幾何圖形綜合探究題（含答案）-2025年人教版中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案

類型一固定圖形的證明與計算

1如圖,在矩形ABCD中,對角線AC的垂直平分線EF分別交AD,AC,BC于點E,O,F,連接

CE和AF.

(1)求證:四邊形AECF為菱形.

⑵若AB-8,BC=16,求菱形AECF的周長.

》思維階梯

(1)|根據(jù)ASA證明△AEOt^CFO

O|OE=OF|

?|四邊形AECF是平行四邊形

o|根據(jù)EFLAC判定四邊形是菱舷

(2)|由線段垂直平分線的性質(zhì)，得AF=CF

◎設(shè)AF=x

在Rt^ABF中，利用勾股定理列方程求解

,針對訓(xùn)練

1.已知正方形ABCD,在BC和CD邊上各有一點E,F,且CE=CF,連接AF,EF,分別取AF,EF的中點

M,N,連接DM,CN,MN.

⑴如圖1,連接AE.

①求證:AE=AF.

②求NDMN的度數(shù).

(2)如圖2,將4CEF繞點C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)ACEF在正方形ABCD外部時，連接DN,試探究DN與MN的

數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

類型二與動點問題有關(guān)的證明與計算

部2如圖，菱形ABCD的邊長為4,E,F分別是邊BC,CD上的動點,/BAC=/EAF=60。,連接EF,

交AC于點G.

(1)求證:AE=AF.

(2)求△ECF周長的最小值.

⑶若BE=1,求CG的長.

，思維階梯

(1)1根據(jù)菱形的性質(zhì)得AABC是等邊三角形

o|利用ASA證明AABE名ZXACF

o|可證明結(jié)論

(2)|證明4AEF是等邊三角形

o|將AECF的周長轉(zhuǎn)化為EF+BC

0|求EF的最小值即可

(3)|證明△CEGs^BAE

根據(jù)對應(yīng)邊成比例可得CG的長

針對訓(xùn)練

2.如圖，在正方形ABCD中,AB=3,M為CD邊上的一動點(不與點D重合)，點D與點E關(guān)于AM所

在的直線對稱，連接AE,ME,延長CB到點F,使得BF=DM,連接EF,AF.

□O

C>-----------------IBC-------lB

（備用圖）

(1)依題意補全圖形.

⑵若DM=1,求線段EF的長.

(3)當(dāng)點M在CD邊上運動時，若4AEF為等腰三角形，求DM的長.

類型三圖形旋轉(zhuǎn)、平移、折疊變換

3(2024?福州三模)如圖,在等腰△ABC中,人8=人?=5,：^=8人口_18(3于點口,點￡在線段人口

上，連接BE,CE,將線段CE繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)，點C的對應(yīng)點F恰好落在BA的延長線上.

(1)如圖1,當(dāng)AD=AF時.

①求證:/ABE-/BCE;

②求sinF的值;

⑵如圖2,當(dāng)AE=AF時，求AE的長.

》思維階梯

(1)①|(zhì)利用“三線合一”的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求得AD,BF=5+|利用SSS證明

ABEF^ABE^|可證EB=EC卜|根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)求證即可

②作EHLBF于點H卜|可證ABHE日Z^BD中|設(shè)DE=EH=x，則AE=3-x,AH=l

。|利用勾股定理列式計算卜|求得DE,C*|根據(jù)正弦函數(shù)的定義即可求解

(2)|設(shè)AE=a，貝IDE=3-a卜|可證△FAEs^FEB卜|推出EF2=A"1*|利用勾股定理列式計算

◎|利用勾股定理求得CE2=DE2+CD節(jié)|根據(jù)CE=EF,列式計算即可求解

針對訓(xùn)練

3.如圖1,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,點P在邊BC上，且不與點B,C重合.將4APB沿直線AP

折疊得到△APB；點B，落在矩形ABCD的內(nèi)部，延長PB咬直線AD于點F.

⑴求證:FA=FP.

(2)①當(dāng)P是BC的中點時，求AF的長;

②如圖2,直線AP與DC的延長線交于點E,連接BB，交AE于點H,G是AE的中點.當(dāng)

/EAB，=2/AEB，時,請判斷AB與HG的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

參考答案

例1解析：(1)證明:???EF是AC的垂直平分線，

JAO=OC,ZAOE=ZCOF=90°.

???四邊形ABCD是矩形，

???AD〃BC,???NEAONFCO.

ZEAO=ZFCO,

在△AEO和△CFO中,AO=CO,

NAOE=Z.COF,

???△AEOACFO(ASA),OE=OF.

又：OA=OC,...四邊形AECF是平行四邊形.

又；EF，AC,...平行四邊形AECF是菱形.

⑵設(shè)AF=x.

VEF是AC的垂直平分線,AB=8,BC=16,；.AF=CF=x,BF=16-x.

在RtAABF中，由勾股定理，得AB2+BF2=AF2,

即82+(16-x)2=x2,解得x=10,.\AF=10,

菱形AECF的周長為40.

針對訓(xùn)練1.解析:(1)①證明:；四邊形ABCD是正方形，

AB=AD=BC=DC,ZABE=ZADF=90°.

CE=CF,BC-CE=DC-CF,BE=DF.

AB=AD,

SAABE^DAADF中，NABE=zADF,

,BE=DF,

.「△ABE咨△ADF(SAS),

.\AE=AF.

②,:ZADF=90°,M,N分別是AF,EF的中點，

???DM=AM=FM=^AF,MN//AE,

ZMDA=ZDAF,ZFMN=ZFAE.

VAABE^AADF,ZBAE=ZDAF,

???ZMDA=ZBAE,

NFMD=NDAF+NMDA=NDAF+NBAE,

.\ZDMN=ZFMD+ZFMN=ZDAF+ZBAE+ZFAE=ZDAB=90°.

(2)DN=V^MN.理由:如圖，連接AC,AE.

VM,N分別是AF,EF的中點,

???AE=2MN.

CE=CF,ZECF=90°,CN±EF,CN=EN=FN=1EF,

???ZCNE=90°,ANNCE=NNEC=45。.

VAD=CD?ZADC=90°,/.ZDCA=ZDAC=45°,

.CNCD...V2

>.—=-=sin45o=—.

CECA2

,/NDCN=NACE=450+NDCE,

.,.△DCN^AACE,

:.黯修.??梟MDNMMN.

例2解析:(1)證明:丁NBAC=NEAF=60。,

???ZBAE=ZCAF.

四邊形ABCD是菱形,AB=BC,AB〃CD,

.,.△ABC是等邊三角形,/ACD=/BAC=60。，

.?.AB=AC,ZB=60°,.*.ZB=ZACD,

AABE^AACF(ASA),.\AE=AF.

(2)VAABE^AACF,BE=CF.

:菱形ABCD的邊長為4,

AECF的周長=EC+CF+EF=EC+BE+EF=BC+EF=4+EF,

.,.當(dāng)EF最小時,ZVECF的周長最小.

AE=AF,ZEAF=60°,AAEF是等邊三角形，

.\AE=EF,

即當(dāng)AE最小時,AECF的周長最小，最小值為4+AE.

VE是BC邊上的動點，，當(dāng)AELBC時,AE最小.

在RtAABE中,AB=4,/B=60O,，AE=2V5,

，AECF周長的最小值為4+2V3.

(3)V四邊形ABCD是菱形,/BAC=NEAF=60。,

；.AB=BC,

AABC是等邊三角形,，ZABC=ZBCA=60°.

由(2)知4AEF是等邊三角形,，ZAEF=60°,

ZBAE=180°-60°-ZBEA=ZCEG,

.,.△CEG^ABAE,

(CECG?4—1CG.「「3

ABBE'4154

針對訓(xùn)練2.解析:⑴補全圖形如圖1所示.

(2)如圖2,連接BM.

:點D與點E關(guān)于AM所在的直線對稱,，AE=AD,/MAD=/MAE.

:四邊形ABCD是正方形，

AD=AB,ZD=ZABF=90°.

VDM=BF,；.AADM^AABF(SAS),

AF=AM,ZFAB=ZMAD,AZFAB=ZMAE,

.\ZFAE=ZMAB.

又：AB=AE=AD,

AFAE^AMAB(SAS),EF=BM.

,/四邊形ABCD是正方形，，BC=CD=AB=3.

DM=1,/.CM=2,BM=VBC2+CM2=V13,

.?.EF=V13.

故線段EF的長為g.

(3)設(shè)DM=x(x>0),則CM=3-x,

/.EF=BM=VCM2+BC2=VX2-6X+18.

AE=AD=3,AF=AM=VDM2+AD2=Vx2+9,

.,.AF>AE,.\當(dāng)AAEF為等腰三角形時，只能有兩種情況AE=EF,或AF=EF,

①當(dāng)AE=EF時，有Vx2-6x+18=3,解得x=3;

②當(dāng)AF=EF時,VX2-6X+18=VX2+9,解得x=|.

綜上所述，當(dāng)4AEF為等腰三角形時,DM=3或*

例3解析:⑴①證明:：AB=AC,BC=8,AD_LBC于點D,

1

???BD=CD-BC=4,

2，

AAD=VAB2-BD2=3,

???AF=3,

???BF=8,

???BF=BC.

VBE=BE,EF=EC,

.,.△BEF^ABEC(SSS),

???ZABE=ZEBC.

???AD_LBC,BD=CD,

???AD是BC的垂直平分線，

???EB=EC,

'ZEBC=ZECB,

???ZABE=ZBCE.

②如圖，作EH±BF于點H,即NBHE=90。，

VABEF^ABEC,

???ZABE=ZDBE,ZF=ZECB.

,/NBHE=NBDE=90o,BE=BE,

.,.△BHE^ABDE,

???DE=EH,BH=BD=4.

設(shè)DE=EH=x,

AE=3?x,AH=AB-BH=l.

,.*AH2+EH2=AE2,

l2+x2=(3-x)2,

解得X=1,

.\DE，，

3'

CE=VDE2+CD2=Jg)2+42=^,

sinF=sinNECD-DE~^.

CE10

(2)設(shè)AE=a，貝！JDE=3-a.

VAE=AF,

???AF=a,NF=NAEF.

VAD垂直平分BC,

???BE=CE,

由旋轉(zhuǎn)得CE=EF,

???BE=EF,

???ZF=ZABE,

???ZAEF=ZABE.

又?.?NF=NF,

AAFAE^AFEB,

.A￡EF

■,EFBF?

.*.EF2=AFBF.

VCE2=DE2+CD2,

???CE2=(3-a)2+42,EF2=a(5+a).

???CE=EF,

:.a(5+a)=(3-a)2+42,

解得a=||,

針對訓(xùn)練3.解析:⑴證明:由折疊性質(zhì)可得NAPB=/APF.

:四邊