山東省單縣某中學(xué)2024-2025學(xué)年高三年級下冊第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

山東省單縣第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期第二次模擬考

試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合/={々1,4},集合2={1,叫，若/口3=3,則實數(shù)。=()

A.2B.-2C.±2D.0

2.已知復(fù)數(shù)二=l+2i,則一在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在()

Z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知向量1,且同=1，但+59=2,則B在Z上的投影向量為()

A.1B.-1C.-aD.a

4.若(2x—1)'=%+%(x—1)H--F%(x—I)，'則4=()

A.-10B.-1C.1D.10

5.設(shè)Q,bwR,則下列結(jié)論正確的是()

A.若a>b,則一■<B.若4<6<0,貝!J(。-1><(6-1)2

ab

C.若a+6=2,貝！12"+2,4D.若2"+：>2“+1，貝!]

ba

6.已知直線/：丘-y+1-左=0和圓0。:/+必=/&>0),則>是“存在唯一后使得

直線/與。。相切”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.當(dāng)xe[-2兀,2兀]時，曲線y=sinx與y=卜*一1]的交點個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

8.正方體MCD-4ACQ的棱長為3,平面/8C。內(nèi)一動點。滿足|。/|=2|0同，當(dāng)三棱錐

。-DD/的體積取最大值時，該三棱錐外接球的表面積為()

A.24兀B.27兀C.54兀D.56兀

試卷第1頁，共4頁

二、多選題

9.已知變量x,y的樣本數(shù)據(jù)如下表，根據(jù)最小二乘法，得經(jīng)驗回歸方程為5=加+3.4,則

()

X12345

y59101115

A.6=2.3

B.當(dāng)x=5時，對應(yīng)樣本點的殘差為0.6

C.表中y的所有樣本數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是11

D.去掉樣本點（3,10）后，＞與x的樣本相關(guān)系數(shù)不變

10.已知函數(shù)［卜）與其導(dǎo)函數(shù)g@）的定義域均為R,且1（x+l）為奇函數(shù)，

g（x）+g（l-x）=4,則（）

A.［（x）+〃2-x）=0B.g（x）+g（x+l）=0

C.g（-3）+g（-4）=4D.f（x）-f（l-x）=4x

11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給定〃個點4（%,匕=…，叫到這〃個點的距離之和

為定值d的點的軌跡，稱為“多焦點曲線”，其軌跡方程記為1（4,4,4廣、4；"）=0?己知

4（一1,0）,4（i,o）,4（0,6）,則（）

A.多焦點曲線/（4門）=。所圍成圖形的面積為兀

B.多焦點曲線/（4,4；2）=。是焦點為4,4的橢圓

c.若存在滿足方程/（44，4；"）=o的點河（x，夕），則公26

D.若多焦點曲線/（4,4,4；4）=0所圍成圖形的面積為S,則由＜5

三、填空題

12.某區(qū)學(xué)生參加模擬大聯(lián)考，假如聯(lián)考的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，其總體密度函數(shù)為:

1(X-85)2

小)=^"且尸（704X400）=0.8,若參加此次聯(lián)考的學(xué)生共有8000人，則數(shù)

試卷第2頁，共4頁

學(xué)成績超過100分的人數(shù)大約為.

13.記V/BC的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為G，3=60。，a2+c2=3ac,

則6=?

14.拋物線C:/=8x的焦點為尸，過點尸的直線/與拋物線C交于/、2兩點，拋物線C在

4、2處的切線交于點P,貝UM為+目餐的最小值為_________.

0I

四、解答題

15.在前“項和為S”的等比數(shù)列｛%｝中，3a2=2%+%,邑=30,邑=38-%.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)令bn=an-log2tz?,求數(shù)列也,｝的前"項和北.

16.某地區(qū)擬建立一個藝術(shù)博物館，采取競標(biāo)的方式從多家建筑公司選取一家建筑公司，經(jīng)

過層層篩選，甲、乙兩家建筑公司進入最后的招標(biāo).現(xiàn)從建筑設(shè)計院聘請專家設(shè)計了一個招

標(biāo)方案：兩家公司從6個招標(biāo)問題中隨機抽取3個問題，已知這6個招標(biāo)問題中，甲公司可

2

正確回答其中4道題目，而乙公司能正確回答每道題目的概率均為甲、乙兩家公司對每

題的回答都是相互獨立，互不影響的.

(1)求甲、乙兩家公司共答對2道題目的概率；

(2)設(shè)甲公司答對題數(shù)為隨機變量X,求X的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差；

(3)請從期望和方差的角度分析，甲、乙兩家哪家公司競標(biāo)成功的可能性更大？

17.如圖，四棱錐P-42CD中，/BCD是邊長為2的正方形，人尸/3是以尸為頂點的等腰

直角三角形，。為48的中點，。為PZ)的中點，PD=屈.

(1)證明：PO1BC-,

⑵過瓦。兩點的平面與直線/尸,。尸分別交于點且平面〃/C,求平面

試卷第3頁，共4頁

與平面尸CD夾角的余弦值.

18.已知函數(shù)/(x)=Qx~^ax2-ax^aGR).

⑴當(dāng)a=3時，求曲線y=〃x)在(OJ(O))處的切線方程；

⑵求證：當(dāng)aVl時，尸(x)=W(x)+；af在(0,+(?)不存在最小值；

⑶若g(x)=ZH在(-叫0)存在極值點，求實數(shù)a的取值范圍.

19.已知橢圓C：￡+E=l(“>6>0)的離心率為包，左、右焦點分別是耳￡，過月的直線

ab'2

與。交于M,N兩點,A"F]N的周長為4拒.

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若OM1ON,記線段MV的中點為A

(i)求R的坐標(biāo)；

(ii)過R的動直線/與C交于P,0兩點，PQ,PN的中點分別是S和7,求ARST面積的

最大值.

試卷第4頁，共4頁

《山東省單縣第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號12345678910

答案CCDDCACCBCDAC

題號11

答案ACD

1.C

【分析】由集合的運算性質(zhì)得出再根據(jù)子集的性質(zhì)和集合性質(zhì)得出/=4即可求出

答案.

【詳解】由/口8=3得到81兒由子集的性質(zhì)可知/e{-2,1,4}.

對于任意的實數(shù)“，/NO,/不能等于一2,由集合元素的互異性，/=i不成立，

故只能是1=4；求出。=±2.

故選：C

2.C

7

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，化簡復(fù)數(shù)一，得到復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點，即可得到答

Z

案.

71-2i(l-2i)2-3-4i

【詳解】z=l+2i,則亍=1-2i,則三二」!=

zl+2i(l+2i)(l-2i)-5

所以復(fù)數(shù)三在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為金］,該點位于復(fù)平面的第三象限.

z<557

故選：C.

3.D

【分析】由,+分)g=2求出鼠3=1,再利用投影向量公式求解.

【詳解】解：因為伍+可方=/+33=1+)石=2,

所以5石=1,

a-ba

所以3在萬上的投影向量為向同=a

故選：D

4.D

【分析】令"X-1,將二項式變形為(2/+1)5=&+"+〃/+…，然后利用二項式展開

答案第1頁，共18頁

的通項公式，即可求得如的值.

【詳解】因為(2%一1)5=%+〃](X—1)+42(工一1)2+??斗。5(》—1)5，

令't=X~\,貝｛JX=/+1,以(2,+1)5=〃0+〃,+〃2,2+,??+45.，

又因為⑵+1)5展開式的通項為&]=GQ產(chǎn)T=25-q尸(0<r<5,reN),

令5-尸=1,解得［=4,所以q=C；?2=10,

故選：D.

5.C

【分析】舉例說明判斷AD；利用不等式的性質(zhì)推理判斷BC.

【詳解】對于A,取"1,6=-1,滿足a>b,而上=1=LA錯誤；

ao'

對于B,由。<6<0,得1—a>1—b>0,則(a—I)?=(1—a)?>(1—b)~=(b—I)2,B錯誤;

對于C,2a>0,2h>0,2"+2-2后方=26行=4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時取等號，C正確;

對于D,取。=-1,6=—滿足2"H—=—>V2—1=24H—,而a>b不成立，D錯誤.

2b2a

故選：C

6.A

【分析】先由廠=也，點到直線距離公式列出方程，求出此時k=-1,充分性成立；求出

/:丘-V+1-左=0所過定點，再由存在唯一先使得直線/與O。相切”，得到/*=1或定點在

圓上，得到方程，求出相應(yīng)的答案，必要性不成立.

【詳解】r=亞時，/：依一了+1-左=0到。。:/+/=2的距離為=^2,

故1一2左+左2=2+2-,解得肚=-1,

滿足存在唯一人使得直線/與。。相切”，充分性成立,

/:丘-y+1-左=0經(jīng)過定點

若r=l,6。：/+/=1,若左=(),此時直線/:y=l,

直線/：>=1與。。相切，另一條切線斜率不存在，

故滿足存在唯一左使得直線I與OO相切”，

當(dāng)M(1,1)在。<9：/+=r&>°)上，滿足存在唯一k使得直線/與O。相切,

故/=1+1=2>

答案第2頁，共18頁

又一>0,解得/=血，必要性不成立，

故“尸=也”是“存在唯一k使得直線/與相切”的充分不必要條件.

故選：A

7.C

【分析】令sinx=--l|,易知x=0是sinx=p-l|的一個根.當(dāng)無?0,2可時，令

/（無）=er-l-sinx,xe（0,24利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可判斷方程根的個數(shù).當(dāng)xe[-2K,0）時

,sinx=1-e，,畫出兩個函數(shù)的圖象判斷交點個數(shù)求解.

【詳解】解：令situ=HT，

當(dāng)x=0時，sin0=p-l|,

故x=0是sinx=|ex-1|的一個根.

當(dāng)xe（0,2兀]時，sinx=e*-1.

令f（x）=ex-1-sinx,xG（0,2K]，

則/'（%）=e"-cosx>1-cosx>0,

所以「（X）在X￡（0,2兀]上單調(diào)遞增,

所以/（“〉/（0）=0，

x

所以（0,2可時，e-1>sinx,即方程sim=卜、-1|在XE（0,2兀]無實數(shù)根.

當(dāng)xw[—2兀,0）時，sinx=1-ex,

>=1-e"在x￡2兀,0）上單調(diào)遞減，且y=l-e”vl,

如圖所示：

%

y=l-^

/3~~~-'xj,?y=1-e*與y=sinx的圖象在xe[-2n,0）上有兩個交點,

2nOx

y=sinx

所以方程sinx=W-1|在xe[-27T,0）有兩個不同的根.

綜上所述，曲線>=sinx與>的交點個數(shù)為3.

答案第3頁，共18頁

故選：c

8.C

【分析】首先求點。的軌跡方程，并確定三棱錐體積最大時的點。的位置，再代入三棱錐外

接球的半徑公式，即可求解.

【詳解】如圖，以點。為原點建立空間直角坐標(biāo)系，

/(3,0,0),5(3,3,0),Q(x,y,0),由|0|=2也可可知,

^(x-3)2+y2=2^(X-3)2+(J-3)2,

整理為（x_3『+（尸4）2=4,

所以點。的軌跡是平面N2CZ）內(nèi)，以（3,4,0）為圓心，2為半徑的圓,

如下圖，點。到平面。。4的最大值為6,此時點。在的延長線上，且8。=3,

所以0/，平面QA=6,

等腰直角三角形〃?的外接圓的半徑為③近

所以三棱錐。的外接球的半徑式=虧=亞

22

所以三棱錐外接球的表面積S=4TI7?2=54兀

9.BCD

【分析】對于A,根據(jù)表中的數(shù)據(jù)求出京1代入回歸方程可求出/，對于B,根據(jù)殘差的

答案第4頁，共18頁

定義求解判斷，對于C,根據(jù)百分位數(shù)的定義求解判斷，對于D,由于x=3j=10且樣本中

心點在回歸直線上，從而進行判斷.

1+2+3+4+5、-5+9+10+11+15，八

【詳解】對于A,由表中數(shù)據(jù)可得了=Z=3,y=----------------------=10,

5

因為經(jīng)驗回歸方程為5=%+3.4經(jīng)過點(3,10),則10=31+3.4,解得3=2.2,故A錯誤;

對于B,當(dāng)x=5時，＞=2.2x5+3.4=14.4,殘差為15-14.4=0.6,故B正確；

對于C,因為5x70%=3.5,所以表中y的所有樣本數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是第4個數(shù)，為

II,故C正確.

對于D,因為康=3工=10,所以去掉樣本點(3,10)后，y與x的樣本相關(guān)系數(shù)不變，故D正

確.

故選：BCD

10.AC

【分析】A.由/(x+1)為奇函數(shù)判斷；BC.由/(-x+l)+/(x+l)=0求導(dǎo)判斷；D.由

g(x)+g(l-x)=4還原原函數(shù)判斷.

【詳解】解：因為〃x+l)為奇函數(shù)，所以/(r+l)+/(x+l)=0,所以/(x)+f(2r)=0，A

正確；

由A可知，求導(dǎo)數(shù)，g(x)-g(2-無)=0,所以g(x)關(guān)于直線x=l對稱，

又8(%)+8(1_工)=4,所以8(2_力+80-尤)=4,即g(尤)+g(x+l)=4,故B錯誤，C正確

因為g(x)+g(l一尤)=4,所以[/卜)_/。_2]=g(x)+g(1-x)=4,

所以/'(x)-/(1-x)=4x+c，D錯誤.

故選：AC

11.ACD

【分析】對于A,可知〃4；1)=0表示以4(T，o)為圓心，1為半徑的圓，即可判斷；

對于B,推出了(4,&2)=0表示線段44；

對于c,取點4(0,-若)，以4"為邊作等邊A4M。，其中點。在人444內(nèi)，得到

答案第5頁，共18頁

d=\MA^+\MA^+|朋41=|Q41+|M2|+|M43|>1,即可判斷；

對于D,分別以點4、4、4為圓心，2為半徑作圓弧磯、石、寂推出滿足條件的

點M在三個圓弧分別與三角形的三條邊圍成的三個弓形內(nèi)(包含點4、4、4)，即可求解.

【詳解】對于A,〃4；1)=0表示到點4(T，o)的距離"=1的曲線，

是以4(-1,o)為圓心，1為半徑的圓，

則多焦點曲線;14；1)=0所圍成圖形的面積為萬義12=萬，故A正確；

對于B,7'(4,4；2)=0表示到點4(-1,0)和到點4(1,0)的距離之和為定值2的曲線，

因為|4匈=2,所以多焦點曲線/■(44；2)=0是線段44,故B錯誤；

對于c,存在滿足方程/(4,4,4；d)=o的點河(X,田，

即d=\MAyI+\tAA21+|=Jk+1)+y2-|-—])+y2+,2+f，

取點4(o,-6),可知△444和均為等邊三角形，

顯然當(dāng)點M在△444內(nèi)時，d=|兒區(qū)|+|+1取得最小值，

如圖：

以4“為邊作等邊A^M。，其中點。在內(nèi)，則|必2|=|同。|=區(qū)0|,

由ZMA2At+N044=/Q44+=60°,

可得，ZMA.A^ZQA.A,,又|4闋=%4|，貝！以AQ44，

可得W4|=|04|，

答案第6頁，共18頁

則1=四|+四2|+|叫|=%+如+血區(qū)氏4|=2百,

當(dāng)且僅當(dāng)點M為△444的中心時取等號，即4226,故c正確;

對于D,設(shè)滿足多焦點曲線/（4,4,4；4）=0的點M（x。,%）,

則網(wǎng)+|"|+|加蜀=4,

若點河在△444內(nèi)，

過點M作DE//44分別交44、44于點。、E,

則A&DE為等邊三角形，即|44=\DE\=",

可知|跖431<%刈，I兒閭<|4。|+I<|4回+，

則\MAX\+|AM2|+\MA3\<\AXD\+\A3D\+|。叫+忸明+區(qū)同

=|44|+。同+區(qū)同=|44|+|4國+區(qū)同

=|44|+|44|=4,

故△444內(nèi)的點不滿足|九區(qū)|+1兒區(qū)I+|朋41=*

若點河在△444三邊上時，

根據(jù)對稱性，不妨設(shè)點河在邊44上，

則|M4||+|"|+|M43]=|44|+|W3|v|44|+|44|=4,

當(dāng)且僅當(dāng)點M與點4或點4重合時取等號，

因此，當(dāng)點M在△444三邊上時，

當(dāng)且僅當(dāng)點/與點4、4、4重合時滿足W4|+W4|+W4|=4；

若點河在△444外，

答案第7頁，共18頁

分別以點4、4、4為圓心，2為半徑作圓弧R、44'瓦,如圖:

根據(jù)對稱性，不妨考慮點M在京上的情況，

此時|=2，|朋匐+|>|4闋=2,不滿足+|曲|+|=4；

當(dāng)點M在三段圓弧圍成的曲邊三角形外時，顯然不滿足|九闔|+|九@|+|九/4|=4；

故滿足|必|+|"|+|M闋=4的點M在三段圓弧分別與三角形的三條邊圍成的三個弓形內(nèi)（

包含點4、4、4），

所以多焦點曲線/（44,4；4）=0應(yīng)該是經(jīng)過點4,44而且在三段圓弧分別與三角形

的三條邊圍成的三個弓形內(nèi)的一條封閉曲線，

所以所圍成圖形的面積大于△444的面積內(nèi),小于△444外接圓的面積年.

故多焦點曲線1（4,4,4；4）=o所圍成圖形的面積s滿足力<s<q.故D正確.

故選：ACD

【點睛】方法點睛：與新定義有關(guān)的問題的求解策略：

①通過給出一個新的定義，或約定一種新的運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)新問題的情景,

要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息、，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移,

達到靈活解題的目的；

②遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求,

“照章辦事”，逐條分析，運算，驗證，使得問題得以解決.

12.800

【分析】根據(jù)總體密度函數(shù)可知〃=85,結(jié)合對稱性求出尸（X>100）,再估計人數(shù)即可.

1（X-85）2

【詳解】因為總體密度函數(shù)為：f（x）=T=e2/,

c/2兀

所以X~N（85,b2）,即〃=85,

答案第8頁，共18頁

1_AQ

由尸（704XW100）=0.8,所以尸（X>100）=^^=0.1,

所以數(shù)學(xué)成績超過100分的人數(shù)大約為8000X0.1=800人，

故答案為：800.

13.2亞

【分析】由三角形面積公式可得m=4,再結(jié)合余弦定理即可得解.

【詳解】由題意，S4BC=—izcsinB=^-ac=V3,

所以QC=4,-12,

所以6?=片+<?-2accos8=12-2x4xg=8,解得6=2e（負值舍去）.

故答案為：2VL

14.9

【分析】設(shè)直線/方程為尤=2+犯，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，求出

|/同=再+Z+4=8+8加2,再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到C在/、2處的切線方程，聯(lián)立后求

出尸的坐標(biāo)，從而得到歸殲=16/+16,從而表達出|/可+/1F=8（加2+1）+±p結(jié)合

對勾函數(shù)單調(diào)性得到最值.

【詳解】由題意得下（2,0）,當(dāng)直線/斜率為0時，不滿足與拋物線交于兩個點，

設(shè)直線/方程為1=2+加>，聯(lián)立=8%得，y2-8my-16=0,

設(shè)4（石,%）,8（%2，歹2），必〉0,%<0,

則%+%=8加”1%=T6,

故玉+%2=4+加（必+歹2）=4+8加2為”"辦）'4'

2

故\AB\=xx+x2+4=8+8m,

I——i/\1i

y=2y[lx_yf2x2,故過”（再Ji）的切線方程為>一2收x,=V5X]5（x-再），

同理可得過點B（x2,%）的切線方程為>+242x1=-瓜）（x-x2）-

聯(lián)立y-2>/2%2=母工1萬（x-再）與y+lyflxf=-也（x-%）得

答案第9頁，共18頁

故yj=2(玉+Xj-Rw)=2x(4+8〃/=l6m",

yP=+4m,貝I]|尸尸『=42+(4m『=16wj2+16,

故+—^=8（后+1）+^—,

11|PF|2、>m2+1

其中加2+121,由y=8f+；在fe[l,+s）上單調(diào)遞增，

故當(dāng)病+1=1,即加=0時，|四+」|^=8加+1）+」^取得最小值,

|rr|m+1

最小值為8+1=9.

故答案為：9

【點睛】方法點睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法:

（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決;

（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù),

再求這個函數(shù)的最值或范圍.

15.(1)??=2"

(2)7；=(n-l)x2"+1+2

【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，由3%=2%+6,可以計算得出等比數(shù)列的公比9=1

或4=2,分別再由其=30得q,驗證，是否符合S?=38-%,得到%=2,得出數(shù)列的通

項公式.

答案第10頁，共18頁

⑵根據(jù)?！?2",得出”的通項公式，錯位相減得出

【詳解】(1)設(shè)數(shù)列｛《｝的公比為4,

由3a2=2%+%,得3%0=2%+%/,所以3q=2+/,解得《=1或4=2,

若4=1,則由'=30,得％=[,所以邑=15,38-。5=38-￡=?與$2=38-%矛盾,

所以，qwi

若g=2,則由邑=30,得q=2,所以$2=6,38-05=38-2x24=6,符合

$2=38—%,所以q=2,q=2,所以%=2".

故數(shù)列｛4｝的通項公式為：%=2"

(2)由2=an-log2a?=n-2",

7；=1X2+2X22+3X23+...+,-1卜2"1+"2"

兩邊乘以2得

234

2Tti=1X2+2X2+3X2+...+傘-1卜2"+〃x2",

兩式相減得：-1=2+22+23+...+2'-1+T-nx2,+1,

,2x(1-2"),

:.Tn=〃x2"i——:2=(〃一l)x2"i+2

故數(shù)列也｝的前〃項和(=(〃-1)x2"+1+2.

1

16.⑴石；

(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為2,方差為(；

(3)甲公司競標(biāo)成功的可能性更大.

【分析】(1)將甲乙共答對2道題的事件分拆成兩個互斥事件的和，再利用相互獨立事件的

概率，結(jié)合古典概率求解作答.

(2)求出X的可能值及各個值對應(yīng)的概率，列出分布列，求出期望和方差作答.

(3)求出乙公司答對題數(shù)的期望和方差，與甲公司的比對作答.

【詳解】(1)記“甲、乙兩家公司共答對2道題”的事件為A,它是甲乙各答對1道題的事

件、甲答對2題乙沒答對題的事件和，它們互斥，

答案第11頁，共18頁

則有尸(/)=皆XC；($I(1-舍X(1-$3=1

1?

所以甲、乙兩家公司共答對2道題目的概率是《.

（2）設(shè)甲公司答對題數(shù)為X,則X的取值分別為1,2,3,

1C2Cl1

P(X=1)=看=1,RX=2)y

則X的分布列為:

1Q11312

期望￡(丫)=1、］+2義］+3*］=2,^?^D(X)=(1-2)2X-+(2-2)2X-+(3-2)2X-=-_

（3）設(shè)乙公司答對題數(shù)為y,則y的取值分別為0,1,2,3,

p（y=0）=（乎$,尸e=1）=c卜22=>

"=2）=0（/；=："=3）=守=3,

1O429

方差。(y)=(0-2)2x藥+(1-2)2*§+(2-2)2、5+(3-2)2、句=5,

顯然E(x)=E(y),A(x)<o(y),

所以甲公司競標(biāo)成功的可能性更大.

17.（1）證明見解析

⑵半

【分析】（1）根據(jù)幾何關(guān)系，證明尸。，平面/BCD,即可證明線線垂直；

（2）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理說明NC//MN,再根據(jù)（1）的結(jié)果，以點A為原點建立空間

直角坐標(biāo)系，分別求平面和平面P8的法向量，利用向量法求解.

答案第12頁，共18頁

【詳解】（1）連結(jié)0D,因為APHB是等腰直角三角形，且O為斜邊N8的中點，

所以尸0_L/8,且尸。=工/8=1,

2

OD=y!AO2+AD2=V5>PD=4^，

所以PO2+O￡）2=「￡）2,

所以PO_LOZ）,且ABriOD=O,/8,ODu平面/BCD,

所以尸O_L平面4BCD,且BCu平面/BCD,

所以尸OIBC.

（2）連結(jié)兒W,/C,因為平面8N0M〃/C,/Cu平面PNC,平面BNQMPl平面尸/C=〃N,

所以/C//MN,即痂=4%,

由（1）知尸。_L平面/BCD,

如圖以點A為原點，為陽〉軸，過點A作與尸。平行的直線為z軸，

/（0,0,0）,P0,0,1）,C（2,2,0）,￡>（0,2,0）,5（2,0,0）,og[，；]，

?C=（1,2,-1）,P5=（-1,2,-1）,加=H，1，￡|，芯=（2,2,0）,

設(shè)平面尸CD的一個法向量為成=（x,y,z）,

m-PC=0[x+2y—z—0

則｛―.，即｛八，令了=1,則x=0,z=2,

m-PD=0[-x+2y-z=0

則平面PCD的一個法向量為m=（0,1,2）,

設(shè)平面的一個法向量為為=（a,6,c）

—.L——31

rn?BQ=0〃,BQ=—a+b—c=0

則_,BP22令”1,則6=—l,c=5,

n-MN=0一

iyn-AC=2oa+2b=0n

所以平面3NQW的一個法向量為=(1,-1,5),

設(shè)平面BNQM與平面PCD夾角為6,

廠

則cos6=Icos(m,萬)]=9/

所以平面BN0M與平面PCD夾角的余弦值為姮.

答案第13頁，共18頁

18.(l)2x+y-l=0

⑵證明見解析

⑶(-°°，o).

【分析】(1)先求導(dǎo)函數(shù)，得出切線斜率再寫出點斜式方程即可求解;

(2)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性即可證明；

(3)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性分是否為負根討論求解.

【詳解】(1)當(dāng)°=3時，函數(shù)/(x)=e，一f-3x,f(x)=e-2x-3.

則/'(0)=e°-3=-2,又/(O)=e。-0=1.

故曲線尸/⑺在(0/(。))處的切線方程為2x+y-l=0.

(2)由尸(x)=切(尤)+:。尤2得尸卜)=xe*1312/

—ax——ax(x>0,6ZGR).

32

9(x)=(x+l)e%-ax2-ax=(x+l)(e“-ax),

設(shè)m(x)=e"—ax,xG(0,,則加'(x)=ex—a.

當(dāng)aWl時，對任意的xc(0,+8),??,(x)>0,則根(x)=e*-ox在(0,+ao)上單調(diào)遞增.

此時〃z(無)>機(0)=1>0,對任意的xe(O,+e),廣(x)>0,

故尸(x)=切(x)+go/在(0,+“)單調(diào)遞增，不存在最小值.

X12(x

⑶g(x)=ZH=e-3>2==0…，得g，(x)=X—l)ea

2

xxx3x3

因為g⑴=在o)存在極值點，首先g'(x)=0有負解.

如)=個-畀。得丁q有負根，設(shè)M+三里，

答案第14頁，共18頁

當(dāng)Xe(口,0)時“3=』-2：+2屋0,所以〃3=(“；哼在(-8,0)單調(diào)遞減.

且當(dāng)X.0時，〃(x)--8,當(dāng)XfYO時，〃(x)f0.

因為(x」)e'=里有負根,所以￡<0,即。<0.并設(shè)0一1卜'=巴的負根為％.

%233x3

,

即Xo€(-8,O),使g'(Xo)=O,則當(dāng)時,g(x0)>0,g(x)=/3單調(diào)遞增,

,

當(dāng)xe(x0,0)時，g(x0)<0,g(x)=g單調(diào)遞減，/為g(x)=2。的極大值點.

綜上，若g3=?l在(-雙0)存在極值點，則實數(shù)。的取值范圍為(-8,0).

【點睛】關(guān)鍵點點睛：構(gòu)造函數(shù)Mx)」”?.,再求導(dǎo)函數(shù)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解題.

2

19.(1)^+/=1

。、4后］J4后)V3

(2)(1)7--1或；(U)一

(55J^55J10

【分析】⑴由橢圓的定義可得的周長為4a,求出”0.離心率e=￡=4=^，解

a2

得c=1,利用6?=/-c?,求出6,可得橢圓的方程；

(2)(i)設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合數(shù)量積為0,求出直線的斜率，進而求R

(40

的坐標(biāo)；(ii)不妨設(shè)點k的坐標(biāo)是，此時直線"N的方程可化為

L7

也x+y-6=0,S^ST=S,TRS=1stMs=；S；設(shè)點S到直線MN的距離為d,求出三角形

的面積，分類討論，求出"的最大值，即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)由橢圓的定義可得A"F；N的周長為4a,所以4a=40,所以a=0.

離心率6=￡=/=走，解得c=l,所以〃=/12=1,

ayJ22

所以橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.

答案第15頁，共18頁

F2]X

(2)(i)由(1)可得點6坐標(biāo)。，0)，易得過點月的所有直線與橢圓一定有兩個不同的交點,

由(W_LON可得而.而=0.

①直線斜率不存在時，在橢圓方程中令x=l得了=±等，

________11

不妨設(shè)MI,2-，N1,--，所以0M0N=1-L=±/O,所以不成立；

I2JI2J22

②直線"N斜率存在時，設(shè)直線的斜率為七則其方程為>=左卜-1)，

設(shè)的士,%）1（%2，%）,

y=k[x-1）,

2222

由方程組X11消去y,W（2k+1）x-4kx+2^-2=0,

——+V2=1

I2,