黑龍江省哈爾濱市某中學(xué)2023-2024學(xué)年高二年級(jí)下冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

精誠高中2023-2024學(xué)年度下學(xué)期期中考試

高二數(shù)學(xué)試卷

本試卷分I卷（選擇題）和n卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘，考

試結(jié)束后，將答題卡上交.

第I卷（選擇題，共58分）

一、選擇題（本大題包括8小題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，兄有丁

項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上）

1.某乒乓球隊(duì)有9名隊(duì)員，其中有兩名種子選手，現(xiàn)要選5名隊(duì)員參加運(yùn)動(dòng)會(huì)，種子選手都必須在內(nèi)，則

不同的選法有（）

A.種B.種C.種D.種

【答案】C

【解析】

【分析】

【詳解】只需再從其他7名隊(duì)員中選3人，即C1種選法.

2.用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為

A.24B.48

C.60D.72

【答案】D

【解析】

【詳解】試題分析：由題意，要組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)，則個(gè)位數(shù)應(yīng)該為1或3或5,其他位置共有

用種排法，所以奇數(shù)的個(gè)數(shù)為32：=72,故選D.

【考點(diǎn)】排列、組合

【名師點(diǎn)睛】利用排列、組合計(jì)數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是正確進(jìn)行分類和分步，分類時(shí)要注意不重不漏，分步時(shí)要注

意整個(gè)事件的完成步驟.在本題中，個(gè)位是特殊位置，第一步應(yīng)先安排這個(gè)位置，第二步再安排其他四個(gè)

位置.

3.從集合｛0」,2,3,4,5,6｝中依次任取兩數(shù)。，6組成復(fù)數(shù)a+所，其中虛數(shù)有（）

A.30個(gè)B.42個(gè)C.36個(gè)D.35個(gè)

【答案】B

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【解析】

【分析】運(yùn)用間接法，可放回地抽取兩個(gè)數(shù)，得所有的復(fù)數(shù)個(gè)數(shù)，減去所有可組成的實(shí)數(shù)個(gè)數(shù)即得.

【詳解】依題意，當(dāng)且僅當(dāng)6/0時(shí)，復(fù)數(shù)歷表示虛數(shù)，

故可用間接法，先考慮從｛0』,2,3,4,5,6｝中可放回地任取兩個(gè)數(shù)作為有7x7=49個(gè)復(fù)數(shù)，

再去掉6=0時(shí)實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)7,即得虛數(shù)有49-7=42個(gè).

故選：B.

4.已知隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布N"/)若尸(4〉3)=0.012,則尸(-”自41)=().

A.0.976B.0.024C.0.488D.0.048

【答案】C

【解析】

【分析】由題意結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性求解P(-的值即可.

【詳解】由正態(tài)分布的性質(zhì)可知正態(tài)分布N(1,CT2)的對(duì)稱軸為》=1,

則P(4<—l)=P(J>3)=0.012,故P(—J。.。；-0.012=0488.

本題選擇C選項(xiàng).

【點(diǎn)睛】關(guān)于正態(tài)曲線在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法

①熟記尸。/—cW5u+c),P(/i_2u<X<p,+2(r),尸(o一的值.

②充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間面積為1.

5.已知(1+x)"的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為().

A.212B.211C.210D.29

【答案】D

【解析】

【詳解】因?yàn)?1+x)"的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以C：=C[,解得,：二10,

所以二項(xiàng)式(l+x)i°中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為!

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)和.

6.已知X?貝IJP(X=1)=()

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【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的知識(shí)求得正確答案.

【詳解】因?yàn)閄?所以尸(x=l)=C；x；x[g]=1^.

故選：B

7.設(shè)甲乘汽車、火車前往某目的地的概率分別為0.6、0.4,汽車和火車正點(diǎn)到達(dá)目的地的概率分別為0.9、

0.8,則甲正點(diǎn)到達(dá)目的地的概率為()

A.0.72B.0.96C.0.86D.0.84

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)事件N表示甲正點(diǎn)到達(dá)目的地，事件8表示甲乘火車到達(dá)目的地，事件C表示甲乘汽車到達(dá)目

的地，由全概率公式求解即可.

【詳解】設(shè)事件/表示甲正點(diǎn)到達(dá)目的地，事件8表示甲乘火車到達(dá)目的地，事件C表示甲乘汽車到達(dá)目

的地，由題意知尸(5)=04,尸(0=0.6,尸(/田)=0.8,P(N|C)=0.9.

由全概率公式得口/)=尸(的尸()⑻+尸(0尸(410=0.4x0.8+0.6x0.9=0.32+0.54=0.86.

故選：C

8.某班級(jí)要從4名男生，2名女生中隨機(jī)選取3人參加學(xué)校組織的學(xué)習(xí)小組活動(dòng)，設(shè)選取的女生人數(shù)為X,

則第X)=()

486

A.—B.—C.—D.1

355

【答案】D

【解析】

【分析】分析可知隨機(jī)變量X可能的取值為0、1、2,計(jì)算出隨機(jī)變量X在不同取值下的概率，進(jìn)而可

求得￡(X)的值.

【詳解】由題可知，X可能的取值為0、1、2,

3

且P（X=0）=告r°r=1，P（X=1）=專/3P（x=2）=C皆2cl2

66^65

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i31

所以￡（丫）=0義1+1義二+2*二=1.

故選：D.

二、多選題（本大題包括3小題，每小題6分，共18分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，

有選錯(cuò)的得0分）

9.在一個(gè)袋中裝有質(zhì)地大小一樣的6個(gè)黑球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取4個(gè)小球，設(shè)取出的4個(gè)小球中白球

的個(gè)數(shù)為X,則下列結(jié)論正確的是（）

Q

A.P（X=1）=—B.隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布

Q

C.隨機(jī)變量X服從超幾何分布D.￡（x）=-

【答案】ACD

【解析】

【分析】由題意知隨機(jī)變量X服從超幾何分布，利用超幾何分布的性質(zhì)直接判斷各選項(xiàng)即可.

【詳解】解：由題意知隨機(jī)變量X服從超幾何分布，故B錯(cuò)誤，C正確；

。41Q

X的取值分別為0,1,2,3,4,則尸(XnCOn/n二,0(X=1)=釜邑=T,

Go14/21

C2c23C3Cl4C41

尸(X=2)=^^=—,尸(X=3)=^y^=——，尸(X=4)=T=—

/7Qo35QQ210

8

￡m=0x—+lx—+2x-+3x—+4x=

故A,。正確.

故選：ACD.

10.若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其中P（x=o）=；,E（x）,O（x）分別為隨機(jī)變量X的均值與方差,

則下列結(jié)論正確的是（）

A.P(X=1)=￡(X)B.￡(4X+1)=4

D(X)=—D.￡>(4X+1)=4

,)16

【答案】ABC

【分析】首先寫出兩點(diǎn)分布，再根據(jù)期望和方差公式求￡（x）,O（x）,再根據(jù)￡（4X+1）=4￡（X）+1,

r>(4x+i)=42r>(x),計(jì)算期望和方差.

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1Q

【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且p（x=o）=i,所以尸（X=l）=j

133

￡（X）=Ox-+lx|=1,所以P（X=1）=￡（X）,故A正確；

3

￡（4X+l）=4JE（X）+l=4x-+l=4,故B正確；

D（X）=1o-jx；+1l-jx|=^,故C正確；

3

D（4X+l）=42D（X）=16x—=3,故D不正確.

故選：ABC

【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)分布的期望和方差，以及期望和方差的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型.

22

11.已知橢圓C：L+L=1內(nèi)一點(diǎn)頻1,2）,直線/與橢圓C交于4,8兩點(diǎn)，且M為線段A8的中點(diǎn)，則

48

下列結(jié)論正確的是（）

A.橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0）、（-2,0）B.橢圓。的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為472

C.直線/的方程為x+y—3=0D.\AB\=—

113

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓方程可直接判斷A、B的正誤，設(shè)直線/為x=k（y-2）+1,Z（X],%）,B（x2,y2）,且

乂+%=4,聯(lián)立橢圓方程應(yīng)用韋達(dá)定理即可求左值，寫出直線方程，進(jìn)而應(yīng)用弦長(zhǎng)公式可求以國(guó)，即可判

斷C、D的正誤.

【詳解】A：由橢圓方程知：其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,±2）,錯(cuò)誤；

B：/=8，即橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=4J5,正確;

C：由題意，可設(shè)直線/為x=-y—2）+1,B（x2,y2）,則乂+%=4,聯(lián)立橢圓方程并整理得:

(242+i)j?+4-1—24)y+8左2—8左一6=0,M為橢圓內(nèi)一點(diǎn)則A>0,

竺學(xué)3=4,可得上=-1,即直線/為x+y-3=0,正確;

??%+歹2=2/+1

M+%=4,%%=?，則|/同=y/1+k2-必+8)2-4凹”=，正確?

D：由C知:

33

故選：BCD.

第n題（非選擇題，共92分）

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三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，把正確答案填在答題卡中的橫線上.）

12.在[工-x]的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為.

【答案】-20

【解析】

【分析】寫出二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)，使得尤的指數(shù)為0,得到相應(yīng)的「，從而可求出常數(shù)項(xiàng).

【詳解】解：展開式的通項(xiàng)為？；+]=屐?]!]（_,，=（_1），瑪》2-6

令2-6=0可得r=3

常數(shù)項(xiàng)為（-球C：=-20

故答案為：-20

13.設(shè)X?N（0」），則尸（―1<X<1）=

4

【答案】0.9545

【解析】

【分析】由題意可得出〃=0,b=g,可得出p（—1<X<1）=P（〃—2b<X<〃+2b）,然后利用3b

原則可得出所求概率的值.

【詳解】?」X~,則〃=0,。=；，所以P（—1<X<1）=P（〃—2cr<X<〃+2cr）=0.9545.

故答案為：0.9545.

【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布概率的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.某產(chǎn)品有5件正品和3件次品混在了一起（產(chǎn)品外觀上看不出有任何區(qū)別），現(xiàn)從這8件產(chǎn)品中隨機(jī)抽

取3件，則取出的3件產(chǎn)品中恰有1件是次品的概率為.

【答案】—

28

【解析】

【分析】設(shè)取出的3件產(chǎn)品中次品的件數(shù)為X,3件產(chǎn)品中恰好有一件次品的概率為P（X=1）計(jì)算即可.

C1^215

【詳解】設(shè)取出的3件產(chǎn)品中次品的件數(shù)為X,3件產(chǎn)品中恰好有一件次品的概率為P（X=1）=^^=—.

C/g28

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15

故答案為:

28

四、解答題(本小題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)

15.已知口袋中有2個(gè)白球和4個(gè)紅球，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取兩次，每次抽取1個(gè).

(1)若采取放回的方法連續(xù)抽取兩次，求兩次都取得白球的概率；

(2)若采取不放回的方法連續(xù)抽取兩次，求在第一次取出紅球的條件下，第二次取出的是紅球的概率.

13

【答案】(1)-(2)-

95

【解析】

【分析】

2

(1)由題知，在放回抽樣中一次抽取得到白球的概率為二，故可得兩次都取得白球的概率；

(2)記事件A：第一次取出的是紅球，事件第二次取出的是紅球.，由條件概率公式可得所求的概率

P(8⑷.

221

【詳解】解：(1)兩次都取得白球的概率尸=-x—=

669

(2)記事件A：第一次取出的是紅球；事件8：第二次取出的是紅球,

4x524x32

則尸(4)=——=—,P(AB)=

6x536x55

P(AB｝233

利用條件概率的計(jì)算公式，可得P(B\A)=47r=-x-=-

【點(diǎn)睛】本題主要考查了放回抽樣與不放回抽樣中古典概率計(jì)算，條件概率計(jì)算，考查學(xué)生的理解辨析與

運(yùn)算求解能力.

16.在等差數(shù)列｛%｝中，%=-7,4+%+=3.

(1)求｛%,｝的通項(xiàng)公式；

(2)求｛an｝的前n項(xiàng)和S.,及S“的最小值.

【答案】(1)%=2〃—13

2

(2)Sn=n-nn,S“取最小值為-36

【解析】

【分析】(1)利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式列方程求出q=-11,d=2.由此能求出｛%｝的通項(xiàng)公式.

(2)由(1)的結(jié)果，利用等差數(shù)列的求和公式即可求出S",進(jìn)而求出最小值.

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【小問1詳解】

解：在等差數(shù)列｛%｝中，%=—7,46+。7+。8=3

設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為力

=a,+2d=—7

則C,。一，

+%+4=34+18d=3

解得q=—11,d=2.

{%}的通項(xiàng)公式%=—11+2(?-1)=2M—13.

【小問2詳解】

解：：4=-11,d=2.

2

{%}的前n項(xiàng)和Sn=-Un+”(7)x2=n-Un

：.當(dāng)n=6時(shí)，Sn取最小值為-36.

17.某校組織一次冬令營(yíng)活動(dòng)，有7名同學(xué)參加，其中有4名男同學(xué)，3名女同學(xué)，為了活動(dòng)的需要，要從

這7名同學(xué)中隨機(jī)抽取3名同學(xué)去執(zhí)行一項(xiàng)特殊任務(wù)，記其中有X名男同學(xué).

（1）求X的分布列；

（2）求去執(zhí)行任務(wù)的同學(xué)中有男有女的概率.

【答案】（1）分布列見解析；（2）

7

【解析】

【分析】（1）由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值有0、1、2、3,計(jì)算出隨機(jī)變量X在不同取值下的

概率，進(jìn)而可得出隨機(jī)變量X的分布列；

（2）由題意可知，事件“去執(zhí)行任務(wù)的同學(xué)中有男有女”包括X=l、X=2,利用概率的加法公式可求得

所求事件的概率.

【詳解】（1）由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值有0、1、2、3,

「4。）系丁，尸（z）=/?！?罟哈尸-3）售總

所以，隨機(jī)變量X的分布列如下表所示:

X0123

112184

P

35353535

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(2)記事件/：去執(zhí)行任務(wù)的同學(xué)中有男有女，

則P(/)=P(X=1)+P(X=2)=^^=，

【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)變量分布列的求解，同時(shí)也考查了利用概率的加法公式求事件的概率，考查計(jì)算能

力，屬于基礎(chǔ)題.

18.將一枚質(zhì)地均勻的硬幣重復(fù)拋擲10次，求：

(1)恰好出現(xiàn)5次正面朝上的概率；

(2)正面朝上出現(xiàn)的頻率在［0.4,0.6］內(nèi)的概率.

【答案】(1)裊

256

⑵-

32

【解析】

【分析】(1)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)“正面朝上”和“反面朝上”兩種結(jié)果且可能性相等，這是一個(gè)

10重伯努利試驗(yàn).根據(jù)正面朝上的次數(shù)服從二項(xiàng)分布，即可求解.

(2)根據(jù)條件由重復(fù)拋擲10次正面朝上出現(xiàn)的頻率在［040.6］得到4WXV6,再結(jié)合二項(xiàng)分布即可求

解.

【小問1詳解】

設(shè)/="拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣正面朝上”，則P(Z)=0.5,

設(shè)X表示事件/發(fā)生的次數(shù)，則X?5(10,0.5).

則恰好出現(xiàn)5次正面朝上即X=5,

所以P(X=5)=xO.510=當(dāng)~=圖-,

101024256

故恰好出現(xiàn)5次正面朝上的概率為——.

256

【小問2詳解】

由(1)知，拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣正面朝上的概率為？(4)=0.5,

重復(fù)拋擲10次正面朝上出現(xiàn)的頻率在［040.6］內(nèi)，即4WXW6.

所以尸(4<X<6)=C1x0.5i°+C；。x0.5"+xOS］。=.

19.已知數(shù)列｛4｝,也｝,｛c“｝中，其中也｝為等比數(shù)列，公比4>0,且4一4=64，/=4=。1=1,

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X-4，*=%。小1=

Un+1

（1）求鄉(xiāng)與凡的通項(xiàng)公式;

（2）記d〃=y^~-y—（HGN）,求證：4+&+4+…+d〃<4.

\an+\'\Un+2L）,°n3

13〃T+1

【答案】（1）q=~,a（2）證明見解析

32

【解析】

【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出鄉(xiāng)和“，再根據(jù)"可求出c“，根據(jù)c”可求出％；

（2）化簡(jiǎn)口，并進(jìn)行裂項(xiàng)可得媒=[[-~7一^]，再裂項(xiàng)求和可證結(jié)論成立.

3V3—13—1）

【詳解】⑴因?yàn)檠秊榈缺葦?shù)列，公比9>。，

所以4—62=663,所以可一z?a=，即6/+夕一1=0,解得9=；或=一;（舍）,

因?yàn)锳=1,所以=

由q,+i=I，c“得上i=片-='=3,又q=l,所以C“=3"T,

6用c”*q"

所以%+1-4=cn=3小，

-2-3

所以%=%-an_x+an_x-an_2+???+%—%+4=3"+3"+---+3+1+1

1—3"T3""+1

=1+

1-32

以d]+d[+t/j+,,,+d___----一-^+…+^_____L_

n3131-132-l32-l33-l33-l34-l3n-l3n4-l

第10頁/共12頁

2fj______M1211

n+1--------x—------<一.

3(3-13-lJ333"+1-13

【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了累加法求通項(xiàng)公式，考查了裂項(xiàng)求和法，關(guān)鍵是對(duì)通項(xiàng)4,

進(jìn)行裂項(xiàng)，屬于中檔題.

（2021?四川成都市?高三月考（文））

22

20.已知橢圓C：\+4=l（a〉b〉0）,點(diǎn)片、月分別是其左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)43分別為其左、右頂點(diǎn).若兩焦

ab

點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)圍成四邊形面積為26，且圓必+/=—為該四邊形的內(nèi)切圓.

.4

（1）求橢圓C的方程；

（2）若以（1）中較圓的橢圓為研究對(duì)象，過大的直線/交橢圓于P，0兩點(diǎn)，求A5尸0面積的最大值.

【答案】（1）土+匕=1或工+丫2=1;（2）

434.2

【解析】

【分析】（1）利用題設(shè)條件四邊形面積為