2025版高考數(shù)學大一輪復(fù)習第二章函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第7講二次函數(shù)與冪函數(shù)課時達標文含解析新人教A版

PAGEPAGE1第7講二次函數(shù)與冪函數(shù)課時達標一、選擇題1．已知冪函數(shù)f(x)＝k2·xa＋1的圖象過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，則k＋a＝()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(3,2)C.eq\f(1,2)或－eq\f(3,2) D．2C解析因為f(x)＝k2·xa＋1是冪函數(shù)，所以k2＝1，所以k＝±1.又f(x)的圖象過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a＋1＝eq\f(\r(2),2)，所以a＋1＝eq\f(1,2)，所以a＝－eq\f(1,2)，所以k＋a＝±1－eq\f(1,2)＝－eq\f(3,2)或eq\f(1,2).2．拋物線y＝ax2＋bx＋c的頂點在第一象限，與x軸的兩個交點分別位于原點兩側(cè)，則a，b，c的符號為()A．a(chǎn)＜0，b＜0，c＜0B．a(chǎn)＜0，b＞0，c＞0C．a(chǎn)＜0，b＜0，c＞0D．a(chǎn)＜0，b＞0，c＜0B解析由題意知拋物線開口向下，故a<0.由拋物線與x軸的兩個交點分別位于原點兩側(cè)得eq\f(c,a)<0，所以c>0.再由頂點在第一象限得－eq\f(b,2a)>0，所以b>0.3．若a＝2－eq\f(3,2)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))3，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜a＜bC．b＜c＜a D．b＜a＜cC解析a＝2－eq\f(3,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))3，依據(jù)函數(shù)y＝x3是R上的增函數(shù)，且eq\f(2,5)＜eq\f(1,2)＜eq\f(\r(2),2)，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))3＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))3，即b＜c＜a.4．二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋5滿意條件f(－1)＝f(3)，則f(2)的值為()A．5 B．6C．8 D．與a，b的值有關(guān)A解析因為函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋5滿意條件f(－1)＝f(3)，所以f(x)＝ax2＋bx＋5的圖象關(guān)于x＝eq\f(－1＋3,2)＝1對稱，則f(2)＝f(0)＝5.故選A.5．對隨意的x∈[－2,1]，不等式x2＋2x－a≤0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，0] B．(－∞，3]C．[0，＋∞) D．[3，＋∞)D解析設(shè)f(x)＝x2＋2x－a(x∈[－2,1])，其對稱軸為x＝－1，所以當x＝1時，f(x)取得最大值3－a，所以3－a≤0，解得a≥3.故選D.6．(2024·杭州測試)若函數(shù)f(x)＝x2－2x＋1在區(qū)間[a，a＋2]上的最小值為4，則實數(shù)a的取值集合為()A．[－3,3] B．[－1,3]C．{－3,3} D．{－1，－3,3}C解析因為函數(shù)f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2的圖象的對稱軸為直線x＝1，f(x)在區(qū)間[a，a＋2]上的最小值為4，所以當a≥1時，f(x)min＝f(a)＝(a－1)2＝4，a＝－1(舍去)或a＝3；當a＋2≤1，即a≤－1時，f(x)min＝f(a＋2)＝(a＋1)2＝4，a＝1(舍去)或a＝－3；當a＜1＜a＋2，即－1＜a＜1時，f(x)min＝f(1)＝0≠4.故a的取值集合為{－3,3}．故選C.二、填空題7．已知函數(shù)f(x)＝xeq\s\up12(\f(1,2))，且f(2x－1)<f(3x)，則x的取值范圍是________．解析f(x)＝xeq\s\up12(\f(1,2))在[0，＋∞)上是單調(diào)遞增的，且f(2x－1)<f(3x)，則0≤2x－1<3x，所以x≥eq\f(1,2).答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))8．二次函數(shù)的圖象過點(0,1)，對稱軸為x＝2，最小值為－1，則它的解析式為________．解析依題意可設(shè)f(x)＝a(x－2)2－1(a＞0)，又其圖象過點(0,1)，所以4a－1＝1，所以a＝eq\f(1,2)，所以f(x)＝eq\f(1,2)(x－2)2－1.答案f(x)＝eq\f(1,2)(x－2)2－19．(2024·河北師大附中期中)若函數(shù)f(x)＝mx2－2x＋3在[－1，＋∞)上單調(diào)遞減，則實數(shù)m的取值范圍為________．解析當m＝0時，f(x)＝－2x＋3在R上單調(diào)遞減，符合題意；當m≠0時，函數(shù)f(x)＝mx2－2x＋3在[－1，＋∞)上單調(diào)遞減，只需對稱軸x＝eq\f(1,m)≤－1，且m＜0，解得－1≤m＜0，綜上，實數(shù)m的取值范圍為[－1,0]．答案[－1,0]三、解答題10．已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)當a＝－2時，求f(x)的最值；(2)求實數(shù)a的取值范圍，使y＝f(x)在區(qū)間[－4,6]上是單調(diào)函數(shù)．解析(1)當a＝－2時，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，因為x∈[－4，6]，所以f(x)在[－4,2]上單調(diào)遞減，在[2,6]上單調(diào)遞增，所以f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函數(shù)f(x)的圖象開口向上，對稱軸是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是單調(diào)函數(shù)，應(yīng)有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4，故a的取值范圍是(－∞，－6]∪[4，＋∞)．11．(2024·杭州模擬)已知值域為[－1，＋∞)的二次函數(shù)f(x)滿意f(－1＋x)＝f(－1－x)，且方程f(x)＝0的兩個實根x1，x2滿意|x1－x2|＝2.(1)求f(x)的表達式；(2)函數(shù)g(x)＝f(x)－kx在區(qū)間[－1,2]上的最大值為f(2)，最小值f(－1)，求實數(shù)k的取值范圍．解析(1)由f(－1＋x)＝f(－1－x)可得f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－1對稱，設(shè)f(x)＝a(x＋1)2＋h＝ax2＋2ax＋a＋h(a≠0)，由函數(shù)f(x)的值域為[－1，＋∞)，可得h＝－1，依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x1＋x2＝－2，x1x2＝1＋eq\f(h,a)，所以|x1－x2|＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(－\f(4h,a))＝2，解得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x.(2)由題意得函數(shù)g(x)在區(qū)間[－1,2]上單調(diào)遞增，又g(x)＝f(x)－kx＝x2－(k－2)x.所以g(x)的對稱軸方程為x＝eq\f(k－2,2)，則eq\f(k－2,2)≤－1，即k≤0，故k的取值范圍為(－∞，0]．12．已知冪函數(shù)f(x)＝(－2m2＋m＋2)xm(1)求f(x)的解析式；(2)若函數(shù)h(x)＝f(x)＋ax＋3－a≥0在區(qū)間[－2,2]上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．解析(1)由f(x)為冪函數(shù)知－2m2＋m＋2＝1，解得m＝1或m＝－eq\f(1,2).當m＝1時，f(x)＝x2，符合題意；當m＝－eq\f(1,2)時，f(x)＝xeq\f(1,2)，不合題意，舍去．所以f(x)＝x2.(2)h(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))2－eq\f(a2,4)－a＋3，令h(x)在[－2,2]上的最小值為g(a)．①當－eq\f(a,2)＜－2，即a＞4時，g(a)＝h(－2)＝7－3a≥0，所以a≤eq\f(7,3).又a＞4，所以a不存在；②當－2≤－eq\f(a,2)≤2，即－4≤a≤4時，g(a)＝heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＝－eq\f(a2,4)－a＋3≥0，所以－6≤a≤2.又－4≤a≤4，所以－4≤a≤2；③當－eq\f(a,2)＞2，即a＜－4時，g(a)＝h(2)＝7＋a≥0，所以a≥－7.又a＜－4，所以－7≤a＜－4.綜上可知，a的取值范圍為[－7,2]．13．[選做題](2024·襄陽五中期中)已知a，b，c，d都是常數(shù)，a＞b，c＞d.若f(x)＝2019－(x－a)(x－b)的零點為c，d，則