解三角形圖形類問(wèn)題（6大題型）

重難點(diǎn)專題06解三角形圖形類問(wèn)題

【題型歸納目錄】

題型一：妙用兩次正弦定理

題型二：兩角使用余弦定理

題型三：張角定理與等面積法

題型四：角平分線問(wèn)題

題型五：中線問(wèn)題

題型六：高問(wèn)題

【方法技巧與總結(jié)】

解決三角形圖形類問(wèn)題的方法：

方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；

方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題利用等面積法使得問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，

相似是三角形中的常用思路；

方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問(wèn)題的常用思路；

方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長(zhǎng)比例關(guān)系的不錯(cuò)選

擇；

方法五：平面向量是解決幾何問(wèn)題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法則可

以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；

方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問(wèn)題更

加直觀化.

【典型例題】

題型一：妙用兩次正弦定理

jr

【例1】記VABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,已知A=§,點(diǎn)。在5C邊上，且

CD=2BD,cosB=,求tanZBAD.

3

【解析】因?yàn)閂A5C中，COSB=B,則B為銳角，

3

所以sinB=A/1—cos2B=Jl-,

因?yàn)锳=§,A+5+C=7t,所以C=^—B,

訴I、J-r.12兀.2兀2兀.G百1n1A/6

所以smC=sin------B=sm——cosB-cos——smB=——x-----1x——=—H------,

I3)33232326

TT

設(shè)/LBAD=。，則NCAD=----0,

3

BDAD3AD_________=_____=______

在△油￡)和AACD中，由正弦定理得一^=—^=—.(TIsinC3+新,

sin，sinB,6sinIj-6/I

因?yàn)镃D=23。，上面兩個(gè)等式相除可得娓sin=(3+6卜in。，

得"1sinO=(3+?卜in6,即0cos夕=(2+布卜in8,

所以tan/BAD=tan6==A/3—A/2.

2+76

jr37r

【變式11］已知P是VABC內(nèi)一點(diǎn)，*尸G/ZMCR"”=干/—夕

(1)若8=三,BC=也,求AC；

兀

(2)右。=飛,求tan/BA尸.

【解析】(1)如圖所示,

所以/ABC=/PBC+e=^+E=C.

8246

ACBCAC_42

在VA3C中，由正弦定理得，即1夜，角犁得AC=1.

sinZABCsinZBAC

2T

(2)如圖所示,

JT

設(shè)N^AP=a,則/PAC=——a.

4

.兀

在aAB尸中，由正弦定理得打。二,in8.

PBsina

.71

sin-

AP

在△APC中，由正弦定理得正

.71

sin—

3

因?yàn)楸?尸。，所以《菽

整理得巫=_叵_,即巫=屈,解得tana=3-#,即tan/R4P=3-#.

sinacoscr-sin6ztanal-tana

【變式12］如圖，在平面四邊形ABC。中，ZACB=ZADC=90°,AC=243,ABAC=30°.

B

⑴若CD=5求BD；

⑵若NCBD=30°,求tanZBDC.

CD1

【解析】（1）在Rt^ACD中,cosZACD=——=-,所以ZACO=60。,

AC2

在Rt^ABC中，tanZBAC=—,所以BC=2,又NACB=90。,

AC3

所以NDCB=ZACB+ZACD=150°,

在△BCD中由余弦定理Bn?=DC12+BC2-2DC-BCcosZBCD，

222

IPBD=(V3)+2-2X2XA/3=13,

所以=

（2）由己知可得/A5C=60。，又NCBD=30°,所以//即=30。，

設(shè)DC=x(0<x<2用，/BDC=a,則")=加-9

12-X2

ADAB2

在△鈿￡）中由正弦定理,即，所以C°S”后7.

sinZABDsinZADBsin

2

x2

DCBC所以sina=!

在△BCD中由正弦定理，即1sina，

sinZCBDsinZ.CDBx

2

14=1,解得f=』或/=如匡

Xsin2a+cos2cr=1,所以3+77;----r

x12-x22

sina

田tana--------

cosax22

一時(shí)tana」”，VTT+A/3

當(dāng)/=I竺一1」-1=1

22Vx224

當(dāng)犬=如國(guó)時(shí)tana=17-后二而一百

2222V24

所以tanZBDC=/+百或tanNBDC=而一..

44

題型二：兩角使用余弦定理

【例2】如圖，四邊形ABC。中，cos/BAD=；,AC=AB=3AD.

⑴求sinNARD；

Q)若ZBCD=90。,求tanNCHD.

4

【解析】(1)中，設(shè)AC=AB=3AD=3r(t>。)，則cosZRW」[次)y[血解得

'32x(3/)xz

BD=2M

Ani

■.BD1+AD1=AB1>.-.sinZAB￡>=—=-；

ABJ

(2)設(shè)AC=AB=3AD=3，(，>0),則5￡>=20/

設(shè)BC=M,CD="(x>0,y>0),

(3r)2+(^)2-(3r)2x

VABC中,cosZBCA=

2X(3%)X(M6

△WC中，cosNDCA」(3。+(*)~^2_y2+8

32x(3/)x(w)6y

71可得匕

???ZBCA+ZDCA=/BCD=一，/.cosZDCA=sinZBCA,,化簡(jiǎn)得

26y

[+'[J，即dy?+y,+64=20y2

X1.1BC2+CD2=BD2,x2r2+y2t2=8?,BP/.%2+y2=8

:.(8-y2)y2+y4+64=20y2,解得尸=y,x2=8-y2=|

陛

tanZCBD=—=^=

BC宜｛j

【變式21］如圖，在平面四邊形ABC。中，ZD=2ZB,CD=3AD=3,BC=a,cosB=—

⑴求四邊形ABCD的周長(zhǎng)；

⑵求四邊形ABCD的面積.

【解析】（1）因?yàn)閏osB=走，ND=2NB,

3

所以cos。=cos2B=2cos2B—l=--

4￡>2+C￡>2-2AZ)C￡>cosZ)=l+9-2xlx3x^-1^=12,

在△ACD中，由余弦定理得AC?=/

所以AC=2?,

AB?+BC?-AC?AB?+6-12一后

在VA5C中，由余弦定理得cosB=

2ABBC~2直>AB~3'

所以AB?-2043—6=0，解得A2=3g，

所以四邊形ABCD的周長(zhǎng)為30+#+4；

(2)因?yàn)閏os3=走，所以sin8=

33

叵后，

所以S^ABC=；AB-BC-sin2=gx30x"x-3

3

因?yàn)閏osD=—；,所以sinD=Jl—=-2也

iio5

所以以“0=—A?CD-sin￡>=—xlx3x^-=5/2,

△AC?223

所以四邊形ABCD的面積為3忘+收=4近

【變式22］如圖，在平面四邊形ABCD中，AC與。5的交點(diǎn)為E,平分/ADC,

AB=BC=CD=2,AD>2.

E

AfC

B

⑴證明：BD2=2（AD+2）；

(2)若=3，求匕.

4BE

【解析】（1）如圖,

由題意知ZADB=ZCDB,貝!!cos/AC?=cosZCDB,

百人壯』工用，曰AD2+BD2-AB2CD2+BD2-BC2

由余弦定理得---------------=---------------

2ADBD2CDBD

心+即2-4_4+8。2-4

即整理得(AD-2)-BD2=2(3-4),

2ADBD-4BD

因?yàn)锳D>2,所以即2=2(AD+2).

(2)因?yàn)?C=CD,所以NCDB=NCBD,

因?yàn)镹AZM=NCE>3,所以NAD3=NCB￡）,所以AD〃BC.

又因?yàn)殂@=CD,AD>BC,所以四邊形ABCD是等腰梯形，所以/ABC=/BCD.

3兀71

設(shè)NADB=NCDB=NCBD=a,則——+。=兀-2。，解得a=——

412

.71.7171V6-V2

sin——=sin

12344

,3兀交

sin——

..rnr,口A°Sill^ABD

在△曲中'由正弦定理可侍罰=碇赤42=省+1,

.71

sin—V6-V2

124

又因?yàn)?）〃3C,所以區(qū)=生=四=若+1.

BEBCAB

【變式23］在VABC中，若。在BC上，AD平分ZBAC,AB=AD=3,C￡>=2,求VABC的周長(zhǎng).

【解析】設(shè)3￡>=x,AC=y,

Af!

由角平分線定理可得===，則沖=6,

BDCU

4。2+心一。。2

由余弦定理得cos幺些AB?+AD?-BD?

2ABAD2ADAC

口口9+9—xy+9-4

即——；——="------，

3y

將y=9代入化簡(jiǎn)得2x3+5f-36%+36=0,

x

即(x—2)(2x—3)(尤+6)=0解得x=2或x=1.5(x=—6舍去),

經(jīng)檢驗(yàn)只能x=L5,y=4,

所以VABC的周長(zhǎng)為10.5.

題型三：張角定理與等面積法

【例3】在AABC中，設(shè)角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,且(c-“sinC=(a-"(sinA+sinB)

⑴求A；

⑵若。為3C上的點(diǎn)，AD平分角A,且c=3，AD=6,求器.

【解析】(1)因?yàn)?c—/?)sinC=(Q-b)(sinA+sin3),

所以由正弦定理可得：(c-b)c=(。-?(。+6),整理得〃+。2—?dú)v=〃.

由余弦定理得：cos二

J+2fbc"2

又因?yàn)?<A<兀所以A=]

(2)由(1)知4吟

TT

又因?yàn)锳D平分角A,所以/BAD=/C4O=7.

6

由S-ABC=S.ABD+S^ADC得g6cSinA=gc?|A￡)|sin/BAD+：6?|A必sin』CAD.

即技c=|AD|.(6+c).

又因?yàn)镃=Q,AD=6,所以6=3.

再由角平分線的性質(zhì)可知：器=￡

DCb2

【變式31］在AABC中，設(shè)角A,B,。所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為〃，b,c,>(c-/?)sinC=(a-Z?)(sinA+sinB).

(1)求A；

(2)若。為5c上點(diǎn)，AD平分角A,且人=3,AD=M,求.

【解析】(1)因?yàn)?c-〃)sinC=(a-Z?)(sinA+sin5),

由正弦定理可得(C-b)c=3-b)(a+b),整理得b2+c2-bc=a2,

由余弦定理，可得cosA="+c-2二三J

2bc2bc2

又因?yàn)锳e(O,乃)，可得A=？.

(2)因?yàn)?。?c上點(diǎn)，AD平分角A,貝1J=ghcsinA=,

又由S0sc=-AC-ADsm—+-ABADsm—=--AD(b+c)=—(b+c),

222244

可得be=匕+c,

3

又因?yàn)槿?3,可得3c=3+c,解得c=x，

2

ABBDBDc1

因?yàn)锳C而’所以而b2

【變式32]已知述C中，角A3,C的對(duì)邊分別為SC且滿足。黑+1-處=。.

(1)求cosA的值;

(2)若點(diǎn)。在邊BC上，AD平分角A,且>1￡)=石，求’的值.

bc

【解析】(1)由/史"+1]-泌=0及正弦定理可得

<tanC)

.「sinAcosC+sinCcosA-9sinB=0,即sm(4+」)-9sinB=0,

sinC-------------------------------

sinCeosAcosA

因?yàn)閟in(A+C)=sin(%一6)=sinB,且sinBwO,即,由5一9sin5=0,

cosA

所以cosA=g.

(2)因?yàn)閏osA=1，所以sinA=Vl-cos2A=生叵，

99

1-

因?yàn)锳D平分角A,所以..n/1-cosAi92,

sin/BAD=sinACAD=J-----------=1——-=—

V2V23

由S/XABC=^AADB+^AADC，可得gbcsinA=gc?ADsiiiN3AE)+；。?ADsinNCAD，

-bc-^-=-c-j5--+-b-y/5~,整理得Sc=6+c,所以:

2923233bc3

題型四：角平分線問(wèn)題

【例4】VABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為b,c,已知siYB+sinAsinCusii?A+sin2c.

⑴求角B；

Q)若b=R,c=2,角B的平分線與AC交于點(diǎn)O,求BD.

【解析】(1)因?yàn)閟inn5+sinAsinC=sin?A+sin?C,

所以〃+a。=+/?

COSB="+L*=L而3e(O,兀),

lac2

所以8=；.

bc

(2)在VABC中，所以.兀sinC9解得sinC=.

sinBsinCsin—

3

因?yàn)椤?lt;C<g,所以。號(hào)，A=|^ZAO八"+=

所以BD=/W=2.

【變式41]在VABC中，內(nèi)角A3,C的對(duì)邊分別為a,&c,設(shè)VABC的面積為S,分別以a,6,c為邊長(zhǎng)的正

三角形的面積依次為席邑，邑且S=4-$2+風(fēng).

（1）求B；

⑵設(shè)/A5c的平分線交AC于點(diǎn)。，若b=g,S=^（4c2+a2）,求3。的長(zhǎng).

【解析】（1）由題意S]=￥",s2=^-b\S3當(dāng)*,貝Us=S]—52+邑=字（〃一/+/）.

由余弦定理得4+/—/=2accos3,所以S=^^accos3,又5=7〃csinB,

22

所以,acsinB二^^accos_B,則tan5=J§\又0<5<兀，所以3=g.

223

（2）法一：由（1）知NABC=m，又S=；acsinNA3C=噂（/+4/）,

所以4c2+/一4。。=0,所以（2c—a）2=0,所以a=2c.

JT

由余弦定理可得〃2="+，一2QCCOS§=a?+，一。。=3,得。=2,c=l,

冗

所以廿+°2=￡,所以A=W，

_AB1_2」

在△ABD中萬(wàn)〃——n~一七一亍

cos—cos—

66

整理得3a2=4",

jr

由正弦定理得3sin2A=4sin2/ABC,又NABC=§,所以sin2A=1,

因?yàn)锳?0,兀)，所以A=W，

由Z?=tan^ABC=—=A/3,得c=l.

在△ABD中，血兀兀3

cos—cos—

66

【變式42］記VABC的內(nèi)角A民。的對(duì)邊分別為。也。，已知會(huì)一―=-.

b+c-aFb

⑴求A；

(2)設(shè)/B4C的平分線交線段3C于點(diǎn)。，若BD=2DC,證明：VABC為直角三角形.

【解析】(1)因?yàn)槎?一~7-7,所以62+02“25c

b+c-ab

由余弦定理，得c。弦==L

2bc2

TT

又因?yàn)?<4<兀，所以4=1.

(2)因?yàn)锳D是—54C的平分線，所以sinNB4D=sin/G4D,

S-BDh-ABADsin^BAD

設(shè)7ABe的邊BC上的高為〃，則由乎坦=j-----=j-----------------

<CAD-CDh-ACADsinZCAD

22

得需AB

~AC即c=2b,

由余弦定理，得a?=b2+c2-2bccosA=b2+4/?2-2Z?x2/?x—=3/?2,

2

jr

所以02="+62,從而C=4,故VABC為直角三角形.

2

【變式43］在VA3C中，角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,S,a=b,至_￡=您C

3bcosB

⑴求A;

(2)若VABC的外接圓面積為9兀，角2的平分線交AC于。，求△BCD的面積.

【解析】(1)因?yàn)閍=6,所以sinA=sinB,

因?yàn)榭誣￡=型25/3_sinCcosC

3bcosB3sinBcosB

sinCcosCsinCcosB+sinBcosCsinA12百

R即n-----+-----=-----------------------

sinBcosBsinBcosBsinBcosBcosB3

所以cosB=@,因?yàn)锽e（0,萬(wàn)），所以8=4=2.

26

2兀

(2)由(1)可知。=兀-5—A二§

因?yàn)閂ABC的外接圓面積為9兀，所以VABC的外接圓半徑為3,

ab

因?yàn)?6,所以〃=人=3,c=3百，

sinAsinBsinC

V3_9A/3

則S^ABC=—tzZ?sinC=—x3x3x------,

2224

-c-BDsinZABD

□△ABO2

而”,丁°ABCD-°AABC'

V1a

△BCD—a.BDsinZCBD

2

19A/3127-9g

所以S^BCD=^AABC'_____—____x______

1+73-41+738

題型五：中線問(wèn)題

,7T

【例5】在VABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為。、b、c,且滿足A=(,a=^19,

BAAC=3,AD是VABC的中線，求AD的長(zhǎng).

【解析】由平面向量數(shù)量積的定義可得麗?*=-*■通=-bccosA=g6c=3,

可得be=6,

由余弦定理可得〃2=19=〃2+02—2bcCOSA="2+c2+A=b2+c2+6，可得從十^=13,

AD=1（AB+AC）,

因?yàn)锳D是VABC的中線，則即2X5=^+/，

所以，4|AZ）|2=AC+AB+2AC-AB=b2+c2+2Z?ccosy=b2+c2-bc

=13—6=7,

所以，2AD=近,故4。=也.

2

【變式51］在VABC中，c+\/3asinB-b-acosB=0

⑴求A；

(2)若Q=2M，邊5C上的中線，AD=S,求VABC的周長(zhǎng)和面積.

【解析】(1)在VABC中，因?yàn)閏+石asin3-Z?-QCOS3=0,

由正弦定理得sinC+A/3sinAsinB-sinB—sinAcosB=0,

又因?yàn)閟inC=sin(A+3)=sinAcosB+cosAsinB,

則cosAsin3+石sinAsin3-sin3=0，

因?yàn)?￡(0,兀)，可得sin3>0,所以1一8524=石5皿4,

即(1-cosA)2=3sin2A=3(1-cos2A),

化簡(jiǎn)得2cos之A-cosA-l=0

因?yàn)锳E(0,兀)，可得一IvcosAvl,

解得cosA=-1j所以A=27^r.

(2)由邊BC的中線AD=J7,

可得荏+*=2而，可得荏2+/2+2通.衣=4蒞°，

2元

BPc~+b~+2cbcos=28,B|Jb2+c2-be=28,

在VABC中，由余弦定理/=62+C2-26CCOSA，可得/+c?+加=76,

聯(lián)立方程組，可得〃+c2=52,bc=24,所以(6+C)2=62+C2+26C=100,

所以6+c=10,be=24,

所以VABC的周長(zhǎng)為10+2加，面積為gbcsinA=6G.

「a-bsinC-sinB

【變式52］在VABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且——=一^——

csinA+sinB

(1)求角A的大小.

(2)若cosB=；,AB=5,求AC邊上的中線BD的長(zhǎng).

rA7nj.r-/<、e、ia—bsinC-sinB,―a-bc-b

【解析】(1)因?yàn)?---=-~~，由正弦定理m可rZ得FI

csinA+sinBca+b

整理可得62+。2一/=歷，

IAm―z|.Z?2+—/be1

由余弦定T理可r/iF符cosA=---------=---=一，

2bc2bc2

且A?O,71),所以A.

(2)因?yàn)閏os3=1,且5w(0,兀)，可知sin8=Ji—cos?^=,

/56

可得sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=—^~

cc-sinA

由正弦定理可得二工貝l」a==7,

sinAsinCsinC

又因?yàn)?。為AC邊上的中線，貝IJ麗=：(麗+5T),

uum21/Uiruun21/ULrULTUlmuum\1(1A

可得30=-(BA+BC)X=-IBA2+2BABC+BC2l=-25+2x5x7x-+49=21,

所以AC邊上的中線3。的長(zhǎng)為0T.

題型六：高問(wèn)題

【例6】記VABC的內(nèi)角A,5,C的對(duì)邊分別為c,已知26asinBcosA+Z?cos2A=6.

⑴求A.

(2)若VABC的面積為3叵，/—/=3,求3c邊上的高.

2

【解析】(1)由已知條件及正弦定理，得2GsinAsinK-0524+51118cos2A=sin6.

又sinBw0,/.26sinAcosA+cos2A=1,

則石sin2A+cos2A=1,

2sin(2A+S]=1,則sin(2A+S]=g.

又Ae(O,7t),...24+3(：，華)，

i-.Ic47T57rkF7口.7t

則2A+—=,解得A=—.

OOJ

(2)由VABC的面積為電，得_LbcsinA=^5,

222

.?.走匕。=地，貝ijbc=6.

42

由余弦定理，得6?=〃+°2—2bccosA,

"一/?2—C2—be?

又。2一/二3,1.3=，-6，解得c=3.:.b=2,a=V7.

設(shè)BC邊上的高為無(wú)，則5人4g=L4//=九§,

ZA/1OC22

,3石3A/21

h——T=^--------------.

幣7

LA

【變式61]在VABC中，內(nèi)角A,昆C所對(duì)的邊分別為a,6,c,sin(2+C)=2相sin、.

(1)求A的大??；

(2)若6=3,3C邊上的高為3包.

7

⑴求。的值;

(ii)求sin(2C+f的直

【解析】(1)因?yàn)锳,B,C為VA2C的內(nèi)角,

所以sin(B+C)=sinA,

A1-cosA

因?yàn)閟M%

~~2

LAr-

所以sin(3+C)=2Gsin2,可化為：sinA=V3(l-cosA),

即sinA+6cosA=退，

即2sin1A+三=8,

71

因?yàn)?解得：A=j.

(2)(i)由三角形面積公式得」b-csinA=LxMlla,所以0=五°,

2272

22

由余弦定理〃2=b+。2-2Z?ccosA得：c+4c-12=0,

解得：c=2或c=-6舍去，所以c=2；

(ii)由(i)可得〃=

2

在VABC中，由正弦定理可得一7二—^；sinC,

smAsinC

A

解得sinC=又。=2<b=3,所以C為銳角,

所以cosC=Vl-sin2C=_2

F

所以sin2c=2sinCcosC=竽，cos2C=2cos2C-l=2(-^)2-l=1,

r)\以sin2cH——sin2ccos—Fcos2csin—=-----x------1—x—=—.

(6)66727214

【變式62］在VABC中，已知角ABC的對(duì)邊分別是。也c,^2acosC=2b-c.

(1)求角A的大??；

(2)若6=4,BC邊上的高為5畫(huà)，求三角形ABC的周長(zhǎng).

2

【解析】⑴由題設(shè)及余弦定理知=整理得〃+c??c,

所以cosA='~~—=g,Ae(0,7i),則A=g；

2bc23

(2)由題意及(1)矢口：—bcsinA=—a-,貝！Jj1妥=3〃，

2213

16+「2_132

由cosA=9=L，即/+9c—36=(c+12)(c-3)=0,

C°S—8c~2

所以。=3(負(fù)值舍)，故〃=,而b=4,

所以三角形ABC的周長(zhǎng)為7+g.

【強(qiáng)化訓(xùn)練】

1.記VABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,已知從x)sA-acosi5=b-c.

⑴求A；

(2)若點(diǎn)。在5c邊上，且CD=25。，cosB=—,求幻〃NBAD

3

【解析】(1)因?yàn)閎cosA-acos_B=b-c,

由余弦定理可得.彳二a2+c2-b1

-b-c，

2ac

化簡(jiǎn)可得b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得cosA=〃+f，

TT

因?yàn)镺VAVTI,所以，A=—.

(2)因?yàn)閏osB=，則5為銳角，所以，sinB=71-cos2B

3

因?yàn)锳+3+C=TI,所以，C=------B,

3

mi、1.七,(2兀1.2TI2兀.石石1n1V6

=

JTT以，sinC=sin------Dsin—cosB—cos—sinB=—x-----1—x—=—i------,

3)33232326

jr

^ZBAD=O,則NCAO=§-6,

BDA.D3A.D----T----T-=-------尸

在△加和“8中，由正弦定理得訴=而=/，sin但-?！竔nC3+a,

因?yàn)镃D=2BD,上面兩個(gè)等式相除可得Csing-6=(3+#卜吊6,

得y/6cos6—：sin=(3+布卜in6,即行cos8=(2+\/6卜in6,

所以，tanZ.BAD=tan0=-----產(chǎn)=V3—A/2.

2+V6

2.在A45c中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為〃，b,c,2cosA(ccosB+bcosC)=a.

⑴求角A；

(2)若。是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，ZAOB=120°fZAOC=150°fb=l,c=3,求tanZABO.

【解析】(1)H^j2cosA(ccosB+Z?cosC)=a,

所以由正弦定理得2cosA(sinCcosB+sinBcosC)=2cosAsin(B+C)=2sinAcosA=sinA；

0°<A<180°,「.sinAwO,/.cosA=—,則A=60°；

2

(2)

-.-ZOAC+ZOAB=ABAC=60°,ZOAB+ZABO=180°-ZAOB=60°,:.ZOAC=ZABO；

…ABsinZABO3sinZABO

在八旬。中，由正弦定理得:=273sinZABO；

-sinZAOBsin120°

在VACO中，由正弦定理得：40=ACsinNACO二sm(30-川0)=2$山(30。_川田；

sinZAOCsin150°、)

243sinZABO=2sin(30-ZASO)=cosZABO-百sinZABO,

即cosZABO=373sinZABO,tanZABO=~^==—

3y/39

3.在平面四邊形ABCD中，AB=BC=6ZABC=120°,AC±CDAC=yfiCD.

(1)求AD的長(zhǎng)；

(2)若“為CO的中點(diǎn)，求cos/AMB.

【解析】(1)

在三角形ABC中，AB=BC=5ZABC=120°,

所以由余弦定理得：AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZABC=3+3+2x3x^=9,

所以AC=3,又AC=辰口,所以CZ)=J5,

又AC_LCD,所以AD=j3+9=2技

(2)在三角形ABC中，ZABC=120°,所以NA4C=NACB=30。,

所以Z.BCD=30°+90°=120°,

所以在中，”為C。的中點(diǎn)，所以MC=4I,BC=6ZBCM=120°,

2

所以由余弦定理得：BM2=BC2+CM2-2BCCMcosZBCM=3+-+2A/3X—X-=—,

4224

所以叵，

2

在中，ZADC=60°,AD=2y/3DM=

2

所以由余弦定理得：AM2=AD2+DM2-2ADDMcosZADM=n+--2x2y/3x—x-=—

4224

所以A〃=叵，

2

3921_

AM2+BM2-AB2T4-8回

所以在△麗中,由余弦定理得：cosZAMB.=^=^F-

2x------X—

22

4.如圖所示，在VABC中，設(shè)a,b,c分別為內(nèi)角A3,C的對(duì)邊，已知6+c=3a,b=4（c-a）.

⑴求角C；

⑵若c=7,過(guò)8作AC的垂線并延長(zhǎng)到點(diǎn)。，使A,民C,￡＞四點(diǎn)共圓，AC與3。交于點(diǎn)E,求四邊形

ABC。的面積.

b+c=3a78

【解析】（1）由b+c=3%聯(lián)立方程組b^c-ay解得。=鏟，6=^，

不妨設(shè)〃=5相，可得。=7也。=8M

[2+〃2_2401

由余弦定理得?！婷郎?鴻T；'

7T

因?yàn)镃e。兀)，所以C=g.

(2)由c=7,由(1)知a=5,b=8,^TWSAABC=-^absinC=^-x5x8x^-

因?yàn)檫^(guò)5作AC的垂線并延長(zhǎng)到點(diǎn)。，使A氏C。四點(diǎn)共圓，

在直角△BCE中，可得CE=3CcosZ=*,貝1JAE=AC—CE=8—*=U,

3222

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