廣東深圳寶安區(qū)2024年八年級下學期期末數學試題（含答案或解析）

寶安區(qū)2023-2024學年第二學期學情調研問卷八年級數學

說明：

1.試題卷共6頁，答題卡共4頁.考試時間90分鐘，滿分100分.

2.請在答題卡上寫上學校、班級、姓名并填涂考生號，不得在其它地方作任何標記.

3.本卷選擇題1~10,每小題選出答案后，用25鉛筆將答題卷選擇題答題區(qū)內對應題目的答案

標號涂黑；非選擇題的答案（含作輔助線）必須用規(guī)定的筆，寫在答題卷指定的答題區(qū)內，寫

在本卷或其他地方無效.

第一部分選擇題

一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分，每小題有四個選項，其中只有一個是

正確的）

y

i.若分式丁+3有意義，則，滿足的條件是（）

A.y=3B.y=-3C.yw3D."-3

2.下列選項中，能使不等式乃＜13成立的是（)

A.t=1B.t=2C.t=3D.t=4

3.2024年4月30日17時46分，神舟飛船再一次按計劃準時準點從太空返回地面，中國航天員不斷在太

空創(chuàng)造新的紀錄.下列四個以航天為主題的圖案中，是中心對稱圖形的是（）

A.am+an-+B.ax2+bx+c=x^ax+b^+c

C.(x+l)(x-2)=x?-x-2D.(x+y)(x-y)=x2-y2

5.過某個多邊形的一個頂點可以引出4條對角線，這些對角線將這個多邊形分成（）個三角形.

A.4B.5C,6D.7

6.若一個點在第二象限，且它到x軸和y軸的距離分別為3和4,則這個點關于原點對稱點的坐標

為（）

A.（3,卜4）B.（-3,4）C.（4,-3）D.（-4,3）

第1頁/共7頁

hn

7.如果-+-=4,那么

8.下列命題中，假命題是（）

A.多邊形的外角和都等于360°

B.三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半

C.兩條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等

D.如果。。=0,那么。=0,b=0

9.又到了荔枝成熟的季節(jié)，家住寶安的張華同學想給遠在老家的親人們寄一些荔枝，某快遞公司規(guī)定每件

重量不超標的普通小件包裹的收費標準如下：

10元/千克6元/千克

說明：①單件包裹重量不超過5千克；

②運費計算方式：首重運費+續(xù)重x續(xù)重運費，首重為1千克，超過1千克即要續(xù)重，

續(xù)重以1千克為一個計重單位（不足1千克按1千克計算）

例如：寄出的包裹為3.7千克，則總運費為10+6x3=28元.

若張華想要寄7.5千克的荔枝回老家，在不考慮保價及其它優(yōu)惠活動的情況下，至少需要付運費（）元.

A.46B.52C.56D.60

10.在045。中，已知A8=AC=3指，BC=6,AC的垂直平分線DE分別交AB,AC于點。，E,

點廠和點G分別是線段。石和邊上的動點，則C/+R7的最小值為（）

81

二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）

11.因式分解：3X2-12=.

12.若不等式（加-3）y-1>0（m為常數,且加力3）的解集為"」刀，則根的取值范圍是

第2頁/共7頁

13.若關于尤的分式方程生]+一一=1有增根，則。的值為一.

x-88-x

14.如圖，在平面直角坐標系中，四邊形。4BC是平行四邊形，04=AB,A（2,2月），將對角線0B繞

點。順時針旋轉60。交的延長線于點F,則點/的坐標為.

ZBAC=150°,以為邊作等邊AABD,連接

DC,若AE平分/D4C交于點E,則BE的長為

三、解答題（本題共7小題，其中第16題6分，第17題6分，第18題8分，第19題8

分，第20題8分，第21題9分，第22題10分，共55分）

3x-l<2（x+l）

16.解不等式組：《15，并把它的解集在數軸上表示出來.

—x+6>2—x

[33

2a(1a—3]

17.先化簡，再求值：-1+―-,其中。=2024.

a2-9(a+3J

18.已知UABC.

第3頁/共7頁

AA

Z圖1U圖2

(1)如圖1,請用無刻度的直尺和圓規(guī)按要求作圖：作線段AC的中點D(不寫作法，保留作圖痕跡)；

(2)如圖2,在(1)的條件下，點E為邊上一點且.EC=2BE,連接AE,取AE的中點R連

接。尸、DE、BF,求證：四邊形BED尸為平行四邊形.

19.人工智能的快速發(fā)展帶動了物流行業(yè)的高速發(fā)展，給我們的生活帶來了很多便利.某快遞公司計

劃購進A,8兩種型號的快遞分揀機器人，已知A型號分揀機器人的單價比B型號分練機器人的單價

少3萬元，且用120萬元購買A型號分揀機器人的數量是用180萬元購買3型號分揀機器人的數量的

2倍.

(1)43兩種型號分揀機器人的單價各是多少？

(2)若該快遞公司購進A,8兩種型號的快遞分揀機器人共50個，每個A種型號的快遞分揀機器人每天

能分揀0.8萬個包裹，每個3種型號快遞分揀機器人每天能分揀1.2萬個包裹，若該快遞公司每天至少要

分揀44萬個包裹，求最多購進A種型號分揀機器人多少個？

20.在學習《圖形的平移》后，某數學興趣小組開展了在平面直角坐標系中研究直線平移的探究活動.

素

材兩點確定一條直線

1

素

材圖形平移的本質就是點的平移

2

素

材平移不改變直線的傾斜程度

3

一次函數y=2x+4,與x軸的交點為A,與y軸的交點為8,若該函數圖象向左

任

平移5個單位長度，此時點A的對應點C的坐標為______，點B的對應點為D的

務1

坐標為______,并求出平移后的函數表達式；

第4頁/共7頁

任

一次函數y=-3x+4,與X軸的交點為E,與y軸的交點F,將該函數向右平移

務

加個單位長度，線段E尸掃過的圖形面積為12,請求出平移后的函數表達式.

2

21.【閱讀理解】

我們把形如。%+勿=。（a、。均為整數，且.匕70）的方程稱為二元一次整系數方程.若。=1,則

y>010

可以用以下方法確定其正整數解的數量，例如.x+3y=10,則x=10-3y,：〈；。^,：.0<y<—,

10-3j>0'3

x=7（x=4fx=1

???y為正整數，，y=l,2,3,故原方程的正整數解有3個，分別為<〈C，<：

"1U=2[y=3

9-2x2

若。wOwl,則可以用以下方法確定其正整數解的數量，例如2x+3y=9,貝。y=-------=3一一%,設

-33

3^>03

x=3k（左為正整數），則y=3—2左，……：.0<k<—,:.k=l,故原方程的正整數解有1

3-2^>02

個，為〈\x=3..

【問題解決】

（1）結合上述內容，請直接寫出4x+2y=10的所有正整數解；

（2）若關于x和y的二元一次方程x+2y=相有且只有一個正整數解，請求出機的值；

【應用遷移】

（3）假期臨近，吳老師為表彰本學年積極參與班級活動的學生，委托采購小組購買獎品.組長小麗匯報稱：

“我們購買了兩種類型的筆記本，其中A類型筆記本7本，B類型筆記本12本，總計花費84元，由于未索

取收銀小票，因此暫不能確定兩種筆記本的具體單價.”吳老師聽后，敏銳地指出：兩種類型筆記本的單價

不可能同時為整數.請你結合上述內容分析吳老師的判斷是否正確.

22.【材料背景】

如圖1,在048。中，以邊為底邊向外作等腰RZOAB。，其中乙4。8=90°,且那么點

D就被稱為邊的“外展等直點”.

第5頁/共7頁

DA

圖1

【建構與探究】

如圖2,正方形網格是由邊長為“1”的正方形組成，點。、A、B、C都在格點上，ZOAB=90°,點C為

圖2

(1)連接。4、OB、AB,請分別作邊。4、AB的“外展等直點”尸和。，連接尸C、QC和尸。，則

△PCQ的形狀為

(2)如圖3,點E、尸在格點上，請在線段E戶上的格點中任取一點。(不與點A重合)，連接BD,

分別作口的邊。。和邊3。的“外展等直點”G、H,連接GC、和G”,請判斷DGUC的形狀,

并說明理由.

圖3

【應用與拓展】

(3)如圖4,點N為平面內某三角形兩條邊的“外展等直點“，已知”(-2,-1),N(3,l),請直接寫

第6頁/共7頁

出該三角形第三條邊的中點K的坐標.

斗

?N

To

M

圖4

第7頁/共7頁

寶安區(qū)2023-2024學年第二學期學情調研問卷八年級數學

說明：

1.試題卷共6頁，答題卡共4頁.考試時間90分鐘，滿分100分.

2.請在答題卡上寫上學校、班級、姓名并填涂考生號，不得在其它地方作任何標記.

3.本卷選擇題1~10,每小題選出答案后，用25鉛筆將答題卷選擇題答題區(qū)內對應題目的答案

標號涂黑；非選擇題的答案（含作輔助線）必須用規(guī)定的筆，寫在答題卷指定的答題區(qū)內，寫

在本卷或其他地方無效.

第一部分選擇題

一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分，每小題有四個選項，其中只有一個是

正確的）

y

i.若分式丁+3有意義，則，滿足的條件是（）

A.y=3B.y=-3C."3D."-3

【答案】D

【解析】

【分析】此題考查了分式有意義的條件，根據分式有意義分母不為零，進行計算即可，解題的關鍵是列出

不等式并正確求解.

【詳解】由題意得，y+3^0,

解得：尸-3,

故選：D.

2.下列選項中，能使不等式7/<13成立的是（）

A.f=lB.t=2C.t=3D.7=4

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了不等式的解集，將7/<13求解，得出解集，再比較即可，解題的關鍵是求出不等式

的解集.

【詳解】解：：7/<13,

.13

../<--,

7

第1頁/共21頁

A、由/'=1＜一，符合題意；

7

13

B、由/=2〉一，不符合題意;

7

13

C、由/=3〉一，不符合題意；

7

13

D、由/=4〉一，不符合題意;

7

故選：A.

3.2024年4月30日17時46分，神舟飛船再一次按計劃準時準點從太空返回地面，中國航天員不斷在太

空創(chuàng)造新的紀錄.下列四個以航天為主題的圖案中，是中心對稱圖形的是()

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查了中心對稱圖形，根據中心對稱圖形的定義判斷即可，解題的關鍵是正確理解中心對

稱圖形的定義：把一個圖形繞某一點旋轉180。，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形

就叫做中心對稱圖形可得答案.

【詳解】A、圖形繞某一點旋轉180。后與原來的圖形不重合，所以不是中心對稱圖形，不符合題意；

B、圖形繞某一點旋轉180。后與原來的圖形不重合，所以不是中心對稱圖形，不符合題意；

C、圖形繞某一點旋轉180。后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形，符合題意；

D、圖形繞某一點旋轉180°后與原來的圖形不重合，所以不是中心對稱圖形，不符合題意；

故選：C.

4.下列從左邊到右邊的變形中，屬于因式分解的是()

A.am+an=a(m+n^B.ax2+bx+c=x^ax+b)+c

C.(x+l)(x-2)=x?-%-2D.(x+y)(x-y)=x2-y2

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了因式分解，根據因式分解的定義(把一個多項式化為幾個最簡整式的乘積的形式，這種

式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫做把這個多項式分解因式)逐項判斷即可得.

【詳解】解：A.。根+皿=。(加+")是因式分解；

第2頁/共21頁

B.。%2+笈+。=》(辦+0)+。最后運算是整式加法，不是因式分解；

C.(x+l)(x-2)=x?-%-2,是整式的乘法，不是因式分解；

D.(x+y)(x-y)=x2-儼，是整式的乘法，不是因式分解；

故選：A.

5.過某個多邊形的一個頂點可以引出4條對角線，這些對角線將這個多邊形分成()個三角形.

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查了多邊形的對角線問題，熟練掌握過”邊形的一個頂點，可以引出("-3)條對角線，

這些對角線把該多邊形分成(n-2)個三角形是解題的關鍵.

【詳解】解：???某個多邊形的一個頂點可以引出4條對角線，

該多邊形的邊數為4+3=7,

這些對角線將這個多邊形分成7-2=5個三角形.

故選B.

6.若一個點在第二象限，且它到x軸和y軸的距離分別為3和4,則這個點關于原點對稱點的坐標

為()

A.(3,卜4)B.(-3,4)C.(4,-3)D,(-4,3)

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查的是點的坐標的幾何意義：點到x軸的距離為點的縱坐標的絕對值，到y(tǒng)軸的距離為點的

橫坐標的絕對值.

尸在第二象限，那么點尸的橫縱坐標的符號為負，正；進而根據尸到x軸的距離為縱坐標的絕對值.到y(tǒng)軸

的距離為橫坐標的絕對值判斷出具體坐標.

【詳解】解：第二象限內的點橫坐標小于0,縱坐標大于0；

???到x軸的距離是3,

其縱坐標為3,

到y(tǒng)軸的距離為4,

其橫坐標為-4,

第3頁/共21頁

坐標是（一4,3）.

...關于原點對稱點的坐標為（4,-3）

故選：C.

ba（〃+b）

7.如果一+—=4,那么:——&的值為（）

ab（a-by

A.1B.1.5C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了分式求值，根據題意得出a2+b2=4ab代入分式進行計算即可求解.

【詳解】解：V-+^=4

ab

...a=4,gpa1+b~=4ab

ab

（a+0）2a2+b~+2ab4-ab+lab

----------=—----------------=---------------=3

（?！猙）~a~+b^-lab4ab-lab

故選：D.

8.下列命題中，假命題是（）

A.多邊形的外角和都等于360°

B.三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半

C.兩條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等

D.如果。。=0,那么a=0,b=0

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了命題與定理的知識，利用多邊形的外角和，三角形的中位線定理，全等三角形的判定,

實數的性質，分別判斷后即可確定正確的結論.

【詳解】解：A、多邊形的外角和都等于360。，故原命題是真命題，故該選項不符合題意；

B、三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半，故原命題是真命題，故該選項不符合題意；

C、兩條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等，故原命題是真命題，故該選項不符合題意；

D、如果。。=0,那么a=0或。=0,故原命題是假命題，故該選項符合題意；

故選：D.

第4頁/共21頁

9.又到了荔枝成熟的季節(jié)，家住寶安的張華同學想給遠在老家的親人們寄一些荔枝，某快遞公司規(guī)定每件

重量不超標的普通小件包裹的收費標準如下：

首重續(xù)重

10元/千克6元/千克

說明：①單件包裹重量不超過5千克；

②運費計算方式：首重運費+續(xù)重x續(xù)重運費，首重為1千克，超過1千克即要續(xù)重，

續(xù)重以1千克為一個計重單位（不足1千克按1千克計算）

例如：寄出的包裹為3.7千克，則總運費為10+6x3=28元.

若張華想要寄7.5千克的荔枝回老家，在不考慮保價及其它優(yōu)惠活動的情況下，至少需要付運費（）元.

A.46B.52C.56D.60

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了列代數式，根據表中給出的運費計算方式應當分5千克和2.5千克，然后計算運費即

可，解題的關鍵是讀懂題意，理解表中給出的運費計算方式.

【詳解】解：張華想要寄7.5千克的荔枝回老家，根據表中給出的運費計算方式應當分5千克和2.5千

克，

則總運費為10+6義（5—l）+10+6x（3—1）=56（元），

故選：C.

10.在口48。中，已知AB=AC=3y/5>BC=6,4c的垂直平分線分別交AB,AC于點O,E,

點廠和點G分別是線段。E和BC邊上的動點，則CP+R7的最小值為（）

A.376B.6D.5

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查垂直平分線的性質，垂線段最短,勾股定理，等腰三角形的性質，由垂直平分

第5頁/共21頁

AC,得AF=CF,則CE+EG=AE+EG,當點A、F、G三點共線，且AGLBC時，CF+FG

有最小值AG,最后由勾股定理即可求解，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵.

【詳解】???。石垂直平分AC,

AF=CF,

：.CF+FG=AF+FG,

當點A、F、G三點共線，且AGJ_8C時，C/+FG有最小值AG,

如圖，

AB=AC,

：.BG=GC=-BC=3,ZAGB=ZAGC=90°,

2

由勾股定理得：AGZAC-GC?=小石『―32=6,

CF+FG有最小值AG=6,

故選：B.

二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）

11.因式分解：3d_12=.

【答案】3（x+2）（x-2）

【解析】

【分析】此題主要考查了提取公因式法與公式法的綜合運用，正確運用平方差公式是解題關鍵.首先提取公

因式3,再利用平方差公式分解因式即可.

【詳解】解：原式=3（必一4）

=3（x+2）（x-2）,

故答案為：3（x+2）（x-2）.

12.若不等式（加-3）丁-1>0（m為常數，且加力3）的解集為y<-i—,則根的取值范圍是

m-3

【答案】m<3##3>m

第6頁/共21頁

【解析】

【分析】本題考查不等式的基本性質，掌握不等式兩邊同時乘以或除以同一個負數，不等號的方向改變是解

題的關鍵.

【詳解】解：由題可知，m-3<0,

解得：m<3,

故答案為：m<3.

13.若關于尤的分式方程上望+——=1有增根，則。的值為一.

x-88-x

【答案】-14

【解析】

【分析】本題考查了增根的概念，利用增根的意義即可求解，正確理解增根的含義是解題的關鍵.

2x+〃—2—x—8，

x=-a-6,

?.?關于X的分式方程生］+一一=1有增根，

x-88-x

??x——ci—6=8,

解得：a=-14,

故答案為:-14.

14.如圖，在平面直角坐標系中，四邊形Q4BC是平行四邊形，0A=A5,4（2,273）,將對角線08繞

點。順時針旋轉60°交BC的延長線于點F,則點歹的坐標為.

【分析】連接AC,過歹作軸于點歹，由。4=A3證明四邊形。4BC是菱形，則

第7頁/共21頁

OA=AB=OC,ZAOB=ZBOC=-ZAOC,根據兩點間的距離可證口。4c是等邊三角形，最后由勾股

2

定理和30°所對直角邊是斜邊的一半即可求解.

【詳解】如圖，連接4C,過歹作網軸于點月，

:四邊形。4BC是平行四邊形，0A=A3,

.??四邊形。4BC是菱形，

OA=AB=OC,ZAOB=NBOC=-ZAOC,

2

VA（2,2V3）,

???OA=^22+（2V3）2=4，

OA=OC=4,

.-.C（4,0）,

???AC="2—4『+（2廚=%

OA=OC=AC=4,

：.UOAC是等邊三角形，

ZAOC=60°,

ZAOB=NBOC=-ZAOC=30°,

2

由旋轉性質可知：ZBOF=60°,

ZCOF=NBOF—ZBOC=60°-30°=30°,NOBC=30°,

/.ZBFO=90°,

NDFC=ZCOF=30°,

CF=-OC=2,

2

CD=-CF=1,則OD=OC—C￡>=4—1=3,

2

在中，由勾股定理得：DF=Jeb?一CD。=5

第8頁/共21頁

.-.F（3,-V3）,

故答案為：（3,-V3）.

【點睛】本題考查了菱形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，勾股定理，30。所對直角邊是斜邊的一

半，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵.

15.如圖，在等腰口ABC中，AB=AC=6,ZBAC=150°,以AB為邊作等邊AABD,連接

DC,若AE平分交于點E,則3E的長為.

【答案】3V2+V6

【解析】

【分析】本題考查等邊三角形的性質，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理，先根據等邊三角形得到

AB=BD=AD=6=AC,ABAD=ZABD=60°,即可得到ND4c=90°,然后根據三線合一得到

ED=EC,然后分別在RtOBO尸和中，利用勾股定理解題即可.

【詳解】解：過點。作。于點R連DE,

?：△A3。是等邊三角形，

AB=BD=AD=6=AC,/BAD=ZABD=60°,

又：ZBAC=150°,

ZABC=ZACB=15°,ADAC=ABAC-/BAD=150?！?0°=90°,

ZDBE=45°,

BF=DF,

DFLBC,

ZBFD=90°,

BF2+DF2=BD?，即2BF?=BD2，

；?DF=BF=—BD=372，

2

又???AD=AC,AE平分/D4C,

Z.AE垂直平分DC,ZACD=ZADC=45°

第9頁/共21頁

:.ED=EC,

???/EDC=/ECD=ZACD-ZACB=45。-15。=30°,

AZFED=60°,即//?！?30。，

???ED=2EF,

又：ED2-EF2=DF2，即3EF2=DF2，

解得EF=^DF=a，

3

?*-BE=BF+EF=372+V6.

D

三、解答題（本題共7小題，其中第16題6分，第17題6分，第18題8分，第19題8

分，第20題8分，第21題9分，第22題10分，共55分）

3x-l<2（x+l）

16.解不等式組：,15-并把它的解集在數軸上表示出來.

[33

11II?11B■II?Ilin童.

"5"3-2"1012345

【答案】-2<x43,在數軸上表示見解析

【解析】

【分析】本題主要考查了一元一次不等式組的求解，以及用數軸表示解集，熟練掌握解不等式組的方法與步

驟是關鍵.

分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到來確定

不等式組的解集.

3x-l<2（x+l）①

【詳解】解:15

—x+6>2——x?

133

解不等式①得3,

解不等式②得%>-2,

不等式組的解集為：-2<x<3,

第10頁/共21頁

數軸上表示為:

17.先化簡，再求值：一—--？1--------j,其中a=2024.

a--9Ia+3)

1

【答案］--

6Z—32021

【解析】

【分析】本題考查了分式的化簡求值，原式利用完全平方公式、平方差公式、分式的混合運算進行化簡運算,

得出最簡結果，再代入a=2024,即可求解.

2a\a—3

【詳解】解：丁三+A1+-------

a-9(a+3

2a〃

____________x__+__3

(a+3)(〃-3)2a

1

a-3，

1

當a=2024時，原式=---

2024-32021

18.已知口ABC.

（1）如圖1,請用無刻度的直尺和圓規(guī)按要求作圖：作線段AC的中點。（不寫作法，保留作圖痕跡）;

（2）如圖2,在（1）的條件下，點E為邊上一點且.EC=2BE,連接AE,取AE的中點R連

接。DE、BF,求證：四邊形BED尸為平行四邊形.

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

【分析】本題考查線段的垂直平分線的作法，三角形中位線的性質，平行四邊形的判定定理，掌握三角形的

中位線定理是解題的關鍵.

（1）利用基本作圖一作已知線段的垂直平分線的作法作圖即可;

（2）先證明是DACE的中位線，得到DR口EC,DF=BE,即可得到結論.

第11頁/共21頁

【小問1詳解】

解：點。即為所作;

【小問2詳解】

證明：EC=2BE,

AEB=-BC,EC=-BC,

33

又，：D,E是AC,AE的中點,

DFHEC,DF=-EC=BE,

2

.??四邊形BEDF為平行四邊形.

19.人工智能的快速發(fā)展帶動了物流行業(yè)的高速發(fā)展，給我們的生活帶來了很多便利.某快遞公司計

劃購進4B兩種型號的快遞分揀機器人，已知A型號分揀機器人的單價比B型號分練機器人的單價

少3萬元，且用120萬元購買A型號分揀機器人的數量是用180萬元購買8型號分揀機器人的數量的

2倍.

(1)43兩種型號分揀機器人的單價各是多少？

(2)若該快遞公司購進A,B兩種型號的快遞分揀機器人共50個，每個A種型號的快遞分揀機器人每天

能分揀0.8萬個包裹，每個3種型號快遞分揀機器人每天能分揀L2萬個包裹，若該快遞公司每天至少要

分揀44萬個包裹，求最多購進A種型號分揀機器人多少個？

【答案】(1)A型號分揀機器人的單價是1.5萬元，B型號分揀機器人的單價是4.5萬元

(2)最多購進A型號分揀機器人40個

【解析】

【分析】本題考查了分式方程的應用，一元一次不等式的應用，根據題意找到等量關系和不等關系是解題

的關鍵.

(1)設A型號分揀機器人的單價是x萬元，B型號分揀機器人的單價是(X+3)萬元，根據“用120萬元

購買A型號分揀機器人的數量是用180萬元購買B型號分揀機器人的數量的2倍”列出方程并解答；

(2)設購進A型號分揀機器人機個，則購進B型號分揀機器人(50-租)個，根據“快遞公司每天至少要

分揀44萬個包裹”列出不等式并解答.

【小問1詳解】

第12頁/共21頁

設A型號分揀機器人的單價是了萬元，B型號分揀機器人的單價是（x+3）萬元,

由題意，得型=幽、2,

xx+3

解得：x=1.5,

經檢驗x=1.5是原方程的解，且符合題意,

x+3=4.5,

答：A型號分揀機器人的單價是1.5萬元，B型號分揀機器人的單價是4.5萬元;

【小問2詳解】

設購進A型號分揀機器人m個，則購進B型號分揀機器人（50-m）個,

由題意，得0.8根+12x（50—根）244,解得：加＜40

答：最多購進A型號分揀機器人40個.

20.在學習《圖形的平移》后，某數學興趣小組開展了在平面直角坐標系中研究直線平移的探究活動.

素

材兩點確定一條直線

1

素

材圖形平移的本質就是點的平移

2

素

材平移不改變直線的傾斜程度

3

一次函數y=2x+4,與無軸的交點為A,與》軸的交點為B,若該函數圖象向左

任

平移5個單位長度，此時點A的對應點。的坐標為______，點B的對應點為。的

務1

坐標為______,并求出平移后的函數表達式；

任

一次函數y=-3x+4,與X軸的交點為E,與y軸的交點F,將該函數向右平移

務

冽個單位長度，線段E尸掃過的圖形面積為12,請求出平移后的函數表達式.

2

第13頁/共21頁

【答案】任務1：(-7,0),(-5,4)；平移后的函數表達式為y=2x+14

任務2：平移后的函數表達式為y=-3x+13

【解析】

【分析】任務1：由y=2x+4得A(-2,0),8(0,4),再由函數圖象向左平移5個單位長度得

C(-7,0),￡>(-5,4),y=2x+14；

任務2：當x=0時，y=4,則/(0,4),由線段E尸掃過的圖形面積為12,可得根=3,最后由一次函

數的平移即可求解；

本題考查了一次函數的圖象與性質，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵.

【詳解】任務1：由y=2x+4得，

當y=0時，x=-2；當x=0時，y=4,

.?.A(-2,0),8(0,4),

?.?該函數圖象向左平移5個單位長度，

(-7,0),￡>(-5,4),

平移后的函數表達式為y=2(x+5)+4=2x+14,

故答案為：(-7,0),(—5,4)；

任務2：當％=0時，y=4,

F(0,4),則O/=4,

,/線段EF掃過的圖形面積為12,

mxOF=12,

?'?加=3,

??,平移不改變直線的傾斜程度，

?,?設平移后的函數表達式為y=-3x+d,

將/(3,4)代入得4=—3*3+1,解得d=13,

；?設平移后的函數表達式為y=-3x+13.

21.【閱讀理解】

第14頁/共21頁

我們把形如ax+6y=cQ、b均為整數，且.。工0)的方程稱為二元一次整系數方程.若。=1,則

>0,；.0<”叱

可以用以下方法確定其正整數解的數量,例如.x+3y=10,則x=10-3y,；

[10-3y>0-3

x=7x=4（尤=1

為正整數，■,-y=l,2,3,故原方程的正整數解有3個，分別為],y=2'|y=3

>=1

y=^^=3--x,設

若。W匕wl,則可以用以下方法確定其正整數解的數量，例如2x+3y=9,則

-33

3%〉03

x=3k(人為正整數)，則y=3—2左，?/,0<A:<—,:.k=L故原方程的正整數解有1

3—2%>02

x=3

個，為<

y=l

【問題解決】

(1)結合上述內容，請直接寫出4x+2y=10的所有正整數解;

(2)若關于x和y的二元一次方程x+2〉=根有且只有一個正整數解，請求出機的值；

【應用遷移】

(3)假期臨近，吳老師為表彰本學年積極參與班級活動的學生，委托采購小組購買獎品.組長小麗匯報稱：

“我們購買了兩種類型的筆記本，其中A類型筆記本7本，B類型筆記本12本，總計花費84元，由于未索

取收銀小票，因此暫不能確定兩種筆記本的具體單價.”吳老師聽后，敏銳地指出：兩種類型筆記本的單價

不可能同時為整數.請你結合上述內容分析吳老師的判斷是否正確.

x=1[x=2

【答案】(1)〈,(2)m=3(3)吳老師的判斷正確

y=31y=1

【解析】

【分析】本題主要考查了二元一次方程的解，解題的關鍵是理解題意，根據題意，找到解題思路.

(1)根據題意，可得y=5-2%,根據x、y均為正整數，即可求解；

(2)根據正整數解的解法計算即可；

(3)設A類型筆記本的單價為。元，8類型筆記本的單價為萬元，根據題意，可得7a+126=84,根據

a、匕均為正整數，即可求解.

【詳解】(1)?；4x+2y=10,

/.y=5-2x,

第15頁/共21頁

???x、y均為正整數,

%=1[x=2

y=31y=1

(2)解："：x^m-2y,

?；y〉0,

y=1,

XVx>0

m-2>0,

/.m>2,

:二元一次方程x+2y=m有且只有一個正整數解，

m=3；

設A類型筆記本的單價為。元，8類型筆記本的單價為。元，根據題意，

12

可得7a+12/?=84,即a=12——b,

7

,:a、。均為正整數,

設b=1k（%為正整數），則a=12—12左，

」7k>0

?[12-12左〉0’

?:左不能為整數，

故原方程無正整數解.

.??吳老師的判斷正確.

22.【材料背景】

如圖1,在048。中，以邊為底邊向外作等腰RZ0AB。，其中乙4。8=90°,且那么點

D就被稱為邊的“外展等直點”.

圖1

【建構與探究】

第16頁/共21頁

如圖2,正方形網格是由邊長為“1”的正方形組成，點。、A、B、C都在格點上，/。43=90°,點C為

0B的中點.

圖2

(1)連接。4、OB、AB,請分別作邊。4、AB的“外展等直點”尸和。，連接PC、QC和尸。，則

△PCQ的形狀為

(2)如圖3,點￡、P在格點上，請在線段石尸上的格點中任取一點。(不與點A重合)，連接。。、BD,

分別作口。8。的邊。。和邊3。的“外展等直點”G、H,連接GC、和G”,請判斷nGHC的形狀,

并說明理由.

圖3

【應用與拓展】

(3)如圖4,點M、N為平面內某三角形兩條邊的“外展等直點"，已知”(-2,-1)，N(3,l),請直接寫

出該三角形第三條邊的中點K的坐標.