中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)提升：幾何最值問(wèn)題 費(fèi)馬點(diǎn)與瓜豆模型（2種模型詳解+5種題型+針對(duì)訓(xùn)練）原卷版

重難點(diǎn)17幾何壓軸突破四幾何最值問(wèn)題

費(fèi)馬點(diǎn)與瓜豆模型

（2種模型詳解+5種題型匯總+針對(duì)訓(xùn)練）

【題型匯總】

會(huì)費(fèi)馬點(diǎn)模型

類型一費(fèi)馬點(diǎn)

費(fèi)馬點(diǎn)概念：三角形內(nèi)部滿足到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，稱為費(fèi)馬點(diǎn).A

結(jié)論：

1）對(duì)于一個(gè)各角不超過(guò)120。的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)是對(duì)各邊的張角都是120。的點(diǎn)；

2）對(duì)于有一個(gè)角超過(guò)120。的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)就是這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn).

（注意：通常涉及費(fèi)馬點(diǎn)的試題中三角形的最大頂角小于120。）

【解題思路】運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的方法，以AABC任意一條邊向外旋轉(zhuǎn)60°構(gòu)造等邊三角形，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,

得出最短長(zhǎng)度.

【擴(kuò)展】與等腰三角形、等邊三角形、直角三角形常見的費(fèi)馬點(diǎn)結(jié)論

如圖所示，以邊AB、AC分別向△ABC外側(cè)作等邊三角形，連接DC、EB,交點(diǎn)為點(diǎn)P,點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn).

圖形結(jié)論

等腰三角形A①NAPB=/BPC=NAPC=120°；

②4ABP與4ACP全等；

③ABCP為等腰三角形；

?△ABC的三頂點(diǎn)的距離之和為AP+BP+CP,且點(diǎn)P

為費(fèi)馬點(diǎn)時(shí)和最小.

等邊三角形D-4E①AP=BP=CP；

②NAPB=/BPC=NAPC=120°；

③AABP、AACP,Z\BCP全等；

W④點(diǎn)P是垂心，是△ABC各邊的高線的交點(diǎn)；

⑤點(diǎn)P是4ABC各邊的中線的交點(diǎn)；

⑥點(diǎn)P是內(nèi)心，是在三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線的

交點(diǎn)；

⑦4ABC的三頂點(diǎn)的距離之和為AP+BP+CP,且點(diǎn)P

為費(fèi)馬點(diǎn)時(shí)和最小.

直角三角形E①AABC的三頂點(diǎn)的距離之和為AP+BP+CP,且點(diǎn)P

為費(fèi)馬點(diǎn)時(shí)和最?。?/p>

②NAPB=NBPC=/APC=120°

BC

【進(jìn)階】

加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)模型概述：前面學(xué)的PA+PB+PC最小值的費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題線段前面系數(shù)都是1,如果現(xiàn)在求

mPA+nPB+xPC最小值，前面系數(shù)不是1,那么此類題目就叫做“加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)”.

【模型拓展】

類型一單系數(shù)類

當(dāng)只有一條線段帶有不為1的系數(shù)時(shí)，相對(duì)較為簡(jiǎn)單，一般有兩種處理手段，

類型二多系數(shù)類

其實(shí)當(dāng)三條線段的三個(gè)系數(shù)滿足勾股數(shù)的關(guān)系時(shí)，都是符合加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)的條件的。

以不同的點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)不同的三角形得到的系數(shù)是不同的，對(duì)于給定的系數(shù)，我們?cè)撊绾芜x取旋轉(zhuǎn)

中心呢？我們總結(jié)了以下方法：

1.將最小系數(shù)提到括號(hào)外；

2.中間大小的系數(shù)確定放縮比例；

3.最大系數(shù)確定旋轉(zhuǎn)中心（例如最大系數(shù)在PA前面，就以A為旋轉(zhuǎn)中心），旋轉(zhuǎn)系數(shù)不為1的兩條線段所

在的三角形。

例：已知：在RtZkABC中，ZACB=30°,BC=6,AC=5,Z\ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P,連接PA,PB,PC

A

4

B

問(wèn)題求解圖形作法

求PA+PB+PC最D△CAP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得4CDE

/

小值BD長(zhǎng)度即為所求，在RtABCD中有勾股定理可得

BD=VBC2+CD2=V61

BC

求PA+PB+V2PC△CAP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得4CDE

最小值此時(shí)4PCE為等腰直角三角形，即PE=V^PC

金因止匕原式=PA+PB+&PC=ED+PB+PE,則當(dāng)B、P、E、D

四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，BD長(zhǎng)度即為所求，在RtZkBFD

B

3、“靖中有勾股定理可得BD=VBF2+FD2=V91

求PA+PB+V3PCE△CAP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得4CDE

2

最小值此時(shí)4PCE為等腰三角形且NPCE=120°,即

PE=V3PC,因此原式=PA+PB+百PC=ED+PB+PE,則當(dāng)

B

.??????"B、P、E、D四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，BD長(zhǎng)度即為所求，

V-"

T.在RtABFD中有勾股定理可得BD=VBF2+FD2=

,60+30V3

求思路：原式=2(PA+ipB+^PC)

22

2PA+PB+V3PC

1)將PC邊繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)60°,然后過(guò)點(diǎn)P作PFLCE于

最小值

點(diǎn)F,則PF=^PC;2)：PB利用三角形中位線來(lái)處理；3)

PA前的系數(shù)是1,不需要轉(zhuǎn)化，所以旋轉(zhuǎn)4PCB.

過(guò)程：ABCP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得ACDE,然后過(guò)

D點(diǎn)P作PF±CE于點(diǎn)F,止匕時(shí)4PCE為等邊三角形，即

pF=V3pc)過(guò)點(diǎn)F作FG〃DE,貝?。軫G=工PB,則當(dāng)A、P、

22

F、G四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，AG長(zhǎng)度即為所求，在Rt

△ACG中有勾股定理可得AG=VCG+AC2=V34,原式

=2(PA+|PB+^PC)=2聞

求D過(guò)程：AACP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得ACDE,然后過(guò)

2PA+4PB+2V3PC點(diǎn)P作PFXCE于點(diǎn)F,此時(shí)4PCE為等邊三角形，即

最小值PF上Ipc,過(guò)點(diǎn)F作FG〃DE,貝1」FG=-AP,則當(dāng)B、P、

22

F、G四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，BG長(zhǎng)度即為所求，在Rt

B。△BCG中有勾股定理可得BG=VCG+AC2=7.5,原式=4

YPA+PB+立PC)=26

22

備注：若變形后的系數(shù)不是特殊值，則可借助位似的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.

題型01普通費(fèi)馬點(diǎn)模型

1.(2024廣東.二模)若銳角三角形2BC內(nèi)的點(diǎn)P滿足乙4P8=ABPC="PA=120。，則稱點(diǎn)P為△48C的

費(fèi)馬點(diǎn).如圖，在AABC中，AB=AC=V7,BC=<3,則△4BC的費(fèi)馬點(diǎn)P到4B,C三點(diǎn)的距離之和為

()

2.(21-22九年級(jí)上.四川成者B.階段練習(xí))如圖，在AABC中，^CAB=90°,AB=AC1,P是△ABC內(nèi)一

點(diǎn)，求P4+PB+PC的最小值為

3.（2021九年級(jí).全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，已知矩形ABC。，AB=4,BC=6,點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)、E為BC

邊上任意一點(diǎn)，則MA+MD+ME的最小值為

4.（2024?陜西榆林?二模）如圖，在團(tuán)4BCD中，AD=6,連接4C,AB=AC=5,以點(diǎn)C為圓心，丁。長(zhǎng)為

半徑畫弧，弧分別交BC、AC.CD于點(diǎn)M、H、N,點(diǎn)P是mV上方△ACD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是用V上一動(dòng)點(diǎn)，連

接AP、DP、PQ,則4P+DP+PQ的最小值為

5.（2024.湖北.模擬預(yù)測(cè)）閱讀以下材料并完成問(wèn)題

材料一：數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想如BTR可看做是圖一中的長(zhǎng)，J（a+l）2+b2可看做是力。的

長(zhǎng).

材料二：費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題是一個(gè)古老的數(shù)學(xué)問(wèn)題.費(fèi)馬點(diǎn)即在△ABC中有一點(diǎn)P使得P4+PB+PC的值最小.著

名法學(xué)家費(fèi)馬給出的證明方法如下:

將A4BP繞B點(diǎn)向外旋轉(zhuǎn)60。得到AaiBiCi，并連接PPi易得APP/是等邊三角形、PA=PrAr,則PB=P0,

則PA+PB+PC=PMi+PPi+PC,所以PA+PB+PC的值最小為&C.

請(qǐng)結(jié)合以上兩材料求出+y2_|_J比2+y2+1_2%+x2+y2+12-4遮、的最小值

題型02加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)模型-單系數(shù)

6.(2023?湖北隨州?中考真題)1643年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個(gè)著名的幾何問(wèn)題：給定不在同一條直線

上的三個(gè)點(diǎn)A,B,C,求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆

利給出了分析和證明，該點(diǎn)也被稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”或“托里拆利點(diǎn)”，該問(wèn)題也被稱為“將軍巡營(yíng)”問(wèn)題.

(1)下面是該問(wèn)題的一種常見的解決方法，請(qǐng)補(bǔ)充以下推理過(guò)程：(其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空,

②處從“兩點(diǎn)之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三

角形的某個(gè)頂點(diǎn))

當(dāng)4ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120。時(shí)，

如圖1,將A4PC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到連接PP',

由PC=P￡,^PCP'=60°,可知APCP'為①三角形,故PP，=PC,又P，4=P4,故P4+PB+PC=

PA'+PB+PP'>A'B,

由②可知,當(dāng)8,P,P',A在同一條直線上時(shí)，P4+PB+PC取最小值，如圖2,最小值為4B,此時(shí)

的尸點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，且有NAPC=乙BPC=^APB=⑶；

已知當(dāng)△力BC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120。時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn).如圖3,若ABAC2120。,

則該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為⑷點(diǎn).

(2)如圖4,在AA8C中，三個(gè)內(nèi)角均小于120。，且4C=3,BC=4,AACB=30°,己知點(diǎn)尸為△力BC的“費(fèi)

馬點(diǎn)”，求24+P8+PC的值；

CBCB

(3)如圖5,設(shè)村莊A,B,C的連線構(gòu)成一個(gè)三角形，且已知4c=4km,BC=2V3km,乙4cB=60。.現(xiàn)欲

建一中轉(zhuǎn)站尸沿直線向A,B,C三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站尸到村莊A,B,C的鋪設(shè)成本分別為。

元/km,。元/km,元/km,選取合適的P的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為___________元.(結(jié)果用

含a的式子表示)

7.(23-24八年級(jí)下?重慶銅梁?期中)在回4BCD中，乙4BC=45。，連接4C,已知AB=AC=&，點(diǎn)E在線

段4C上，將線段DE繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。為線段DF.

(1)如圖1,線段力C與線段BD的交點(diǎn)和點(diǎn)E重合，連接EF,求線段EF的長(zhǎng)度；

(2)如圖2,點(diǎn)G為OC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，使得GC=EC,連接FG交4。于點(diǎn)辦求證：立AH=CD；

(3)如圖3,在(2)的條件下，平面內(nèi)一點(diǎn)P,當(dāng)口2+?！?&8「最小時(shí)，求Af/PB的面積.

8.(2024?廣東廣州?一模)如圖，在矩形48。。和矩形46尸￡'中，20=4,2E=2,AB=y/3AD,AG=WAE.矩

形力GFE繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接BG,CF,AC,AF.

CDCD

備用圖

(1)求證：△4BG-AACF；

(2)當(dāng)CE的長(zhǎng)度最大時(shí)，

①求BG的長(zhǎng)度；

②在AACF內(nèi)是否存在一點(diǎn)P,使得CP+AP+gPF的值最小?若存在，求。2+45+舊「F的最小值；若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

題型03加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)模型-多系數(shù)

9.(2023九年級(jí)下?全國(guó)?專題練習(xí))如圖，正方形ZBCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)P是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，求PA+2PB+

而PC的最小值.

Ar----------

10.(2024.湖北武漢.模擬預(yù)測(cè))如圖，在△48C中，^ACB=30°,BC=4,在AABC內(nèi)有一點(diǎn)0,連接04,

OB,OC,若204+OB+近OC的最小值為4曲，貝的值為.

B

11.（2021九年級(jí)?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，"BC中，NBAC=45。，A8=6,AC=4,尸為平面內(nèi)一點(diǎn)，求2a8P+

V5AP+3PC最小值

12.（2024?重慶?二模）已知AOBC中4B=BC,點(diǎn)。和點(diǎn)E是平面內(nèi)兩點(diǎn)，連接BD,DE和BE,乙BED=90°.

“D

ACAC

圖2備用圖

（1）如圖1,若BD=BA,AABC=2ZD,BE=2,求4C的長(zhǎng)度；

（2）如圖2,連接AD和CD,點(diǎn)F為4D中點(diǎn)，點(diǎn)G為CD中點(diǎn)，連接EF和BG,若EF=BG,求證：4BAC=乙DBE；

（3）若〃BC=60°,AB=2,當(dāng)，。+當(dāng)BD+CD取得最小值，且力E取得最大值時(shí)，直接寫出ABDE的面積.

【針對(duì)訓(xùn)練】

1.（2021?遼寧丹東?中考真題）己知：到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)稱為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn).如果△力BC

是銳角（或直角）三角形，則其費(fèi)馬點(diǎn)尸是三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足乙4PB=乙BPC=乙CPA=120°.（例如：

等邊三角形的費(fèi)馬點(diǎn)是其三條高的交點(diǎn)）.若AB=AC=近,BC=2W,P為AABC的費(fèi)馬點(diǎn)，貝|P4+PB+

PC=；若力8=2e,8C=2,AC=4,尸為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，貝“PA++PC=.

2.（2021九年級(jí)?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，在△4BC中，"CB=30°,BC=6,AC=5,在△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P,

連接24、PB、PC.（加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)）求：

B

(1)P2+PB+PC的最小值；

(2)PH+PB+/PC的最小值

(3)PA+PB+舊PC的最小值；

(4)2P4+P8+WPC的最小值

(5)1PA+PB+^PC的最小值；

(6)2P4+4PB+2gPC的最小值

(7)4P4+2PB+2百PC的最小值；

(8)3P4+4PB+5PC的最小值

3.(2024.陜西西安?模擬預(yù)測(cè))(1)問(wèn)題背景

如圖1,尸為AABC內(nèi)部一點(diǎn)，連接P4PB、PC,將△力PC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得至以4P'C,連接PP',

由PC=P￡,APCP'=60°,可知APCP'為__________三角形，故PP'=PC,又PA=P4故P4+PB+

PC=PA'+PB+PP'>A'B,由___________可知，當(dāng)B,P,P',4在同一條直線上時(shí)，P4+PB+PC取最

小值，如圖2,最小值為48,此時(shí)的尸點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”.

(2)問(wèn)題解決

如圖3,在中，三個(gè)內(nèi)角均小于120。，且AC=3,BC=4,乙4cB=30。，求R4+PB+PC的最小值；

(3)問(wèn)題應(yīng)用

如圖4,設(shè)村莊4B,C的連線構(gòu)成一個(gè)三角形，且2C=6km,BC=4V3km,乙4cB=30。.現(xiàn)欲在△4BC

內(nèi)部建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向4B,C三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站尸到村莊4B,C的鋪設(shè)成本分別

為1000元/km,1000元/km,lOOOb萬(wàn)元/km,是否存在合適的尸的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低，若

存在請(qǐng)求出成本的最小值.

圖3圖4

4.（2024?福建廈門.二模）根據(jù)以下思考，探索完成任務(wù)

費(fèi)馬點(diǎn)的思考

17世紀(jì)有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽(yù)的法國(guó)律師皮耶?德?費(fèi)馬，提出一個(gè)問(wèn)題：求作三角形內(nèi)的一個(gè)點(diǎn),

使它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小，后來(lái)這點(diǎn)被稱之為“費(fèi)馬點(diǎn)”.

解決這種問(wèn)題的經(jīng)典方法，就是利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段P4PB,PC行轉(zhuǎn)化:

如圖：把AAPC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到△連接PP，，這樣就把確定P4+PB+PC的最小

值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成確定BP+PP'+P'C'的最小值的問(wèn)題了.當(dāng)B,P,P，，廠四點(diǎn)共線時(shí)，線段8「的長(zhǎng)

為所求的最小值，容易證明乙4PB=N8PC=NCP力=120。，此時(shí)點(diǎn)P為A4BC的“費(fèi)馬點(diǎn)”.

素

材1

圖中所示的是一個(gè)正方形的廠區(qū)，其中頂點(diǎn)A,B,C,。分別為辦公區(qū)、生產(chǎn)區(qū)、物流區(qū)和生活區(qū),

正方形邊長(zhǎng)為2km,準(zhǔn)備在廠區(qū)內(nèi)修建一研發(fā)區(qū)E,且從研發(fā)區(qū)E修建三條直線型道路直通辦公區(qū)A,

素生產(chǎn)區(qū)B和物流區(qū)C修路的成本為200元/米.

材2

任

請(qǐng)你根據(jù)素材1所給解決思路，證明所求線段轉(zhuǎn)化的正確性.證明：P4+PB+PC=

務(wù)感悟證明定理

BP+PP'+P'C

—'

任在素材2中，請(qǐng)問(wèn)研發(fā)區(qū)E建在哪片區(qū)域比較合適？()

務(wù)初步探索位置A.AaBC內(nèi)的區(qū)域

B.△2CD內(nèi)的區(qū)域

任

為了節(jié)約建設(shè)成本，問(wèn)該研發(fā)區(qū)E應(yīng)該修建在廠區(qū)的什么地方，才能使得花費(fèi)最少，

務(wù)擬定恰當(dāng)方案

最少費(fèi)用為多少？

5.(21-22八年級(jí)上.江蘇蘇州?期中)背景資料：在己知△力BC所在平面上求一點(diǎn)P,使它到三角形的三個(gè)頂

點(diǎn)的距離之和最小.這個(gè)問(wèn)題是法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被

人們稱為“費(fèi)馬點(diǎn)如圖1,當(dāng)△ABC三個(gè)內(nèi)角均小于120。時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)尸在A/IBC內(nèi)部，當(dāng)乙4PB=NAPC=

乙CPB=120。時(shí)，則PA+PB+PC取得最小值.

(1)如圖2,等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,若點(diǎn)尸到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3,4,5,求乙4PB的度數(shù)，為了

解決本題，我們可以將AABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到AACP，處，此時(shí)△4CP，mAABP這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，

將三條線段P4、PB、PC轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出N/1PB=；

知識(shí)生成：怎樣找三個(gè)內(nèi)角均小于120。的三角形的費(fèi)馬點(diǎn)呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三

角形并連接等邊三角形的頂點(diǎn)與AABC的另一頂點(diǎn)，則連線通過(guò)三角形內(nèi)部的費(fèi)馬點(diǎn).請(qǐng)同學(xué)們探索以下問(wèn)

題.

(2)如圖3,A4BC三個(gè)內(nèi)角均小于120。，在AABC外側(cè)作等邊三角形AABB，，連接CB，，求證：CB'^ABC

的費(fèi)馬點(diǎn).

（3）如圖4,在RTAABC中，ZC=90°,AC=1,AABC=30。，點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，連接AP、BP、CP,求

PA+P8+PC的值.

（4）如圖5,在正方形ABC。中，點(diǎn)E為內(nèi)部任意一點(diǎn)，連接ZE、BE、CE,且邊長(zhǎng)4B=2；求力E+BE+CE的

最小值.

6.（2023?貴州遵義?三模）（1）【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】如圖①，在AOAB中，若將AOAB繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到

△OA'B',連接BB，；求NOBB'=_；

（2）【問(wèn)題探究】如圖②，已知△48C是邊長(zhǎng)為4國(guó)的等邊三角形，以8c為邊向外作等邊三角形BCD,P

為ANBC內(nèi)一點(diǎn)，將線段CP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，點(diǎn)尸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q.

①求證：ADCQ三4BCP；

②求P2+PB+PC的最小值；

（3）【實(shí)際應(yīng)用】如圖③，在矩形A8CD中，48=600,力。=800,P是矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)=2SAPBC，Q為

△ADP內(nèi)任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)尸和點(diǎn)。，使得4Q+DQ+PQ有最小值？若存在求其值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

類型二瓜豆模型

型定義：瓜豆模型也叫“主從聯(lián)動(dòng)模型”，即：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)隨另一動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，分別叫做“主動(dòng)點(diǎn)”與

“從動(dòng)點(diǎn)”，它們的運(yùn)動(dòng)軌跡相似。出自成語(yǔ)''種瓜得瓜,種豆得豆”，在幾何上叫“種線得線,種國(guó)得圓”.

【條件】瓜豆原理運(yùn)用滿足的三個(gè)條件（”一定兩動(dòng)、定角、定比”儲(chǔ)

①有一個(gè)定點(diǎn)、兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（從動(dòng)點(diǎn)）因另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（主動(dòng)點(diǎn)）的運(yùn)動(dòng)而隨之運(yùn)動(dòng)；

②兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)所連線組成的夾角是定角；

③兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的比值是定值.

1）本模型一般出現(xiàn)在選擇題或填空題的壓軸題中，可以直接利用結(jié)論秒殺.

2）在線段最值問(wèn)題中，有時(shí)可先利用“瓜豆”模型確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡，再根據(jù)點(diǎn)線最值，點(diǎn)圓最值來(lái)求線段

最值.

3）部分求動(dòng)點(diǎn)軌跡長(zhǎng)的問(wèn)題中，只要確定屬于“瓜豆”模型，就可以利用路徑之比等于相似比，根據(jù)主動(dòng)

點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)直接求得.

【模型一】點(diǎn)在直線上

（aWO）且岑=k,如果A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線

I

結(jié)論：B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡也是直線，卷=冷=匕直線BB，與直線AA，的夾角為a

OAOA

【模型二】點(diǎn)在圓上

條件;如圖，點(diǎn)0是定點(diǎn)，點(diǎn)A、B是動(dòng)點(diǎn)，/AOB=a且整=k,A點(diǎn)在001上運(yùn)動(dòng)

結(jié)論：

1）當(dāng)a=0,①B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓，②A,B,0始終是一條直線，③主動(dòng)圓與從動(dòng)圓的半徑之比為黑=

k（定值）.

2）當(dāng)aWO,①B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓，②主動(dòng)圓與從動(dòng)圓的半徑之比為瞿=k,

③主從動(dòng)圓的圓心與定點(diǎn)連線構(gòu)成的夾角為a（定值）.

【總結(jié)】

1）在線段最值問(wèn)題中，有時(shí)可先利用“瓜豆”模型確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡，再根據(jù)點(diǎn)線最值，點(diǎn)圓最值來(lái)求線段

最值；

2）部分求動(dòng)點(diǎn)軌跡長(zhǎng)的問(wèn)題中，只要確定屬于"瓜豆”模型，就可以利用路經(jīng)之比等于相似比，根據(jù)主動(dòng)

點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)直接求得

題型01點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線

1.（2021?山東泰安?中考真題）如圖，在矩形4BCD中，AB=5,BC=5百，點(diǎn)尸在線段BC上運(yùn)動(dòng)（含B、

C兩點(diǎn)），連接AP,以點(diǎn)4為中心，將線段4P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。到力Q,連接DQ,則線段DQ的最小值為（）

A.-B.5V2C.—D.3

23

2.（2022?安徽合肥?三模）如圖，在放AABC紙片中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,點(diǎn)D,E分別在8C,

4B邊上，連接。E,將ABDE沿。E翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)尸的位置，連接AR若四邊形BEFD是菱形，則

A尸的長(zhǎng)的最小值為（）

A.V5B.V3C.-D.-

22

3.（2023?廣東廣州?二模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4&,E為BC上一點(diǎn)，且BE=/，F(xiàn)為4B邊上的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF,以EF為邊向右側(cè)作等邊AE/G,連接CG,則CG的最小值為—.

4.（2024.河北邢臺(tái)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)E為中線8。上的動(dòng)點(diǎn).連接CE,

將CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到CF.連接2F,貝IJNCAF=,連接DF,則ACDF周長(zhǎng)的最小值是

5.（2023?江蘇徐州?模擬預(yù)測(cè)）等邊△ABC邊長(zhǎng)為6,。是BC中點(diǎn)，E在4。上運(yùn)動(dòng)，連接BE,在BE下方作等

邊4BEF,貝!）ABDF周長(zhǎng)的最小值為

6.（2024.江蘇揚(yáng)州?中考真題）如圖，點(diǎn)4、B、M、E、F依次在直線2上，點(diǎn)力、B固定不動(dòng)，且4B=2,分

另I」以4B、EF為邊在直線2同側(cè)作正方形4BCD、正方形EFGH,乙PMN=90°,直角邊MP恒過(guò)點(diǎn)C,直角邊MN

恒過(guò)點(diǎn)H.

（2）如圖1,若BE=10,當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B、E之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，求HE的最大值；

（3）如圖2,若BF=22,當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)8、尸之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M隨之運(yùn)動(dòng)，連接CH,點(diǎn)。是CH的中點(diǎn)，連接HB、MO,

則2OM+HB的最小值為.

題型02點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓

1.（2024.安徽淮北?三模）如圖，線段48=4,點(diǎn)”為AB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離是1,連接PB,線段PB

繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段PC,連接AC,則線段AC長(zhǎng)度的最大值是（）

A.3B.4C.2企D.3企

2.（2023?浙江寧波?模擬預(yù)測(cè)）如圖，△力BC中，ZXBC=90°,tan/BAC=5點(diǎn)。是48的中點(diǎn)，尸是以A

為圓心，以4。為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC,則賓的最大值為（）

A

a7c

AVloD3何V13-1cV13+1

A.D.C.--------D.-------

31044

3.（2023?山東泰安?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RtAAOB的一條直角邊0B在x軸上，點(diǎn)A的坐

標(biāo)為（—6,4）；RtAC。。中，ZCOO=90°,0D=4A/3,ZD=30°,連接BC,點(diǎn)M是BC中點(diǎn)，連接4M.將

RtaCOD以點(diǎn)。為旋轉(zhuǎn)中心按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段4M的最小值是（）

4.（21-22九年級(jí)上?江蘇南京?期中）如圖，在RSABC中，zACB=90°,AC=16,BC=12,點(diǎn)尸在以AB

為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，由點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A,連接CP,點(diǎn)加是CP的中點(diǎn)，則點(diǎn)〃經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為—.

5.（2022?山東日照?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,4）,尸是無(wú)軸上一動(dòng)點(diǎn),

把線段B4繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段PR連接OF,則線段。尸長(zhǎng)的最小值是.

6.（2023?四川宜賓?中考真題）如圖，M是正方形2BCD邊CD的中點(diǎn)，P是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接BP,線段BP以

B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段BQ,連接MQ.若4B=4,MP=1,則MQ的最小值為.

7.（2020?江蘇連云港?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為2的。。與x軸的正半軸交于點(diǎn)2,

點(diǎn)B是。。上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C為弦4B的中點(diǎn)，直線y=—3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)。、E,貝必CDE面積的最

,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5,以C為圓心，2為半徑作OC,點(diǎn)P為OC上的動(dòng)

點(diǎn)，連接8P,并將BP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到BPI連接CP，，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，CP，長(zhǎng)度的最大值是.

9.（21-22九年級(jí)上.浙江紹興.期末）如圖，在RN4BC中，zACB=90°,AC=3,BC=6,BD=2,以點(diǎn)B

為圓心，8。長(zhǎng)為半徑作圓，點(diǎn)E為OB上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)EC,作尸C1CE,垂足為C,點(diǎn)F在直線BC的上

方，且滿足CF=3CE,連結(jié)8足當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)。重合時(shí)，8尸的值為.點(diǎn)E在OB上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，BF

存在最大值為.

10.（2024?吉林長(zhǎng)春?二模）【問(wèn)題呈現(xiàn)】數(shù)學(xué)興趣小組遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖①，。。的半徑為2,點(diǎn)力是

。。外的一個(gè)定點(diǎn)，。4=4.點(diǎn)2在。。上，作點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)4的對(duì)稱點(diǎn)Q,連接P4、AQ.當(dāng)點(diǎn)P在。。上運(yùn)動(dòng)

一周時(shí)，試探究點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑.

【問(wèn)題解決】經(jīng)過(guò)討論，小組同學(xué)想利用全等三角形的知識(shí)解決該問(wèn)題；如圖②,延長(zhǎng)。4至點(diǎn)M,使AM=0A,

連接。P、MQ,通過(guò)證明AOAP三AMAQ,可推出點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)M為圓心、2為半徑的圓.下面是

部分證明過(guò)程：

證明：延長(zhǎng)。4至點(diǎn)M,使4"=。4連接。P、MQ.

1。當(dāng)點(diǎn)P在直線。4外時(shí)，

證明過(guò)程缺失

2。當(dāng)點(diǎn)P在直線04上時(shí)，

易知。P=MQ=2.

綜上，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)M為圓心、2為半徑的圓.

請(qǐng)你補(bǔ)全證明中缺失的過(guò)程.

【結(jié)論應(yīng)用】如圖③，在矩形4BCD中，點(diǎn)尸分別為邊4B、CD的中點(diǎn)，連接EF,點(diǎn)。是EF中點(diǎn)，點(diǎn)M是

線段。F上的任意一點(diǎn)，AB=4,BC=8.點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)，AP=2,連接4P.作點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)Q,

連接PM、MQ.

（1）當(dāng)點(diǎn)M是線段0F中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為________________.

（2）當(dāng)點(diǎn)M在線段0F上運(yùn)動(dòng)時(shí),連接EQ.設(shè)線段EQ長(zhǎng)度的最大值為a,最小值為6,貝打+

b=________________.

圖①圖②圖③G

【針對(duì)訓(xùn)練】

1.（2022?山東泰安?二模）如圖,矩形力BCD的邊AB=￡,BC=3,E為2B上一點(diǎn)，且4E=1,尸為4D邊上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF,若以EF為邊向右側(cè)作等腰直角三角形EFG,EF二=EG,連接CG,貝。CG的最小值為（）

2￡

AEB

A.V5C.3D.2V2

2.（2024?河南周口?一模）如圖，平行四邊形4BCD中，AB=16,AD=12,ZX=60°,E是邊力。上一點(diǎn)，

且4E=8,9是邊48上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段EF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到EG,連接BG、CG,則8G+CG的

最小值是（）.

A.4B.4V15C.4V21D.V37

3.如圖，等腰RtAABC中，斜邊AB的長(zhǎng)為2,O為AB的中點(diǎn)，P為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，OQ1OP交BC于

點(diǎn)Q,M為PQ的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為

C

4（2023?四川成都?一模）如圖，四邊形4BCD為矩形，對(duì)角線4c與相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E在邊OC上，連接4E,

過(guò)D做垂足為F,連接OF,若ND4E=30。，DE=10,貝1|。尸的最小值為.

5.（21-22九年級(jí)下.福建福州.階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Q是直線y=^x+2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將

Q繞點(diǎn)P（-l,0）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到點(diǎn)0,連接。Q',則。Q'最小值為.

6.（23-24九年級(jí)上?遼寧沈陽(yáng)?期末）【問(wèn)題初探】

數(shù)學(xué)課上張老師在講完正方形的性質(zhì)之后提出了一個(gè)問(wèn)題:

四邊形力BCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，點(diǎn)E是邊4。上的一動(dòng)點(diǎn)，連接CE,以CE為一邊作正方形CEFG（點(diǎn)C,

E,F,G按順時(shí)針?lè)较蚺帕校?，連接BF,DG.

(1)如圖1,求點(diǎn)G至！JCD的距離，請(qǐng)寫出解答過(guò)程；

【類比分析】愛動(dòng)腦的數(shù)學(xué)興趣小組在研討的過(guò)程中，也提出了一個(gè)問(wèn)題：

(2)如圖2,當(dāng)BF經(jīng)過(guò)點(diǎn)。時(shí)，求DG的長(zhǎng)，請(qǐng)寫出解答過(guò)程；

【學(xué)以致用】看到同學(xué)們興致勃勃的樣子，張老師說(shuō)：“角相等可以是三角形全等的條件，也能推導(dǎo)出相似”,

于是給同學(xué)們留了一道思考題：

(3)求代數(shù)式或DG+BF的最小值.經(jīng)過(guò)小組研討，組長(zhǎng)小明進(jìn)行了整理，給出了部分解題思路；

解題思路：如圖3,作等腰直角AaCFi，使4016=90。，連接AC,CF,AF,則點(diǎn)C,D,a三點(diǎn)共線，

由=費(fèi)一=&，可得△aCPQDCG,

由N&CF=N4CE,察=||=魚，可得△C&FC力E,........

請(qǐng)完成“……”部分的解答過(guò)程.

F]

7.(2024.安徽合肥.模擬預(yù)測(cè))如圖，分別經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。和點(diǎn)4(8,0)的動(dòng)直線a,b,其夾角=30。，點(diǎn)

〃