圓錐曲線之面積問題一（含答案）

第二講：面積問題（一）

W【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

基礎(chǔ)目標(biāo)：掌握橢圓，雙曲線，拋物線的簡單性質(zhì)，三角形，四邊形面積的推導(dǎo)過程;

應(yīng)用目標(biāo)：掌握橢圓，雙曲線，拋物線的弦長公式,點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，并能夠熟練

使用求解三角形，四邊形面積;

拓展目標(biāo)：能夠熟練應(yīng)用弦長和點(diǎn)到直線距離公式,求解圓錐曲線面積定值等問題.

素養(yǎng)目標(biāo)：通過數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法,培養(yǎng)獨(dú)立思考和邏輯分析能力，提升學(xué)

生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

【基礎(chǔ)知識(shí)】

1、弦長公式

22

若“、N在直線歹=區(qū)+加上代入化簡，得|MN|=J1+左2忖一司=7(1+^)[(^+^)-4^2].

2、三角形面積問題

|飆一%+時(shí)

d=\PH\=

直線N3方程：y=kx+mJ1+左2

l^o-y+m|\VA|AX-y+m\

SMBP=，斗d=+—夸0=0Q

Ti+P~

3、焦點(diǎn)三角形的面積

直線N3過焦點(diǎn)2G的面積為

S^BF、=；山與卜|乂一％|=。|必一%|=^^

14a2b2(a2A2+b?B2—C2)|C|

Sa。尸951d

2片f+?7771?

+5252—02）C2.

a2A2+b2B2

注意：⑷為聯(lián)立消去x后關(guān)于了的一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù).

4、平行四邊形的面積

1/42

直線N3為了=履+叫，直線CO為夕=奴+牝

S;

2

\AB\=>!\+k|xj—x2|=+左2](再+x)2_4X]X=J]+左2

122-哈

|加i-m

V2

?？贏BCD二…、尸落匕L四

1?⑷ViTF0

注意：為直線與橢圓聯(lián)立后消去歹后的一元二次方程的系數(shù).

【考點(diǎn)剖析】

考點(diǎn)一：求三角形面積

22

C:「+4=l(a>6>0)V2

1.已知橢圓ab,,的左焦點(diǎn)尸（-1，°）,且離心率為2.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）若0（1，-2）,過橢圓C的左焦點(diǎn)廠的直線/交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，且直線/傾斜角為45。，求

△。暇N的面積.

—Hy=1—

【答案】⑴2..⑵3.

c_V2

a2

13_

壽.薪一

a2=b2+c2

解析：（1）由已知得:

a=V2

<b=12

=]—+y2=1

解得〔c，所求橢圓方程為2

⑵設(shè)河（再，%），"。2，%）,直線/的斜率gtan45o=l,故直線/的方程為：片》+1,

|y=x+1

聯(lián)立['2+2/-2=0,消去x得：3y2-2y-l=0

y=--1

法一：；.^=1或3.

2/42

\y=x+l

聯(lián)立i了=-2得￡(-3,-2)(QE=4

的面積為:

2-1

法二，"十%

(y=x+l

聯(lián)立iV=一2得￡(-3,-2),QE=4

的面積為:3H…』=|

141

法三：.f=l或3.代入直線v=x+i,得'，33

C8而

；.N到直線QM：3x+V-l=0的距離一飛",|。叫=，10

18

.??小義的面積為丁河匕,

22

C:——+=1(。>Z>>0)V2

變式訓(xùn)練1:已知橢圓ab~的離心率為2,右焦點(diǎn)寫到上頂點(diǎn)的距離為近.

(1)求橢圓C的方程;

⑵斜率為2的直線/經(jīng)過橢圓C的左焦點(diǎn)￡,且與橢圓C相交于48兩點(diǎn)，求A4即的面積.

由(1)得片(T°)，60，°),則由題意可設(shè)直線/號=2》+1),

x2_,

---=129

代入橢圓方程2整理可得9/+16X+6=0,

162

設(shè)A(不必),B(x2,y2),則再+%=一彳莊=3,

3/42

則由弦長公式知

又設(shè)月至〃的距離為“，則由點(diǎn)到直線距離公式可得"出,

c110V244V10

S口=—x------x--j==--------

的面積229石9,

4碗

即所求面積為k.

解法二：

由⑴得片（T°），6°，°）,則由題意可設(shè)直線/：”2。+1）,即“一5

X22,

----HV=12

代入橢圓方程2整理可得9廣-外-4=0,

44

設(shè)N（XQ）B（X2，%）,則乂+%=§，卬

,?「--------~_11616_4Vi0

?」弘一〉2|=｛（必一了2）-4必J/2=后+§=~^~

則一的面積5fl電岡必--卜-訃嚕,

4亞

即所求面積為9.

例2.已知拋物線°：/=2Px（p>0）上的點(diǎn)M（4,7"）到焦點(diǎn)F的距離為6.

（1）求拋物線C的方程；

（2）設(shè)廠為拋物線C的焦點(diǎn)，直線/?=2x-8與拋物線C交于A,8兩點(diǎn)，求的面積.

【答案】⑴J、"；（2）12

\MF\=4+^-=6“

解析：⑴因?yàn)?,所以〃=、

故拋物線方程為：產(chǎn)=8七

⑵設(shè)”（再，必），3。2，%）,且不<馬，

由1"=2無一8可得X?—10丁+16=0,故x=2或x=8,

故玉=2,七=8,故1（2,-4）,8（8,8）,故同卜gx|2-8|=6石,

4/42

|2x2-0-8|4

d—L—

而尸到直線/B的距離為布4亞,

—x-^x6V5=12

故AK48的面積為2V5

變式訓(xùn)練2：已知拋物線U/=2加(°>0)的焦點(diǎn)為尸，直線》=26與拋物線C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)A,。為坐

標(biāo)原點(diǎn)，Q=2|0n

(1)求拋物線C的方程；

⑵直線/：『=瓜+2與拋物線C交于/,N兩點(diǎn)，求A4MN的面積.

【答案】⑴/=8乙⑵80

/卜后一父尸］。,馬

解析：⑴由題意可得I2(I2九

、匹+12=2XB

因?yàn)閨O/|=2|O刃，所以丫42,解得〃=4,

故拋物線C的方程為V=8y.

d_|V3x2V3+2+2|_5

⑵由（1）可知/（26，-2）,則點(diǎn)A到直線/的距離V3+1

\y=Gx+2

聯(lián)立"二匕，整理得Y—8氐-16=0.

設(shè)M（X],必），N（^2，丫2）,貝|西+%2=8A/^,

從而必+%=（再+%2）+4=x8>/3+4=28

因?yàn)橹本€/過拋物線的焦點(diǎn)尸，所以1MN|=?+%+4=28+4=32.

人4A-丫—IMN\d=—x32x5=80

故AOW的面積為22

5/42

C勺=1(。>08>0)=1

例3.已知雙曲線?b-與雙曲線62的漸近線相同，且經(jīng)過點(diǎn)

(1)求雙曲線C的方程；

(2)已知雙曲線0的左右焦點(diǎn)分別為耳，工，直線/經(jīng)過斜率為7,/與雙曲線0交于A,B兩點(diǎn),

求MN5的面積.

【答案】⑴3；(2)6夜.

2222

vx321

----------=%Ca、------=7％=—

解析：(1)設(shè)所求雙曲線0方程為62，代入點(diǎn)"力得：62，即2,

y2，12y2,

---------=—X=1

，雙曲線C方程為622,即3.

(2)由(1)知：1(,),2('),即直線AB的方程為了=一。一2).

設(shè)/（XQ1）,8（%2，%），聯(lián)立、*3,得2，+4%-7=0,

__7

滿足A>0且再+迎=-2,王馬-2,

|四=J1+（-1）2.|x「七|=Jl+（-I?.（-2）2-4.JJ

由弦長公式得、I2>=>/2-3V2=6,

J-2+Q-2L/2

點(diǎn)耳（-2,0）到直線/8:x+y-2=0的距離D^2V

變式訓(xùn)練3：已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為尸Q，0),直線孔-2了=°與雙曲線C的一個(gè)交點(diǎn)的橫

坐標(biāo)為2.

(1)求雙曲線°的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)(°」)，傾斜角為135°的直線/與雙曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，°為坐標(biāo)原點(diǎn)，求AONB的面積.

2

x2y-i3

【答案】⑴3.(2)2

=1（?！?,6>0）

解析：(1)設(shè)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是/

由題可知：點(diǎn)口3)在雙曲線C上,

6/42

a2+b2=4

a2=\

巴-2=i-

2

從而有"〃，解得b=3

X————]

所以雙曲線c的標(biāo)準(zhǔn)方程為3

(2)由已知得直線/的方程為y=_x+l即x+yT=0

,|o+o-i|1

d—1-----------L-------

所以原點(diǎn)。到直線/的距離歷

<3

聯(lián)立〔歹=一、+1消去丁可得x2+x-2=0

設(shè)4a,弘),_8。2，歹2),貝|J西+工2=-1，可%2=-2

\AB\==V1+FJ(-1)2-4x(-2)=3V2

所以VY

S=-\AB[d=-x342x-^==-

所以AO/5的面積22拒2.

考點(diǎn)一：求四邊形面積

22

..C:=+4=l(a>b>0)I”，-1

1.已知為橢圓?6的左右頂點(diǎn)，恢蜀=、橢圓C的離心率為2.

(D求C的方程.

(2)斜率為1的直線/與拋物線V=4y相切，且與C相交于兩點(diǎn)，求四邊形4人區(qū)"的面積.

一)22472

------1------—1--------

【答案】⑴43；(2)7

解析：⑴由題意知.閡=4,可得2a=4,即。=2,

又因?yàn)閏的離心率為，一5,即/一a,所以〃=3,

22

上+J

所以橢圓C的方程為43.

[y=x+m

(2)設(shè)1方程為y=x+"7,聯(lián)立方程組1犬=4了，整理得X2-4X-4〃7=0,

因?yàn)橹本€/與x?=4y相切，可得△=16+16〃?=0,解得，〃=-1,即直線1方程為"Al,

7/42

所以如闋如一刃】卬12A/22472

77

E=l(a>Z>>0)FF

變式訓(xùn)練1：.已知橢圓?b-的左、右焦點(diǎn)分別為月，%,短軸的下端點(diǎn)A的坐標(biāo)為

(0,-1),且1胤+|工即=4.

(1)求橢圓E的方程；

(2)設(shè)B,C是橢圓E上異于A的兩點(diǎn)，且直線2C與坐標(biāo)軸不垂直，MB|=|/C|,8c的中點(diǎn)為G,求四邊

形”尸。工的面積.

,473

一+y2=1---

【答案】⑴4.；(2)3

解析：(1)由橢圓E短軸的下端點(diǎn)A的坐標(biāo)為(°，T)

可得：6=1

由|/用+以用=4及橢圓的定義，可得：2a=4,即a=2

x2_,

—y2=1

所以橢圓E的方程為：4■

(2)由直線BC與坐標(biāo)軸不垂直，可設(shè)直線BC的方程為y=bc+n(k^O)

代入―+獷=4并整理得：(4^2+l)x2+8knx+4n2-4=0

貝ijA=64HH2-4(4k2+1)(4/-4)=16(4/+1_/)>0

_8kn

設(shè)8(國,歹1),。(工2，歹2),則有：4左2+1.

4knn

設(shè)8c的中點(diǎn)G(x。，％),則/I=,且為=°+n=4*2+l.

因?yàn)?8=/C,G為BC的中點(diǎn)，所以NG'BC,可得：kAG-kBC=-\

8/42

%+1.=]4Jm

則有：無。，即4/+1

4V+1

n=------

化簡可得：3

A1/4721（4左2+1）

所A以=16I4左+1-I---3---人>0

解得：-4i<k<^2,且％NO

n_H_1

故有：%=4/+廣京=3

則四邊形/G耳的面積：2"”2bJ3.

例2.已知拋物線E：其：=2川(P>0)的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)尸在E上，點(diǎn)在E的內(nèi)側(cè)，且加+陷的

5

最小值為

(1)求￡的方程;

(2)°為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)/在>軸正半軸上，點(diǎn)及C為E上兩個(gè)不同的點(diǎn)，其中2點(diǎn)在第四象限，且N3,

℃互相垂直平分，求四邊形/O8C的面積.

【答案】⑴「=》；⑵6百

x=-P

解析：(1)E的準(zhǔn)線為/：2,作H?1/于R,

根據(jù)拋物線的定義有陷=附，所以附+園=附+園,

因?yàn)镮'2)在￡的內(nèi)側(cè)，所以當(dāng)P,Q,R三點(diǎn)共線時(shí)，PM+PO取得最小值,

|P7?|+|pd=l2^l=i+-=-p=-

此時(shí)?1111124,解得〃2,

所以E的方程為F=x.

(2)因?yàn)锳B,0C互相垂直平分，所以四邊形AOBC是菱形.

由Q4〃8C,得8clx軸，設(shè)點(diǎn)N(0,2a)(a>0),則叫=2°,

9/42

由拋物線的對稱性知C（K"）,OC=（?,a）,"8=（?,_3。

由。C_L4B,^OC-A5=a2xtz2-3d!2=0,解得。=百，

所以在菱形Z05C中，M°I=2G,0/邊上的高〃=/=3,

所以菱形4OBC的面積S=以。|A=2＞/3X3=6A/3■

變式訓(xùn)練2：設(shè)拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸的直線與C交于點(diǎn),（再，乂），8（%,%）,且

乂%=1.

（1）求C的方程；

⑵過點(diǎn)A作C的一條切線/,/與V軸交于點(diǎn)°（0,相）（加＜-1）,與直線＞=T交于點(diǎn)E,過。作直線N8的

平行線與直線V=T交于點(diǎn)G,若|/E|=2|OE|,求四邊形4EDG的面積.

【答案】⑴-=4九（2）86

解析：⑴由已知得I2人

y—k7xH—P

由題知直線48的斜率上存在，設(shè)直線方程為2,

12

代入*=2勿，^x-Ipkx-p-=0；所以%+》2=20左，XjX2=-p

一一》.（一萬"

%為-一,--.2-~T

所以2p2P4P4.

又乂%=1,所以P=2,即C的方程為，=4j.

⑵由（1）知尸（°，］），由拋物線的對稱性，不妨設(shè)再＞°

C:y=-x2y'=-x

因?yàn)?4,所以2

所以人「二9（、一再）.①

m=y.--x,=——

在①中，令x=0得'24

設(shè)E（XE，T）,由比＜_1且|/團(tuán)=2］。用可知%=3苫￡

10/42

土-1--2--

將I3'J代入①中得+“一/一解得％=3,占=26,即次2?3).

所以/:y=V3x-3,￡>(0,-3).

73-1V3V3

k=—『=--DC:y=—X—3

直線N8的斜率AB2V3-03,所以直線3,

令I(lǐng),得G(2"-l).

所以直線/G：X=26,所以4G〃。廠.

k=叵

又M可=|"G|=|"用=4,所以四邊形/EDG是菱形.由《廣々"可知N8傾斜角為30。，所以乙4ED=120。,

SAPn=lx4x4xsinl20°=473

故2

所以四邊形/bDG的面積為2x46=86.

考點(diǎn)二：已知面積求參

已知橢圓記一1(。>6>°)的兩焦點(diǎn)為片(T'°)和月過月的直線與橢圓C交

于48兩點(diǎn)，且M48的周長為&

(D求橢圓C的方程;

12」

(2)若坐"8的面積為亍，求直線N8的方程.

22

%J-1

［答案］(1)43；⑵~_1=0或x+y7=0

解析：(1)\"耳/8的周長為8,

4〃=8,即Q=2,

又。=1,且/=〃+/,

..5=4,"=3.

22

二+匕=1

...橢圓C的方程為43.

(2)依題意可設(shè)直線的方程為：x=〃V+l,

11/42

'22

上+2=1

43

2

x=my+1消去彳?(3m+4)y2+6my-9=0

聯(lián)立X

-6m-9

設(shè)”(國,兇)，/馬,%),則必+，3加之+4,3m2+4

2加

卜「%|=J(弘+%丫-4%%=-6m|361242+1

22

3m2+4?3m+43m+4

a1g"II1、127^7112>/2

S""#閭加-必匕小中^〒，解得〃「±1.

???直線45的方程為：歹-1=0或%+歹-1=0

22

C:=+\=l(a>6>0)

變式訓(xùn)練1：已知橢圓ab2由C的上、下頂點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)邊長為血的正

方形.

(1)求C的方程;

2

(2)直線/過C的右焦點(diǎn)尸，且和C交于點(diǎn)48,設(shè)°是坐標(biāo)原點(diǎn)，若三角形ON?的面積是求/的方

程.

%2_,

+2

~r~y=11曾__i_i

【答案】(1)2；⑵片xT或歹—一xv+l

解析：⑴由己知，。=亞,6=c=l,

2

x2,

—+y=1

所以C的方程為2

⑵尸(1，°),

11B)

S=-\AB\\OF\=-X42X1=^^-

①若/斜率不存在，易知OAB

②若/斜率存在，設(shè)4國,%),8(%，%),/：V="(x-l),和C的方程聯(lián)立得:

2

4左22k-2

(1+2左2>2一4左2%+2左2—2=0/+%2=]+2k2*1"2=]+2左2

2k2-2

-4x

1+2左2

12/42

例2.已知拋物線C：廿=2"(p>0)與直線/:x+如-1=0交于尸兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OP±OQ

(1)求拋物線C的方程；

(2)若△P。。的面積為石，求直線/的方程.

【答案】⑴「二x；⑵x+4y-l=0或x-4y-l=0

解析：⑴設(shè)尸(再，必)，。(%，%),

y2=2/>x,

V

聯(lián)立方程組［X+⑶T=0,得/+220_20=0,

則%+%=—2pk,必%=-2P.

由A=4p2F+80>o得。公+2>0

因?yàn)?。尸，。。，所以?+乂%=(1-W1)(1-@2)+必%

=1-左(“+%)+(42+1)乂乂=0,

所以1+2請一2以r+1)=1-2。=0,

1

P=-2

所以2,故拋物線C的方程為歹=。

13/42

⑵由(1)知必+%=-%,必力=T,

所以IP0l="+〃)[(?+%>-4乂%]

=/1+/)(/+4)

d=.

因?yàn)辄c(diǎn)0到直線1的距離J1+/

5皿=-尸。舊=41+公)(/+4).二^二7^^=括

2

所以22S+k

所以4=±4,

故直線/的方程為x+4'T=°或xf-1=°.

變式訓(xùn)練2：已知拋物線與直線y="（x-D相交于48兩點(diǎn)，°為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求證：OA±OB.

（2）當(dāng)S"OB=加時(shí)，求上的值.

k=±-

【答案】⑴證明見解析；⑵6.

（2

*y=%

解析：⑴聯(lián)立方程「=%（》一1）,消去》得如2一

設(shè)/（再,乂）,8（9,匕），貝”必=-1,

因?yàn)楸?=再，貨=》2,所以再工2=（乂％）2=1,

所以。/?08=卒2+必%=1-1=0,

故ON'OB.

⑵由⑴可知：。4工。8

店zS"B=；?網(wǎng).囪=；Jx；+y：h2+y；=屈

所以22

則Jx：+必2yjx；+%2—2\/f0

又yf=J；=x2

所以｛歹:+必2后/7二瓦歹2|1（必歹2）2+弘2+歹22+1=?屈

14/42

22

E:--+—1(a〉b>0)

由￡的上、下頂點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)邊長為血的正方形.

例3.已知橢圓ab

(1)求E的方程;

⑵過E的右焦點(diǎn)廠做相互垂直的兩條直線4,,2,分別和E交點(diǎn)4瓦C,o,若由點(diǎn)42,c,0構(gòu)成的四

16

邊形的面積是求4,,2的方程.

—+V2-1,,

【答案】⑴2.；(2)4與4的方程分別為：x+V-l=。，x-y-l=0

2

x2_,

I-FV—1

解析：(1)由已知，?=<2,b=c=l,所以E的方程為2'.

(2)又題意中，尸(L°),

①若4或,2斜率不存在，易知$四邊…>[也℃><收/2艮24

不符合題意;

②若//斜率存在，設(shè)/"=稔-1),和￡的方程聯(lián)立得：

2

4k2后2-2

2222

(l+2k)x-4kx+2k-2=0X|+X2=]+2]=\+2k2

i2正傳+i)

Z2:y=——(x-1)。|=————L

設(shè)k,同理可得K+2,

112行俏+1)2亞傳+i)4俏+1116

所以$四邊眼虛。=-\AB\\CD\=-X"a/—x—左2+2-=2^+5/+2=~9

解得公=1,k=±l,所以4與4的方程分別為：x+"l=0,x-y--[=Of

變式訓(xùn)練3：已知?jiǎng)狱c(diǎn)尸到點(diǎn)的距離與它到直線=4的距離之比為5.

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所形成曲線C的方程;

15/42

⑵8(T，°),分別過耳，鳥作斜率為左(左,°)的直線與曲線C交于x軸上方48兩點(diǎn)，若四邊形

12?

耳耳8/的面積為〒，求上的值.

I1

【答案】⑴43.(2)±1.

1

解析：⑴設(shè)M(XJ),由題意得上一412,

22

土+匕=1

整理得43,即為曲線C的方程.

⑵由題意知AFJIBF],延長"月交橢圓C于點(diǎn)4,

由橢圓的對稱性知以閩=忸聞，

所以■胤+忸可=|/胤+[4胤=|/可，

_反+J1

設(shè)g：V=MxT),與43聯(lián)立消得,

（3+4左2）無2-8左2尤+4左2-12=0

設(shè)/（再,%），4（%,%）,

4k2-12

X]+工2=8kXyXj=-

12z

則3+4左2,3+4F,

|44|=J1+左2卜一121=J1+左2J（%1+々）2—4國入2

所以

2

8k24〃-1212（1+F）

=J1+萬I-4x

3+4左22

3+4k=3+4F

因?yàn)辄c(diǎn)入到直線月耳的距離N1+E,

=

s四邊形片爸歷13*/+此|)IX也

所以\+k2

平方化簡得17*+〃-18=0,解得/=1或17(舍)，

所以后=±1.

16/42

例4.已知拋物線￡：y2=2px（p>°）的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)"（21）是拋物線內(nèi)一點(diǎn)，尸為拋物線上的動(dòng)點(diǎn),

且以刊+141的最小值為3.

（1）求拋物線E的方程；

（2）過點(diǎn)01）作斜率之和為。的兩條直線4,4（4的斜率為正數(shù)），其中4與曲線E交于M,c兩點(diǎn),

4與曲線E交于B,N兩點(diǎn)，若四邊形AffiCN的面積等于166，求直線4的方程.

【答案】⑴/=4,⑵-x

解析：（1）過點(diǎn)尸作拋物線￡準(zhǔn)線的垂線，垂足為。，則歸刊=歸必,

于是|4尸|+|41=|/尸|+|即|,

P

當(dāng)A,P,。三點(diǎn)共線時(shí)，網(wǎng)+因有最小值二，

2+^=324

所以2,解得：0=2,所以拋物線E的方程為V=4x.

（2）依題意可知，直線4,4的斜率均存在，并且互為相反數(shù)，

由⑴知/°⑼，

設(shè)直線乙的方程為》=%（k1）+1（加>°）,。（七，力）,

將人的方程代入r=4x并化簡得/-4叼+4加-4=0,

則必+%=4加，弘％=4加一4

\MC\=J1+加2.卜_8|=7T+/?J16加2-16加+16=4yli+加2?—m+\

利用_加替換加可得：忸N|=441+"-yjm-+m+\

7tan3=—11

設(shè)直線4的傾斜角為e,則加，直線4,,2的夾角。=2?；蜇?29,

2sin。cos。2tan<92m

sina-sin20=

sin26^+cos201+tan261+m2

S=-\MC\■|52V|?sin2<9=16m-J(m2+1j-m2=165/3

因此四邊形M8CW的面積217

令好療，得9+1）2-『=3,從而有5+產(chǎn)+，=3,解得f=l,

此時(shí)機(jī)=i,故直線4的方程為歹二七

17/42

考點(diǎn)三：內(nèi)切圓半徑（面積）

22Y在C上.

。:二+q=1（"6>0）

1.已知橢圓。'的離心率為2,且點(diǎn)

（1）求橢圓C標(biāo)準(zhǔn)方程;

⑵設(shè)耳，耳為橢圓°的左，右焦點(diǎn)，過右焦點(diǎn)鳥的直線/交橢圓0于48兩點(diǎn)，若A4幽內(nèi)切圓的半徑

為4,求直線/的方程.

J2=1

［答案］⑴了+〉一:（2）1+歷_］=0或x

V2

解析：（1）因?yàn)闄E圓的離心率為2,故可設(shè)

、

22

W1k2=-

--X--------*1-----V-------——T1

故橢圓方程為4F2k②，代入"導(dǎo)4r4/,故2,

"1

故橢圓方程為：2-

S=1X4A/2X—=—

⑵A/?片的周長為4"=4收，故…242

設(shè)/（玉,％）,8（孫力）,

由題設(shè)可得直線/與X軸不重合，故可設(shè)直線'="+1,

二；1X2X|M—Jzl=|弘一、2]=乎

S△

則，ABF12

x=ty+\

x2+2y2=2可得（ty+1）+2y2=2

由

整理得到[*?）破+2。-1=0,此時(shí)A=g?+8>0,

2亞xJ?+i76

+/弘一力卜

故〃+22，解得f=±也,

故直線/的方程為：x+向-1=0或x-?-l=O.

變式訓(xùn)練1：如圖，尸為圓比6+1）一+必會(huì)上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)/的坐標(biāo)為（L°）,線段/尸的垂直平分線交直

18/42

線8尸于點(diǎn)。.

(1)求點(diǎn)°的軌跡E的方程;

V3

(2)過點(diǎn)/的直線/交石于G0兩點(diǎn)，若內(nèi)切圓的半徑為4,求直線

1的方程.

j2=]

【答案】⑴了+'一；⑵x土岳-1=°

解析：⑴連接/。，由題意知：月尸0

\BQ\+\AQ\=\BQ\+\PQ\=\BP\=2y[2>\AB\=2,

即。的軌跡為橢圓，其中°=1,b2=a2-c2=l,

x2_,

—1-y2—1

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為2；

(2)設(shè)點(diǎn)。(如％),直線/的方程為x=，+l,

2

x2

與橢圓了+'一1聯(lián)立，消去x整理得(蘇+2)西+2吵-1=0,

2m1

顯然A>°成立，故加2+2,"“加2+2,

由橢圓定義得ACDR的周長為4a=4也，

故直線/的方程為x±?T=0.

工+匕=1

例2.已知橢圓43的左、右焦點(diǎn)分別為耳、F。,過橢圓的右焦點(diǎn)&作直線/,/與x軸垂直，交橢

圓于P、。兩點(diǎn).

(1)求0°的長.

19/42

⑵求△P。耳內(nèi)切圓的面積.

9%

【答案】⑴3；⑵正

解析：⑴在橢圓4+3一中，?=2,6=5c=l,則片(T，。)、月(1，0),

x2片_.3

將x=l代入方程4+3—可得因此，幟@=3.

m以/=；|尸件2c=3

(2)乙，

設(shè)△物的內(nèi)切圓半徑為，，則叫+園+3gqx4"=3,并

2_9TT

因此，△尸。耳內(nèi)切圓的面積為-16.

22旦

C:^+^=l(a>b>0)

變式訓(xùn)練2：已知橢圓?b2的左、右焦點(diǎn)分別為耳，區(qū),離心率為耳，過且且垂直于

x軸的直線交橢圓于弦，N兩點(diǎn)，且|八次|=也.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

4#>7

(2)過月的直線/交橢圓C于A,8兩點(diǎn)，若兒4期內(nèi)切圓的周長為9，求直線’的方程.

X22?

----Fy=1

【答案】⑴2；(2)2x土歹—2=0.

cV2

e—_——

解析：(1)由題意可知a2.

因?yàn)檫^鳥且垂直于x軸的直線交橢圓于河，N兩點(diǎn)，

且|肱V|=&,

所以。

結(jié)合/=^+。2,解得。=也，方=1,C=1.

X2_,

—y2~1

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為2?.

4至兀

245

丁—____,——,

(2)月內(nèi)切圓的半徑一2萬一9.

由橢圓的定義，得"AB片的周長為4a=4收，

20/42

設(shè)點(diǎn)A,3的縱坐標(biāo)分別為外，％,

s=；l%rjx2=

則有9

??4廂（、2，160

得歷一R二丁，得（匕+“）一5%二句

設(shè)直線/的方程為即=》一1

2

X21

一+V=1

;2

由7孫=x-l,消去X并整理,

1

/日(m+2?2_)-2my-1=0

例3.已知橢圓C的對稱中心為原點(diǎn)°,焦點(diǎn)在X軸上，左、右焦點(diǎn)分別為耳，后,且閨81=2,點(diǎn)

（1,|）

2在該橢圓上.

（1）求橢圓o的方程；

12枝

（2）過耳的直線/與橢圓C相交于N,8兩點(diǎn)，若入48§的面積為亍，求以巴為圓心且與直線/相切的

圓的方程.

y2

【答案】⑴43一；（2）（1）+12.

解析：⑴解：由題意知。=1,所以片（T°）,E（L°）,

21