整式與因式分解【十二大題型】 原卷版 -2025年中考數(shù)學一輪復習

整式與因式分解【十二大題型】

題型7整式的混合運算題型1用代數(shù)式表示

/題型2求代數(shù)式的值

題型8提公因式法分解因式

題型9公式法分解因式題型3顆的加減

專題。2整式與因式分解

題型10因式分解的應用_題型4幕的運算

題型11數(shù)式規(guī)律探究_X/題型5乘法公式的運算

/題型6乘法公式的應用

題型12數(shù)式中新定義問題探究

亦實雙砒,室或完卷知鈉體系

1整式的相關(guān)概念

1.1代數(shù)式

用基本運算符號把數(shù)與字母連接而成的式子叫做代數(shù)式，如a,3,2x-l,abc.

單獨的一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式.

1.2單項式

表示數(shù)與字母的乘積的代數(shù)式叫做單項式.

【例】—3a/c4是單項式，次數(shù)為4,系數(shù)為—3.

1.3多項式

幾個單項式的和叫做多項式.

【例】2萬3y一盯+3是多項式，有3項：2%3y,一孫3,項數(shù)是3,次數(shù)為4.

1.4整式

單項式和單項式統(tǒng)稱為整式.

2整式的運算

2.1合并同類項

(1)同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項叫做同類項.

(2)合并同類項的法則：同類項的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變.

2.2整式的加減

一般地，幾個整式相加減，如果有括號先去括號，再合并同類項.

去括號的法則

(1)括號前面是“+”號，把括號和它前面的“+”號去掉，括號里各項的符號不變；

⑵括號前面是“―”號，把括號和它前面的“―”號去掉，括號里各項的符號要改變.

2.3整式的乘除

(1)塞的運算

同底數(shù)幕相乘產(chǎn)塞的乘方(優(yōu)'尸二口皿

積的乘方(尤尸=陵那；同底數(shù)暴相除a機+a"=a小一"。

(2)整式的乘法

(1)單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)幕分別相乘，對于只在一個單項式里含

有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式.

(2)一般地，單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相

加.

(3)一般地，多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，

再把所得的積相加.

(3)整式的除法

一般地，單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)塞分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的

字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式.

3乘法公式

(1)平方差公式

(a+b)(a-b)=a2-扶.兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差.

(2)完全平方公式

(a+b)2—a2+2ab+b2,(a—b)2—a2—2ab+b2

兩個數(shù)的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們的積的2倍.

拓展(a+b)2—(a—b)2=4ab,(a+6)2+(a—b~)2=2(a2+b2).

4因式分解

4.1概念

把一個多項式化成了幾個整式的積的形式的變形叫做這個多項式的因式分解(或分解因

式)。

4.2因式分解的方法

(1)提公因式法：多項式的各項都有的一個公共因式；

(2)公式法

平方差公式：a2—h2=(a+b)(a—b).

完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2,a2—2ab+b2=(a—b~)2.

(3)分組分解法

把多項式先分成多組，每組內(nèi)部因式分解，再把多組作為一個整體進行因式分解.

(4)十字相乘法

對二次三項式進行因式分解的一種方法，

x2+px+q=x2+(a+Z?)x+ab=(x+a)(x+6)

ax+bx—(a+b~)x

基本方法橫境化學i),也送解我俄力

【題型1】用代數(shù)式表示

【典題1】(22-23九年級上?河北張家口?期末)某商店購進一批單價為20元的日用商品,

如果以單價30元銷售，那么半月內(nèi)可以售出400件，根據(jù)銷售經(jīng)驗，提高銷售單價會導致

銷售量的減少，即銷售單價每提高1元，銷售量相應減少20件，若設(shè)每件商品漲x元，銷售

利潤為y元，可列函數(shù)為：y=(30+%-20)(400-20x).對所列函數(shù)中出現(xiàn)的代數(shù)式，下

列說法錯誤的是()

A.(30+%—20)表示漲價后商品的單價B.20x表示漲價后少售出商品的數(shù)量

C.(400—20乂)表示漲價后商品的數(shù)量D.(30+x)表示漲價后商品的單價

【鞏固練習】

1.（2022?貴州貴陽?一模）貴陽市“一圈兩場三改“落地，幸福生活近在咫尺.周末，小高同

學從家出發(fā)步行15min到達附近學校的運動場鍛煉，較之前步行去城市運動中心少走了

25min.已知小高同學步行的速度為每分鐘am,則“一圈兩場三改”后，小高同學少走的路程

是（）

A.amB.10?mC.15?mD.25am

2.用8m長的鋁合金做成一個如圖所示的長方形窗框，設(shè)長方形窗框的橫條長度為xm,則長

方形窗框的面積為（）

X

A.x（4—x）m2B.x（8—3x）m2C.—|xjm2D.x（8—|久）m2

3.（2024?湖南邵陽?二模）為響應“清廉文化進校園”的政策，某校實施“清明行風、清凈校風、

清正教風、清新學風”等四個建設(shè)工程.現(xiàn)需購買甲，乙兩種清廉讀本共300本供教職工閱

讀，其中甲種讀本的單價為15元/本，乙種讀本的單價為20元/本，設(shè)購買甲種讀本x本，

則購買乙種讀本的費用為（）

A.15萬元B.20（300—比）元C.15（300—乂）元D.（300-15%）元

4.（2023?河北承德?一模）某文具用品商店將原價a元的筆記本進行促銷，下列促銷方式描述

正確的是（）

A.按0.9a—6的價格出售，促銷方式是先打九折，再優(yōu)惠6元

B.按0.9a—6的價格出售，促銷方式是先優(yōu)惠6元，再打九折

C.按0.9（a—6）的價格出售，促銷方式是先打九折，再優(yōu)惠6元

D.按0.9（a+6）的價格出售，促銷方式是先漲6元，再打一折

【題型2］求代數(shù)式的值

【典題1】（2024?重慶?模擬預測）根據(jù)如圖所示的程序計算，若輸入式的值是1時，則輸

出的值是5.若輸入x的值是2,則輸出值為

降--y輸出M

——>y=-2x+b—?

x<2________

【典題2］（2024?山東臨沂?模擬預測）已知/+x-l=0,那么％3+2/+2024的值為（

A.2022B.2023C.2024D.2025

【鞏固練習】

1.（2024?海南?？?二模）若2x—y=3,貝|6—2x+y的值是（）

A.0B.3C.-9D.9

2.（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預測）定義一種新運算：對于兩個非零實數(shù)a,b,+

今若2※（—2）=1,則（一3/3的值是（）

3232

A.--B.--C.-D.-

3.（2024?廣東東莞?模擬預測）直線丫=一3乂+2經(jīng)過點「（見b）,貝|6a+26+2024的值

為.

4.（2024?內(nèi)蒙古包頭?模擬預測）已知y=l是方程py—1=—3—p的解，則代數(shù)式p3—2一

：的值為.

【題型3】整式的加減

【典題1】（2024?河北滄州?模擬預測）已知:整式4=1+2%,整式B=l—2久.

⑴化簡：2A-3B；

（2）若4-8+M是關(guān)于x的一個完全平方式，請寫出一個滿足條件的整式M.

【鞏固練習】

2

1.(2023?河北石家莊?一模)已知4=/+6x+n2,B=2x2+4x+n,下列結(jié)論正確的是

()

A.B—4的最大值是0B.B—a的最小值是一1

C.當B=24時，尤為正數(shù)D.當8=24時，尤為負數(shù)

2.(2024七年級上?江蘇?專題練習)先化簡，再求值：3a2y—2y2)—2(；c2y—3y2),其中

%=—3,y=2.

3.(2024?河北邢臺?模擬預測)在計算題：“已知，M=□,可=2%2-4%+3求2”—%”時,

嘉琪把“2M-N”看成“M-2N”，得到的計算結(jié)果是—x2+4x-4.

(1)求整式M；

(2)若請比較2M與N的大小，并說明理由.

【題型4】塞的運算

【典題1】下列運算正確的是()

A.(3a2)3=9a5B.(ab)2=a-b1C.a2+a2=a4D.a('^ai=cr

【典題2】（2021?廣東?中考真題）已知9mM3,27n=4,則32m+3nH（）

A.1B.6C.7D.12

【鞏固練習】

1.（2021?廣東深圳?中考真題）下列運算中，正確的是（）

A.2a2-a—2a3B.（a2）3=a5C.a2+a3=a5D.a6a2—a3

2.若。帆=4,陵=2,貝以3小-371的值為（）

A.8B.12C.24D.48

3.若ri為正整數(shù)，則計算（一a2）"+（—廢產(chǎn)的結(jié)果是（）

A.0B.2anC.-2a2nD.0或2a2n

4.（2023?四川樂山?中考真題）已知3nl=4,32m-4n=2.若9"=比，貝物的值為（）

A.8B.4C.2V2D.V2

【題型5］乘法公式的運算

【典題1】(2024?廣東汕頭?一模)下列計算正確的是()

A.(x—2y)(x—2y)=x2—4y2

B.(x+y)(x2—y2)=x3—y3

C.(-2a-l)(2a-1)=1-4a2

D.(-4x)(2x2+3x-1)=-8x3-12x2-4x

【典題2】(2024?廣東東莞?三模)已知x+y=6,xy=6,則爐+、2的值為()

A.9B.18C.24D.36

【鞏固練習】

1.(2024?廣東肇慶?二模)下列計算正確的是()

A.x■x=2xB.(xy)2=xy2

C.(x+y)(x-y)=x2—y2D.(x+y)2=x2+y2

2.(2024?廣東深圳?三模)下列計算正確的是()

A.m+m=m2B.(m+2n)2-m2+4n2

C.(m+3)(m—3)=m2—9D.2(m—n)=2m—n

3.三角形的三邊長為a,b,c,且滿足(a+b)2=c2+2a6,則這個三角形是()

A.等邊三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.銳角三角形

4.(2023?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題)己知2a2—a—3=0,則(2a+3)(2a-3)+(2a-的值

是()

A.6B.—5C.—3D.4

5.(2023?廣東湛江?模擬預測)已知a=8—2,6=遮+2,則(^一塊的值為.

【題型6】乘法公式的應用

【典題1】(2024?河北秦皇島?模擬預測)如果一個數(shù)等于兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么我們

稱這個數(shù)為“幸福數(shù)”.下列數(shù)中為“幸福數(shù)”的是()

A.268B.330C.512D.588

【典題2］已知實數(shù)a,b滿足(a-6)2=15,ab=4,則a4+b4的值為

【鞏固練習】

1.若a+b=l,則6[2-爐+26的值為()

A.4B.3C.2D.1

2.已知VTT—1的整數(shù)部分為a,小數(shù)部分為b,貝|(711+￡1)(6+1)的值是.

3.(2024,廣東梅州,模擬預測)已知a+b=5,ab=2,則代數(shù)式a?—3ab+爐的值

為.

4.(2024?廣東深圳?二模)已知a+b=2,則多項式一/+仞+2020的值為.

5.(2024?山東煙臺?中考真題)若一元二次方程2/-4x-1=0的兩根為m,n,貝U3m2_4m+

層的值為.

6.(2023?江蘇宿遷?中考真題)若實數(shù)%滿足⑺一2023)2+(2024-㈤2=2025,則

(m-2023)(2024-m)=.

【題型7】整式的混合運算

【典題1】(2024?江蘇揚州?三模)先化簡，再求值：[(2x—y)2—(y+2x)(2x—y)—2xy\+2y,

其中久=y=-3.

【鞏固練習】

1.(2024?山東濟寧?中考真題)先化簡，再求值：

1

x(y—4%)+(2%+y)(2x—y),其中％=萬，y=2.

2.(2024?廣東揭陽?模擬預測)先化簡，再求值：(%-I)2-x(3x+2)+(2x+l)(2x-1),

其中X的值為一元二次方程%2-2%—7=0的根.

3.(2024?甘肅?中考真題)先化簡，再求值：[(2a+b)2—(2a+6)(2a—b)]+26,其中

a=2,b=—1.

【題型8】提公因式法分解因式

【典題1】(2023?湖北黃石?中考真題)因式分解：x(y-l)+4(1-y)=

【鞏固練習】

1.(2024?山東?中考真題)因式分解：x2y+2xy=.

2.(2022?福建龍巖?模擬預測)己知a—6=3,ab=V5,則2a2。—2a/)2=.

3.(2014?青海西寧?中考真題)長和寬分別為a,6的矩形的周長為14,面積為10,則+。

房的值為.

【題型9】公式法分解因式

【典題1】（2024?江蘇揚州?模擬預測）分解因式：a/-6axy+9ay2=,

【鞏固練習】

1.（2023?湖南益陽?中考真題）下列因式分解正確的是（）

A.2a2—4a+2=2（a—I）2B.a2+ab+a=a（a+b）

C.4a2—b2=（4a+b）（4a—b'）D.a3b—ab3—ab（a—b）2

2.（2024?山東威海?中考真題）因式分解：（x+2）Q+4）+1=.

3.（2023,四川綿陽,模擬預測）若a+6=4,則a?—次+助的值為.

4.（2024?上海嘉定?三模）因式分解：x2—2xy—（4—y2）=

5.（2024?陜西漢中?二模）已知租2=幾+2,n2=m+2,且mKn.求證：m+n=-1.

【題型10】因式分解的應用

【典題1】（2024?河北邢臺?模擬預測）若〃為任意整數(shù)，貝120242—4層的值總能（）

A.被3整除B.被4整除C.被4〃整除D.被2024整除

【典題2】（2024?廣東河源?二模）已知a>0,b>0,且=—^7，求證：a=b.

【鞏固練習】

1.（2023?河北保定?一模）小李在計算20232。23—20232。21時，發(fā)現(xiàn)其計算結(jié)果能被三個連

續(xù)整數(shù)整除，則這三個整數(shù)是（）

A.2023,2024,2025B.2022,2023,2024

C.2021,2022,2023D.2020,2021,2022

2.（2023?河北?中考真題）若左為任意整數(shù)，則（2k+3乃一4M的值總能（）

A.被2整除B.被3整除C.被5整除D.被7整除

3.（2023?河北邯鄲?三模）如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正

整數(shù)為“神秘數(shù)如4=22_（）2,12=42—22,20=62—42.因此，4、12、20這三個數(shù)

都是神秘數(shù).

（1）驗證28和44這兩個數(shù)是否為神秘數(shù)；

（2）設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k（其中左取非負整數(shù)），由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘數(shù)是

4的倍數(shù)嗎？請說明理由.

4.（2024?福建?中考真題）已知實數(shù)a,6,c,犯n滿足37n+n=^,mn=

⑴求證：b2-12ac為非負數(shù)；

（2）若a,b,c均為奇數(shù)，小刀是否可以都為整數(shù)？說明你的理由.

【題型11】數(shù)式規(guī)律探究

【典題1】（2024?山東泰安?中考真題）如圖所示，是用圖形“。”和“?”按一定規(guī)律擺成的“小

屋子”.按照此規(guī)律繼續(xù)擺下去，第個“小屋子”中圖形“。”個數(shù)是圖形“?”個數(shù)的3

立

口

o

OOO

OOOooo

0OOOOOOOoooo……

0OOOOOooooooooo

^OOOOOooooooooo

0OOOOoooo

oooooooooooo

(1)(2)(3)(4)⑸

【鞏固練習】

1.（2024?湖南?模擬預測）如圖是用大小相等的五角星按一定規(guī)律拼成的一組圖案，請根據(jù)

你的觀察，寫出第2024個圖案中小五角星有顆.

★★★★★★★★★★

★★★★★★★★★★★★★★

★★★★★★★★★★

第1個圖案第2個圖案第3個圖案第4個圖案

2.（2024?湖南?模擬預測）有一組數(shù)，按以下規(guī)律排列：一:，1,—葛，抵—吳“…則這

N1Ui/Zo

組數(shù)的第n個數(shù)為

3.（2023?黑龍江綏化?中考真題）在求1+2+3+……+100的值時,發(fā)現(xiàn):

1+100=101,2+99=101……,從而得到1+2+3+-+100=101x50=5050.按

此方法可解決下面問題.圖（1）有1個三角形，記作的=1；分別連接這個三角形三邊中

點得到圖（2）,有5個三角形，記作a2=5；再分別連接圖（2）中間的小三角形三邊中點

得到圖（3）,有9個三角形，記作。3=9；按此方法繼續(xù)下去，則。1+。2+。3+……+an

=.（結(jié)果用含"的代數(shù)式表示）

圖⑴圖⑵圖⑶

【題型12］數(shù)式中新定義問題探究

【典題1】(2022?重慶?中考真題)若一個四位數(shù)M的個位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和恰好是M

去掉個位與十位數(shù)字后得到的兩位數(shù)，則這個四位數(shù)M為“勾股和數(shù)”.

例如：M=2543,：32+42=25,2543是“勾股和數(shù)”；

又如：M=4325,V52+22=29,29力43,4325不是“勾股和數(shù)”.

(1)判斷2022,5055是否是“勾股和數(shù)”,并