三角形中的范圍與最值問題（原卷版）-2024-2025學年高一數(shù)學（人教A版必修第二冊）

三角形中的范圍與最值問題

【題型歸納目錄】

題型一：周長問題

題型二：面積問題

題型三：長度問題

題型四：轉(zhuǎn)化為角范圍問題

題型五：倍角問題

題型六：與正切有關(guān)的最值問題

題型七：最大角問題

題型八：三角形中的平方問題

題型九：等面積法、張角定理

【方法技巧與總結(jié)】

1、在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問題，一直都是這部分內(nèi)容的重點、難點。解決這類問題,

通常有下列五種解題技巧：

(1)利用基本不等式求范圍或最值；

(2)利用三角函數(shù)求范圍或最值；

(3)利用三角形中的不等關(guān)系求范圍或最值；

(4)根據(jù)三角形解的個數(shù)求范圍或最值；

(5)利用二次函數(shù)求范圍或最值.

要建立所求量(式子)與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函數(shù)值，

轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題.這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍

限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數(shù)的定義域)找完善，避免結(jié)果的范圍過大.

2、解三角形中的范圍與最值問題常見題型：

(1)求角的最值；

(2)求邊和周長的最值及范圍；

(3)求面積的最值和范圍.

【典例例題】

題型一：周長問題

【例1】記銳角4ABC內(nèi)角C的對邊分別為a,6,c,c=2且(a?+/-c2)(acosB+bcosN)=abc4l]/\ABC

周長范圍為()

A.(2+273,6]B.(2+V3,6]

C.(2A/3,6]D.(2+2A/6,6]

【變式1-1】在△48。中，A=60°,AB=3,則銳角△/BC周長的范圍是.

【變式1-2］設(shè)△N2C的內(nèi)角4瓦。的對邊分別為a,6,c,且bsin/=百acosB.

(1)求5的大小

(2)若6=3,求ZUBC周長的范圍

【變式1-3】在銳角△4BC中，a=2石，(26-c)cosN=acosC,

⑴求角/;

(2)求△4BC的周長/的范圍.

題型二：面積問題

【例2】已知a,6,c分別為銳角ZUBC的三個內(nèi)角N,3,C的對邊,a=2,且(2+3(sin/-sinB)=(c-6)sinC,

則△48C的面積的范圍()

A.(。詞B.事用C1半目口.序道

【變式2-1】已知函數(shù)/(x)=sinx-2cosx.

(1)若X。為函數(shù)/(X)一個零點，求cos2%.

(2)銳角△N8C中，角A,B,C對應(yīng)邊分別為。，b,c,/(4)+cos/=0,3c上的高為2,求aNBC面

積范圍.

cB

【變式2-2】在△45。中，角A、B、C所對的邊分別為。、b、c,且sinCu§cos^,6=3.

(1)求3；

(2)若△/呂。為銳角三角形，求△ZBC的面積范圍.

【變式2-3］已知a/BC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為。、b、C,且共￡=學2篝￡.

2abca+c-b

⑴求5；

(2)設(shè)。為4c的中點，6=2；求：①△4BC面積的最大值；②8。的最大值.

題型三：長度問題

【例3】已知銳角ZUBC內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c.^bsinB-csinC=(b-a)sitU.

⑴求C;

(2)若0=石，求。-6的范圍.

【變式3-1】在△ZBC中,角4式C所對的邊分別為,V3(c-acosB)=bsinA.

⑴求角A；

(2)若q=0,求b+c的范圍.

■-—4八cos5b11sinC-

【變式3口在①。二市］②商7+而萬=而F；③設(shè)△"C的面積為S,且

4V35+3(62-a2)=3c2.這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上.并加以解答.

在△/BC中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,且,b=2y/j.

(1)若a+c=4,求A/BC的面積；

(2)求△NBC周長的范圍

(3)若△NBC為銳角三角形，求竺的取值范圍.

a

2siib4+^21—cos2C

【變式3-3］已知在a/BC中，角N,B,C所對的邊為a,b,c,且滿足2cos/_&=-「無”

cos—+2C

(2

(1)判斷角2與角C的關(guān)系，并說明理由;

⑵若呵罟］,求泊范圍.

題型四：轉(zhuǎn)化為角范圍問題

【例4】已知△45。的內(nèi)角4瓦。的對應(yīng)邊分別為見仇。，在①VJcosC(4COs3+bcos4)=csinC；②

j?R

qsin---=csinA；③(sinS-sirv!)?=siYC-siaSsin^.這三個條件中任選一個，補充在下面問題中：已知

(1)求角。大小；

(2)求siiL4-sin8的最大值.

亞sin/+1sin2C

【變式4-1】記△45。的內(nèi)角。的對邊分別為見仇。，已知

1-V2cosAl+cos2C

(1)若3=2,求C；

o

…、什n兀兀qSinCs.R

(2)右Be—,—,求^—^的氾圍.

64sin3

【變式4?2】已知Q,b,。為銳角△45C的內(nèi)角/,B,。的對邊，滿足acosZ+6cos5=c.

⑴證明△ZHC為等腰三角形；

(2)若A/BC的外接圓面積為萬，求362+6+4c的范圍.

a

JT

【變式4-3］在△NBC中，角4SC所對的邊分別為a,6,c.若8=(a=4,且該三角形有兩解，則6的范圍

是()

題型五：倍角問題

【例5】己知銳角A48c的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,若4=2B,則這盧絲的取值范圍為_____.

b

c2b

【變式5-1］已知A43C的內(nèi)角4B、C的對邊分別為a、6、c,若4=28,則:+式的取值范圍為________.

ba

【變式5-2】在銳角△/8C中，44=2/8,則b岑+c的范圍是（）

2b

題型六：與正切有關(guān)的最值問題

【例6】已知銳角AA8C中，角48,C的對邊分別為"，瓦。"=62+6c,貝?。輙aMtanB的取值范圍為（）

【變式6-1】在中，角/、B、C的對邊分別為a、b、c,已知acos8+6cos/=2ccos/.

⑴求角/；

（2）若。=2,△4BC周長為6,求△4BC的面積；

（3）若△/BC為銳角三角形，求一的范圍.

b

題型七：最大角問題

【例7】幾何學史上有一個著名的米勒問題：“設(shè)點是銳角N/Q8的一邊QN上的兩點，試在。8邊上

找一點P,使得最大.”如圖，其結(jié)論是：點P為過/,N兩點且和射線02相切的圓與射線”的

切點.根據(jù)以上結(jié)論解決以下問題：在平面直角坐標系xQv中，給定兩點點P在x軸上移

動，當取最大值時，點尸的橫坐標是（）

A

2PB

A.1B.-7C.1或-1D.1或-7

3

【變式7-1]設(shè)△48C中，內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為b,c,且acosB-bcosZ=1，貝!Jtan（4-5）

的最大值為（）

31「33

A.-B.—C."D.一

5384

【變式7-2】設(shè)“BC的內(nèi)角/,B,C所對的邊長分別為a,b,c,且6a<0$。+2c?cos/=56,則tan（N-C）

的最大值為（）

A.y/3B.1C.2A/3D.走

3

題型八：三角形中的平方問題

777

【例8】05C的內(nèi)角aB,C的對邊分別為a,b,c,若4?=已，A=~'則”3C面積的最大

值為（）

A.正B.史C.述D.百

555

【變式8-1]己知實數(shù)a,b,c滿足/+4/+2°2=5,則2M+3c的最大值為.

【變式8-2]△4BC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,滿足/一僅一6尸Wbc,則角A的范圍是

（）

A.[%]B.（0,1]C.D.

題型九：等面積法、張角定理

【例9】在A43C中，角/,B,C所對的邊分別為a,b,c,ZABC=U0°,zABC的平分線交/C于點

D,且AD=1,則4a+c的最小值為（）

A.8B.9C.10D.7

【變式9-1】在中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c.ZABC=120°,N4BC的平分線交/C于

點、D,且AD=1,則4a+3c的最小值為（）

A.7+473B.7+2⑺

C.12+277D.12+4百

【強化訓(xùn)練】

（兀兀、c

1.在UBC中，若sinC=2sin8cos8,且Be二,二，則一的范圍為（）

（64）b

A.（V2,V3）B.（V3,2）C.（0,2）D.（后,2）

2.在△NBC中，AB=3,AC=2,BC>a，則cos/的范圍是（）

3.在△/BC中，的對邊分別為。也c,若QCOS5+6COS/+2CCOSC=0,貝ljC=；cosAcosB

的范圍__________.

4.已知銳角△/片C,角4民。所對的邊分別為。,仇。，若sin?B-sin?/=sin/sinC,c=4f則Q的取范

圍是.

5.在△NBC中，角4B,C所對的邊為0,4，且滿足八苗/（：05。=（揚-凝吊0??/.

⑴求A；

（2）當。=2時，求2c邊上中線期的范圍.

6.在銳角△4BC中，內(nèi)角4B,C所對的邊分別為a,b,c,滿足/一/=船.

（1）求證：A=2B；

⑵若6=1,求。邊的范圍;

⑶求熹一高+2sm/的取值范圍.

7.若A4BC中，角4,B,。所對的邊分別記作a,b,c.^a=sinBfb=sinC,且。=然(4￡R+).

(1)若4=2,求cosB；

JT

(2)證明：B<--

(3)求4的范圍.

8.在①tanXtanC-百taiL4=l+百tanC;②(2c-岳kos3=Acos/；③(a-限卜irL4+csinC=6sin5這

三個條件中任選一個，補充在下面問題中并作答.

問題：在△/8C中，角4瓦。所對的邊分別為。也。，且.

⑴求角8的大?。?/p>

⑵已知c=6+l,且角A有兩解，求b的范圍.

9.記△4BC內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,且(a?+〃-c2)(acos8+6cos/)=abc.

⑴求C；

(2)若△4BC為銳角三角形，c=2,求△48C周長范圍.

TT―

10.如圖，已知扇形。48的半徑為2,ZAOB=-,P是標上的動點，M是線段04上的一點，且

2兀

ZOMP=—

3

(1)若3尸=石，求尸”的長;

(2)求的面積最大值.

11.△48C中，角4,B,C所對應(yīng)的邊分別是a,b,c,且acosC+V3asinC-b+

⑴求力;

(2)若a=2,求8c邊上高的最大值.

12.已知△/BC中，角4瓦。所對的邊分別是。也。，其中，a=4&,tan/=2行.

(1)求△ABC的外接圓半徑；

(2)求△ABC周長的最大值.

13.已知應(yīng)=(sin2x,sin2x),n=(l,2),/(x)=m.

⑴求/(x)的最小正周期；

(2八/2。中，角4、B、C所對邊分別為。、b、c,且〃/)=2.

①求角A的大??；

②若△ABC為銳角三角形，且“=也，求6+缶的最大值.

14.在銳角△4BC中，分別是角42,C的對邊，1+￥=幺.

tanCc

⑴求角B的大??；

⑵求siih4+sinC取值范圍；

(3)當sin4+sinC取得最大值時，在DBC所在平面內(nèi)取一點D(D與B在4c兩側(cè)),使得線段。C=2,DA=1,

求△5CD面積的最大值.

15.已知△/2C的三個內(nèi)角48,C的對邊分別為。也c,且/=/-。2+慶.

(1)求A；

⑵若△/3C的面積是6,c=2b,求〃；

/___\

—?—?~ABBD

(3)若。為邊ZC上一點，且滿足+2尸=]——+=---------,°=2K