山東省聊城市陽谷縣四校2025屆九年級上學期1月期末考試數學試卷(含解析)

九年級上學期期末水平調研數學試題一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的選項中，選出符合題目要求的一項．1.如圖，△ABC和陰影三角形的頂點都在小正方形的頂點上，則與△ABC相似的陰影三角形為（）A. B. C. D.答案：C∵，，AC=2，∴AB：AC：BC=：2：=：：1A.三邊比值=：：1，不符合題意，B.三邊比值=3：：，不符合題意，C.三邊比值=：：1，符合題意，D.三邊比值=：：2，不符合題意，故選C.2.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，延長至點G，連接BG，過點A作AF⊥BG，垂足為F，AF交CD于點E，則下列錯誤的是（）A. B. C. D.答案：D解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∴∠BCD+∠ABC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠ABC，又∵∠ACB＝∠ADC＝90°，∴△ACD∽△ABC，∴，故A選項不合題意；∵∠ACD＝∠ABC，∠ADC＝∠BDC，∴△ACD∽△CBD，∴故B選項不合題意；∵AF⊥BG，∴∠AFB＝90°，∴∠FAB+∠GBA＝90°，∵∠GDB＝90°，∴∠G+∠GBA＝90°，∴∠G＝∠FAB，又∵∠ADE＝∠GDB＝90°，∴△ADE∽△GDB，∴，∴AD?BD＝DE?DG，∵△ACD∽△CBD，∴，∴CD2＝AD?BD，∴CD2＝DE?DG，∴，故C選項不合題意；∵∠G＝∠G，∠EFG＝∠GDB＝90°，∴△GEF∽△GBD，∴故D選項符合題意，故選：D．3.現在手機導航極大方便了人們的出行，如圖，嘉琪一家自駕到風景區(qū)C游玩，到達A地后，導航顯示車輛應沿北偏西45°方向行駛4千米至B地，再沿北偏東60°方向行駛一段距離到達風景區(qū)C，嘉琪發(fā)現風景區(qū)C在A地的北偏東15°方向，那么B，C兩地的距離為（）A.千米 B.千米 C.千米 D.5千米答案：A解：如圖所示，過點B作于D，由題意得，，∴，∵，∴，∴，∴千米，，∴千米，∴千米，故選A．4.如圖，四邊形內接于，連接，，，若，則（）A. B. C. D.答案：B∵四邊形內接于，

∴，

由圓周角定理得，，∵∴

故選：B．5.如圖，點和分別是的內心和外心，若，則的度數為（）A. B. C. D.答案：D解：∵點I是的內心，∴，，∴，∵，∴，∵點O是的外心，∴，故選：D．6.已知關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是（）A. B. C.且 D.且答案：C∵關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，，∴且，∵∴且解得∴，解得且，故選C．7.某企業(yè)2021年營業(yè)額為100萬元，2021年、2022年、2023年總營業(yè)額為500萬元，設平均每年營業(yè)額增長率為，則下面所列方程正確的是（）A. B.C. D.答案：D解：設平均每年營業(yè)額增長率為，則列方程為，故選D．8.一次函數與二次函數在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）A. B.C. D.答案：D觀察解析式發(fā)現：一次函數與二次函數與y軸的交點為同一點，故排除B、C選項；A、二次函數圖象開口向上，則，但是一次函數y隨x的增大而減小，則，a的取值矛盾，故A不符合題意；D、二次函數圖象開口向上，則，一次函數y隨x的增大而增大，則，符合，故D符合題意；故選：D9.如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點，在反比例函數的圖像上，縱坐標分別為1和3，則的值為（）A. B. C.2 D.答案：B如圖，過A作AD⊥x軸于D，過B作BE⊥AD于E，則∠E=∠ADO=90°，又∵∠BAO=90°，∴∠OAD+∠AOD=∠OAD+∠BAE=90°，∴∠AOD=∠BAE，∴△ABE∽△OAD，∴，設A（k，1），B（，3），則OD=k，AD=1，AE=2，BE=，∴，解得k=±，∵k＞0，∴k=，故選B．10.如圖，已知二次函數、、為常數，且的圖象頂點為，經過點；有以下結論：①；②；③；④時，隨的增大而減?。虎輰τ谌我鈱崝?，總有，其中正確的有()A.①②③ B.②③④ C.③④⑤ D.①④⑤答案：D解：①由拋物線的開口方向向下，則，故①正確；②∵拋物線的頂點為，，，，，，拋物線與軸的交點在正半軸，，，故②錯誤；③拋物線經過點，，即，故③錯誤；④拋物線的頂點為，且開口方向向下，時，隨的增大而減小，即④正確；⑤，

，，則⑤正確；綜上，正確是①④⑤．故選：D．二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分．11.三角形中，，則值為__________．答案：105°或15°解：本題分兩種情況：

①如圖①時，AD為BC邊上的高．由AB=2，AC=，∠B=30°得，AD=ABsinB=2×0.5=1，∵sin∠ACD=AD：AC=1：=，∴∠ACD=45°=∠B+∠BAC，∴∠BAC=15°；②如圖②時，AD為BC邊上的高．由AB=2，AC=，∠B=30°得，∠BAD=60°，∴AD=ABsinB=2×0.5=1，∵sin∠ACD=AD：AC=1：=，，∴∠ACD=45°，∠CAD=45°，∴∠BAC=∠CAD+∠BAD=105°．故答案為105°或15°.12.若、、是二次函數圖象上的三點，則、、的大小關系是______用“”表示．答案：解：由題意知，，，，∴，故答案為：．13.如圖，在矩形ABCD中，E，F分別是邊BC，CD上的點，，，，若與以E，C，F為頂點的三角形相似，則BE的長為______．答案：或解：設BE=x，當∽△ECF時，即整理得，解得，經檢驗都符合題意，當∽△FCE時，即，解得．經檢驗符合題意，故答案為或．14.如圖，點A在反比例函數的圖象上，點C在x軸正半軸上，直線交y軸于點B，若，的面積為3，則k的值為________．答案：解：如圖，過點作軸于軸于，，，，，∵的面積為，則，，，，，由圖可知，，故答案為：．15.在平面直角坐標系中，有兩點A（1，2），B（3，1），以原點O為位似中心，將△OAB放大為原來的3倍，得到，則點A的對應點的坐標是_______．答案：或解：以原點O為位似中心，將△OAB放大為原來的3倍，則點A的橫縱坐標都變?yōu)樵瓉淼?倍，對應的點或．故答案是：或．16.如圖，是的直徑，點在圓上．將沿翻折與交于點．若的度數為，則______（弧長）．答案：解：如圖，作D關于的對稱點E，連接，則，∵

的度數為，∴，∴，∴，∴，∴的長度為，∴

的長度為．故答案為：．17.如圖，將繞點旋轉得到，已知，則線段掃過的圖形面積為______．答案：解：∵是繞點旋轉得到的，∴，，∴，∴，∵，，，∴，，∴，∴線段掃過的圖形面積為，故答案為：．18.如圖，在平面直角坐標系中，直線經過、，的半徑為，（為坐標原點，點是直線上的一動點，過點作的一條切線，為切點，則切線長的最小值為______．答案：##解：連接、，、，，，是的切線，，，由勾股定理知：，當時，最小，則線段最短，在中，，，，最小，故答案為：三、四、解答題：本題共7小題，共66分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．19.解下列方程：（1）；（2）．答案：（1），（2），；解：（1）二次項系數化1，得，移項，得，配方，得，即，開方，得，所以，；（2）方程兩邊同時開方，得，即或，所以，；20.已知：關于x的一元二次方程.（1）求證：不論m為任何實數，方程總有兩個不相等的實數根；（2）若方程兩根為，，且滿足，求的值.答案：（1）見詳解（2）【小問1詳解】解：∵，∴，∵，∴，原方程必有兩不等實數根．【小問2詳解】解：∵方程的兩根為，，，，，即：，解得：．21.五一假期，圓圓帶著無人機來到公園開展綜合實踐活動——測量一古塔的高度．如圖，在古塔附近有一斜坡，測得斜坡底端A距塔基中心E距離米，斜坡坡度i為，圓圓站在斜坡上距A點6.5米的B處，遙控無人機懸停在點B的正上方37.6米的C處，從C處測得古塔的頂部D處的俯角為（古塔在圓圓和無人機的正前方）．（參考數據：，，）（1）求古塔的高度；（2）已知目高為1.6米，若無人機保持現有高度并沿著平行于的方向，以4米/秒的速度向前勻速飛行，求經過多少秒時，無人機剛好離開圓圓的視線．答案：（1）古塔的高度是28.1米（2）經過6秒時，無人機剛好離開圓圓的視線【小問1詳解】解：延長交于點，延長交于點，由題意得：，，，，斜坡坡度為，，設米，米，在中，（米，米，，解得：，米，米，米，（米，在中，，（米，（米，古塔的高度約為28.1米；【小問2詳解】解：連接交于點，由題意得：，米，米，（米，，，，，解得：，（米，（秒，經過6秒時，無人機剛好離開圓圓的視線．22.如圖，已知中，，以為直徑的圓交斜邊于．過作于，將沿直線翻折得到．（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為，，延長交于，求的長．答案：（1）證明見解析（2）【小問1詳解】解：如圖，連接，由翻折得，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵為半徑，∴是切線；【小問2詳解】如圖，連接，∵，是的直徑，∴是的切線，，∵是的切線，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，設，，∴，得，∴，∴．23.某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．為了擴大銷售量，增加盈利，盡快減少庫存，商場采取適當的降價措施．經調查發(fā)現，如果每件降價1元，商場平均每天可多售出2件．（1）若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應降價多少元？（2）該商場平均每天盈利能達到1500元嗎？如果能，求出此時應降價多少；如果不能，請說明理由；（3）該商場平均每天盈利最多多少元？達到最大值時應降價多少元？答案：（1）20元；（2）不能達到1500元，理由見詳解；（3）平均每天盈利最多1250元，達到最大值時應降價15元．解：（1）設每件襯衫應降價元，則每件盈利元，每天可以售出，由題意，得，即：，解，得，，為了擴大銷售量，增加盈利，盡快減少庫存，所以的值應為20，所以，若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應降價20元；（2）假設能達到，由題意，得，整理，得，，即：該方程無解，所以，商場平均每天盈利不能達到1500元；（3）設商場平均每天盈利元，每件襯衫應降價元，由題意，得，，，，當元時，該函數取得最大值為1250元，所以，商場平均每天盈利最多1250元，達到最大值時應降價15元．24.感知∶（1）數學課上，老師給出了一個模型∶如圖1，∠BAD=∠ACB=∠AED=90°，由∠1+∠+2+∠BAD=180°，∠2+∠D+∠AED=180°，可得∠1=∠D；又因為∠ACB=∠AED=90°，可得△ABC∽△DAE，進而得到．我們把這個數學模型稱為“一線三等角”模型．應用∶（2）實戰(zhàn)組受此模型的啟發(fā)，將三等角變?yōu)榉侵苯?，如圖2，在△ABC中，點D在邊BC上，并且DA=DE，∠B=∠ADE=∠C．若BC=a，AB=b，求CE的長度（用含a，b的代數式表示）．拓展∶（3）創(chuàng)新組突發(fā)奇想，將此模型遷移到平行四邊形中，如圖3，在平行四邊形ABCD中，E為邊BC上的一點，F為邊AB上的一點．若∠DEF=∠B．求證∶AB·FE=BE·DE．答案：（1）；（2）CE=a-b；（3）見解析（1）∵△ABC∽△DAE∴故答案為：；（2）∵∠B=∠ADE=∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC，∴∠EDC=∠BAD又∵DA=DE∴△ADB≌△DEC∴EC=BD，AB=DC=b∴BD=BC-DC=a-b．即：CE=a-b．（3）∵∠DEF=∠B∴∠BFE+∠BEF=∠BEF+∠DEC∴∠BFE=∠DEC．作CG//FE交DE于點G，如圖3．∴∠DEF=∠EGC∴∠B=∠EGC∴△FBE∽△EGC∴=∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∠B+∠BCD=180°∵∠EGC+∠DGC=180°，且∠B=∠EGC∴∠DGC=∠BCD又∵∠EDC=∠CDG∴△DGC∽△DCE∴=∴=∴DC·FE=BE·DE又∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=DC∴AB·FE=BE·DE25.如圖1，拋物線與x軸交于和兩點，與y軸交于點C．（1）求該拋物線的函數表達式；（2）P是拋物線上，位于直線上方的一個動點，過點P作于點D，求P坐標為何值時最大，并求出最大值；（3）如圖②，將原拋物線向左平移2個單位長度得到拋物線，與原拋物線相交于點M，點N為原拋物線對稱軸上的一點，在平面直角坐標系中是否存在點H，使以點A，M，N，H為頂點的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點H的坐標；若不存在，請說明理由．答案：（1）（2）當P點運動到時，最大值為（3）存在，H點的坐標為或或或【小問1詳解】解：設拋物線解析式為，即，，解得，拋物線的函數表達式為；【小問2詳解】解：由（1）知，當時，，，，是等腰直角三角形，，設直線的解析式為，將，代入，得，解得，，P是拋物線上位于直線上方的一個動點，過點P作軸交于