高一數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)：巧妙借助復(fù)數(shù)的幾何意義求與模有關(guān)的范圍與最值問(wèn)題 （三大題型）解析版

重難點(diǎn)07巧妙借助復(fù)數(shù)的幾何意義求與模有關(guān)的范圍

與最值問(wèn)題

【題型歸納目錄】

題型一：?jiǎn)文ｉL(zhǎng)最值問(wèn)題

題型二：多模長(zhǎng)之和差最值問(wèn)題

題型三：模長(zhǎng)的范圍問(wèn)題

【方法技巧與總結(jié)】

求復(fù)數(shù)模的范圍與最值問(wèn)題是熱點(diǎn)問(wèn)題，其解題策略是：

（1）把復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化、直觀化、熟悉化，即將復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問(wèn)題來(lái)處理，轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)范圍

內(nèi)，求模的范圍與最值問(wèn)題來(lái)解決；

（2）發(fā)掘問(wèn)題的幾何意義，利用幾何圖形的直觀性來(lái)解答，把陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題來(lái)解

答；

（3）利用三角函數(shù)解決.

【典型例題】

題型一：?jiǎn)文ｉL(zhǎng)最值問(wèn)題

【典例1-1】（2024.江西.模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z-i|=|z|,則忖的最小值為C）

13

A.—B.~C.—D.1

424

【答案】B

【解析】設(shè)2=彳+W（蒼、€11）,

^|z-i|=|z|^>：|x+（y-l）i|=|x+yi|,/.x2+（_y-l）2=x2+/,

整理可得：y=g,；.z=x+；i,

.'.|z|=^2+|>!（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)），.1z|的最小值為

故選：B.

【典例1-2】（2024.全國(guó).模擬預(yù)測(cè)）設(shè)z是復(fù)數(shù)且|z-l+2i|=l,則目的最小值為（）

A.1B.73-1C.V5-1D.75

【答案】C

【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義可知，|z-l+2i|=l表示復(fù)平面內(nèi)以（1,-2）為圓心，1為半徑的圓，而目表

示復(fù)數(shù)z到原點(diǎn)的距離，

由圖可知，|z|mh1M+（-2）2一1=6一1.

故選：C

【變式1-1］（2024?陜西榆林?高二陜西省神木中學(xué)校考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)2=犬+何（羽》€(wěn)11"為虛數(shù)單

位）滿(mǎn)足|z-4i|=2,則目的最小值為（）

A.2B.1C.72D.4

【答案】A

【解析】因?yàn)閨z—4i|=2,

所以復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以（。,4）為圓心，2為半徑的圓，

所以ML1n=4-2=2.

故選：A

【變式1-2］（2024.全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足：|z|=|z-（2+2i）|,則目的最小值是（）

A.1B.&C.V3D.2

【答案】B

【解析】由復(fù)數(shù)模的幾何意義知滿(mǎn)足忸=|z-（2+2i）|的z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在以點(diǎn)0（0,0）和A（2,2）為端點(diǎn)的線段的

中垂線/,Q4的中點(diǎn)為3CM）,

|z|的最小值就是原點(diǎn)到直線I的距離即為|。目=屈,

故選：B.

【變式1-3］（2024?上海閔行?上海市七寶中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若|z+l-i|=l,則目的最大值與最小值的和

為.

【答案】2夜

【解析】由幾何意義可得：復(fù)數(shù)z表示以為圓心的半徑為1的圓，

貝U*[0+n〔九*2萬(wàn)

故答案為：20

【變式1-4](2024.高一課時(shí)練習(xí))已知復(fù)數(shù)z=cose+isin6(0vew27T),求。為何值時(shí),|l-i+z|取得最

大值和最小值，并求出最大值和最小值.

【解析】11-i+z1=1cos0+1+i(sin-1)|

=J(cose+l)2+(sine_1)2

=J2(cos夕一sin夕)+3

二J近c(diǎn)os"：)+3.

V0<6><2^-,

7_____________

.?.當(dāng)e=W不時(shí)，li-i+z|111ax=也0+3=J(3+i)2=應(yīng)+1；

當(dāng)。=與時(shí)，11-i+zL.=J(工I)「近-2

題型二：多模長(zhǎng)之和差最值問(wèn)題

【典例2-11著名的費(fèi)馬問(wèn)題是法國(guó)數(shù)學(xué)家皮埃爾?德費(fèi)馬(1601-1665)于1643年提出的平面幾何極值問(wèn)

題：“已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.”費(fèi)馬問(wèn)題中的所求點(diǎn)稱(chēng)為

費(fèi)馬點(diǎn)，已知對(duì)于每個(gè)給定的三角形，都存在唯一的費(fèi)馬點(diǎn)，當(dāng)，的三個(gè)內(nèi)角均小于120。時(shí)，則使得

NAaB=ZBPC=NCR4=120。的點(diǎn)尸即為費(fèi)馬點(diǎn).根據(jù)以上材料，若zeC,貝ij|z-2|+|z+2|+|z+2i|的最小

值為()

A.273-2B.2A/3+2C.73-1D.6+1

【答案】B

【解析】設(shè)2=%+/(毛yWR),則|z-2|+|z+2|+|z+2i|表示點(diǎn)Z(x,y)到ABC三頂點(diǎn)A(-2,0)、8(2,0)、

C(0,-2)的距離之和.

依題意結(jié)合對(duì)稱(chēng)性可知的費(fèi)馬點(diǎn)P位于虛軸的負(fù)半軸上，且44尸8=120,則/P49=/P3O=30.

此時(shí)1PAi+|P@+|PC|=x2+(2-2tan30)=2退+2.

故選：B.

【典例2-2](2024.高一課時(shí)練習(xí))已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z|=3,貝UIz+41+1?-4|的取值范圍是.

【答案】[8,10]

【解析】復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z|=3,表示以原點(diǎn)為圓心，以3為半徑的圓，

則|z+4|+|z-4|的表示圓上的點(diǎn)到(-4,0)和(4,0)的距離,

由圖象可知，

當(dāng)點(diǎn)在E,G處最小，最小為:4+4=8,

當(dāng)點(diǎn)在D,尸處最大，最大為2行百=10，

則|2+4|+|2-4|的取值范圍是[8,10],

故答案為：[8,10]

【變式2-1](2024.全國(guó).高三專(zhuān)題練習(xí))若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足目=2,則|z+3|+|z-3|的取值范圍是.

【答案】[6,2拒]

【解析】由于復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足忖=2,故復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在圓心為原點(diǎn)，半徑為2的圓上，設(shè)圓上任意一點(diǎn)的坐

標(biāo)為(2cose2sin6),ee[0,27t)[z+3|+|z-3|表示圓上的點(diǎn)到(3,0)和(-3,0)兩點(diǎn)距離之和,即

^(2cos6?-3)2+(2sin6>)2+J(2cos6?+3『+(2sin行=J13-12cos6+J13+12cos6①，①式平方得

26+27169-144cos2>由于cos?6>e[0,l],169-144cos2Qe[25,169],所以

V169-144COS26?e[5,13],所以26+2,169-144cos26e[36,52],所以

J13-12cosd+J13+12cos，F(xiàn)16,2^/13J.

故答案為：[6,2岳].

【變式2-2](2024.遼寧沈陽(yáng).高一東北育才學(xué)校?？?已知復(fù)數(shù)2=。+歷(02eR)滿(mǎn)足|z+l|=|z+l—8i],求

|z+l+i|+|z-5-i|的最小值_____.

【答案】10

【解析】復(fù)數(shù)z=a+bi(a,beR),由|z+l|=|z+l-8i|,即|(a+l)+回=|(a+l)+(6—8川,

于是得Jm+iy+b?=J(a+1)?+(6—8)2,整理得6=4,oeR,即z=a+4i,

|z+1+i|+|z—5—i|=|(￡?+1)+5i|+|(G—5)+3i|=J(a+1)?+5~+J(a—5)~+(—3)2表示點(diǎn)尸(a,0)與點(diǎn)A(—1，-5)、

8(5,3)距離的和，

顯然點(diǎn)尸在x軸上，而線段與無(wú)軸相交，因此，|z+l+i|+|z-5-i|HB4|+|PSHAB|=10,

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為線段AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)取“=”，

所以|z+l+i|+|z-5-i|的最小值是10.

故答案為：10

題型三：模長(zhǎng)的范圍問(wèn)題

【典例3-1】(2024.高三.江蘇南通.開(kāi)學(xué)考試)設(shè)復(fù)數(shù)z=l-i,Z2=cos6+isin6,其中。€[0,相，若復(fù)數(shù)

z=[-Z2為實(shí)數(shù)，貝,匕+Zzl的范圍為.

【答案】手[拒-1,問(wèn)/卜1+及，石]

【解析】因?yàn)閆=l-i,所以)=l+i，

所以z=4?Z2=(l+i)(cos8+isin0)=(cos6—sin，)+i(cos8+sinff),

因?yàn)閺?fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)，所以cos6+sine=0,即應(yīng)sin(e+?)=0,

4

所以6+4=也(左eZ),因?yàn)?日0,兀],所以。=包，

44

因?yàn)?+Z2=(1+cos0)+i(sin0-1),所以

12

|Zj+z21=yl(l+cos6)+(sin0-1)=13+2cos6-2sio0=J3-20sin(6-；),

因?yàn)?e[0,兀],[-；，當(dāng)，所以$皿6-?)€-^,1],

44442J

所以L+Z2|e[?_l,括]

故答案為：彳；[^2-1,^5].

【典例3?2】(2024?高一?全國(guó)?單元測(cè)試)(1)4=(2x-l)+i,z2=-l-xi(xeR),若㈤>"1，求犬的取值

范圍.

(2)已知復(fù)數(shù)馬=cos。-i,z2=sin+i,求卜.的最大值和最小值.

【解析】(1)由題意得(2%—I)?+1>l+f,gp3x2—4x+1>0>得或%>1,

所以X的取值范圍(1,+8).

(2)-z2|=|l+sin^cos^+(cos^-sin^)i|

=^(1+sin0cos^)2+(cos6-sin6)1

=V2+sin2^cos20=^2+-^-sin220,

因?yàn)閟ir?2,￡[0,1],所以j2+：sin22?！旰骫，

故1zjZzI的最大值為i，最小值為0.

【變式3-1](2024.全國(guó).高三專(zhuān)題練習(xí))已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z+l-i|W2,則|z-l|的取值范圍是.

【答案】[A/5-2,75+2]

【解析】由|z+l-i|<2,則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z是以(-1,1)為圓心，2為半徑的圓上及圓內(nèi)，

所以匕-1|表示Z到。,0)的距離，故其范圍為[石-2,遙+2].

故答案為：[君-2,如+2].

【變式3-2](2024.全國(guó)?高一假期作業(yè))設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z+2i|+|z-2i|=4,則|z-1-i|的取值范圍是

【答案】口,出可

【解析】設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Z,復(fù)數(shù)1+i的在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為尸(U),

由|z+2i|+|z-2i|=4,可知點(diǎn)Z的軌跡為以A(0,2),3(0,-2)為端點(diǎn)的一條線段，又表示點(diǎn)Z到點(diǎn)

(1,1)的距離，觀察圖象可知當(dāng)z=i時(shí)，取最小值，最小值為1,當(dāng)z=-2i時(shí)，|z-l-i|取最大值，

最大值為M，

所以|z-l-i|取值范圍為[1,回].

故答案為：

【變式3-3］(2024?全國(guó)?高一期末)已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z+i|+|z-i|=2,那么Iz-3|的取值范圍為.

【答案】［3,A/W］

【解析】設(shè)z=_x+yi(x,yeR),由Iz+i|+1z-i|=2可得|x+(y+l)i|+|x+(y-l)i|=2

即］尤2+(。+1)2+［-+(。_1)2=2,表示點(diǎn)(x,y)到點(diǎn)(。，-1),(0/)的距離之和為2.

又點(diǎn)(0,-1),(0,1)之間的距離為2,所以|z+i|+|z7|=2表示z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以(0,-1),(0,1)為端點(diǎn)

的線段

|z-3|=J(x-3)2+y2表示z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與(3,0)的距離，

如圖在z取(0,0)時(shí)有最小值3,z取(0,-1)或(0,1)時(shí)有最大值JiG,

故取值范圍為［3,如］.

故答案為：

【過(guò)關(guān)測(cè)試】

1.(2024?高三?江蘇鹽城?階段練習(xí))已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z-2-制=1,當(dāng)z的虛部取最小值時(shí)，z=()

A.2+3iB.2-3iC.-3+5iD.-3+3i

【答案】A

【解析】設(shè)z=x+M(x,yeR),則z—2—4i=(x-2)+(y—4)i,

所以，|z-2-4i|=J（x-2）2+（y-4）2=1,即（x—Z）?+（y-4）2=1,

所以，（y-4）*l,可得-My-441,解得33V5,

當(dāng)z的虛部取最小值時(shí)，即當(dāng)y=3時(shí)，!UlJ（x-2）2+（3-4）2=l,解得X=2,

故z=2+3i,

故選：A.

2.（2024?高一?河北石家莊?期末）復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足［=1（i為虛數(shù)單位），則|z-4+3i|的最小值為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】卜卜

...忖=1,Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心1為半徑的圓上,

|z-4+3i|=|z-（4-3i）|表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)和"3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)間距離,

又上肥舊+㈠1=5,

所以|z-4+3i|的最小值是5-1=4,

故選：B.

3.（2024?高一?河南鄭州?期末）已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z+3i|=|z-i|,貝中+1+型的最小值為（）

A.1B.3C.上D.75

【答案】A

【解析】設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z,

因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z+3i|=|z-i|,

所以由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，點(diǎn)Z到點(diǎn)（0,-3）和（0,1）的距離相等，

所以在復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z的軌跡為，=-1,

又|z+1+2i|表示點(diǎn)Z到點(diǎn)（-1,-2）的距離，

所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=-1上的動(dòng)點(diǎn)Z到定點(diǎn)（-1,-2）距離的最小值，

當(dāng)Z為時(shí)，到定點(diǎn)的距離最小，最小值為1,

所以|z+l+2i|的最小值為1,

故選：A.

4.（2024?高一?山東荷澤?期末）已知復(fù)數(shù)4/2/3，z2=1,z3=2i,且|zj=2,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)向量為

OZt,OZ2,OZ3,（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則Z|Z；-Z|Z3的最小值為（）

A.4+2A/5B.4-2上C.472-4D.4-472

【答案】B

【解析】由題意，

z?=l，z3=2i>且㈤=2,

所以得OZ2=(1,0),OZ3=(0,2),

設(shè)OZX-2(cosa,sina),

ZtZ2=(1—2cosa,—2sina),

Z1Z3=(—2cosa,2—2sina)，

22

ZjZ2?Z14=-2cos6r(l—2cosa)—2sina(2—2sincr)=4coscr+4sincr—2(2sina+cosa)=4—2/sin(cr+cp)

其中tan^=1,

.?.sin（a+夕）=1時(shí)，,Z；?也取最小值為4-275.

故選：B.

5.（2024.高一.河南濮陽(yáng).期末）復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足=1（i為虛數(shù)單位），則|z-3+倒的最小值為（）

A.3B.4C.275D.5

【答案】B

【解析】設(shè)z=o+歷，力eR,

^^\=\^^\=\b-ar=4b^=l

復(fù)數(shù)z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z在以原點(diǎn)。（0,0）為圓心，半徑廠=1的圓上運(yùn)動(dòng),

|z-3+4i|表示Z點(diǎn)與復(fù)數(shù)z°=3-4i的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z0（3,-4）的距離,

22

Q|OZ0|=73+（-4）=5

」z-3+旬"%一廠=5-1=4

故選：B.

6.（多選題）（2024?高一?廣東清遠(yuǎn)?階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)4=2-2i（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為

復(fù)數(shù)Z?滿(mǎn)足同-i|=l,則下列結(jié)論正確的是（）

A.耳點(diǎn)在復(fù)平面上的坐標(biāo)為（2,2）B.Z]=2+2i

C.|z「Z2|的最大值為JR+1D.I4-Z2I的最小值為石一1

【答案】BC

【解析】％=2-2i,則爪2,-2）,故A錯(cuò)誤；

因?yàn)?=2-21,所以ZI=2+2i,故B正確；

設(shè)Z2=x+yi（尤,yeR）,則|z2T=|x+yi-i|=Jd+ER=],即/+（,_1）2=],所以，復(fù)數(shù)z2在復(fù)平面

內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)8在圓爐+（>-1）2司上,其圓心為C（O,1）,半徑廠=1,

區(qū)-zJ表示的是復(fù)數(shù)Z]和Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離，即由耳.

而出國(guó)的最大值是『（+'=，（2-0）2+（-2-1）2+1=歷+1:出回的最小值是山。-廠=爐-1.所以

卜-4的最大值為JB+1,最小值為屈-1,故C正確，D錯(cuò)誤.

故選：BC

7.（多選題）（2024.高三?湖南?階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)Z=2-2i（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為片,

復(fù)數(shù)Z2滿(mǎn)足|z2-i|=l,則下列結(jié)論正確的是（）

A.匕點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,-2）B.]=2+2i

C.區(qū)-zJ的最大值為而'+1D.區(qū)-馬|的最小值為20

【答案】ABC

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)轳R=2-方，則勺（2,-2）,A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，由共輾復(fù)數(shù)的定義可得]=2+2i,B對(duì)；

對(duì)于C選項(xiàng)，Z1-i=2-3i,則1d22+（_3『=屈,

1+

Iz2-Z1|=|（z2-i）-（zi-i）|^lz2-i|+|zi-i|=^,

當(dāng)且僅當(dāng)N=-等+]誓+l]i時(shí)，等號(hào)成立，即艮-目的最大值為舊+1,c對(duì)；

13I13J

對(duì)于D選項(xiàng)，同-zj=弧-i）-（4-i）|>|z1-i|-|z2-i|=V13-l,

等號(hào)成立,即區(qū)-zj的最小值為JR-1,D錯(cuò).

故選：ABC.

8.（多選題）（2024?高一?河北張家口?階段練習(xí)）已知z為復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的有（）

A.z+彳為實(shí)數(shù)

B.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z?彳=0,貝Uz=0

C.|z|2=z2

D.若|z+i|=|z-[,則|z+l|的最小值為日

【答案】ABD

【解析】設(shè)2=〃+〃（。,/?￡氏），則N=Q-歷.

對(duì)于A,Z+乞=々+歷+（々一歷）=2々為實(shí)數(shù)，A正確；

對(duì)于B,z-z=（?+Z?i）（6Z-/?i）=6Z2+Z?2=0,于是〃=0=0,z=0,B正確；

對(duì)于C,取Z=l+i,則|z|2=|l+i|2=12+12=2,z2=（l+i）2=l+2i+i2=2i,

此時(shí)|2『人件《不正確;

對(duì)于D,在復(fù)平面內(nèi)|z+i|=|z-l|表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到（OT）與（1,0）距離相等，

則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z到（-1,0）的距離最小值為*,D正確.

故選：ABD.

9.（多選題）（2024.高一.廣東湛江?階段練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi（其中x,yeR）,1是z的共輾復(fù)數(shù)，則下

列結(jié)論正確的是（）

A.若忖=1,貝z?=1B.若忖=1,貝ljz.2=1

C.z+W必為實(shí)數(shù)D.若|z-2i|=l,則目的最大值為3

【答案】BCD

【解析】對(duì)于A,z=x+yi,貝lj目=Jx?+丁=]eR,而z?=（x+陽(yáng)?=x?-y2+2以eC,故A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,|z|=yjx2+y2=1eR,z-z=（x+yi）（x-yi）=x2+y2=1,故B正確,

對(duì)于C,z+z=%+yi+x-yi=2%eR,故C正確，

對(duì)于D,|z-2i|=l可以看作復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)G（x,y）至U（0,2）的距離為1,故復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)在復(fù)平面內(nèi)的軌跡為

以點(diǎn)（0,2）為圓心，以1為半徑的圓，故當(dāng)點(diǎn)G（x,y）運(yùn)動(dòng)到與y軸的交點(diǎn)，且向上的位置時(shí)，此時(shí)

IW=|oq最大,為3.故D正確,

故選:BCD

10.（2024?高一?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)z是復(fù)數(shù)且|z-l+2i|=l,則忖的最小值為.

【答案】A/5-1/-1+V5

【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義可知，|z-l+2i|=l表示復(fù)平面內(nèi)以。，-2）為圓心，1為半徑的圓，而目表

示復(fù)數(shù)z到原點(diǎn)的距離，

由圖可知，LL=jF+（一2『一1=君一1.

故答案為：書(shū)-1.

11.（2024.高一.河南鄭州.期末）已知復(fù)數(shù)4和z?滿(mǎn)足匕+4|=區(qū)—4|,且卜+5—3i|=1,則>—2]的最小值

是.

【答案】4

【解析】設(shè)Z[=a+bi,a,beR,由用+4]=?—4|可得++由=-4）。+/=>°=0,

即為=歷，

又上+5-到=1,則Z?在以（-5,3）為圓心，1為半徑的圓上，

如圖所示，當(dāng)Z?=-4+3i，z=3i時(shí)，此時(shí)區(qū)一21的最小值為4.

故答案為：4

12.（2024.高一.江西景德鎮(zhèn).期末）已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足上+1卜憶-1|=2,則|z-i|的最小值為.

【答案】A/2

【解析】設(shè)27+同，

因?yàn)椴?1|-歸一1|=2,所以J(x+iy+y2一41)2+9=2,

即點(diǎn)a,y)到點(diǎn)(-i,o)和(i,o)的距離之差等于2,

所以方程7(x+l)2+/-7(x-l)2+/=2表示射線y=0(x21),

|z-i|=J/+(y_])2表示點(diǎn)(x,y)到(0,1)的距離.

由圖可知，|z-i|的最小值為|AB|=夜.

13.(2024.高一.云南曲靖.期末)設(shè)〃是實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)z=l+2i,z2=(a+i)(l-2i)(i是虛數(shù)單位).

(1)若Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求。的取值范圍；

⑵求,+zJ的最小值.

【解析】(1)由己知可得，z2=(a+i)(l-2i)=a+2+(l-2a)i.

[a+2<0

因?yàn)閆2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以有1)，

一[1一2〃>0n

解得a<—2.

(2)由已知可得，4=1-2i,

所以Z]+z2=1—2i+a+2+(l—2a)i=a+3—(l+2a)i,

2

所以，卜1+z2卜J(a+3)2+(l+2a)2=+10?+10=^5(a+l)+5>\/5,

所以，當(dāng)。=-1時(shí)，卜i+z?1有最小值為人.

14.(2024?高二?浙江.開(kāi)學(xué)考試)設(shè)。是實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)4=1+2/,z2(i是虛數(shù)單位).

(1”2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求。的取值范圍；

(2)求,i+Zz|的最小值.

/\/\/、]a+l〉0

【解析】⑴z2=(?+i)(l-i)=?+l+(l-a)i,則I”〉。,解得一1＜。＜1;

222

(2)4=1+2，，則4=l—2i,.Z[+Z2=a+2-(a+l)i,/.|^+z2|=^(tz+2)+(d!+l)=^2a+6a+5,當(dāng)

a=-m時(shí)，肉+zj的最小值為變.

22

15.(2024?高一?全國(guó)?單元測(cè)試)已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z+2-2i|=2,且復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M.

(1)確定點(diǎn)M的集合構(gòu)成圖形的形狀；

⑵求Iz-1+2i|的最大值和最小值.

【解析】(1)設(shè)復(fù)數(shù)-2+2i在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為尸(-2,2),

貝lj|z+2-2i|=|z-(-2+2i)|=|MP\=2,

故點(diǎn)M的集合是以點(diǎn)尸為圓心，2為半徑的圓，如下圖所示.

(2)設(shè)復(fù)數(shù)1-2i在復(fù)平面內(nèi)