2025年廣東省數(shù)學(xué)九年級(jí)中考三輪復(fù)習(xí)壓軸題：相似與幾何綜合練習(xí)

2025年廣東省數(shù)學(xué)九年級(jí)中考三輪復(fù)習(xí)壓軸題：相似與幾何綜合練習(xí)1．等腰三角形ABC中，AB=AC=8，∠BAC=120°，P為BC的中點(diǎn)，小名拿著含30°角的透明三角板，使30°角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)P，三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)．（a）如圖a，當(dāng)三角板的兩邊分別交AB、AC于點(diǎn)E、F時(shí)，求證：△BPE∽△CFP（b）將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到圖b情形時(shí)，三角板兩邊分別交BA的延長(zhǎng)線、邊AC于點(diǎn)E、F，（1）△BPE與△CFP還相似嗎？（只需寫(xiě)出結(jié)論）；（2）連接EF，△BPE與△PFE是否相似？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）設(shè)EF=m，△EPF的面積為S，試用m的代數(shù)式表示S．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有Rt△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，A(-3,0)，B(0,1)，C(m,n)．(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出C點(diǎn)坐標(biāo)．(2)將△ABC沿x軸的正方向平移t個(gè)單位，、兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)、正好落在反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象上．請(qǐng)求出t，k的值．(3)在(2)的條件下，問(wèn)是否存x軸上的點(diǎn)M和反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)N，使得以、、M、N為頂點(diǎn)的四邊形構(gòu)成平行四邊形?如果存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．倡導(dǎo)研究性學(xué)習(xí)方式，著力教材研究，習(xí)題研究，是學(xué)生跳出題海，提高學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力的有效途徑．下面是一案例，請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真閱讀、研究，完成“類(lèi)比猜想”及后面的問(wèn)題．習(xí)題解答：習(xí)題如圖（1），點(diǎn)E、F分別在正方形的邊、上，，連接，則，說(shuō)明理由．解答：∵正方形中，，，∴把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，點(diǎn)F、D、E′在一條直線上．∴，又∵，，∴∴．習(xí)題研究觀察分析：觀察圖（1），由解答可知，該題有用的條件是①是四邊形，點(diǎn)E、F分別在邊、上；②；③；④．類(lèi)比猜想：（1）在四邊形中，點(diǎn)E、F分別在、上，當(dāng)，時(shí)，還有嗎？研究一個(gè)問(wèn)題，常從特例入手，請(qǐng)同學(xué)們研究：如圖（2），在菱形中，點(diǎn)E、F分別在、上，當(dāng)，時(shí)，還有嗎？（2）在四邊形中，點(diǎn)E、F分別在、上，當(dāng)，，時(shí)，嗎？歸納概括：反思前面的解答，思考每個(gè)條件的作用，可以得到一個(gè)結(jié)論“”的一般命題：在四邊形中，點(diǎn)E、F分別在、上，當(dāng)，，時(shí)，則．4．如圖，已知△BAD和△BCE均為等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，點(diǎn)M為DE的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E與AD平行的直線交射線AM于點(diǎn)N．（1）當(dāng)A，B，C三點(diǎn)在同一直線上時(shí)（如圖1），求證：M為AN的中點(diǎn)；（2）將圖1中的△BCE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A，B，E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)（如圖2），求證：△ACN為等腰直角三角形；（3）將圖1中△BCE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到圖3位置時(shí)，（2）中的結(jié)論是否仍成立？若成立，試證明之，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，0)，與y軸交于點(diǎn)C（0，－3），點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)解析式；（2）連接PO，PC，并將△POC沿y軸對(duì)折，得到四邊形．是否存在點(diǎn)P，使四邊形為菱形？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABPC的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積．6．如圖，和中，，，，點(diǎn)在邊上.（1）如圖1，連接，若，，求的長(zhǎng)度；（2）如圖2，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線分別與直線交于點(diǎn)，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出的值；（3）如圖3，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)在同一條直線上，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接.猜想和之間的數(shù)量關(guān)系并證明.7．如圖，點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，將一直角三角板如圖擺放，過(guò)點(diǎn)作射線平分．當(dāng)直角三角板繞點(diǎn)O繼續(xù)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周回到圖1的位置時(shí)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中你發(fā)現(xiàn)與之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，若，求的度數(shù)；

（2）如圖2，當(dāng)是鈍角時(shí)，使得直角邊在直線的上方，若，其他條件不變，直接寫(xiě)出的度數(shù)；

（3）若，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中你發(fā)現(xiàn)與之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)你直接用含的代數(shù)式表示的度數(shù)；8．已知：如圖1，點(diǎn)、、依次在直線上，現(xiàn)將射線繞點(diǎn)沿順時(shí)針?lè)较蛞悦棵氲乃俣刃D(zhuǎn)，同時(shí)射線繞點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛞悦棵氲乃俣刃D(zhuǎn)，如圖，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為（秒秒）.（1）用含的代數(shù)式表示的度數(shù).（2）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)?shù)诙芜_(dá)到時(shí)，求的值.（3）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中是否存在這樣的，使得射線是由射線、射線、射線中的其中兩條組成的角（指大于而不超過(guò)的角）的平分線？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.9．（1）已知等邊△ABC內(nèi)接于⊙O．點(diǎn)P為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PA、PB、PC．①如圖1，當(dāng)線段PC經(jīng)過(guò)點(diǎn)O時(shí)，試寫(xiě)出線段PA，PB，PC之間滿足的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②如圖2，點(diǎn)P為上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），試探究線段PA，PB，PC之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）如圖3，在△ABC中，AB＝4，AC＝7，∠BAC的外角平分線交△ABC的外接圓于點(diǎn)P，PE⊥AC于E，求AE的長(zhǎng)．10．如圖，拋物線y＝x2+mx+m（m＞0）的頂點(diǎn)為A，交y軸于點(diǎn)C．（1）求出點(diǎn)A的坐標(biāo)（用含m的式子表示）；（2）若直線y＝﹣x＋n經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與拋物線交于另一點(diǎn)B，證明：AB的長(zhǎng)是定值；（3）連接AC，延長(zhǎng)AC交x軸于點(diǎn)D，作直線AD關(guān)于x軸對(duì)稱的直線，與拋物線分別交于E、F兩點(diǎn)．若∠ECF＝90°，求m的值．

11．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，以C為頂點(diǎn)作等腰直角三角形CMN．使∠CMN＝90°，連接BN，射線NM交BC于點(diǎn)D．（1）如圖1，若點(diǎn)A，M，N在一條直線上，①求證：BN+CM＝AM；②若AM＝4，BN＝，求BD的長(zhǎng)；（2）如圖2，若AB＝4，CN＝2，將△CMN繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中射線NM交AB于點(diǎn)H，當(dāng)三角形DBH是直角三角形時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出CD的長(zhǎng)．

12．已知點(diǎn)O在△ABC內(nèi)，且知OB和OC分別平分∠ABC和∠ACB，過(guò)O作直線EF分別交AB、AC于E、F．（1）如圖1，已知EF∥BC．①若∠A＝76°，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠BOE+∠COF的度數(shù)；②猜想∠BOE、∠COF與∠A之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出結(jié)論，不用證明（2）直線EF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)（EF與BC不平行），那么上面（1）②中猜想的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）當(dāng)直線EF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)（點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上），請(qǐng)直接寫(xiě)出∠BOE、∠COF與∠A之間的數(shù)量關(guān)系．13．在中，，，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與，重合）.（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求證：；（2）連接，作，交于點(diǎn).若時(shí)，如圖2．①______；②求證：為等腰三角形；（3）連接CD，∠CDE=30°，在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請(qǐng)求出的度數(shù)；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由．

14．一直角三角板的直角頂點(diǎn)在直線上，作射線三角板的各邊和射線都處于直線的上方．（1）將三角板繞點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)平分時(shí)，如圖1，如果，求的度數(shù)；（2）如圖2，將三角板繞點(diǎn)在平面內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，如果始終在內(nèi)，且，請(qǐng)問(wèn)：和有怎樣的數(shù)量關(guān)系?（3）如圖2，如果平分，是否也平分?請(qǐng)說(shuō)明理由．15．在利用構(gòu)造全等三角形來(lái)解決的問(wèn)題中，有一種典型的利用倍延中線的方法，例如：在△ABC中，AB＝8，AC＝6，點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)，怎樣求AD的取值范圍呢？我們可以延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使AD＝DE，然后連接BE（如圖①），這樣，在△ADC和△EDB中，由于，∴△ADC≌△EDB，∴AC＝EB，接下來(lái)，在△ABE中通過(guò)AE的長(zhǎng)可求出AD的取值范圍．請(qǐng)你回答：（1）在圖①中，中線AD的取值范圍是．（2）應(yīng)用上述方法，解決下面問(wèn)題①如圖②，在△ABC中，點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上的一點(diǎn)，作DF⊥DE交AC邊于點(diǎn)F，連接EF，若BE＝4，CF＝2，請(qǐng)直接寫(xiě)出EF的取值范圍．②如圖③，在四邊形ABCD中，∠BCD＝150°，∠ADC＝30°，點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，點(diǎn)F在DC上，且滿足BC＝CF，DF＝AD，連接CE、ED，請(qǐng)判斷CE與ED的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．16．如圖，，點(diǎn)、分別在、上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)重合）．（1）如圖1，是的平分線，的反方向延長(zhǎng)線與的平分線交于點(diǎn)．①若，則為多少度？請(qǐng)說(shuō)明理由．②猜想：的度數(shù)是否隨、的移動(dòng)發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）如圖2，若，，則的大小為度（直接寫(xiě)出結(jié)果）；（3）若將“”改為“（）”，且，，其余條件不變，則的大小為度（用含、的代數(shù)式直接表示出米）．17．如圖1,為軸負(fù)半軸上一點(diǎn),為軸正半軸上一點(diǎn),點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為且．（1）求兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求；（3）如圖2,若點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為,點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交線段于點(diǎn),若，求出點(diǎn)坐標(biāo)．（4）如圖3,若,點(diǎn)在軸正半軸上任意運(yùn)動(dòng)，的平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的值是否發(fā)生變化，若不變化,求出比值；若變化請(qǐng)說(shuō)明理由．18．如圖1，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作射線，使將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，一邊在射線上，另一邊在直線的下方．（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)按每秒的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使落在上．在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，假如第秒時(shí)，、、三條射線構(gòu)成的角中有兩個(gè)角相等，求此時(shí)的值為多少？（2）將圖1中的三角板繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（如圖2），使在的內(nèi)部，請(qǐng)?zhí)骄浚号c之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．19．?dāng)?shù)學(xué)課上,李老師出示了如下的題目：如圖1，在等邊中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，試確定線段與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由，

（1）小敏與同桌小聰探究解答的思路如下：①特殊情況，探索結(jié)論，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，如圖2，確定線段與的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫(xiě)出結(jié)論：______．(填>，<或=)

②特例啟發(fā)，解答題目，解：題目中，與的大小關(guān)系是：______．(填>，<或=)理由如下：如圖3，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，(請(qǐng)你補(bǔ)充完成解答過(guò)程)

（2）拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題，同學(xué)小敏解答后，提出了新的問(wèn)題：在等邊中，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，且，已知的邊長(zhǎng)為，求的長(zhǎng)?(請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果)20．已知，如圖1：中，、的平分線相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交、于、(1)直接寫(xiě)出圖1中所有的等腰三角形．指出與、間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？(2)在(1)的條件下，若，，求的周長(zhǎng)；(3)如圖2，若中，的平分線與三角形外角的平分線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于，交于，請(qǐng)問(wèn)(1)中與、間的關(guān)系還是否存在，若存在，說(shuō)明理由：若不存在，寫(xiě)出三者新的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(4)如圖3，、的外角平分線的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出，、，之間的數(shù)量關(guān)系．不需證明．參考答案1．(1)證明：∵在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC∴∠B=∠C=30°∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°∴∠BPE+∠BEP=150°又∵∠EPF=30°，且∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°∴∠BPE+∠CPF=150°∴∠BEP=∠CPF∴△BPE∽△CFP（兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似）所以△BPE∽△CFP；(b)(1)△BPE與△CFP仍然相似；(2)△BPE與△PFE相似，證明:∵△BPE∽△CFP∴且BP=PC∴又∵∠B=∠EPF=30°∴△BPE∽△PFE；(3)由△BPE∽△PFE知BEP=FEP，所以△PFE中EF邊上的高與△BPE中BE邊上的高相等，而B(niǎo)E邊上的高＝，故答案為(a)證明見(jiàn)解析；(b)(1)相似；(2)相似，理由見(jiàn)解析；(3)S=m2．（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，則∠ADC=∠AOB=90°，∴∠DAC+∠ACD=90°，∵Rt△ABC，∠A=90°，∴∠DAC+∠BAO=90°，∴∠BAO=∠ACD，在△ADC和△BOA中，，∴△ADC≌△BOA（AAS），∴AD=OB=1，CD=OA=3，∴OD=OA+AD=4，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：（-4，3）；（2）設(shè)向右平移了t個(gè)單位長(zhǎng)度，則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（t，1）、C′的坐標(biāo)為（t-4，3），∵B′、C′正好落在某反比例函數(shù)圖象上，∴t=3（t-4），解得：t=6，∴B′（6，1），C′（2，3），∴k=6，∴反比例函數(shù)的解析式為：y=；（3）存在，如圖2，當(dāng)MN為平行四邊形MC′N(xiāo)B′的對(duì)角線時(shí)，由平行四邊形的對(duì)角線互相平分，可知B′C′，MN的中點(diǎn)為同一個(gè)點(diǎn)，即,∴yN=4代入y=得xN=1.5，∴N（1.5，4）；∵,∴xM=6.5，∴M（6.5，0）；如圖3，當(dāng)MC′為平行四邊形MC′N(xiāo)B′的對(duì)角線時(shí)，同理可得M（7，0），N（3，2）；如圖4，當(dāng)MB′為平行四邊形MC′N(xiāo)B′的對(duì)角線時(shí)，同理可得M（-7，0），N（-3，2）；綜上所述：存在M（6.5，0），N（1.5，4）或M（7，0），N（3，2）或M（-7，0），N（-3，2），使得以B′、C′，M，N為頂點(diǎn)的四邊形構(gòu)成平行四邊形．3．解：（1）不成立，理由如下：在菱形中，，，，，，把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，如圖，連接，，，，，，，，在和中，，，，即點(diǎn)F、D、不共線，，；（2）成立，理由如下：如圖，把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)至，，，，，，，，點(diǎn)F、D、共線，，，，，在和中，，，；歸納：在四邊形中，點(diǎn)E、F分別在、上，當(dāng)，，時(shí)，則．4．（1）證明：如圖1，

∵EN∥AD，∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM．∵點(diǎn)M為DE的中點(diǎn)，∴DM=EM．在△ADM和△NEM中，∵，∴△ADM≌△NEM（AAS）．∴AM=MN．∴M為AN的中點(diǎn)．（2）證明：如圖2，

∵△BAD和△BCE均為等腰直角三角形，∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=45°．∵AD∥NE，∴∠DAE+∠NEA=180°．∵∠DAE=90°，∴∠NEA=90°．∴∠NEC=135°．∵A，B，E三點(diǎn)在同一直線上，∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°．∴∠ABC=∠NEC．∵△ADM≌△NEM（已證），∴AD=NE．∵AD=AB，∴AB=NE．在△ABC和△NEC中，∵，∴△ABC≌△NEC（SAS）．∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．∴∠ACN=∠BCE=90°．∴△ACN為等腰直角三角形．（3）△ACN仍為等腰直角三角形．證明如下：如圖3，此時(shí)A、B、N三點(diǎn)在同一條直線上．∵AD∥EN，∠DAB=90°，∴∠ENA=∠DAN=90°．∵∠BCE=90°，∴∠CBN+∠CEN=360°﹣90°﹣90°=180°．∵A、B、N三點(diǎn)在同一條直線上，∴∠ABC+∠CBN=180°．∴∠ABC=∠NEC．∵△ADM≌△NEM（已證），∴AD=NE．∵AD=AB，∴AB=NE．在△ABC和△NEC中，∵，∴△ABC≌△NEC（SAS）．∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．∴∠ACN=∠BCE=90°．∴△ACN為等腰直角三角形．5．（1）將B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得．∴二次函數(shù)的解析式為．（2）存在點(diǎn)P，使四邊形POP′C為菱形；．設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2-2x-3），PP′交CO于E．若四邊形POP′C是菱形，則有PC=PO；．連接PP′，則PE⊥CO于E，．∵C（0，-3），∴CO=3，又∵OE=EC，∴OE=EC=．∴y=?；∴x2-2x-3=?，解得（不合題意，舍去）．∴存在這樣的點(diǎn)，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）．（3）過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線與BC交于點(diǎn)Q，與OB交于點(diǎn)F，設(shè)P（x，x2-2x-3），設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+d，則，解得：．∴直線BC的解析式為y=x-3，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x-3）；當(dāng)0=x2-2x-3，解得：x1=-1，x2=3，∴AO=1，AB=4，S四邊形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ．=AB?OC+QP?BF+QP?OF．=×4×3+(?x2+3x)×3．=?(x?)2+．當(dāng)x＝時(shí)，四邊形ABPC的面積最大．此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(，?)，四邊形ABPC的面積的最大值為．6．解：（1），，，∴AB==5，∴EC=EF=3，∴FC==；（2）由題意可知△CMN中不會(huì)形成MN=MC的等腰三角形，①當(dāng)CM=CN時(shí)，∠CNE=（180°-45°）=67.5°，∵∠NEC=90°，∴α=∠ACE=22.5°；②當(dāng)CM=CN時(shí)，α=∠ACE，∵∠ACB=45°，∴∠CNM=∠CMN=×45°=22.5°，∵∠CEM=90°，∴∠ECM=67.5°，∴α=∠ACE=112.5°；③當(dāng)CN=MN時(shí)，此時(shí)CE與BC共線，α=∠BCA=45°；綜上：當(dāng)是等腰三角形時(shí)，α的值為：22.5°、112.5°、45°.（3）AE+CF=連接AP，延長(zhǎng)AE交CF于點(diǎn)Q，由題意可得：∠CEB=∠BAC=90°，∴A、E、C、B四點(diǎn)共圓，可得：∠AEB=∠ACB=45°，且∠CEQ=45°，∴∠EQC=90°，可知點(diǎn)A在CF的垂直平分線上，∴AC=AF=AB，∵點(diǎn)P是BF中點(diǎn)，∴AP⊥BF，∴△APE為等腰直角三角形，∴AE=，又∵△EFC為等腰直角三角形，∴CF=，∴+==AE+CF，∵BP=PF，∴AE+CF=.7．解：（1）∵∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC=40°，∴∠BOC=140°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=∠BOC70°，∵∠COD=90°，∴∠DOE=∠COD-∠COE=20°；（2）∵∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC=160°，∴∠BOC=180°-160°=20°；∵OE平分∠BOC，∴∠COE=∠BOC=10°，∵∠COD=90°，∴∠DOE=90°-10°=80°；（3）當(dāng)OC在AB上方時(shí)，∠DOE的度數(shù)為，∵∠AOC=α，∴∠BOC=180°-α，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=90°-，∴∠DOE=90°-（90°-）=，同理：當(dāng)OC在AB下方時(shí)，∠DOE=180°-.∴∠DOE=∠AOC=（0°≤∠AOC≤180°），∠DOE=180°-∠AOC=180°-（0°≤∠DOE≤180°）．8．（1）由題意得：∠MOA=2t；（2）如圖，根據(jù)題意知：∠AOM=2t，∠BON=4t，當(dāng)∠AOB第二次達(dá)到60°時(shí)，∠AOM+∠BON-∠MON=60°，即2t+4t-180=60，解得：t=40，故t=40秒時(shí)，∠AOB第二次達(dá)到60°；（3）射線OB是由射線OM、射線OA、射線ON中的其中兩條組成的角的平分線有以下三種情況：①OB平分∠AOM時(shí)，∵∠AOM=∠BOM，∴t=180-4t，解得：t=36；②OB平分∠MON時(shí)，∵∠BOM=∠MON，即∠BOM=90°，∴4t=90，或4t-180=90，解得：t=22.5，或t=67.5；③OB平分∠AON時(shí)，∵∠BON=∠AON，∴4t=（180-2t），解得：t=18；綜上，當(dāng)t的值分別為18、22.5、36、67.5秒時(shí)，射線OB是由射線OM、射線OA、射線ON中的其中兩條組成的角的平分線．9．解：（1）①，理由如下：線段經(jīng)過(guò)點(diǎn)，是的直徑，，是等邊三角形，，，，，；②，理由如下：在上截取，連接，如圖2所示：是等邊三角形，，，，，是等邊三角形，，，，在和中，，，，；（2）在上截?。B接并延長(zhǎng)交圓于．連接，如圖3所示：，，，．．，，又平分，．，．，即，．10．解：（1）拋物線，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）由（1）知，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，直線的解析式為①，設(shè)，，，，拋物線②，聯(lián)立①②得，，即：，，，即：的長(zhǎng)是定值，其值為；（3）拋物線與軸相交于，，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，由（1）知，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線是直線關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)，在直線上，直線的解析式為③，拋物線④，設(shè)E（，），F(xiàn)（，），過(guò)點(diǎn)C作MN∥x軸，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥MN于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)F作FN⊥MN，如圖1，∵∠ECF=90°，∴∠ECM+∠FCN=90°，∠FCN+∠CFN=90°，∴∠ECM=∠CFN，∵∠EMC=∠FNC=90°，∴△EMC∽△CNF，∴,即，化簡(jiǎn)得：，聯(lián)立③④得，，，，==，，∴，∴=0解得：m=或m=或m=0，∵m>0∴m=.

11．證明：（1）①如圖，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥CN，交AN于點(diǎn)F，

∵△CMN是等腰直角三角形，∴∠CNM＝45°，CM＝MN，∵CF⊥CN，∠ACB＝90°，∴∠FCN＝∠ACB，∠CFN＝∠CNF＝45°，∴∠ACF＝∠BCN，CF＝CN，且AC＝BC，∴△ACF≌△BCN（SAS），∴AF＝BN，∵CF＝CN，CM⊥MN，∴MF＝MN＝CM，∴AM＝AF+FM＝BN+CM②∵AM＝4，BN＝，BN+CM＝AM，∴CM＝MN＝，∵△ACF≌△BCN，∴∠CAF＝∠CBN，∵∠CAF+∠ACF＝∠CFN＝45°，∠BCN+∠MCD＝∠MCN＝45°∴∠CAF＝∠MCD，且∠CAF＝∠CBN，∴∠MCD＝∠CBN∴CM∥BN∴△MCD∽△NBD，∠CMD＝∠BND＝90°∴＝∴MD＝ND∵M(jìn)D+ND＝MN＝∴ND＝在Rt△DNB中，BD＝＝（2）若∠BDH＝90°，如圖，此時(shí)點(diǎn)M與點(diǎn)D重合，

∵△CMN是等腰直角三角形，CN＝2∴CM＝MN＝∴CD＝，若∠BHD＝90°，如圖，

∵∠BHD＝90°，∠B＝45°，∴∠BDH＝45°∴∠CDN＝45°＝∠N∴CD＝CN＝2．12．（1）①如圖1，∵EF∥BC，∴∠BOE＝∠1，∠COF＝∠2，∵OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB∴∠1+∠2＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，∴∠BOE+∠COF＝∠1+∠2＝90°﹣∠A＝90°﹣＝52°；②猜想∠BOE+∠COF＝90°﹣∠A，證明：∵EF∥BC，∴∠BOE＝∠1，∠COF＝∠2，∵OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB∴∠1+∠2＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，∴∠BOE+∠COF＝∠1+∠2＝90°﹣∠A；（2）成立．證明：如圖2，∵OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，∴∠1+∠2＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A∵∠BOE+∠COF+∠3＝∠1+∠2+∠3＝180°∴∠BOE+∠COF＝∠1+∠2＝90°﹣∠A；（3）解：如圖3，∵OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣∠ABC+∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°+∠A，∵∠BOC﹣∠BOE+∠COF＝180°，∴∠COF﹣∠BOE＝180°﹣∠BOC＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；13．（1）證明：，是的中線，．，．，，；（2）①解：∵AC=BC，∠ACB=120°，∴∠A=∠B=（180°-120°）÷2=30°，又DE∥BC，∴∠ADE=∠B=30°，∴∠CDB=180°-∠ADE-∠EDC=120°，故答案為：；②證明：，．，．，為等腰三角形．（3）解：可以是等腰三角形，理由如下：I.當(dāng)時(shí)，，如圖3，

．，．II.當(dāng)時(shí)，，如圖4，

，．．III.當(dāng)時(shí)，．∴，，此時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，不合題意．綜上所述，可以是等腰三角形，此時(shí)的度數(shù)為或．14．解：（1）∵平分，∴∠COM=∠BOC=65°，又∵∠AOC+∠BOC=90°，∴∠AOC=90°-65°=25°；（2）∵OA始終在∠COM的內(nèi)部，∠COM=∠AOM+∠AOC=65°，∴∠AOC=65°-∠AOM，又∵∠AOC+∠BOC=90°，∴65°-∠AOM+∠BOC=90°，∴∠BOC－∠AOM＝；（3）∵平分，∴∠AOM=∠AOC，又∵∠AOC+∠BOC=90°，∴∠AOM+∠BOC=90°，∵∠AOB=90°，∴∠AOM+∠BON=90°，∴∠BOC=∠BON，∴平分.15．（1）在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系定理得：，即，即故答案為：；（2）①如圖②，延長(zhǎng)ED到點(diǎn)N，使，連接CN、FN∵點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)在△NDC和△EDB中，是等腰三角形，在△CFN中，由三角形的三邊關(guān)系定理得：，即；②；理由如下：如圖③，延長(zhǎng)CE與DA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G∵點(diǎn)E是AB中點(diǎn)在△GAE和△CBE中，，即．（等腰三角形的三線合一）16．解：（1）①45°∵∠BAO=60°，∠MON=90°，∴∠ABN=150°，∵BC平分∠ABN、AD平分∠BAO，∴∠CBA=∠ABN=75°，∠BAD=∠BAO=30°∴∠D=∠CBA-∠BAD=45°，②∠D的度數(shù)不變．理由是：設(shè)∠BAD=α，∵AD平分∠BAO，∴∠BAO=2α，∵∠AOB=90°，∴∠ABN=∠AOB+∠BAO=90°+2α，

∵BC平分∠ABN，∴∠ABC=45°+α，∴∠D=∠ABC－∠BAD=45°+α-α=45°；（2）設(shè)∠BAD=α，∵∠BAD=∠BAO，∴∠BAO=3α，∵∠AOB=90°，∴∠ABN=∠AOB+∠BAO=90°+3α，∵∠ABC=∠ABN，∴∠ABC=30°+α，∴∠D=∠ABC-∠BAD=30°+α-α=30°；（3）設(shè)∠BAD=β，∵∠BAD=∠BAO，∴∠BAO=nβ，∵∠AOB=α°，∴∠ABN=∠AOB+∠BAO=α+nβ，∵∠ABC=∠ABN，∴∠ABC=+β，∴∠D=∠ABC-∠BAD=+β-β=.17．解：（1）∵，∴a+2=0，b+3=0，∴a=-2，b=-3，∴C（0，-2），D（-3，-2）；（2）∵C（0，-2），D（-3，-2），∴CD=3，且CD∥x軸，∴=×3