第5屆全國大學生數(shù)學競賽決賽數(shù)學類一、二年級真題_第1頁
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第五屆中國大學生數(shù)學競賽決賽二年級試卷(數(shù)學類2014年3月,?考試形式閉卷考試時間180分鐘滿分100分?題號題號二三四五六總分滿分151515152020100得分姓名姓名準考證號所在院校考生座位號專業(yè)注意1.所有答題都須寫在此試卷紙密封線右邊寫在其它紙上一律無效2.密封線左邊請勿答題密封線外不得有姓名及相關(guān)標記3.如答題空白不夠可寫在當頁背面并標明題號,(本題(本題15分)設S為R3中的拋物面zx2+y2Pa;b;c為S外一固定點滿足a2+b2>2c過P作S的所有切線證明這些切線的切點落在同一張得分評閱<密封線密封線答題時不要超過此線平面上,?,?,第1頁共6頁第2頁共6頁得分評閱<二(本題15分)設實二次型fx1x2x3x4xTAx得分評閱<a0a;b;c;d;e;f;g;h;k皆為實數(shù)已知λ12是A的一個幾何重數(shù)為3的特征值試回答以下問題(i)A能否相似于對角矩陣若能請給出證明若不能請給出例子(ii)當a02時試求fx1x2x3x4在正交變換下的標準型姓名準考證號所在院校姓名準考證號所在院?？忌惶枌I(yè)三(本題15分)設n階實方陣得分評閱人,?有n個線性無關(guān)的特征向量b1b1均不為0記WX∈Rn×njXAAX證明W是實數(shù)域R上的向量空間且I;A;An-1為其一組基其中I,?,為n階單位陣,?,密封密封線答題時不要超過此線,?,?,第3頁共6頁第4頁共6頁四(本題15分)設fx;y為a;b?×R上關(guān)于y得分評閱<單調(diào)下降的二元函數(shù)四(本題15分)設fx;y為a;b?×R上關(guān)于y得分評閱<yfx;yz≤fx;zx∈a;b?已知za≤ya求證zx≤yxx∈a;b?五五(本題20分)設fx是[0+∞上非負可導函數(shù)f(0)0fx≤假設R0+fxdx收斂求證對任意α>1R0+fxdx也收斂并且得分評閱<?姓名姓名準考證號所在院?？忌惶枌I(yè),?,密封密封線答題時不要超過此線,?,?,第5頁共6頁第6頁共6頁得分評閱<六(本題20分)對多項式f(x記df為其最大和最小實根之間的距離

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