中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重難點(diǎn)提升訓(xùn)練：相交線與平行線熱考模型（10種題型+10種模型解析）（解析版）

第四章三角形

重難點(diǎn)07幾何熱考題一相交線與平行線熱考模型

（10種題型匯總+專題訓(xùn)練+10種模型解析）

【題型匯總】

已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）

1）同位角有4組，如：/I與N5、N2與/6、N3與N

E

直線AB、CD被直線7、/4與N8；

EF所截，且AB與CDA2）內(nèi)錯(cuò)角有2組，如：N3與/5、N6與N8；

不平行3）同旁內(nèi)角有2組，如：N3與N6、N4與N5；

4）對(duì)頂角有4組，如：N1與N3、/2與/4、N5與/

7、/6與N8.

F

1）同位角相等：/1=/5、N2=/6、N3=N7、N4=N8；

E

2）內(nèi)錯(cuò)角相等：/3=/5、Z6=Z8；

直線AB、CD被直線3）同旁內(nèi)角互補(bǔ)：Z3+Z6=180°、Z4+Z5=180°；

4-匏，B

EF所截，且AB〃CD4）對(duì)頂角相等：/1=/3、/2=/4、/5=/7、Z6=Z

8.

F

解題方法：運(yùn)用平行線的性質(zhì)計(jì)算角的度數(shù)，要正確地辨認(rèn)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，同時(shí)結(jié)合平行線

的性質(zhì)及其他有關(guān)角的性質(zhì)、定義進(jìn)行計(jì)算.

1.（2022.青海?中考真題）數(shù)學(xué)課上老師用雙手形象的表示了“三線八角”圖形，如圖所示（兩大拇指代表被

截直線，食指代表截線）.從左至右依次表示（）

A.同旁內(nèi)角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角

B.同位角、內(nèi)錯(cuò)角、對(duì)頂角

C.對(duì)頂角、同位角、同旁內(nèi)角

D.同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角

【答案】D

【分析】兩條線人b被第三條直線c所截，在截線的同旁，被截兩直線的同一方，把這種位置關(guān)系的角稱

為同位角；兩個(gè)角分別在截線的異側(cè)，且夾在兩條被截線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角互為內(nèi)錯(cuò)角；

兩個(gè)角都在截線的同一側(cè)，且在兩條被截線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角互為同旁內(nèi)角.據(jù)此作答即

可.

【詳解】解：根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念，可知

第一個(gè)圖是同位角，第二個(gè)圖是內(nèi)錯(cuò)角，第三個(gè)圖是同旁內(nèi)角.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，解題的關(guān)鍵是掌握同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，并能區(qū)

別它們.

2.（2023?河北唐山?二模）下列圖中，N1和42不是同位角的是（）

【答案】B

【分析】根據(jù)同位角的定義（在截線的同側(cè)，并且在被截線的同一方的兩個(gè)角是同位角）進(jìn)行判斷.

【詳解】A選項(xiàng)：41與N2有一邊在同一條直線上，另一條邊在被截線的同一方，是同位角，

B選項(xiàng)：N1與N2的兩條邊都不在同一條直線上，不是同位角，

C選項(xiàng)：N1與42有一條邊在同一條直線上，另一條邊在被截線的同一方，是同位角，

D選項(xiàng)：41與N2有一邊在同一條直線上，另一條邊在被截線的同一方，是同位角.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了同位角的定義，判斷是否是同位角，必須符合三線八角中，在截線的同側(cè)，并且在被

截線的同一方的兩個(gè)角是同位角.

3.（2024?內(nèi)蒙古?中考真題）如圖，直線％和％被直線G和〃所截，41=42=130。，43=75。，貝叱4的度數(shù)

為（）

105°C.115°D.130°

【答案】B

【分析】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定方法和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.先利用=42=

130。判定人||Z2,再利用對(duì)頂角的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：???41=乙2=130。,

??II，2，

?35+/4=180°,

VZ3=Z5=75°,

?"4=180°-75°=105°,

4.(2024?陜西?中考真題)如圖，ABWDC,BC\\DE,Z,B=145°,則ND的度數(shù)為()

B

AD

A.25°B.35°C.45°D.55°

【答案】B

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.先根據(jù)“兩直線平行，同旁內(nèi)角

互補(bǔ)”，得到/。=35。，再根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”，即可得到答案.

【詳解】-ABWDC,

???乙B+LC=180°,

???乙B=145°,

???ZC=180°-ZB=35°,

???BCWDE,

Z.D—Z.C—35°.

故選B.

題型02豬蹄模型

豬蹄模型豬蹄模型-進(jìn)階（又稱“鋸齒”模型）

條件AB〃DEa〃b

圖示AB

?:ABaAi

*A21

^.A3

A4，＜^-A

上5

DE

DE

b

-----------------

結(jié)論ZB+ZE=ZBCENB+NCMN+NE=NBCM+NMNE

4++Z4+...+Z24n

—/4+/4+…+/A-i

左拐角之和二右拐角之和

輔助線作法：過拐點(diǎn)作平行線，有多少拐點(diǎn)就作多少平行線.

【補(bǔ)充】選、填題結(jié)論直接套用，解答題需寫過程.

1.（2024?江蘇南通?中考真題）如圖，直線a||6,矩形A8CD的頂點(diǎn)A在直線6上，若42=41。，則41的度

數(shù)為（）

A.41°B.51°C.49°D.59°

【答案】C

【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，過點(diǎn)B作BE||a,得到BE||a||b,推出乙4BC=zl+Z2,

進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：：矩形

：./-ABC=90°,

過點(diǎn)8作BE||a,

c

a

一

A

VaIIb,

：.BE||a||b,

Az.1=/.ABE,Z2=乙CBE,

：.Z.ABC=/.ABE+乙CBE=Z1+z2,

VZ2=41°,

Azl=90°-41°=49°；

故選c.

2.（2021九年級(jí).全國.專題練習(xí)）在圖中，AB//CD,+NG與NB+NF+又有何關(guān)系？

【分析】此類題要過各個(gè)分點(diǎn)作已知直線的平行線，充分運(yùn)用平行線的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo).

【詳解】分別過E,F,G作的平行線，

AB//EM//FN//GH//CD,

則41=Z.B,z2=z3,z.4=z.5,z.6=乙D,

z.1+z.2+z.5+z.6=Z-B+z.3+z.4+乙D,

即，Z-E+Z-G=Z-B+Z-F+Z.D.

【點(diǎn)睛】此類題主要注意構(gòu)造輔助線：平行線，解題的關(guān)鍵是充分運(yùn)用平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明.

3.（2024撫順市模擬預(yù)測）請(qǐng)閱讀小明同學(xué)在學(xué)習(xí)平行線這章知識(shí)點(diǎn)時(shí)的一段筆記，然后解決問題.

小明：老師說在解決有關(guān)平行線的問題時(shí)，如果無法直接得到角的關(guān)系，就需要借助輔助線來幫助解答,

今天老師介紹了一個(gè)“美味”的模型“豬蹄模型”.即

已知：如圖1,ABWCD,E為AB、CD之間一點(diǎn)，連接AE,CE1得至UN/EC.

求證：/.AEC=^A+^C

小明筆記上寫出的證明過程如下：

證明：過點(diǎn)E作EFIMB

VZ1=

VXBIIC/),EFWAB

：.EF\\CD

Az2=ZC

J.Z.AEC=Z1+Z2

Z.AEC=Z-A+Z-C

請(qǐng)你利用“豬蹄模型”得到的結(jié)論或解題方法，完成下面的兩個(gè)問題.

(1)如圖，若ABIICD,ZE=60°,求NB+NC+NF；

(2)如圖，ABWCD,BE平分4ABG,CF平分NDCG,NG=N”+27。，求NH.

H

【答案】（1）240°

（2）51°

【分析】（1）作EMIL48,FNWCD,如圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)得EM|4B||FN|￡D,所以48=N1,42=43,

44+NC=180°,然后利用等量代換計(jì)算ZB+Z.F+ZC=240°；

（2）分別過G、"作48的平行線和RS,根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可用乙4BG和NDCG分別

表示出N”和NG,從而可找到NH和NG的關(guān)系，結(jié)合條件可求得N"=51。.

【詳解】（1）作EMII4B,FNWCD,如圖，且4BIICD

：.EM\\AB\\FN\\CD

."8=N1,N2=N3,N4+NC=180°

乙B+Z.CFE+zC=zl+z3+z4+zC=乙BEF+z4+zC=乙BEF+180°,

■:4BEF=60°,

:.乙B+乙CFE+ZC=60°+180°=240°；

(2)如圖，分別過G、〃作AB的平行線MN和RS,

RHS

平分N4BG,CF平分NDCG,

11

:?(ABE=-/.ABG,乙SHC=乙DCF=LDCG,

22

9：AB\\CD

：.AB\\CD\\RS\\MN

:'乙RHB=/.ABE=-Z.ABG,乙SHC=乙DCF=-A.DCG,

22

:?乙NGB+乙ABG=乙MGC+乙DCG=180°,

."BHC=180°-乙RHB-Z.SHC=180°+乙DCG),

乙BGC=180°-乙NGB-4MGC=180°-(180°-/.ABG')-(180°-zPCG)=^ABG+乙DCG-180°

:'乙BGC=360°-2乙BHC-180°=180°-2(BHC,

VZ.BGC=乙BHC+27°,

：.180°-2乙BHC=乙BHC+27°,

?"BHC=51°.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能運(yùn)用平行線的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，

注意：①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，反之亦

然.

題型03鉛筆頭模型

鉛筆頭模型鉛筆頭模型-進(jìn)階

條件AB//DEAB〃DEa〃b

A.630°B.720°C.800°D.900°

【答案】D

【詳解】分別過E點(diǎn)萬點(diǎn),G點(diǎn),H點(diǎn)作L1,L2,￡3,L4平行于AB

觀察圖形可知，圖中有5組同旁內(nèi)角，

則N1+42+43+N4++N6=180°x5=900".

故選D

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，添加輔助線是解題的關(guān)鍵

2.如圖1所示的是一個(gè)由齒輪、軸承、托架等元件構(gòu)成的手動(dòng)變速箱托架，其主要作用是動(dòng)力傳輸.如圖

2所示的是手動(dòng)變速箱托架工作時(shí)某一時(shí)刻的示意圖，已知4B||CD,CG||EF,乙BAG=150。/。"=130°,

則乙4GC的度數(shù)是.

CED

B

圖1圖2

【答案】80。/80度

【分析】過點(diǎn)p作PMIICD,因?yàn)?BIIC0,所以4BIIC0IFM,再根據(jù)平行線的性質(zhì)可以求出NMF4,4EFM,

進(jìn)而可求出AEFA,再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求得乙4GC.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)F作FMIICD,

,：AB\\CD,

：.AB\\CD\\FM,

:.乙DEF+Z.EFM=180°,Z.MFA+乙BAG=180°,

'：^BAG=150°,/.DEF=130°,

：.Z.MFA=30°,ZFFM=50°,

，/.EFA=4EFM+/-AFM=80°,

\"CGIIEF,

C./.AGC=AEFA=80°.

故答案為80。.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是結(jié)合圖形利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化和計(jì)算.

3.如圖①所示，四邊形MNBD為一張長方形紙片.如圖②所示，將長方形紙片剪兩刀，剪出三個(gè)角（AB4E、

N4EC、乙ECD）,貝IJ/BAE+N力EC+ZECD=（度）；

N._____________

B-----------Br---^---------B/B

M———

DCDCDCD

圖①圖②圖③圖④

（1）如圖③所示，將長方形紙片剪三刀，剪出四個(gè)角QB4E、乙4EF、乙EF、乙FCD）,貝此B4E+“EF+

4EFC+Z.FCD=（度）；

（2）如圖④所示，將長方形紙片剪四刀，剪出五個(gè)角（NBAE、N4EF、乙EFG、乙FGC、乙GCD）,則+

AAEF+乙EFG+NFGC+乙GCD=（度）；

（3）根據(jù)前面的探索規(guī)律，將本題按照上述剪法剪九刀，剪出n+1個(gè)角，那么這n+1個(gè)角的和是（度）.

【答案】360540720180w

【分析】過點(diǎn)E作EHWB,再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到三個(gè)角的和等于180。的2倍；

（1）分別過E、F分別作4B的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到四個(gè)角的和等于180。的三

倍；

（2）分別過E、F、G分別作4B的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到四個(gè)角的和等于180。的

四倍；

（3）根據(jù)前三問個(gè)的剪法，剪九刀，剪出n+1個(gè)角，那么這幾+1個(gè)角的和是180幾度.

【詳解】過E作EHIMB（如圖②）.

??,原四邊形是長方形，

J.ABWCD,

又

：.CD\\EH（平行于同一條直線的兩條直線互相平行）.

...NBAE+N1=180。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）.

,/CDWEH,

；.N2+ADCE=180。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）.

J./.BAE+41+42+4ECD=360°,

又+42=/.AEC,

：.ABAE+/LAEC+乙ECD=360°；

（1）分別過E、尸分別作4B的平行線，如圖③所示,

用上面的方法可得NB4E+AAEF+乙EFC+乙FCD=540°；

（2）分別過E、F、G分別作4B的平行線，如圖④所示，

用上面的方法可得NB4E+乙4EF+4EFG+乙FGC+乙GCD=720°；

（3）由此可得一般規(guī)律：剪n刀，剪出ri+1個(gè)角，那么這幾+1個(gè)角的和是180幾度.

故答案為：360；540；720；180n.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和，作平行線并利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解本題的關(guān)鍵,

總結(jié)規(guī)律求解是本題的難點(diǎn).

4.（1）如圖（1）AB||CD,猜想ZBPD與ZB、AD的關(guān)系，說出理由.

（2）觀察圖（2）,已知||CD,猜想圖中的N8PD與的關(guān)系，并說明理由.

(3)觀察圖(3)和(4),已知2B||CD,猜想圖中的NBPD與NB、ND的關(guān)系，不需要說明理由.

(1)

【答案】(1)NB+/BPD+ND=360°,理由見解析；（2）乙BPD=AB+乙D,理由見解析；（3）圖（3）

乙BPD=ND—NB,圖(4)乙BPD=NB—ND

【分析】(1)過點(diǎn)P^EF||AB,得至+乙BPE=180°,由4B||CD,EF||AB,得至IjEF||CD,得至Ij/EPD+

乙D=180°,由此得到NB+乙BPD+ZD=360°；

(2)過點(diǎn)尸作PE||AB,由PE||AB||CD,得至Ij/l=Z5,Z2=ND,從而得至lj結(jié)論NBPD=Z1+Z2=ZB+

乙D；

(3)由ZB||CO,根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等與三角形外角的性質(zhì)，即可求得4與乙8、的關(guān)系.

【詳解】(1)解：猜想48+4BPO+40=360。.

理由：過點(diǎn)尸作EF||48,

:.乙B+乙BPE=180°,

*：AB||CD,EF||AB,

：.EF||CD,

：.^EPD+LD=180°,

:?乙B+乙BPE+(EPD+40=360。，

:,乙B+4BPD+Z.D=360°；

(2)(BPD=乙8+40.

理由：如圖，過點(diǎn)尸作PEII48,

(2)

9：AB||CD,

：.PE||AB||CD,

zl=Z-B,z2=乙D,

Z-BPD=zl+z2=Z-B+乙D；

(3)如圖(3)：乙BPD=LD一乙B.

理由：9CAB||CD.

P

⑶

zl=Z-D,

Vzl=乙B+乙P,

Z-D=Z-B+乙P,

即NBPD=zD-zB；

如圖（4）：/-BPD=KB—乙D.

理由：'：AB||CD,

⑷

zl=Z.B,

Vzl=N。+4P,

/.B=Z.D+Z.P,

即NBPD=LB一乙D.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，平行公理的推論，三角形的外角的性質(zhì)定理，熟記平行線的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

1.（20-21八年級(jí)上?貴州六盤水?階段練習(xí)）如圖，已知ABIDE,N2BC=80°,zCD￡=140°,則NBC。=.

【答案】40。/40度

【分析】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì).過點(diǎn)C作CFII4B,根據(jù)平行線的性質(zhì)和角的和差，求解即可

得到結(jié)論.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CFII4B,

5L-：ABWDE,

DEWCF,

???乙DCF+乙CDE=180°,

???乙DCF=40°,

???乙BCD=乙BCF-乙DCF=80°-40°=40°.

故答案為：40°.

2（2021九年級(jí)?全國.專題練習(xí)）己知AB//C。，求證：NB=NE+/D

【答案】見解析

【分析】過點(diǎn)E作EF〃CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出

/BOD=/BEF、/D=/DEF,結(jié)合角之間的關(guān)系即可得出結(jié)論.

【詳解】證明：過點(diǎn)E作所〃CD,如圖

AB

'：AB//CD,

：.ZB=ZBOD,

\'EF//CD（輔助線）,

（兩直線平行，同位角相等）；/。=/。跖（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）；

NBEF=NBED+NDEF=NBED+/D（等量代換），

：.ZBOD=ZE+ZD（等量代換），即

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)找出相等或互補(bǔ)的角.

3.（2021?全國?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，如果4B〃EF,EF//CD,則/I,Z2,/3的關(guān)系式.

___B

【答案】Z2+Z3-Z1=180°

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和平角定義求解即可.

【詳解】解：EF//CD,

；./2+/BOE=180°,Z3+ZCOF=180°,

N2+N3+N2OE+/CO尸=360°,

"?ZBOE+ZCOF+Z1=180°,

ZBOE+ZCOF=ISO°-Zl,

/.Z2+Z3+（180°-Zl）=360°,

即N2+N3-Zl=180°.

故答案為：Z2+Z3-Zl=180°.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)、平角定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

4.①如圖1,AB//CD,貝l]NA+NE+NC=36O。；②如圖2,AB//CD,則NP=NA-NC；③如圖3,AB

//CD,則NE=NA+Zl；④如圖4,直線48〃CD//EF,點(diǎn)。在直線E尸上，則4-4+々=180。.以

圖3圖4

圖1

A.1個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】①過點(diǎn)E作直線所〃AB,由平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可得出結(jié)論；

②如圖2,先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出N1=/C+NP,再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可作出判斷；

③如圖3,過點(diǎn)E作直線所〃AB,由平行線的性質(zhì)可得出NA+NAEC-/1=180。，即得乙4￡。=180。+/1

-NA；

④如圖4,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出Na=NBOF,Zy+ZCOF=\SO°,再利用角的關(guān)系解答即可.

【詳解】解：

B

kr

圖3圖4

圖1圖2

①如圖1,過點(diǎn)E作直線EF//AB,

,JAB//CD,

：.AB//CD//EF,

：.ZA+Z1=180°,/2+/C=180°,

/A+/B+NAEC=360。，

故①錯(cuò)誤；

②如圖2,是△CEP的外角，

???N1=NC+NP,

9：AB//CD,

：.NA=N1,

即/尸=NA-ZC,

故②正確；

③如圖3,過點(diǎn)E作直線跖〃AB,

'：AB//CD,

J.AB//CD//EF,

ZA+Z3=18O°,Z1=Z2,

AZA+ZAEC-/I=180。，

BPZAEC=180°+Zl-ZA,

故③錯(cuò)誤；

④如圖4,,：AB//EF,

：.Za=ZBOF,

,JCD//EF,

：.Zy+ZCOF=180°,

,：ZBOF=ZCOF+Z^,

：.ZCOF=Za-Zp,

AZy+Za-Zp=180°,

故④正確；

綜上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為2,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線

是解答此題的關(guān)鍵.

題型05蛇形模型

條件AB/7CD

圖示ABAB

DEDE

結(jié)論ZBCD+ZD-ZB=180°ZBCD+ZB-ZD=180°

1.（21-22八年級(jí)上.黑龍江哈爾濱?期中）已知直線ABIICD,P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PD.

(1)如圖1,已知乙4=50。,ND=150。,求乙4PQ的度數(shù);

(2)如圖2,判斷NP4B、乙CDP、N4PD之間的數(shù)量關(guān)系為_.

(3)如圖3,在(2)的條件下，AP1PD,DN平分4PDC,若“AN+=N4PD,求“ND的度數(shù).

【答案】(l)NAPD=80°

(2)ZPXB+乙CDP-/.APD=180°

⑶乙AND=45°

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義.注意掌握輔助線的作法，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

(1)過點(diǎn)P作EFII4B,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得乙4PE=乙4=50°,4EPD=180°-150°=30°,即可求出

“PD的度數(shù)；

(2)過點(diǎn)P作EFII4B,則2BUEFIIC0,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NCOP=NDPF,AFPA+Z.PAB=180°,又

Z.FPA=4DPF-/.APD,即可得出NCDP4-/.PAB-/.APD=180°；

(3)PDMN于點(diǎn)0,由4P1PD,得出N4PD=90°,由NP4N+=90。得出4P2N+[NPAB=Z.APD,

由4PO4+ZJMN=90。，得出NPQ4=，PAB,由對(duì)頂角相等得出NNOD=由角平分線的性質(zhì)得

出乙ODN=》PDC,即NANO=180°—：(ZJMB+NPDC),由(2)得：Z.CDP+/.PAB-/.APD=180°,

代入計(jì)算即可求出乙4Mo的度數(shù).

【詳解】(1)解：如圖1,過點(diǎn)P作EF||AB,

：.N4PE="=50°,

ABWCD,

EF||CD,

：.4CDP+乙EPD=180°,

???ZD=150°,

乙EPD=180°-150°=30°,

??.Z.APD=/.APE+乙EPD=50°+30°=80°；

(2)如圖2,過點(diǎn)P作EF||48,貝！J/B||EF||CD,

圖2乙CDP="PF,Z.FPA+^LPAB180°,

z_FPA=乙DPF-Z.APD,

???Z-DPF-Z-APD+乙PAB=180°,

???(CDP+Z.PAB-AAPD=180°,

故答案為：乙CDP+"AB-Z.APD=180°；

(3)如圖3,設(shè)PD交ZN于點(diǎn)。，

N

???^LAPD=90°,

i

?:4PAN+-^PAB=^APD

2

A^PAN+-^PAB=90°,

2

LPOA+乙PAN=90°,

.-./.POA^-/.PAB,

2

???Z-POA=乙NOD,

.-.乙NOD=-Z.PAB,

2

???D-PDC,

.-.乙ODN="Z)C,

2

???乙AND=180°-乙NOD一乙ODN

=180°-i(乙PAB+乙PDC),

由(2)得：Z.CDP+^PAB-^APD=180°,

???乙CDP+乙PAB=180°+Z/1PD,

1

???乙AND=180°--{Z.PAB+4POC)

1

=180°--(180°+Zi4PZ))

1

=180°--(180°+90°)

=45°.

圖①圖②圖③

(1)求證：ZB+zC-=180°：

(2)如圖②，AQ.BQ分另ij為乙D4C、NEBC的平分線所在直線，試探究4c與乙4QB的數(shù)量關(guān)系；

(3)如圖③，在(2)的前提下，且有4CIIQ8,直線AQ、BC交于點(diǎn)P,QP1PB,直接寫出

/-DAC：Z.ACB：(CBE=.

【答案】(1)見解析

(2)2乙4Q8+ZC=18O°,理由見解析

(3)1：2：2

【分析】(1)過點(diǎn)C作。“兇。，貝UCFIIBE,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出Z2CF=乙4、4BCF=180。一4B,據(jù)

此可得；

(2)過點(diǎn)。作QMII4D,貝UQMIIBE,根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的定義可得出N4QB=|(zCSE-ACAD),

結(jié)合(1)的結(jié)論可得出2乙4QB+4c=180。；

(3)由(2)的結(jié)論可得出NC4D=(ZC8E①，由QPJ.PB可得出NC4D+/CBE=180。②，聯(lián)立①②可求

出NC4D、NCBE的度數(shù)，再結(jié)合(1)的結(jié)論可得出N4CB的度數(shù)，將其代入NEMC：Z4CF：NCBE中可求

出結(jié)論.

【詳解】(1)在圖①中,過點(diǎn)C作CFII20,則CFUBE.

AD

圖①

CF\\AD\\BE,

：.Z.ACF=(BCF+=180°,

J乙ACB+—=AACF+Z,BCF+48-4/=+180°-=180°.

(2)在圖2中，過點(diǎn)。作QMIL4D,則QM|山及

VQMIMD,QM\\BEf

：.^AQM=^NAD,乙BQM=CEBQ.

?.?/、平分乙。/0,BQ平分乙CBE,

ii

:,(NAD=乙CAD,乙EBQ=^CBE,

：.^AQB=乙BQM-N4QM=-/LCAD}.

?:乙C=180°-(乙CBE-ACAD)=180°-25QB,

：.2/-AQB+ZC=180°.

(3)U：AC\\QB,

：./LAQB=/.CAP=^CAD./LACP=乙PBQ=三乙CBE,

i

???^ACB=180°-乙4cp=180°--乙CBE.

2

\92^AQB+^.ACB=180°,

：.Z-CAD=-/-CBE..

2

又■:QP1PB,

：.^.CAP+Z.ACP=90°,BPzCAD+乙CBE=180°,

C.2LCAD=60°,^LCBE=120°,

J.Z-ACB=180°-(乙CBE-/.CAD)=120°,

：.^DAC：Z.ACB：ACBE=60°：120°：120°=1：2：2,

故答案為：1：2：2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)、添加輔助線構(gòu)建平行

線.

3.(23-24七年級(jí)下?遼寧營口?階段練習(xí))如圖，AB||DC,點(diǎn)E在直線AB,DC之間，連接OE,BE.

⑴寫出乙4BE,乙BED,4EDC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(2)若乙EDC=21°,乙BED=2(B,求的度數(shù)；

【答案】(l)NBEO+乙ABE-乙EDC=180°,證明見解析

(2)ZB=67°

【分析】(1)過點(diǎn)E作EFIICO,利用平行線的判定及性質(zhì)即可得解；

(2)由(1)得乙BED+^ABE-乙EDC=180°,將4BED=248代入即可得解.

本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及平行公理的推論，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：^BED+^ABE-Z.EDC=180°,

理由如下：過點(diǎn)E作EFIICO,如圖，

C.Z.EDC=乙DEF,

\9AB||CD,

：.AB\\EFf

:?乙ABE+乙BEF=180°,

AZ-BEF=180。一4/BE,

乙BED=Z-BEF+乙DEF=乙EDC+180°-^LABE,

:.乙BED+乙ABE-乙EDC=180°；

(2)解：由(1)^Z.BED+LABE-Z.EDC=180°,

2乙B+NB—4EDC=180°,

：.3^B-21°=180°,

解得NB=67°.

題型06平行平分三等角

解題大招：平行平分得三等角.

1.（2024.山東淄博?中考真題）如圖，已知力DII8C,BD平分Z71BC.若乙4=110。，貝吐。的度數(shù)是（）

【答案】C

【分析】本題主要考查的是平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用平行線的性

質(zhì)是關(guān)鍵.依據(jù)題意，根據(jù)平行線及角平分線的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：?.?4DIIBC,

：.乙ABC=180°一乙4=180°-110°=70°,4D=4DBC；

???BD平分4BC,

ADBC=-/.ABC=iX70°=35°.

22

4D=35°.

故選:C

2.（2024?四川,中考真題）如圖，ABWCD,2D平分NB4C,21=30°,貝此2=（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

【答案】B

【分析】本題考查了與角平分線有關(guān)的計(jì)算，根據(jù)平行線的性質(zhì)求角，根據(jù)4艮4。=41、42=NB4D即可

求解.

【詳解】解：：4B||CD,zl=30°,

J./.BAD=N1=30°

平分NB4C,

."2=/.BAD=30°

故選：B

3.（2023?湖南張家界?中考真題）如圖，已知直線48||CD,EG平分乙BEF,Z1=40°,則42的度數(shù)是（）

A.70°B.50°C.40°D.140°

【答案】A

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NEFG=Z1=40°,乙EFG+乙BEF=180°,乙EGF=乙BEG,推得=

140。，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求出N8EG的度數(shù)，即可求得N2的度數(shù).

【詳解】VXB||CD,

:.乙EFG=Z1=40°,乙EFG+乙BEF=180°,乙EGF=4BEG,

:.乙BEF=180°-40°=140°,

又；EG平分NBEF,

1

:.乙BEG=-^BEF=70°,

2

?.Z2=乙BEG=70°

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì).熟練掌握平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)是解決本題

的關(guān)鍵.

4.（2023?四川資陽?模擬預(yù)測）如圖，直線力B||CD,BC平分N4BD,41=54。，則42=.

【答案】72。

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟悉掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)平行線的性質(zhì)得到N1=4CBA=54。，由角平分線得到NCBD=MBA=54。，即可運(yùn)算求解.

【詳解】解：*.NBIICD,

Azi=^CBA=54°,

平分N4BD,

J./-CBD=MBA=54°,

；.N2=乙CDB=180°-Z1-乙CBD=180°-54°-54°=72°,

故答案為：72。.

題型07平行線折疊問題

記住三句話：①折疊前后對(duì)應(yīng)角，對(duì)應(yīng)邊相等.

②折疊不改變?cè)鹊钠叫嘘P(guān)系.

③以折線為對(duì)稱軸.

1.（2024.黑龍江大慶?中考真題）如圖，在一次綜合實(shí)踐課上，為檢驗(yàn)紙帶①、②的邊線是否平行，小慶和

小鐵采用了兩種不同的方法：小慶把紙帶①沿4B折疊，量得N1=42=59。；小鐵把紙帶②沿折疊，發(fā)

現(xiàn)GD與GC重合，與HE重合.且點(diǎn)C,G,D在同一直線上，點(diǎn)E,H,尸也在同一直線上.則下列判斷

A.紙帶①、②的邊線都平行

B.紙帶①、②的邊線都不平行

C.紙帶①的邊線平行，紙帶②的邊線不平行

D.紙帶①的邊線不平行，紙帶②的邊線平行

【答案】D

【分析】對(duì)于紙帶①，根據(jù)對(duì)頂角相等可得41=4ADB=59。，利用三角形內(nèi)角和定理求得ND84=62°,

再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得乙4BC=4DBA=62°,由平行線的判定即可判斷；對(duì)于紙帶②，由折疊的性質(zhì)得,

Z.CGH=Z.DGH,Z.EHG=Z.FHG,由平角的定義從而可得4EHG=NFHG=90。，/.CGH=Z.DGH=90°,

再根據(jù)平行線的判定即可判斷.

【詳解】解：對(duì)于紙帶①，

Vzl=42=59°,

Azi=^ADB=59°,

J./-DBA=180°-59°-59°=62°,

由折疊的性質(zhì)得，/.ABC=/.DBA=62°,

Az2豐Z.ABC,

二力。與BC不平行，

對(duì)于紙帶②，由折疊的性質(zhì)得，乙CGH=CDGH,乙EHG=LFHG,

又：點(diǎn)C,G,D在同一直線上，點(diǎn)E,H,尸也在同一直線上，

"CGH+乙DGH=180°,EHG+乙FHG=180°,

，乙EHG=乙FHG=90°,乙CGH=乙DGH=90°,

J./.EHG+/.CGH=180°,

CDWEF,

綜上所述，紙帶①的邊線不平行，紙帶②的邊線平行，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定、對(duì)頂角相等、三角形內(nèi)角和定理、折疊的性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定

和折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.（2024.山西大同.模擬預(yù)測）如圖1,四邊形4BCD是一張矩形紙片，點(diǎn)。是BC上一點(diǎn)，將矩形紙片4BCD折

疊得到圖2,使得。8與。C重合.若n2=50。，則N1的度數(shù)為（）

D.55°

【答案】B

【分析】本題考查了折疊的性質(zhì),平行線的性質(zhì)，熟練掌握這兩個(gè)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.根據(jù)折疊的性

質(zhì)可得N2=N3,44=45,根據(jù)平角的定義可得42+43+44+45=180。，從而得出42+/4=90。，求

出N4的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出41的度數(shù).

【詳解】解：如圖

B

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，42=43,Z4=z5

???42+43+44+45=180°

2(z_2+z_4)=180°

???N2+N4=90°

乙2=50°

Z4=90°-50°=40°

???矩形的對(duì)邊平行

z.1=44=40°

故選:B.

3.（2023?江蘇鹽城?二模）如圖,將平行四邊形4BCD折疊，使點(diǎn)C落在力D邊上的點(diǎn)處,N1=58。/2=42°,

則NC的度數(shù)為（）

C.126.5°D.130°

【答案】B

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解答

本題的關(guān)鍵.根據(jù)平行線的性質(zhì)求出NC'EC的度數(shù)，根據(jù)折疊的性質(zhì)求出ZCEF的度數(shù)，利用三角形內(nèi)角和

求出NC.

【詳解】解：設(shè)折痕與平行四邊形4BCD交點(diǎn)為E,F,如圖所示,

四邊形4BCD是平行四邊形,

乙C'EC=Z1=58°,

根據(jù)折疊可得NCEF=Q'EC=29°,

ZC=1800-Z.CEF-Z.2=180°-29°-42°=109°.

故選：B.

4.（2024.四川涼山?模擬預(yù)測）如圖，把矩形4BCD紙片沿EF折疊后，點(diǎn)、D,C分別落在L的位置.若

^AED'=50°,則N￡TC的度數(shù)為.

【答案】115。/115度

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并運(yùn)用相關(guān)知識(shí).根

據(jù)折疊的性質(zhì)可得4。上尸=4。5尸=竺亭型，從而求得乙=+再根據(jù)矩形的性質(zhì)可

知ADIIBC,即可得到NEFC=NAEF,從而得到NEFC的度數(shù).

【詳解】解：???四邊形4BCD為矩形，四邊形為四邊形EFCD折疊而成，

AD'EF=乙DEF,AD||BC,

???^AED'=50°,

,rvzrir,nirir180o-^AEDr-

???Z-DEF=乙DEF=-------------=6r5°o,

2

???Z,AEF=^AEDr+"EF=115°,

???AD||BC,

乙EFC=Z.AEF=115°,

故答案為：115。.

題型08三角板拼接模型

常見的三角板與三角板（平行）拼接模型：

【提示】根據(jù)平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和進(jìn)行角度計(jì)算，計(jì)算線段長時(shí)會(huì)用到特殊角的三角函數(shù)值.

1.（2023?江蘇鹽城?中考真題）小華將一副三角板（4。=4。=90。，48=30。，乙E=45。）按如圖所示的

方式擺放，其中ABIIEF,則41的度數(shù)為（）

A.45°B.60°C.75°D.105°

【答案】C

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出乙4GF=4F=45。，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可.

【詳解】解：如圖：設(shè)FO交于點(diǎn)G,

9

：AB\\EFf

：.￡.AGF=Z-F=45°,

??,乙4=60°,

Azl=180°-L.A-^AGF=180°—60°-45°=75°.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.（2024?四川涼山?中考真題）一副直角三角板按如圖所示的方式擺放，點(diǎn)E在48的延長線上，當(dāng)。尸||48時(shí),

的度數(shù)為（）

A.10°B.15°C.30°D.45°

【答案】B

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.證明乙4ED=

乙FDE=30°,再利用NEDB=乙4BC-AAED,進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：由題意，得：NEOF=30。，N4BC=45。，

'：DF\\AB,

：.^AED=乙FDE=30°,

:.乙EDB=Z.ABC-Z.AED=45°-30°=15°；

故選B.

3.（2024?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題）將一副三角尺如圖擺放，使有刻度的兩條邊互相平行，則N1的大小為（）

【答案】B

【分析】本題考查了三角板中角度計(jì)算問題，由題意得43=Z2=30°,根據(jù)N1=180。—N3-45。即可求

解.

【詳解】解：如圖所示：

由題意得：N3=42=30°

Z.1=180°-Z3-45°=105°

故選：B.

4.（2023?黑龍江綏化?中考真題）將一副三角板按下圖所示擺放在一組平行線內(nèi)，41=25。，42=30。，則

N3的度數(shù)為（）

2

3

A.55°B.65°C.70°D.75°

【答案】C

【分析】根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等即可求解.

【詳解】解:依題意，zl+90°=z3+45°,

Vzl=25°,

.\Z3=70°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵.

題型09直尺與三角板拼接模型綜合

【提示】直尺本身含平行線，根據(jù)平行線性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和進(jìn)行角度計(jì)算.

1.（2024.四川巴中?中考真題）如圖，直線小舊，一塊含有30。的直角三角板按如圖所示放置.若41=40。,

則N2的大小為（）

m

3(P

A.70°B.60°C.50°D.40°

【答案】A

【分析】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，平行線的性質(zhì).利用對(duì)頂角相等求得43的度數(shù)，再利用三角形的

外角性質(zhì)求得N4的度數(shù)，最后利用平行線的性質(zhì)即可求解.

Vm||n,

???42=Z4=70°,

故選：A.

2.(2024?內(nèi)蒙古通遼?中考真題)將三角尺4BC按如圖位置擺放，頂點(diǎn)A落在直線4上，頂點(diǎn)8落在直線"上,

若川七，41=25°,則42的度數(shù)是()

A.45°B.35°C.30°D.25