

對(duì)于D,甲的方差為J；[(6-8)2+3X(7-8)2+3X(8-8)2+(9-8)2+2X(10-8)2]=1.6,乙的方差為0.4,。.4<1.6,

，乙比甲的成績(jī)更穩(wěn)定，故D正確.

故選：B.

9.（2023春?四川宜賓?高一校考期末）PM2.5是空氣質(zhì)量的一個(gè)重要指標(biāo)，我國(guó)PM2.5標(biāo)準(zhǔn)采用世衛(wèi)組織

設(shè)定的最寬限值，即RW2.5日均值在35ng/m3以下空氣質(zhì)量為一級(jí)，在35^/11?~75%/m3之間空氣質(zhì)量為

二級(jí)，在75pg/m3以上空氣質(zhì)量為超標(biāo).如圖是某地11月1日到10日PM2.5日均值（單位：pg/n?）的統(tǒng)計(jì)數(shù)

2

A.從這10天的日均R02.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽出一天的數(shù)據(jù)，空氣質(zhì)量為一級(jí)的概率是不

B.從5日到9日，PM2.5日均值逐漸降低

C.這10天中PM2.5日均值的平均數(shù)是49.3

D.這10天的尸M2.5日均值的中位數(shù)是45

【答案】D

【分析】借助于圖表數(shù)據(jù)，對(duì)A、B、C、D一一驗(yàn)證即可.

對(duì)于A：用古典概型的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算；

對(duì)于B：從折線圖直接看出；

對(duì)于C：直接計(jì)算平均值即可；

對(duì)于D：直接求出中位數(shù)；

42

【詳解】對(duì)于A：從圖表可以看出，"空氣質(zhì)量為一級(jí)”的有：3日、8日、9日、10日，故概率P=^=w，

故A正確；

對(duì)于B：從5日到9日，折線圖逐日下降，故PM2.5日均值逐漸降低，故B正確；

-1

對(duì)于C：這10天中PM2.5日均值的平均數(shù)是x=^（45+57+32+49+82+73+58+34+30+33）=49.3,故C

正確；

45+49

對(duì)于D：這10天的數(shù)據(jù)從小到大依次為：30、32、33、34、45、49、57、58、73、82,故中位數(shù)為------=47,

2

故D錯(cuò)誤；

故選：D

題型四：互斥事件和對(duì)立事件

10.（2023秋?山東濰坊?高一統(tǒng)考期末）“韋神"數(shù)學(xué)興趣小組有4名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參

加數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)比賽，下列各對(duì)事件中互斥而不對(duì)立的是（）

A.至少有1名男生與全是男生；

B.至少有1名男生與全是女生；

C.恰有1名男生與恰有2名男生；

D.至少有1名男生與至少有1名女生.

【答案】C

【分析】寫出各個(gè)事件包含的情況，根據(jù)互斥事件以及對(duì)立事件的概念，即可得出答案.

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生兩種情況，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B項(xiàng)，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生兩種情況，與事件全是女生是互斥對(duì)立事件，

故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C項(xiàng)，事件恰有1名男生指恰有1名男生和1名女生，與事件恰有2名男生是互斥事件，但不是對(duì)立

事件，故C項(xiàng)正確；

對(duì)于D項(xiàng)，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生兩種情況，事件至少有1名女生包括恰有1

名女生和全是女生兩種情況，兩個(gè)事件有交事件恰有1名男生和1名女生，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C.

11.（2020春?甘肅定西?高一?？计谀┐醒b有3個(gè)白球，4個(gè)黑球，從中任取3個(gè)球，則

①恰有1個(gè)白球和全是白球；

②至少有1個(gè)白球和全是黑球；

③至少有1個(gè)白球和至少有2個(gè)白球；

④至少有1個(gè)白球和至少有1個(gè)黑球.

在上述事件中，是互斥事件但不是對(duì)立事件的為（）

A.②B.①C.③D.④

【答案】B

【分析】根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】記a表示白球，6表示黑球，從袋中任取3個(gè)球，共包括4個(gè)基本事件

分別為{a,,{a,a,4,{a,46},{b,b,b}

對(duì)①，事件"恰有1個(gè)白球”包含的基本事件為：{a,b,b},事件"全是白球"包含是基本事件為：{a,a,a},由

互斥事件和對(duì)立事件的定義可知，事件"恰有1個(gè)白球"和"全是白球”互為對(duì)立事件，但不是對(duì)立事件；

對(duì)②，事件"至少有1個(gè)白球"包含的基本事件為：{a,a,a},{a,a,b\,{a,b,b],事件"全是黑球”包含的基本事

件為：{b,b,b},由互斥事件和對(duì)立事件的定義可知，事件“至少有1個(gè)白球"和"全是黑球”互為對(duì)立事件，

也是對(duì)立事件；

對(duì)③，事件"至少有1個(gè)白球"包含的基本事件為：{a,a,a},{a,a,b},{a,b,b],事件“至少有2個(gè)白球"包含的

基本事件為：{a,a,a},{a,a,b\,由互斥事件和對(duì)立事件的定義可知，事件"至少有1個(gè)白球"和"至少有2個(gè)

白球"，既不是互斥事件也不是對(duì)立事件；

對(duì)④，事件"至少有1個(gè)白球"包含的基本事件為：{a,a,a},{a,a,6},{a,6,6},事件"至少有1個(gè)黑球"包含的

基本事件為：{a,a,耳,{a,仇耳，物,6,耳，由互斥事件和對(duì)立事件的定義可知，事件"至少有1個(gè)白球"和"至少

有1個(gè)黑球”，既不是互斥事件也不是對(duì)立事件；

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)立事件和互斥事件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

12.(2020秋?山西長(zhǎng)治?高一山西省長(zhǎng)治市第二中學(xué)校?？计谀?將一個(gè)骰子拋擲一次，設(shè)事件4表示向上

的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)2,事件B表示向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不小于3,事件C表示向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)

點(diǎn)，貝I()

A.A與B是對(duì)立事件B.A與B是互斥而非對(duì)立事件

C.B與C是互斥而非對(duì)立事件D.B與C是對(duì)立事件

【答案】A

【解析】由互斥事件與對(duì)立事件的定義判斷即可得出正確答案.

【詳解】事件A包含的基本事件為向上的點(diǎn)數(shù)為L(zhǎng)2；

事件B包含的基本事件為向上的點(diǎn)數(shù)為34,5,6；

事件C包含的基本事件為向上的點(diǎn)數(shù)為1,3,5；

由于事件A,B不可能發(fā)生，且事件A,8的和事件為必然事件，A與8是對(duì)立事件

當(dāng)向上一面的點(diǎn)數(shù)為3時(shí)，事件B,C同時(shí)發(fā)生，則8與C不互斥也不對(duì)立

故選：A

【點(diǎn)睛】本題主要考查了互斥事件與對(duì)立事件的判斷，對(duì)立事件與互斥事件關(guān)系的辨析，屬于中等題.

題型五：隨機(jī)事件的概率

13.（2023春?河南?高一校聯(lián)考期末）連續(xù)拋擲一枚均勻的骰子兩次，向上的點(diǎn)數(shù)分別記為a,b,^=a+b,

貝U（）

A.事件"是偶數(shù)"與"a為奇數(shù)，6為偶數(shù)”互為對(duì)立事件

B.事件"=2”發(fā)生的概率為2

C.事件"=2"與互為互斥事件

D.事件">8且必<32”的概率為工

4

【答案】D

【分析】。為偶數(shù),b為奇數(shù)時(shí)，兩個(gè)事件均不包含,A錯(cuò)誤,確定。=6=1,計(jì)算概率得到B錯(cuò)誤，事件”=2"

與竺/5”可以同時(shí)發(fā)生，C錯(cuò)誤，列舉得到D概率正確，得到答案.

【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：。為偶數(shù)，。為奇數(shù)時(shí)，兩個(gè)事件均不包含，錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)B：自=2,則a=>=l,發(fā)生的概率為錯(cuò)誤；

6636

對(duì)選項(xiàng)C：事件"=2"與5"可以同時(shí)發(fā)生，錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)D：J=a+人>8,ab<32,

則36）分別為（6,5）,（6,4）,（6,3）,（5,6）,（5,5）,（5,4）,（4,6）,（4,5）,（3,6）共9種情況，

91

概率為p=1=7,正確；

6x64

故選：D.

14.（2023春?江蘇南通?高一?？计谀﹪迤鹪从谥袊?guó)，據(jù)先秦典籍《世本》記載：“堯造圍棋，丹朱善之"，

圍棋至今已有四千多年歷史，蘊(yùn)含者中華文化的豐富內(nèi)涵.在某次國(guó)際比賽中，中國(guó)派出包含甲、乙在內(nèi)的

5位棋手參加比賽，他們分成兩個(gè)小組，其中一個(gè)小組有3位，另外一個(gè)小組有2位，則甲和乙不在同一個(gè)

小組的概率為（）

【答案】C

【分析】利用列舉法求得基本事件的總數(shù)，以及所求事件包含的基本事件的個(gè)數(shù)，結(jié)合古典擷型的概率計(jì)

算公式，即可求解.

【詳解】由題意，另3位棋手分別記為丙、丁、戊，

則這5位棋手的分組情況有（甲乙丙，丁戊），（甲乙丁，丙戊），（甲乙戊，丙丁），（甲丙丁，乙戊），

（甲丙戊，乙?。锥∥?，乙丙），（乙丙丁，甲戊），（乙丙戊，甲?。ㄒ叶∥?，甲丙），（丙丁戊，甲

乙），共10種，

其中甲和乙不在同一個(gè)小組的情況分別為（甲丙丁，乙戊），（甲丙戊，乙?。锥∥?，乙丙），（乙丙丁，

甲戊），

（乙丙戊，甲?。?，（乙丁戊，甲丙），共有6種，

所以甲和乙不在同一個(gè)小組的概率P=*=g.

故選：C.

15.（2021春?陜西西安?高一統(tǒng)考期末）從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件，設(shè)事件A="抽到一等品"，事件3=

“抽到二等品"，事件C="抽到三等品”，且已知P（A）=O65,P（B）=0.2,P（C）=0.1,則事件“抽到的不是

一等品"的概率為（）.

A.0.65B.0.35C.0.3D.0.05

【答案】B

【分析】利用對(duì)立事件的概率計(jì)算公式即可計(jì)算作答.

【詳解】"抽到的產(chǎn)品不是一等品"的事件的對(duì)立事件是"抽到一等品"的事件，而事件A="抽到一等品"，且

P（A）=0.65,

所以l-P（A）=l-0.65=0.35,

所以事件"抽到的產(chǎn)品不是一等品"的概率為0.35.

故選：B.

題型六：事件的相互獨(dú)立性

16.（2023春?江蘇蘇州?高一統(tǒng)考期末）已知事件A,B,且P（A）=0.6,P（B）=0.15,如果A與8互斥，

那么尸（AB）=Pi，如果A與8相互獨(dú)立，那么尸（麗）=「2,則0，0分別為（）

A.P1=0,P2=051B.A=0.75,p2=0.51

C.Pi=。，，2=。.45D.Pi=0.75,p2=0.45

【答案】A

【分析】根據(jù)互斥事件的定義可求Pl，根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式求P2，由此可判斷結(jié)論.

【詳解】因?yàn)槭录嗀與B互斥，所以「（Afi）=0,所以4=0.

因?yàn)锳與8相互獨(dú)立，P（A）=0.6,P（3）=0.15,

所以尸（=P（A）（l-P（B））=0.6x0.85=0.51,

即「2=0.51.

故選：A.

17.（2023春?浙江溫州?高一統(tǒng)考期末）在一個(gè)盒子中有紅球和黃球共5個(gè)球，從中不放回的依次摸出兩個(gè)

球，事件4="第二次摸出的球是紅球"，事件3="兩次摸出的球顏色相同"，事件C="第二次摸出的球是

黃球”，若尸（4）=：,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

（）

A.PB=|B.P（C）=1-P（A）

4

C.P（AuB）=-D.P（AnB）=—

【答案】C

【分析】由對(duì)立事件的性質(zhì)判斷B；由P（A）=：結(jié)合乘法公式得出根=2,進(jìn)而判斷ACD.

【詳解】依題意，事件AC對(duì)立，P（A）+P（C）=1,故B正確；

,門人人，▼心〃人升心~八mm-l5-mm4m2小

設(shè)盒子中有加個(gè)紅球，5-m個(gè)黃球，P（A）=-----------+------------=—=—=＞機(jī)=2

5454205

711713??

P（AnB）=--=—,-+故AD正確；

'7541054545

7

尸（AUB）=P（A）+P（B）-P（Ar）S）=—,故C錯(cuò)誤；

故選：C

18.（2023秋?遼寧沈陽(yáng)?高一沈陽(yáng)鐵路實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┠成虉?chǎng)推出抽獎(jiǎng)活動(dòng)，在甲抽獎(jiǎng)箱中有四張有獎(jiǎng)

獎(jiǎng)票.六張無(wú)獎(jiǎng)獎(jiǎng)票；乙抽獎(jiǎng)箱中有三張有獎(jiǎng)獎(jiǎng)票，七張無(wú)獎(jiǎng)獎(jiǎng)票.每人能在甲乙兩箱中各抽一次，以A表示

在甲抽獎(jiǎng)箱中中獎(jiǎng)的事件，8表示在乙抽獎(jiǎng)箱中中獎(jiǎng)的事件，C表示兩次抽獎(jiǎng)均末中獎(jiǎng)的事件.下列結(jié)論中不

正確的是（）

91

A.P（C）=—B.事件A與事件8相互獨(dú)立

C.尸（AB）與尸（c）和為54%D.事件A與事件8互斥

【答案】D

【分析】分別求出P（A）,P⑻,進(jìn)一步求出網(wǎng)。）與P（AB）,從而判斷AC選項(xiàng)，在甲抽獎(jiǎng)箱抽獎(jiǎng)和在乙

抽獎(jiǎng)箱抽獎(jiǎng)互不影響，故事件A和事件2相互獨(dú)立，判斷BD選項(xiàng).

4?3

【詳解】P（A）=-=-,P（B）=-

在甲抽獎(jiǎng)箱抽獎(jiǎng)和在乙抽獎(jiǎng)箱抽獎(jiǎng)互不影響，故事件A和事件B相互獨(dú)立，B項(xiàng)正確

7391

P（C）=（l--）（l--）=—,故A正確

3

P（AB）=P（A）P（B）=-

尸（AB）+P（C）==54%,故C正確

事件A與事件8相互獨(dú)立而非互斥，故D錯(cuò)誤.

故選：D.

題型七：頻率和概率

19.（2021春?陜西咸陽(yáng)?高一統(tǒng)考期末）某種心臟手術(shù)成功率為0.9,現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計(jì)"3例心臟手

術(shù)全部成功”的概率.先利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0?9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，由于成功率是0.9,故我們用

0表示手術(shù)不成功，1,2,3,4,5,6,7,8,9表示手術(shù)成功，再以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，作為3例手術(shù)

的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生如下10組隨機(jī)數(shù)：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907,由此估計(jì)"3例心臟手

術(shù)全部成功”的概率為（）

A.0.9B.0.8C.0.7D.0.6

【答案】B

【分析】由題可知10組隨機(jī)數(shù)中表示"3例心臟手術(shù)全部成功”的有8組，即求.

【詳解】由題意，10組隨機(jī)數(shù):812,832,569,683,271,989,730,537,925,907,表示“3例心臟手術(shù)全部成功”的

有：812,832,569,683,271,989,537,925,故8個(gè)，

Q

故估計(jì)"3例心臟手術(shù)全部成功”的概率為歷=0.8.

故選：B.

20.（2020秋?遼寧大連?高一統(tǒng)考期末）關(guān)于頻率和概率，下列說(shuō)法正確的是（）

①某同學(xué)在罰球線投籃三次，命中兩次，則該同學(xué)每次投籃的命中率為g;

②數(shù)學(xué)家皮爾遜曾經(jīng)做過(guò)兩次試驗(yàn)，拋擲12000次硬幣，得到正面向上的頻率為0.5016；拋擲24000次硬

幣，得到正面向上的頻率為0.5005.如果他拋擲36000次硬幣，正面向上的頻率可能大于0.5005；

③某類種子發(fā)芽的概率為0.903,當(dāng)我們抽取2000粒種子試種，一定會(huì)有1806粒種子發(fā)芽；

④將一個(gè)均勻的骰子拋擲6000次，則出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)大于2的次數(shù)大約為4000次.

A.②④B,①④C.①②D.②③

【答案】A

【分析】根據(jù)頻率和概率的定義對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】①某同學(xué)投籃三次，命中兩次，只能說(shuō)明在這次投籃中命中的頻率為不能說(shuō)概率，故錯(cuò)誤；

②進(jìn)行大量的實(shí)驗(yàn)，硬幣正面向上的頻率在0.5附近擺動(dòng)，可能大于0.5,也可能小于0.5,故正確；

③只能說(shuō)明可能有1806粒種子發(fā)芽，具有隨機(jī)性，并不是一定有1806粒種子發(fā)芽，故錯(cuò)誤；

④出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)大于2的次數(shù)大約為4000次，正確.

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查頻率與概率的區(qū)別，屬于基礎(chǔ)題.

21.（2020春?甘肅武威?高一?？计谀┮粋€(gè)容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后組距為10,區(qū)間與頻數(shù)分布如

下：（10,20],2；（20,30],3；（30,40],4；（40,50],5；（50,60],4；（60,70],2.則樣本在（10,50]

上的頻率為（）

1117

A.—B.-C.-D.—

204210

【答案】D

【分析】根據(jù)頻率等于頻數(shù)比樣本容量求解.

【詳解】因?yàn)闃颖驹冢?0,50]上的頻數(shù)為14,樣本容量為20,

147

所以樣本在（10,50]上的頻率為。=方=歷

故選：D

【點(diǎn)睛】本題主要考查統(tǒng)計(jì)中頻率的求法，屬于基礎(chǔ)題.

題型八：統(tǒng)計(jì)和概率的綜合

22.（2023春?河南周口?高一校聯(lián)考期末）居民小區(qū)物業(yè)服務(wù)聯(lián)系著千家萬(wàn)戶，關(guān)系著居民的“幸福指數(shù)某

物業(yè)公司為了調(diào)查小區(qū)業(yè)主對(duì)物業(yè)服務(wù)的滿意程度，以便更好地為業(yè)主服務(wù)，隨機(jī)調(diào)查了100名業(yè)主，根

據(jù)這100名業(yè)主對(duì)物業(yè)服務(wù)的滿意程度給出評(píng)分，分成[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]

⑴在這100名業(yè)主中，求評(píng)分在區(qū)間［70,80）的人數(shù)與評(píng)分在區(qū)間［50,60）的人數(shù)之差;

⑵估計(jì)業(yè)主對(duì)物業(yè)服務(wù)的滿意程度給出評(píng)分的眾數(shù)和90%分位數(shù);

⑶若小區(qū)物業(yè)服務(wù)滿意度（滿意度=滿意彳;均分）低于0.8,則物業(yè)公司需要對(duì)物業(yè)服務(wù)人員進(jìn)行再培

訓(xùn).請(qǐng)根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，結(jié)合滿意度，判斷物業(yè)公司是否需要對(duì)物業(yè)服務(wù)人員進(jìn)行再培訓(xùn)，并說(shuō)明

理由.（同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）

【答案】⑴24人;

（2）眾數(shù)：75分，90%分位數(shù)：84分;

⑶物業(yè)公司需要對(duì)物業(yè)服務(wù)人員進(jìn)行再培訓(xùn)，理由見(jiàn)解析.

【分析】（1）本題考查頻率分布直方圖每個(gè)矩形的意義，即頻率，則每個(gè)區(qū)間人數(shù)即可求解；

（2）本問(wèn)考查頻率分布直方圖的眾數(shù)與百分位數(shù)的求法，即最高矩形的組中值為眾數(shù)，左右兩邊頻率之和

為0.9與0.1的為90%分位數(shù)；

（3）本問(wèn)考查頻率分布直方圖平均數(shù)的求法，即組中值與頻率乘積之和，最后套入公式即可.

【詳解】（1）評(píng)分在區(qū)間［70,80）的人數(shù)為100*0.04x10=40（人），

評(píng)分在區(qū)間［50,60）的人數(shù)為100x0.016x10=16（人），

故評(píng)分在區(qū)間［70,80）的人數(shù)與評(píng)分在區(qū)間［50,60）的人數(shù)之差為40-16=24（人）；

（2）業(yè)主對(duì)物業(yè)服務(wù)的滿意程度給出評(píng)分的眾數(shù)為75分，

由10x（0.016+0.03+0.04）=0.86<0.9,10x（0.016+0.03+0.04+0.01）=0.96>0.9,

設(shè)業(yè)主對(duì)物業(yè)服務(wù)的滿意程度給出評(píng)分的90%分位數(shù)為x,

有（x—80）x0.01=0.9—0.86,解得尤=84,

故業(yè)主對(duì)物業(yè)服務(wù)的滿意程度給出評(píng)分的眾數(shù)和90%分位數(shù)分別為75分和84分;

(3)業(yè)主對(duì)物業(yè)服務(wù)的滿意程度給出評(píng)分的平均分為

55x0.016x10+65x0.03x10+75x0.04x10+85x0.01x10+95x0.004x10=70.6,

由a=0.706<0.8,

100

故物業(yè)公司需要對(duì)物業(yè)服務(wù)人員進(jìn)行再培訓(xùn).

23.(2023春?河南?高一校聯(lián)考期末)大學(xué)畢業(yè)生小張和小李通過(guò)了某單位的招聘筆試考試，正在積極準(zhǔn)備

結(jié)構(gòu)化面試，每天相互進(jìn)行多輪測(cè)試，每輪由小張和小李各回答一個(gè)問(wèn)題，已知小張每輪答對(duì)的概率為:，

4

小李每輪答對(duì)的概率為在每輪活動(dòng)中，小張和小李答對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響.

⑴求兩人在兩輪活動(dòng)中都答對(duì)的概率；

(2)求兩人在兩輪活動(dòng)中至少答對(duì)3道題的概率；

⑶求兩人在三輪活動(dòng)中，小張和小李各自答對(duì)題目的個(gè)數(shù)相等且至少為2的概率.

【答案】⑴!

4

(2)-

3

⑶』

16

【分析】(1)根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算即可；

(2)兩人分別答兩次，總共四次中至少答對(duì)3道題，分五種情況計(jì)算可得答案；

(3)分小張和小李均答對(duì)兩個(gè)題目、均答對(duì)三個(gè)題目?jī)煞N情況計(jì)算即可.

【詳解】(1)依題意，設(shè)事件"小張兩輪都答對(duì)問(wèn)題"，N="小李兩輪都答對(duì)問(wèn)題”，

339224

所以尸P=-X-=-.因?yàn)槭录嗷オ?dú)立，

4416W339

941

所以兩人在兩輪活動(dòng)中都答對(duì)的概率為P(MN)=P(M)P(^)=—x-=-.

1694

(2)設(shè)事A="甲第一輪答對(duì)"，B="乙第一輪答對(duì)"，C="甲第二輪答對(duì)"，D="乙第二輪答對(duì)”,

E="兩人在兩輪活動(dòng)中至少答對(duì)3道題”，

則E=ABCDuABCDuABCDuABCDuABCD，

由事件的獨(dú)立性與互斥性，可得尸(E)=P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABC￡>)+P(ABCD)+P(ABCD)

=P(A)P(B)P(C)P(r>)+P(A)P(B)P(C)P(r>)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)

+P(A)P(B)P(C)P(5)

323212323132321232312

=—X—X—X—+—X—X—X—+—X—X—X—H--X—X—X—H——X—X—X—=—,

434343434343434343433

故兩人在兩輪活動(dòng)中至少答對(duì)3道題的概率為。.

（3）設(shè)事件A3分別表示甲三輪答對(duì)2個(gè)，3個(gè)題目，鳥(niǎo)，員分別表示乙三輪答對(duì)2個(gè)，3個(gè)題目,

設(shè)事件〃兩人在三輪活動(dòng)中，小張和小李各自答對(duì)題目的個(gè)數(shù)相等且至少為2〃,

則。=4與1_]4&，且4，A3,鳥(niǎo)，鳥(niǎo)分別相互獨(dú)立,

97497R5

所以尸(Q)=尸(4與)+尸(短3)=尸(4)尸闖+尸⑷尸闖=言3+總＞言=卷.

U?yvj?4/LU

所以兩人在三輪活動(dòng)中，小張和小李各自答對(duì)題目的個(gè)數(shù)相等且至少為2的概率為之.

24.（2023春?江蘇鹽城?高一江蘇省響水中學(xué)?？计谀?月23日是世界讀書(shū)日，樹(shù)人中學(xué)為了解本校學(xué)生

課外閱讀情況，按性別進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法從全校學(xué)生中抽出一個(gè)容量為100的樣本，其中

男生40名，女生60名經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，分別得到40名男生一周課外閱讀時(shí)間（單位，小時(shí)）的頻數(shù)分布表和

60名女生一周課外閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）的頻率分布直方圖：（以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值）

女生一周自讀時(shí)間頻率分布直方圖

男生一周閱讀時(shí)間頻數(shù)分布表

小時(shí)頻數(shù)

[。，2）9

[2,4)25

[4,6)3

[6,8)3

⑴從一周課外閱讀時(shí)間為［4,6)的學(xué)生中按比例分配抽取6人，則男生，女

生各抽出多少人？

⑵分別估計(jì)男生和女生一周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)月兀

⑶估計(jì)總樣本的平均數(shù)N和方差/.

參考數(shù)據(jù)和公式;男生和女生一周課外閱讀時(shí)間方差的估計(jì)值分別為或=2.4和晨=3.

-s2=-Z(%-x)+Z(x-z)+Z(%->)+2(y-z),乙(04,440)和%(0工，<60)分別表示男生和女

生一周閱讀時(shí)間的樣本，其中MZ.

【答案】(D男生1人，女生5人

⑵x=3，y=4

(3)z=3.6，s2=3

【分析】(1)首先求出［4,6)中女生的人數(shù)，再利用分層抽樣計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得；

(2)根據(jù)平均數(shù)公式計(jì)算可得；

(3)首先求出總體的平均數(shù)，再根據(jù)所給公式及數(shù)據(jù)求出總體的方差.

【詳解】(1)一周課外閱讀時(shí)間為［4,6)的學(xué)生中男生有3人，女生有Jx2x60=15人,

8

若從中按比例分配抽取6人，則男生有6'h3三=1人，女生有15人

3+153+15

_lQ_|_Qv75-1-5x3-1-7x3

(2)估計(jì)男生一周課外閱讀時(shí)間平均數(shù)x=x"U=3；

40

1111

估計(jì)女生一周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)y=—x2xl+—x2x3+—x2x5+—x2x7=4.

244812

/、人、?上心-r*?八壟入-3x40+4x60c,

(3)估計(jì)總樣本的平均數(shù)z=---———=3.6,

4U_26U__、2

=4-40=