數(shù)學事件的關系和運算教案-2024-2025學年高一下學期數(shù)學人教A版（2019）必修第二冊

第十章概率10.1隨機事件與概率10.1.2事件的關系和運算

一、教學目標1.結合具體實例，了解隨機事件的并、交與互斥的含義；會利用簡單事件，借助并、交與互斥等事件關系準確的表示出較復雜的隨機事件.2.能結合具體實例進行隨機事件的并、交運算.3.在了解隨機事件關系與運算的過程中，感受類比思想、由特殊到一般思想在解決問題中的運用.

二、教學重難點重點：事件的包含、互斥、互相對立、并事件、交事件的含義．難點：能進行隨機事件的并、交運算，用簡單事件表示復雜事件，能夠區(qū)分互斥事件、對立事件．

三、教學過程（一）創(chuàng)設情境從前面的學習中可以看到，我們在一個隨機試驗中可以定義很多隨機事件．這些事件有的簡單，有的復雜．我們希望從簡單事件的概率推算出復雜事件的概率，所以需要研究事件之間的關系和運算．設計意圖：通過介紹教材設計的意圖，簡單明了的讓學生理解本節(jié)課的授課目的，并引導學生把復雜的事件轉化為簡單的事件，從而引出用集合的運算表示較復雜事件，讓學生了解事件關系和運算與集合運算的聯(lián)系.發(fā)展學生數(shù)學抽象、直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng).（二）探究新知任務1：探究事件的關系.在擲骰子的試驗中，觀察骰子朝上面的點數(shù)，可以定義許多事件，如：Ci＝“點數(shù)為i”，i＝1，2，3，4，5，6G＝“點數(shù)為奇數(shù)”；思考：1.你能寫出事件的樣本空間嗎？2.你能用集合表示下列事件嗎？C1＝“點數(shù)為1”；G3.你能發(fā)現(xiàn)這兩個集合之間有什么關系，這兩個事件之間又有何關系呢？小組活動：先獨立思考，再小組合作充分討論；每小組挑選一名代表展示小組討論結果，討論時間5分鐘.答：1.樣本空間Ω=2.它們分別是C1＝｛１｝和3.集合關系：｛1｝?｛1，3，5總結：一般地，若事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，我們就稱事件B包含事件A（或事件A包含于事件B），記作B?A（或特別地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B?A且A?B，則稱事件A與事件提示：不可能事件記為說一說：鼓勵學生舉出生活中具有包含關系與相等關系的實例師生活動：先獨立思考，再小組合作充分討論；每小組挑選一名代表展示小組討論結果，討論時間5分鐘.答：.(1)已知某產品是否合格包括長度、直徑兩個指標，如果A表示“長度不合格”，B表示“產品不合格”，則A?B;(2)擲一個骰子，如果A表示“出現(xiàn)偶數(shù)點”，B表示“出現(xiàn)的點數(shù)能被2整除”則A=B.設計意圖：從學生熟悉的生活場景入手，通過熟悉的集合知識，引導學生探究事件的包含與相等關系，帶領學生從多個角度理解事件的包含關系，多用實例幫助學生理解并培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學知識的能力，進一步提升他們的數(shù)學學科素養(yǎng).任務2：探究事件的運算探究：在擲骰子的試驗中，觀察骰子朝上面的點數(shù)，可以定義許多事件，如：C2=“點數(shù)為2”；D1=“點數(shù)不大于3”；E21.你能用集合表示上面的事件嗎？2.①集合D1,E1,②集合C2,E1,師生活動：合作探究，先獨立思考，再小組合作充分討論；每小組挑選一名代表展示小組討論結果，討論時間5分鐘.答：1.；C2={22.①集合關系：{1,2}∪2,3={1,2,3}，即E②集合關系：{1,2}∩2事件關系：事件E1和事件E2同時發(fā)生，相當于事件總結：一般地，事件A與事件B至少有一個發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點或者在事件A中，或者在事件B中，我們稱這個事件為事件A與事件B的并事件（或和事件），記作A∪B下圖中的綠色區(qū)域和黃色區(qū)域表示這個并事件總結：一般地，事件A與事件B同時發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點既在事件A中，也在事件B中，我們稱這樣的一個事件為事件A與事件B的交事件（或積事件），記作A∩B下圖中的藍色區(qū)域表示這個交事件設計意圖：類比集合的并、交運算，探究事件的和與積運算，通過語言描述讓學生更進一步的理解和與積事件的含義，培養(yǎng)學生知識的運用能力.任務3：探究互斥事件與對立事件探究：在擲骰子的試驗中，觀察骰子朝上面的點數(shù)，可以定義許多事件，如：C3=“點數(shù)為3”，CF＝“點數(shù)為偶數(shù)”；G＝“點數(shù)為奇數(shù)”；1.你能用集合表示上面的事件嗎？2.①集合C3，C②集合F師生活動：合作探究，先獨立思考，再小組合作充分討論；每小組挑選一名代表展示小組討論結果，討論時間5分鐘.答：1.C2.①集合關系：{3}∩5=?，即C3∩C5=?總結：一般地，如果事件A與事件B不能同時發(fā)生，也就是說A∩B是一個不可能事件，即A∩B＝?，則稱事件A與事件下圖中可以表示這兩個事件互斥提示：（1）兩事件互斥，兩事件的交事件是不可能事件.（2）兩事件互斥，兩事件的和事件不一定是必然事件.②集合關系：{2,4,6}∪1,3,5=Ω；總結：一般地，如果事件A和事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝?，那么稱事件下圖中可以表示這兩個事件對立提示：（1）兩事件對立，兩事件的交事件是不可能事件.（2）兩事件對立，兩事件的和事件一定是必然事件.注意：對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件.設計意圖：在集合知識的基礎上，進一步讓學生理解互斥事件與對立事件的含義，并通過對比區(qū)別與聯(lián)系，讓學生理解與掌握到互斥事件與對立事件的概念，并會靈活運用.總結：事件的關系或運算含義符號表示包含A發(fā)生導致B發(fā)生A并事件(和事件)A與B至少一個發(fā)生A∪B交事件(積事件)A與B同時發(fā)生A∩B或互斥(互不相容)A與B不能同時發(fā)生A互為對立A與B有且僅有一個發(fā)生A（三）應用舉例例1如圖，由甲、乙兩個元件組成一個并聯(lián)電路，每個元件可能正?；蚴?設事件A=“甲元件正常”，B=“乙元件正常”.（1）寫出表示兩個元件工作狀態(tài)的樣本空間；（2）用集合的形式表示事件A，（3）用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩解：（1）用x1，x2分別表示甲、乙兩個元件的狀態(tài)，則可以用x1（2）根據(jù)題意，可得A={(1,0),(1,1)}，BA={(0,0),(0,1)}，B（3）A∪B={(0,1),(1,0),(1,1)}，A∩B={(0,0)}；A∪例2一個袋子中有大小和質地相同的4個球，其中有2個紅色球（標號為1和2），2個綠色球（標號為3和4），從袋中不放回地依次隨機摸出2個球.設事件R1=“第一次摸到紅球”，R2=“第二次摸到紅球”，R=“兩次都摸到紅球”，G=“兩次都摸到綠球”，M=（1）用集合的形式分別寫出試驗的樣本空間以及上述各事件；（2）事件R與R1，R與G，M與N（3）事件R與事件G的并事件與事件M有什么關系？事件R1與事件R2的交事件與事件解：（1）所有的試驗結果如圖10.1-10所示.用數(shù)組x1,x2表示可能的結果，Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}事件R1=“第一次摸到紅球”，即于是R1事件R2=“第二次摸到紅球”，即于是R2同理，有R={(1,2),(2,1)}，G={(3,4),(4,3)}，N={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}（2）因為R?R1，所以事件R因為R∩G=?，所以事件R與事件G因為M∪N=Ω，M∩N=?，所以事件M與事件N（3）因為R∪G=M，所以事件Ｍ是事件R與事件G的并事件；因為R1∩R2=R，所以事件例3把紅、黑、藍、白4張紙牌隨機地分發(fā)給甲、乙、丙、丁4個人，每人分得1張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是（）A.對立事件B.不可能事件C.互斥但不對立事件D分析：先判斷是否可能同時發(fā)生，判斷是否互斥，再看是否有一個發(fā)生，最后確定是否對立.解：事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”不可能同時發(fā)生，但事件“甲分得紅牌”不發(fā)生時，事件“乙分得紅牌”有可能發(fā)生，有可能不發(fā)生，∴事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是互斥但不對立事件．故選C.例4從裝有3個黃球和4個藍球的口袋內任取3個球，那么互斥不對立的事件是（）A．恰有一個黃球與恰有一個藍球 B．至少有一個黃球與都是黃球C．至少有一個黃球與都是藍球 D．至少有一個黃球與至少有一個藍球解：從裝有3個黃球和4個藍球的口袋內任取3個球，不同的取球情況共有以下4種：①3個球全是黃球；②2個黃球和1個藍球；③1個黃球2個藍球；④3個球全是藍球．對于A，恰有一個黃球是情況③，恰有一個藍球是情況②，∴恰有一個黃球與恰有一個藍球是互斥不對立的事件，故A正確；對于B，至少有一個黃球是情況①②③，都是黃球是情況①，∴至少有一個黃球與都是黃球能同時發(fā)生，不是互斥事件，故B錯誤；對于C，至少有一個黃球是情況①②③，都是藍球是情況④，∴至少有一個黃球與都是藍球是對立事件，故C錯誤；對于D，至少有一個黃球是情況①②③，至少有一個藍球是情況②③④，∴至少有一個黃球與至少有一個藍球能同時發(fā)生，不是互斥事件，故D錯誤．故選A．（四）課堂練習1.如圖，甲、乙兩個元件串聯(lián)構成一段電路，設M=“甲元件故障”，N=“乙元件故障”，則表示該段電路沒有故障的事件為(

)A.M∪N B.M∩N C.M?∩N?解：因甲、乙兩個元件串聯(lián)，線路沒有故障，即甲、乙都沒有故障.即事件和同時發(fā)生，即事件發(fā)生.故選：C.2．甲、乙兩個元件構成一并聯(lián)電路，設E=“甲元件故障”，F(xiàn)=“乙元件故障”，則表示電路故障的事件為（

）A．E∪F B．E∩F C．E解：因為甲、乙兩個元件構成一并聯(lián)電路，所以只有當甲、乙兩個元件都故障時，才造成電路故障，所以表示電路故障的事件為E∩F.故選3．擲一個骰子，下列事件：，，，，．求：(1)，；(2)，；(3)記是事件的對立事件，求，，，．解：（1），，，，.（2），，，，．（3），，，，.，，，，，．4.一個袋子中有大小和質地相同的4個球，其中有2個紅色球（標號為1和2），2個綠色球（標號為3和4），從袋中不放回地依次隨機摸出2個球，每次摸出一個球，設事件“第一次摸到紅球”，“兩次都摸到紅球”，“兩次都摸到綠球”，“兩球顏色相同”，“兩球顏色不同”，則（

）A． B． C． D．解：對于A，因“第一次摸到紅球”，“兩次都摸到紅球”，則，A不正確；對于B，“兩次都摸到紅球”，“兩次都摸到綠球”，兩個事件沒有公共的基本事件，，B不正確；對于C，“兩次都摸到紅球”，“兩次都摸到綠球”，“兩球顏色相同”，R或G表示摸的兩個球的顏色相同，即，C正確；對于D，“兩球顏色相同”，“兩球顏色不同”，由對立事件的定義知，D正確.故選：CD5.在所有考試中，小明同學的語文、數(shù)學、英語這三科的成績都是優(yōu)秀或良好，隨機抽取一次考試的成績，記錄小明同學的語文，數(shù)學，英語這三科成績的情況．(1)寫出該試驗的樣本空間；(2)用集