三角函數(shù) 易錯(cuò)訓(xùn)練與壓軸訓(xùn)練（4易錯(cuò)+7壓軸）原卷版-2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)

三角函數(shù)易錯(cuò)與壓軸訓(xùn)練（4易錯(cuò)+7壓軸）

01思維導(dǎo)圖

目錄

易錯(cuò)題型一、弧長的有關(guān)計(jì)算................................................................1

易錯(cuò)題型二、已知角，求三角函數(shù)值..........................................................2

易錯(cuò)題型三、已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齊次式的計(jì)算..................................2

易錯(cuò)題型四、描述正（余）弦型函數(shù)圖象的變換過程...........................................3

壓軸題型一、扇形中的最值問題..............................................................3

壓軸題型二、三角函數(shù)值、三角函數(shù)的化簡、求值.............................................4

壓軸題型三、三角函數(shù)在生活中的應(yīng)用........................................................5

壓軸題型四、三角函數(shù)值、三角函數(shù)的化簡、求值一一誘導(dǎo)公式.................................7

壓軸題型五、弧長的有關(guān)計(jì)算、扇形中的最值問題.............................................8

壓軸題型六、正弦（型）函數(shù)的對(duì)稱軸及對(duì)稱中心、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性.................9

壓軸題型七、函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍.....................................................10

02易錯(cuò)題型

易錯(cuò)題型一、弧長的有關(guān)計(jì)算

例題：（24-25高一上?江蘇?階段練習(xí)）若扇形面積為1cm"圓心角為2rad,那么該

扇形的弧長為.

鞏固訓(xùn)練1.（24-25高一上?吉林?期末）已知扇形的周長是8cm,半徑為2cm,則

該扇形所對(duì)圓心角的弧度是（）

A.IradB.4radC.3radD.2rad

2.（23-24高一上?四川涼山?期末）已知扇形的周長為15,圓心角為3弧度，則扇

形的半徑是（）

A.2B.3C.4D.5

3.（24-25高一上?吉林長春?期末）扇形圓心角為2,弧長為12cm,則扇形的面

積為（）

A.12cm2B.24cm之C.36cm2D.48cm2

易錯(cuò)題型二、已知角，求三角函數(shù)值

例題：（24-25高一上?新疆伊犁?期末）COS765。的值是（）

A.YB.C.告D._當(dāng)

鞏固訓(xùn)練1.（22-23高二下?貴州黔東南?期末）已知cos&=-；,0<a<n,則tane=

（）

A.V3B.且C.-V3D.一是

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2.（24-25高三上?北京?開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系'Oy中，角。以。分為始邊，

且終邊經(jīng)過點(diǎn)（-4,3）,則cos2W=.

易錯(cuò)題型三、已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齊次式的計(jì)算

例題：（23-24高一下?上海?階段練習(xí)）已知tanO=2,求下列各式的值

、sin6+2cos。

（）sin0-cos0

（2）sin20+2sinOcos0+1

鞏固訓(xùn)練1.（22-23高二下?貴州遵義?階段練習(xí)）已知sintz-cosa=；,則sinacosa=

2.（廣西玉林四校（玉一玉實(shí)北高容高）2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)

學(xué)試題）已知5出。+85戊=38$6^11。，則cc^atana-1=（）

A1-42C3

A.--B.--C.~~D.--

易錯(cuò)題型四、描述正（余）弦型函數(shù)圖象的變換過程

例題：（24-25高三上?重慶渝中?階段練習(xí)）為了得到卜=532-的圖象，只需把

正弦曲線7=sinx上所有點(diǎn)的（）

A.橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍，縱坐標(biāo)不變

B.橫坐標(biāo)縮短到原來的X縱坐標(biāo)不變

C.縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍，橫坐標(biāo)不變

D.縱坐標(biāo)縮短到原來的?，橫坐標(biāo)不變

鞏固訓(xùn)練1.（2024高二下?天津河?xùn)|?學(xué)業(yè)考試）要得到函數(shù)〃x）=cos2x,xeR的圖

象，只需將函數(shù)g（x）=cosx,xeR的圖象（）

A.所有點(diǎn)橫坐標(biāo)擴(kuò)大2倍，縱坐標(biāo)不變

B.所有點(diǎn)橫坐標(biāo)縮小—縱坐標(biāo)不變

C.所有點(diǎn)縱坐標(biāo)縮小橫坐標(biāo)不變

D.所有點(diǎn)縱坐標(biāo)擴(kuò)大2倍，橫坐標(biāo)不變

2.（2024高二上?貴州?學(xué)業(yè)考試）為了得到函數(shù)y=cos1+T的圖象，只需把函數(shù)

y=cosx的圖象上所有的點(diǎn)（）

A.向左平移:個(gè)單位長度B.向右平移:個(gè)單位長度

C.向左平移聯(lián)個(gè)單位長度D.向右平移聯(lián)個(gè)單位長度

03壓軸題型

壓軸題型一、扇形中的最值問題

例題：（24-25高一上?重慶萬州?階段練習(xí)）已知一扇形的周長為40,則這個(gè)扇形

面積的最大值是.

鞏固訓(xùn)練1.（24-25高一上?陜西西安?階段練習(xí)）周長為40的扇形的面積取

到最大值時(shí)，扇形圓心角的大小是.

2.（23-24高一下?陜西渭南?階段練習(xí)）已知扇形的圓心角是a,半徑為r,弧長

為/;

（1）若a=105。/=8cm,求扇形的弧長/;

（2）若扇形的周長為10cm,當(dāng)扇形的圓心角a為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大,

最大值是多少？并求出此時(shí)的半徑「

壓軸題型二、三角函數(shù)值、三角函數(shù)的化簡、求值

例題：（24-25高一上?云南大理?階段練習(xí)）（1）已知角。的終邊上有一點(diǎn)

P（x,-l）,（x^O）,且tan<9=-x,求sin6,cos。.

（2）已知函數(shù)心?小-母+8s"S+tan3,設(shè)tag1,求〃0的值.

J⑺一J

COSX

鞏固訓(xùn)練1.（24-25高一上?江蘇無錫?階段練習(xí)）下列說法正確的有（）

A.。為第三象限角的充要條件為sin0tan0<0

B.若。為第二象限角，則?為第一或第三象限角

C.sin（萬+a）=sina

D.sin（-1071°）sin99°+sin（-171°）sin（—2610）=0

2.（24-25高一上?江蘇鎮(zhèn)江?期末）（1）若cosg0=—,a為第一象限角，求cos^+a

的值；

（2）若cos*'=；,求cos]g+“sin皆一a1的值.

壓軸題型三、三角函數(shù)在生活中的應(yīng)用

例題：（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）如圖是兩個(gè)齒輪旋轉(zhuǎn)的示意圖，被動(dòng)

輪隨著主動(dòng)輪的旋轉(zhuǎn)而旋轉(zhuǎn)，而且被動(dòng)輪與主動(dòng)輪有相反的旋轉(zhuǎn)方向.45兩

點(diǎn)分別位于該齒輪的主動(dòng)輪與被動(dòng)輪上，初始位置如圖①所示，42兩點(diǎn)到兩

齒輪中心GO所在直線的距離隨時(shí)間的變化滿足如圖②所示的函數(shù)圖象，已知

主動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)一圈的時(shí)間小于被動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)一圈的時(shí)間，則42兩點(diǎn)再次同時(shí)回到

初始位置所經(jīng)過的時(shí)間為S.

-------0

主動(dòng)輪被動(dòng)輪

圖①

鞏固訓(xùn)練L（24-25高一上?甘肅蘭州?期末）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械

建筑設(shè)施，許多地方的摩天輪已成為當(dāng)?shù)氐牡貥?biāo)性建筑，如天津永樂橋摩天輪

號(hào)稱天津之眼，深圳快樂港灣摩天輪是亞洲最大的摩天輪.游客坐在摩天輪的

座艙里慢慢往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色.某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度

為110m,轉(zhuǎn)盤直徑為100m,開啟后按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距

離地面最近的位置進(jìn)艙，進(jìn)艙后開始計(jì)時(shí)，若開始轉(zhuǎn)動(dòng)出in后距離地面的高度

為Hm,轉(zhuǎn)一周大約需要30min.

⑴已知H關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式滿足"（，）=然山（祝+。）+8（其中4>0,。>0,帆|若），

求摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周的解析式”⑺；

（2）若游客在距離地面至少85m的高度能夠獲得最佳視覺效果，請(qǐng)問摩天輪在運(yùn)行

一周的過程中，游客能有多長時(shí)間有最佳視覺效果？

2.（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）某地區(qū)的一種特產(chǎn)水果最早一批在每年11月

上市，上市初期產(chǎn)量較低，因此價(jià)格居高且逐漸上漲，中期產(chǎn)量增大時(shí)價(jià)格逐漸

下跌，后期又由于供應(yīng)量不足價(jià)格上漲，其銷售價(jià)格/⑺（單位：元/千克）隨著

月份X的變化滿足函數(shù)〃x）=/sin[%-：]+2（xe[l,10],xeN*,其中1表示^一月份,

2表示十二月份，…），經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，一月份該水果的平均銷售價(jià)格為10元/千克，

五月份該水果的平均銷售價(jià)格為6元/千克.

⑴求函數(shù)的解析式；

⑵若該水果價(jià)格小于7元/千克時(shí)，果農(nóng)就會(huì)聯(lián)合批發(fā)商積極拓寬外銷渠道，則

每年哪幾個(gè)月份需要采取外銷策略？

3.（24-25高一上?福建龍巖?階段練習(xí)）電影《流浪地球》中反復(fù)出現(xiàn)這樣的人工

語音：“道路千萬條，安全第一條.行車不規(guī)范，親人兩行淚”成為網(wǎng)絡(luò)熱句.講的

是“開車不喝酒，喝酒不開車”.2019年，公安部交通管理局下發(fā)《關(guān)于治理酒駕

醉駕違法犯罪行為的指導(dǎo)意見》，對(duì)綜合治理酒駕醉駕違法犯罪行為提出了新規(guī)

定，根據(jù)國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫總局下發(fā)的標(biāo)準(zhǔn)，車輛駕駛?cè)藛T飲酒后或者醉酒

后駕車血液中的酒精含量閾值見表.經(jīng)過反復(fù)試驗(yàn)，一般情況下，某人喝一瓶啤酒

后酒精在人體血液中的變化規(guī)律的“散點(diǎn)圖”見圖，且圖表所示的函數(shù)模型

40sin—x+13,0<x<2.___—一上一3,廠，、一、▼…人

〃x）=（3）,%表示時(shí)間，車輛駕枝t人員血液酒精含量測值：

90.e-05x+14,x>2

駕駛行為類別閾值(mg/100mL)

飲酒駕車[20,80)

醉酒駕車[80,+8)

70-

50-.,*

30/

io-???????..................

0246810121416

時(shí)間（h）

根據(jù)上述條件，回答以下問題：

（1）試計(jì)算某人喝1瓶啤酒后多少小時(shí)血液中的酒精含量達(dá)到最大值？最大值是

多少？

（2）試計(jì)算某人喝1瓶啤酒后多少小時(shí)才可以駕車？（時(shí)間x以整小時(shí)計(jì)）（參考

數(shù)據(jù)：Inl5s2.71,ln30?3.40）

壓軸題型四、三角函數(shù)值、三角函數(shù)的化簡、求值一誘導(dǎo)公式

例題：（24-25高一上?吉林長春?期末）已知。角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的

非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)尸（-4,3）.

(1)求sina,cosa,tana；

cos上+a+2cosa

2

⑵求f(a)=一的值.

'7sin(兀一a+2cosa

鞏固訓(xùn)練1.（（24-25高一上?甘肅?期末）已知。角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與工

軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)尸（5-2）.

⑴求sin。，cosa,tan(兀一a)；

11兀3兀

cos-------a-sin—+a

(2)求〃a)=22的值.

2sin(-a)+cos(兀-a)

2.（24-25高一上?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）如圖，以3為始邊作角》與￡（0＜夕＜。＜兀）,

它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)尸，。,已知點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（H）.

3sin(7i-a)+5sin(a----)

(1)求------------7^——tan(無+a)的值;

2cos(-a)-cos(a+—)

⑵若￡求2sin夕cos夕-2cos/7的值.

壓軸題型五、弧長的有關(guān)計(jì)算、扇形中的最值問題

例題：（21-22高一上?江蘇蘇州?期末）立德中學(xué)擬建一個(gè)扇環(huán)形狀的花壇（如

圖），該扇環(huán)面由以點(diǎn)。為圓心的兩個(gè)同心圓弧和延長后可通過點(diǎn)。的兩條直線段

圍成.按設(shè)計(jì)要求扇環(huán)的周長為30米，其中大圓環(huán)所在圓的半徑為10米，設(shè)計(jì)小

圓環(huán)所在圓的半徑為x米，圓心角為6（弧度），當(dāng)"g時(shí)，x=米；現(xiàn)

要給花壇的邊緣（實(shí)線部分）進(jìn)行裝飾，已知直線部分的裝飾費(fèi)用為4元/米，弧

線部分的裝飾費(fèi)用為9元/米，則花壇每平方米的裝飾費(fèi)用m的最小值為

總費(fèi)用

花壇總面積

O

鞏固訓(xùn)練1.(23-24高一上?陜西西安?階段練習(xí))如圖1所示的是杭州2022年第

19屆亞運(yùn)會(huì)會(huì)徽，名為“潮涌”，錢塘江和錢塘江潮頭是會(huì)徽的形象核心，綠水青

山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表達(dá)了浙江兒女勇立潮頭的精

神氣質(zhì)，整個(gè)會(huì)徽形象象征善新時(shí)代中國特色社會(huì)主義大潮的涌動(dòng)和發(fā)展.圖2是

會(huì)徽的幾何圖形，設(shè)行的長度是/,前的長度是廣，幾何圖形相。的面積為s,

扇形20c的面積為S,已知苒2,ZBOC=a.

19thAsianGames

Hangzhou2022

⑴求得；

(2)若幾何圖形488的周長為4,則當(dāng)a為多少時(shí)，S最大?

鞏固訓(xùn)練2.（23-24高一下?北京?階段練習(xí)）（1）一條弦功的長等于它所在圓的

半徑R,求弦和劣弧庫所組成的弓形的面積；

（2）一扇形的周長為10cm,那么扇形的半徑和圓心角各取什么值時(shí)，才能使扇

形的面積最大?并求出最大值？

壓軸題型六、正弦（型）函數(shù)的對(duì)稱軸及對(duì)稱中心、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)

性

例題：（24-25高一上?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?期末）設(shè)函數(shù)/（x）=7cos（4x-3-2.

（1）求/（x）的最小正周期，圖象的對(duì)稱中心；

（2）求“X）的單調(diào)遞減區(qū)間.

鞏固訓(xùn)練1.（21-22高一?全國?課后作業(yè)）已知函數(shù)〃x）=2sin]20x+T（0>O）的最小

正周期為冗.

⑴求。的值；

⑵將函數(shù)的