二次函數(shù)小壓軸題（含答案）-2025年陜西中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題型專練

專題一二次函數(shù)小壓軸題

題型1二次函數(shù)的系數(shù)與函數(shù)圖象的性質(zhì)

(2024,2021)

1.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a/))的圖象如圖所示，其對(duì)稱軸為直線x=l,則下列結(jié)論正

確的是()

A.abc<0B.2a-b=0

C.5a+3b+2c<0D.4ac-b2>0

2.下列關(guān)于二次函數(shù)y--(x-m)2+m2+l(m為常數(shù))的結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而減小

B.該函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)

C.該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在函數(shù)y=x2+l的圖象上

D.該函數(shù)圖象與函數(shù)y=-x2的圖象形狀相同

1

3.(2024?交大附中模擬)已知拋物線y=2ax2+(l-a)x-l(a<0),則它的頂點(diǎn)M一定在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4.已知二次函數(shù)y=x2+bx+c,當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)的最小值為-3;當(dāng)x<0時(shí),函數(shù)的最小值

為-2.則b的值為()

A.6B.2C.-2D.-3

5.(2024?西工大附中模擬)已知二次函數(shù)y=ax2+bx-2(a<0),函數(shù)值y和自變量x的

幾組對(duì)應(yīng)取值如下表：

X01234

y-2mnP-2

1/14

若mn〈O,則a的取值范圍是（）

2

A.a<-3

1

B.a<2

21

C.-3<a<-2

21

D.av-?或-2va〈0

6.（2024?陜師大附中模擬）已知拋物線y=-x2+2mx+n（m,n為常數(shù)），則下列結(jié)論正確

的是（）

A.開(kāi)口向上

B.對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)

C.若m+n=l,該函數(shù)圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)

D.當(dāng)m-l<x<m+2時(shí)，該函數(shù)的最大值與最小值的差為4

題型2對(duì)二次函數(shù)圖象的分析判斷

（2020,2019.T10）

7.【原創(chuàng)好題】在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象和一次函數(shù)

y=ax+b（a,b為常數(shù)，且ab/））的圖象可能是（）

2/14

8.【原創(chuàng)好題】在平面直角坐標(biāo)系中，若二次函數(shù)y=ax2+(2a-l)x+a-3的圖象與坐

標(biāo)軸最多有兩個(gè)交點(diǎn)，則函數(shù)圖象不可能經(jīng)過(guò)()

A.第三象限

B.第四象限

C.第三象限和第四象限

D.第一象限和第二象限

9.【原創(chuàng)好題】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a/)),若滿足ac<0且ab>0,則下列選項(xiàng)

中,符合條件的拋物線為

10.已知拋物線L:y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)在第四象限，與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，則下列結(jié)

論正確的是()

A.a>0

B.b2-4ac>0

C.若點(diǎn)在拋物線L上，則m<c

D.若點(diǎn)A(xi,y)點(diǎn)B(x2,yi)在拋物線L上，且xi〈X2,則yi<y2

題型3二次函數(shù)圖象中對(duì)稱軸的運(yùn)用

(2013,2022)

11.已知二次函數(shù)y=ax2-3ax+c(aR0)的圖象與x軸交于點(diǎn)P(xi,0),點(diǎn)(502,0),若-

3VXF-2,貝Ux2的取值范圍是()

A.5<X2<6B.4Vx2V5

C.4<X2<6D.3Vx2V5

3/14

12.若拋物線y=-x2+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A(XI,0),B(X2,0)之間的距離為6,且

XI+X2=8,則這個(gè)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(3,9)B.(-3,-9)

C.(-4,-9)D.(4,9)

13.在拋物線L:y=ax2-(l-a)x+2a(a和)上存在一點(diǎn)M(a,m).當(dāng)x<a時(shí),y隨x的增大

而減小;當(dāng)x>a時(shí),y隨x的增大而增大，則m的值為()

A.-lB.-3

17

C.2D,8

14.已知二次函數(shù)y=x?+bx+c的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別是(n,0)和(-n+4,0),且

該拋物線還經(jīng)過(guò)點(diǎn)G4,yD和(4村,則下列關(guān)于yby2的大小關(guān)系判斷正確的是()

A.y2=yi

B.y2<yi

C.yi<y2

D.yi<y2

題型4運(yùn)用二次函數(shù)增減性比較函數(shù)值的大小

15.【原創(chuàng)好題】已知拋物線y=ax?+4ax-3與x軸的交點(diǎn)位于原點(diǎn)兩側(cè),A(xi,yi),

B(X2,y2),C(X3,y3)三點(diǎn)在拋物線上,且滿足XI<0<X2<X3,XI+X2>-4,則yi,y2,y3的大小關(guān)

系是()

A.y1>y2>y3

B.y2>yi>y3

C.y3>y2>yi

D.y3>yi>y2

16.【原創(chuàng)好題】已知M(x(),yo)是拋物線y=ax2-4ax+c的頂點(diǎn)，且y()為y=ax2-4ax+c

的最大值.若點(diǎn)(-5"),(1,丫2),(0,丫3)在拋物線上,則下列說(shuō)法中正確的是()

>>

A.y1>y2>y3B.y2y3yi

C.y3>yi>y2D.yi>y3>y2

題型5二次函數(shù)與幾何圖形關(guān)系

4/14

(2016.T10)

17.已知拋物線y=a(x+l)(x-5)與x軸交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，若在x軸

下方的拋物線上存在一點(diǎn)C,使得AABC的最大面積為6,則a的值為()

2222

A.-5B.5C.-9D.9

18.M是拋物線y=x2+x-2在第三象限部分的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M向x軸和y軸作垂線，垂

足分別為P,Q,則四邊形OPMQ周長(zhǎng)的最大值為()

A.lB.2C.4D.6

題型6拋物線的交點(diǎn)與方程的關(guān)系

(2015.T10)

19.將拋物線y=-2x2+(m-3)x-l向上平移m(m>0)個(gè)單位長(zhǎng)度,與直線y=-x+3有且

只有一個(gè)交點(diǎn)，則m的值為()

A.4B.8

C.4A/2-2D.4A/2+2

20.在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線C:y=ax2+(3-2a)x+a-2與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則a

的值為()

94

A.-4B.0或-2

9

C.-2D.4或2

題型7二次函數(shù)圖象的變換

21.在平面直角坐標(biāo)系中，如果拋物線y=ax2(a/))不動(dòng),x軸向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，

y軸向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，那么關(guān)于新坐標(biāo)系下的拋物線，下列說(shuō)法正確的是()

3

A.新坐標(biāo)系下的拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2

B.新坐標(biāo)系下的拋物線與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3a+3

C.新坐標(biāo)系下的拋物線的頂點(diǎn)在第三象限

D.新坐標(biāo)系下的拋物線與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)

5/14

22.已知拋物線y=ax2-2x+l與x軸沒(méi)有交點(diǎn),將該拋物線向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，

再向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的拋物線的頂點(diǎn)一定在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

23.將拋物線L:y=-(x-b+l)2+b先向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)

度，得到拋物線L；若拋物線U的頂點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為5,則拋物線U的頂點(diǎn)坐標(biāo)

為()

A.(0,5)

B.(5,0)

C(0,-5)或(5,0)

D.(0,5)或(-5,0)

題型8二次函數(shù)圖象的實(shí)際應(yīng)用

24.某同學(xué)用相機(jī)拍攝記錄小球投擲實(shí)驗(yàn)，并繪制了示意圖如圖所示，其中x軸表

示小球滯空時(shí)間,y軸表示小球高度，小球的運(yùn)動(dòng)軌跡為拋物線，在第0.8s與第L2

s時(shí)，小球高度一致,已知點(diǎn)A(0,2),小球在最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4,則小球落地時(shí)，點(diǎn)

B的坐標(biāo)為)

A.(2.2,0)B.W+2,0)

C.(2,0)D.W+1,0)

25.如圖，某涵洞的截面是拋物線形，現(xiàn)測(cè)得水面寬AB=1.6m,涵洞頂點(diǎn)O與水面

的距離CO是2m,則當(dāng)水位上升1.5m時(shí)，水面的寬為)

6/14

A.0.4mB.0.6m

C.0.8mD.lm

7/14

參考答案

1.C口解析::拋物線開(kāi)口向上,“>。

b

:拋物線的對(duì)稱軸在X軸正半軸上"W>o,

.：a,b異號(hào)，.為<0.

:拋物線與了軸交于負(fù)半軸，.:c<0,

“Ac>0,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.

:拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,

b

?：-2a=l,艮[]b=-2a,

,：2a+b=0,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

由題圖可知，當(dāng)x=l時(shí)j=a+b+c〈0.

:拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,

?:點(diǎn)(2,4a+2Z>+c)與(0,c)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，

-,Aa+2b+c=c.

?'c<09

」4。+26+。<0,

.：(a+b+c)+(4a+2b+c)v0,即5a+36+2cv0.故選項(xiàng)C正確.

:拋物線y=ax2+b%+c與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

,為2_4。。>0,」4。。-62<0,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選C.

2.A口解析:丁拋物線開(kāi)口向下,對(duì)稱軸為直線x=m,

?:當(dāng)x>m時(shí)》隨x的增大而減小，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

:,當(dāng)x=0時(shí),y=l,

.：該函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1),故選項(xiàng)B正確；

'■y=-(x-my+m2+l,

.：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(優(yōu),-+1),

.:拋物線的頂點(diǎn)在拋物線y=x2+l上,故選項(xiàng)C正確；

2

^=-(x-m)+m2+i與的二次項(xiàng)系數(shù)都為一1,.：兩函數(shù)圖象的形狀相同,故選項(xiàng)

D正確.

故選A.

8/14

1-a

Fill

2X

3.A□解析:依題意，拋物線開(kāi)口向下,對(duì)稱軸為直線X=-?=-

a-1

:徐<0".三>0".對(duì)稱軸在J軸的右側(cè).

1

必=(1-a)2-4xia-(-l)=lW>0,

.:拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

?：頂點(diǎn)/一定在第一象限，故選A.

4.C□解析::?二次函數(shù)了=/+云+°,當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)的最小值為-3,

2

4x1xc-bb

.:該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，一二^=-3,工>0,

功<0.

丁當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)的最小值為-2,

?:當(dāng)x=0時(shí)，1=-2,

2

4x1xc-b

將c=-2代入4xi=-3,可得仇=2(舍去)也=-2.

故選C.

5.C口解析:依題意，當(dāng)x=0和x=4時(shí))的值都是-2,

0+4

.:拋物線的對(duì)稱軸為直線％=亍=2,

b

=

?:頂點(diǎn)為(2,〃),-2a=2,即b-4a.

:々〈0,4是函數(shù)的最大值.

的〃〈0,」加〈0,〃>0,

?:當(dāng)x=l時(shí)/=。-4。-2<0;當(dāng)x=2時(shí)J=4Q-8Q-2>0,

21

解得-XaV-5,故選C.

6.D口解析:北=-1〈0".拋物線開(kāi)口向下，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

2m

:,拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-^Uu=m,

.:當(dāng)m>0時(shí)，對(duì)稱軸在y軸右側(cè);當(dāng)m<0時(shí)，對(duì)稱軸在y軸左側(cè);當(dāng)m=0時(shí),對(duì)稱軸

為了軸，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

^w+?=l,-J=(2m)2-4x(-l)-?=4m2+4w=4m2+4(l-m)=4m2-4m+4=4^m-2^2+3>0,

?:拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

:拋物線的開(kāi)口向下,對(duì)稱軸為直線x=m,

9/14

,:二次函數(shù)的最大值為-"+2加2+〃;加2+〃

?77t+2-m=2>m-（m-l）=l,

,:當(dāng)x=m+2時(shí)，二次函數(shù)有最小值，最小值為-（加+2尸+2加（加+2）+〃=加2+小4,

.:加2+〃_（加2+/4）=4,故D選項(xiàng)正確.

故選D.

7.A□解析:A,B選項(xiàng)中，由二次函數(shù)天=以2+及的圖象可以判斷Q>O/〈O.C,D選項(xiàng)

中,由二次函數(shù)尸aN+及的圖象可以判斷a<0,b>0.

b

對(duì)于y=ax2+bx,當(dāng)y=Q時(shí)/導(dǎo)0=辦2+樂(lè),解得%!=0^2=-3.

b

對(duì)于y=ax+A,當(dāng)y=0時(shí)，解得x=-"故二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于x軸

上一點(diǎn).

故選A.

1

8.D□解析:根據(jù)題意,/=4q2-4a+l-4a（a-3）=4°2-4a+l-4a2+12a=8a+lg0,解得a<-?,

.：二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，且與y軸交于負(fù)半軸，與x軸最多有一個(gè)交點(diǎn)，

故二次函數(shù)圖象不可能經(jīng)過(guò)第一象限和第二象限.

9.B□解析:分情況討論：

當(dāng)a>0時(shí),c<0乃>0,拋物線開(kāi)口向上，與y軸交于負(fù)半軸，對(duì)稱軸在了軸左側(cè)；

當(dāng)。<0時(shí),c>0乃<0,拋物線開(kāi)口向下，與y軸交于正半軸，且對(duì)稱軸在y軸左側(cè).綜

上所述，只有B選項(xiàng)符合題意.

10.C□解析：

根據(jù)題意，拋物線工的大致圖象如圖所示.

可知”0,由于與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，故b2-4ac<0.

b

:對(duì)稱軸在.V軸右側(cè)".當(dāng)X<-3時(shí)）隨X的增大而增大.

當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)B在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，為>>2,故C選項(xiàng)正確.

10/14

11.A口解析::,二次函數(shù)尸3ax+o(.0),

-3a3

.：圖象的對(duì)稱軸為直線％=-豆"=5.

:?二次函數(shù)y=ax2_3ax+c(aM)的圖象與％軸交于點(diǎn)尸(修,0),點(diǎn)2(x2,0),_@_-3<xi<-2,

-5<X2<6.

故選A.

bb

12.D口解析:E+X2=8".拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-々=5=4,解得b=S.

之間的距離是6,

■-A,B的坐標(biāo)為(1,0),(7,0).

將(1,0)代入y=-x2+8x+c,得0=-l+8+c,解得c=-7,.^=-%2+8%-7.

將x=4代入.v=-N+8x-7,得y=9,

?：頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4,9).

故選D.

13.D□解析:根據(jù)題意，拋物線L的對(duì)稱軸是直線x=a,

1-a1

.：2a=〃,整理得2Q2+Q-1=0,解得

:%V。時(shí)沙隨X的增大而減小;當(dāng)x>a時(shí)隨x的增大而增大，

1111/1\77

22

.-.a>0,.-.a=2,.'.M為拋物線的頂點(diǎn)，且y=^x-2x+1=2vx-2)+s,.-.m=i

14.B□解析::,二次函數(shù),v=x2+bx+c的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別是(〃,0)和(-

ZJ+4,0),

n-n+4

.：對(duì)稱軸為直線x=2=2.

:拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-4必)和(4面,

?:點(diǎn)(-4,y1)到對(duì)稱軸的距禺大于點(diǎn)(4,竺)到對(duì)稱軸的距寓

,?拋物線開(kāi)口向上，號(hào)1>打

故選B.

15.C□解析:當(dāng)x=0時(shí))=-3,.：拋物線與.v軸的交點(diǎn)為(0,-3).

:拋物線與x軸的交點(diǎn)位于原點(diǎn)兩側(cè)，

”>0,即拋物線開(kāi)口向上.

11/14

：犬1<0<》2/1+》2>-4,

得x2-(-2)>-2-xi,.-.y2>yi.

■x3>x2,--y3>y2,

號(hào)3>>2>>1.故選C.

16.B□解析:：MxoJo)是拋物線y=ax2-4ax+c的頂點(diǎn)，且為為y=ax2-4ax+c的最大

值，

.：拋物線開(kāi)口向下.

由y=ax2-4ax+c可得拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2,

拋物線上的點(diǎn)到對(duì)稱軸距離越大，該點(diǎn)的縱坐標(biāo)越小，點(diǎn)(-5,為)到拋物線的對(duì)稱軸

的距禺4=2-(-5)=7,點(diǎn)(1,了2)到拋物線的對(duì)稱軸的距禺12=2-1=1,點(diǎn)(0%)到拋物線

的對(duì)稱軸的距離"3=2-0=2.汨2<"3<"1,故”>為>為.

17.D□解析:由拋物線片a(x+l)(x-5)可知，點(diǎn)Z的坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)8的坐標(biāo)為(5,0),

.：AB=6.

,?在x軸下方的拋物線上存在一點(diǎn)C,使得ZUBC的最大面積為6,

1

?：SZUBC=2Z8，〃=6,解得h=2,

根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì),拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-2),

2

將其代入拋物線的表達(dá)式中,-2=a(2+l)x(2-5),解得a=5,故選D.

18.D□解析:設(shè)點(diǎn)/的坐標(biāo)為(切,切2+吵2),根據(jù)題意,四邊形OPMQ為矩形，

?''C矩形oPMQ=2(OP+OQ)=2(-m-m2-m+2)=-2(m+l)2+6,

當(dāng)機(jī)=-1時(shí),C矩形。PMQmax=6.故選D.

19.C□解析:平移后的拋物線表達(dá)式為尸-2爐+(加-3)x-l+加.：與直線》=-%+3有且

只有一^交點(diǎn)".關(guān)于x的方程-2N+(加-3)x-l+加=-x+3有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

整理上述方程得-2N+(加-2)x-4+加=0/=(加-2)2-4x(-2)(加-4)=0,

解得加產(chǎn)4也-2,加2=-4也-2.

:打>0,」掰=4也-2,故選C.

9

20.D□解析:當(dāng)拋物線。與x軸有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),4Q2_12Q+9-4QO2)=0,解得〃與；