折疊問題（解析版）

模型講解

1

【解析】

解：設PC'=尤，則ED=9-X,

'：BC=6,四邊形ABC。為矩形，點C'為的中點,

：.AD=BC=6,C￡)=3.

在Rt△尸C'。中，ND=90°,FC=尤，F(xiàn)D^9-x,C0=3,

：.FC2^FD2+CD1,即/=(9-x)2+32,

解得：x=5

方法點撥

一、解決方法：

①在已知三角形中利用勾股定理求出未知邊長；

②設未知數(shù)，在新形成的直角三角形中利用勾股定理列方程

③解方程及其他未知邊

例題演練

1.如圖，在Rt^ABC中，ZB=90°,AB=6,BC=8,將△ABC折疊，使點2

恰好落在斜邊AC上，與點夕重合，AE為折痕，求AC和EB'的長.

【解答】解：設匹'=x,

VZB=90°,AB=6,8c=8,

?'?AC=VAB2+BC2=10,

由折疊的性質可知，BE=EB'=無，AB'=A3=6,

貝ijCB'=AC-AB'=4,EC=BC-BE=8-x,

由勾股定理得，7+42=(87)2,

解得尤=3,

：.EB'=3.

2.如圖，已知ABC。為長方形紙片，CD=3,在C￡＞上存在一點E,沿直線AE

將△AE。折疊，。恰好落在8c邊上的點尸處，且SAAFB=6,則△AE。的面

積是（）

【解答】解：由翻折變換可得，AD^AF,ZD=ZAFE=90°,

SAAFB—6,AB—CD—3,

2

：.BF^4,

在RtaABB中，4尸=而贏=后不=5，

設EF=x,則EF=x,EC=3-x,

在RtZXEC尸中，F(xiàn)C=BC-BF=5-4=lf由勾股定理得，

X2=l2+(3-X)2,

解得尤=a,

3

AAED的面積是L1Z)?￡)E=JLX5XS=2^,

2236

故選：B.

3.如圖，矩形ABC。中，A2=8,8C=10,P為AB上一點,將△BCP沿CP

翻折至PE與AD相交于0,且OP=OF,則AP的長為()

A.aB.AC.1D.其

6363

【解答】解：???四邊形A8CQ是矩形，

：.ZD=ZA=ZB=90Q,AD=BC=10,CD=AB=S.

由翻折的性質可知：EP=BP,ZE=ZB=90°,CE=CB=10,

在△。4尸和△OEF中，

rZA=ZE

<ZA0P=ZE0F-

OP=OF

:.△OAP空XOEF(44S).

C.OA^OE,

'：OP=OF,

：.AF^EP.

4

設4尸=所=尤，則尸B=PE=8-x,C尸=10-尤，=10-（8-x）=2+x,

在Rt^FC。中，根據(jù)勾股定理得：

DC2+DF2=CF2,即82+(2+x)2=(10-X)2

解得：尸生

3

故選：B.

法強化訓練

1.如圖在矩形紙片4BCD中，AB=6,BC=8,將矩形紙片折疊，使點8與點。重合，則

折痕所的長是（）

4|--Z—

B

A.25B.2710C-fD.2713

【解答】解：連接BE,BD,設與相交于點O,如圖,

/°

BFC

:矩形ABC。紙片折疊，使點。與點8重合,

???EF垂直平分瓦），NBFE=NDFE,

；?ED=EB,FD=FB,EFLBD,

:.NEDB=/EBD,

'：AD//BC,

5

???NDEF=NBFE,

：.ZDEF=ZDFEf

：.DF=DE,

:.DE=EB=BF=FD,

???四邊形。砂尸為菱形，

在RtAABZ）中，BD—r蚣2+AD?~436+64=10,

設貝?。?。5=羽AE=8-xf

在RtZXABE中，AB1+AE1=DE1,

62+（8-x）2=~,

解得尤=至，

4

.?.2￡=”

4

?--5菱形DEBFS三角形DEB

2

AX1.EF'DB=1.DE-AB,

222

.-.AxEFX10=6x2^.,

24

.?衣=生，

2

故選：C.

2.如圖，矩形中，AB=6,BC=8.點、E、尸分別為邊8C、A￡＞上一點，連接ER

將矩形ABCD沿著EF折疊，使得點A落到邊CD上的點A處，且DA'^2A'C,則折痕

跖的長度為（）

A.3疾B.2A/10C.V37D.V61

【解答】解：如圖，過點E作垂足為

6

VDA'=2A'C,0c=6,

?：DA'=^.DC=4,A'C=ADC=2,

33

由折疊得，AF=FA',AB=A'B'=6,

設。P=尤，則膽=E4'=8-x,

在RtZXDRl'中，由勾股定理得，

X2+42=(8-x)2,

解得x=3,即。尸=3,

C.FA^FA'=8-3=5,

VZNA'C+ZDA1尸=180°-90°=90°,ZNA'C+ZA'NC=90°,

：.ZDA'F=ZA'NC,

：.ZC=ZD=90°,

.?.△A'NCs△曲'D,

y

-A/C_NC_A/Nm2_NC_AN

FDA'DFA'345

解得NC=&,A'N=兇，

33

：.B'N=A'B'-A'N=6-獨=g=NC,

33

.?.△A'CN義AENB'(A4S),

:.EN=A'N=衛(wèi)，

3

EC=EN+NC=駛+@=6=MD,

33

：.MF=6-3=3,

在中，EF=J62+33=3V5>

故選：A.

Br

7

3.如圖所示，有一塊直角三角形紙片，NC=90°,AC=8cm,BC=6cm,將斜邊AB翻折,

使點B落在直角邊AC的延長線上的點E處，折痕為A。，則CD的長為&的.

【解答】解：在RtaABC中，AB=^AC2+BC2=10,

根據(jù)折疊的性質可知：AE=AB=10,

VAC=8,

：.CE=AE-AC=2,

即CE的長為2,

設CD=x,貝U83=6-x=OE,

在Rt^CDE中，根據(jù)勾股定理得

CD2+CE2=DE2,即7+22=(6-X)2,

解得x=B,

3

即CD長為國

3

故答案為：1cm.

3

4.如圖，已知E為長方形紙片ABC￡＞的邊C。上一點，將紙片沿AE對折，點。的對應點

。'恰好在線段BE上.若AO=3,DE=1,則48=5.

AADE^AAD'E,

8

.\A￡)=A￡)-3,DE=D'E=1,/DEA=ND'EA,

???四邊形ABC。是矩形，

J.AB//CD,

:.NDEA=/EAB,

：.ZEAB=ZAEB,

：.AB=BE,

：.D'B=BE-D'E=AB-1,

在RtZ\中，AB2=D'^+D'B1,

/.AB2=9+(AB-1)2,

：.AB=5

故答案為：5

5.如圖，將矩形紙片ABC。沿直線EF折疊，使點C落在AD邊的中點C'處，點2落在

點8'處，其中AB=9,BC=6,貝的長為5.

【解答】解：設尸C'=x,則ED=9-x,

'：BC=6,四邊形ABC。為矩形，點C'為的中點，

：.AD=BC^6,CD=3.

在Rt/XFC'。中，Z￡>=90°,FC=x,FD=9-x,C0=3,

:.FC2=FD1+CD2,即/=(9-x)2+32,

解得：x=5.

故答案為：5.

6.如圖，在矩形ABC。中，AB=4,BC=6,點E為的中點，將AABE沿AE折疊，使

點B落在矩形內點尸處，連接CF,則CF的長為史.

—5—

9

D

【解答】解：連接

VBC=6,點E為8C的中點,

:.BE=3,

又；AB=4,

?',A￡=VAB2+BE2=5,

.?.85=衛(wèi)，

5

則BF=效,

5

；FE=BE=EC,

：.ZBFC^9Q°,

24、2=18

根據(jù)勾股定理得，CF=JBC2-BF2=J62T)T

故答案為：衛(wèi).

5

7.如圖，RtZXABC中，A8=18,BC=12,ZB=90°,將△ABC折疊，使點A與8c的中

點。重合，折痕為MN,求線段BN的長.

【解答】解：設BN=x,由折疊的性質可得DN=AN=18-尤,

:。是BC的中點,

：.BD=6,

在RtZXNB。中，?+62=(18-%)2

10

解得尤=8.

故線段BN的長為8.

8.如圖，在△ABC中，ZB=90°,AB=3,AC=5,。為BC邊上的中點.

(1)求8Z),的長度；

(2)將△ABC折疊，使A與。重合，得折痕跖交A8于點E,交AC于點足求AE,

BE的長度.

【解答】解：(1)VZB=90°,AB=3,AC=5,

?"-BC=VAC2-AB2=V52-32=4,

?.?。為8C邊上的中點.

.?.B￡)=Cr>=」BC=2.

2

.*.AO=^AB2+BD2=^32+22=V13；

(2)如圖，連接。E,

...將△ABC折疊，使A與。重合，得折痕EF交A8于點E,交AC于點?

：.AE=DE,

在RtZkBDE中，BE2+BD1=DE1,

設BE=x,則AE=DE=3-x,

.'.X2+22=(3-x)2，

解得尤=9,

6

互，BE=3-±=型

666

9.如圖，在RtZkABC中，ZABC=90°,AB=6,8c=8,將△QCE沿DE翻折，使點C

落在點A處.

11

(1)設8O=x,在RtZsAB。中，根據(jù)勾股定理，可得關于尤的方程6?+X2=(8-尤)

2

(2)分別求。C、OE的長.

【解答】解：(1)：將△OCE沿。E翻折，使點C落在點A處.

：.AD=CD,AE=EC,

設8O=x,則。C=4D=8-x,

"：AB1+BD2=AD2,

62+X2=(8-x)2,

故答案為：62+X2=(8-x)2；

(2)由(1)得6?+/=(8-尤)之，

解得尤=工，

4

:.BD=.L,

4

C.DC^BC-BD=8-1=空.

44

'：AB=6,BC=8,

,',AC=VAB2+BC2=V62+82=^)

.-.C￡=AAC=5,

2

D￡=7DC2-CE2=^(-^-)2-52=-y-

10.如圖，將對角線3D長為160的正方形ABC。折疊，使點8落在。C邊的中點0處,

點A落在P處，折痕為EE

(1)求線段AB和線段CV的長；

(2)連接E。，求E。的長.

12

【解答】解：(1):對角線2。為16加，

：.AB=BC=CD=AD=^^-=16,

V2

設CF=x,由折疊可知QF=BF=16-x,

由于。為C。中點，

則c°=JCD=8,

在直角三角形CF。中，由勾股定理可得：

(16-x)2=82+X2,解得：x=6.

故CF=6.

(2)如圖所示，連接E。，作EGLBC于點G,連接3。交E尸于點

由折疊可知AE=PE,BQ1EF,

：.ZBFE+ZFBQ=90°,

又/BFE+/GEF=90°,

：.ZFBQ=ZGEF,

在△EG尸和△2CQ中，

'/GEF=/CBQ

<EG=BC，

ZEGF=ZBCQ=90°

：.4EGFq4BCQ(ASA),

.,.GF=CQ=8,

：.AE=BG=BF-GF=10-8=2,

即PE=2,

由折疊可得PQ=A8=16,ZP=90°,

由勾股定理有EQ=ylF臚+pQ2=4+]62=2A/65-

13

11.已知，如圖，在長方形ABC。中，AB=8,BC=6,尸為AD上一點，將沿8P

翻折至AEBP,PE與C。相交于。，且0E=。。，求AP的長.

【解答】解：設C。與BE交于點G,如圖所示：

?.?四邊形A8CO是矩形，

.?.ZD=ZA=ZC=90°,AD=BC=6,C￡)=AB=8,

由翻折的性質得：A