2025版高中數(shù)學第二章圓錐曲線與方程2.2.2橢圓的幾何性質第3課時直線與橢圓的位置關系二學案含解析新人教B版選修2-1

PAGEPAGE19第3課時直線與橢圓的位置關系(二)題型一弦長問題例1已知動點P與平面上兩定點A(－eq\r(2)，0)，B(eq\r(2)，0)連線的斜率的積為定值－eq\f(1,2).(1)試求動點P的軌跡方程C；(2)設直線l：y＝kx＋1與曲線C交于M，N兩點，當|MN|＝eq\f(4\r(2),3)時，求直線l的方程.考點題點解(1)設動點P的坐標是(x，y)，由題意得kPA·kPB＝－eq\f(1,2).∴eq\f(y,x＋\r(2))·eq\f(y,x－\r(2))＝－eq\f(1,2)，化簡整理得eq\f(x2,2)＋y2＝1.故P點的軌跡方程C是eq\f(x2,2)＋y2＝1(x≠±eq\r(2))．(2)設直線l與曲線C的交點為M(x1，y1)，N(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2＋2y2＝2，))得(1＋2k2)x2＋4kx＝0.Δ＝16k2－4(1＋2k2)＝8k2－4>0，∴x1＋x2＝eq\f(－4k,1＋2k2)，x1·x2＝0.|MN|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1·x2)＝eq\f(4\r(2),3)，整理得k4＋k2－2＝0，解得k2＝1或k2＝－2(舍)．∴k＝±1，經(jīng)檢驗符合題意．∴直線l的方程是y＝±x＋1，即x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.反思感悟求弦長的兩種方法(1)求出直線與橢圓的兩交點坐標，用兩點間距離公式求弦長．(2)聯(lián)立直線與橢圓的方程，消元得到關于一個未知數(shù)的一元二次方程，利用弦長公式：|P1P2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或|P1P2|＝\r(1＋\f(1,k2))\r(y1＋y22－4y1y2)))，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的兩根，由根與系數(shù)的關系求出兩根之和與兩根之積后代入公式可求得弦長．跟蹤訓練1已知斜率為1的直線l過橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的右焦點F，交橢圓于A，B兩點，求弦AB的長．考點題點解設A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，由橢圓方程知a2＝4，b2＝1，∴c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(3)，∴F(eq\r(3)，0)，∴直線l的方程為y＝x－eq\r(3)，將其代入橢圓方程，并化簡、整理得5x2－8eq\r(3)x＋8＝0，∴x1＋x2＝eq\f(8\r(3),5)，x1x2＝eq\f(8,5)，∴|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(2)·eq\f(\r(8\r(3)2－4×5×8),5)＝eq\f(8,5).題型二中點弦問題例2已知橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1的弦AB的中點M的坐標為(2,1)，求直線AB的方程．考點題點解方法一根與系數(shù)的關系、中點坐標公式法由橢圓的對稱性，知直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為y－1＝k(x－2)．將其代入橢圓方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是上述方程的兩根，于是x1＋x2＝eq\f(82k2－k,4k2＋1).又M為線段AB的中點，∴eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(42k2－k,4k2＋1)＝2，解得k＝－eq\f(1,2).故所求直線的方程為x＋2y－4＝0.方法二點差法設A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2.∵M(2,1)為線段AB的中點，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又A，B兩點在橢圓上，則xeq\o\al(2,1)＋4yeq\o\al(2,1)＝16，xeq\o\al(2,2)＋4yeq\o\al(2,2)＝16，兩式相減，得(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＋4(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＝0，于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(x1＋x2,4y1＋y2)＝－eq\f(4,4×2)＝－eq\f(1,2)，即kAB＝－eq\f(1,2).故所求直線的方程為x＋2y－4＝0.方法三對稱點法(或共線法)設所求直線與橢圓的一個交點為A(x，y)，由于點M(2,1)為線段AB的中點，則另一個交點為B(4－x,2－y)．∵A，B兩點都在橢圓上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4y2＝16，①,4－x2＋42－y2＝16.②))①－②，得x＋2y－4＝0.即點A的坐標滿意這個方程，依據(jù)對稱性，點B的坐標也滿意這個方程，而過A，B兩點的直線只有一條，故所求直線的方程為x＋2y－4＝0.反思感悟解決橢圓中點弦問題的兩種方法①根與系數(shù)的關系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構成方程組，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關系以及中點坐標公式解決．②點差法：利用交點在曲線上，坐標滿意方程，將交點坐標分別代入橢圓方程，然后作差，構造出中點坐標和斜率的關系，詳細如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的兩個不同的點，M(x0，y0)是線段AB的中點，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，①,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，②))由①－②，得eq\f(1,a2)(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＋eq\f(1,b2)(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＝0，變形得eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)，即kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0).跟蹤訓練2已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交E于A，B兩點．若AB的中點坐標為(1，－1)，則E的方程為()A.eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1 B.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1C.eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,18)＝1 D.eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1考點題點答案D解析設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，

①,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1.②))①－②得eq\f(x1＋x2x1－x2,a2)＝－eq\f(y1－y2y1＋y2,b2).∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2x1＋x2,a2y1＋y2).∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，∴kAB＝eq\f(b2,a2).而kAB＝eq\f(0－－1,3－1)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，∴a2＝2b2，∴c2＝a2－b2＝b2＝9，∴b＝c＝3，a＝3eq\r(2)，∴E的方程為eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1.題型三與橢圓有關的最值或范圍問題例3已知橢圓C：4x2＋y2＝1.(1)P(m，n)是橢圓C上一點，求m2＋n2的取值范圍；(2)設直線y＝x＋m與橢圓C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，求△AOB面積的最大值及△AOB面積最大時的直線方程．考點直線與橢圓的位置關系題點橢圓中的定點、定值、取值范圍問題解(1)m2＋n2表示原點O到橢圓C上點P的距離的平方，則m2＋n2∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1)).(2)可求得O到AB的距離d＝eq\f(|m|,\r(2))，將y＝x＋m代入4x2＋y2＝1，消去y得5x2＋2mx＋m2－1＝0.所以x1＋x2＝－eq\f(2m,5)，x1x2＝eq\f(m2－1,5)，|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋12)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2m,5)))2－4·\f(m2－1,5))＝eq\f(2,5)eq\r(10－8m2)，Δ＝(2m)2－4×5(m2－1)＝20－16m2>0，－eq\f(\r(5),2)<m<eq\f(\r(5),2)，所以S△AOB＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)×eq\f(2,5)eq\r(10－8m2)·eq\f(|m|,\r(2))＝eq\f(2,5)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)－m2))m2)≤eq\f(2,5)·eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)－m2))＋m2,2)＝eq\f(1,4).當且僅當eq\f(5,4)－m2＝m2時，上式取“＝”．此時m＝±eq\f(\r(10),4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),2)，\f(\r(5),2))).所以△AOB面積的最大值為eq\f(1,4)，面積最大時直線方程為x－y±eq\f(\r(10),4)＝0.反思感悟求最值問題的基本策略(1)求解形如|PA|＋|PB|的最值問題，一般通過橢圓的定義把折線轉化為直線，當且僅當三點共線時|PA|＋|PB|取得最值．(2)求解形如|PA|的最值問題，一般通過二次函數(shù)的最值求解，此時肯定要留意自變量的取值范圍．(3)求解形如ax＋by的最值問題，一般通過數(shù)形結合的方法轉化為直線問題解決．(4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范圍．跟蹤訓練3已知點A，B分別是橢圓eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1長軸的左、右端點，點P在橢圓上，直線AP的斜率為eq\f(\r(3),3)，設M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點到點M的距離d的最小值．考點題點解直線AP的方程是x－eq\r(3)y＋6＝0.設點M的坐標是(m,0)，則M到直線AP的距離是eq\f(|m＋6|,2)，于是eq\f(|m＋6|,2)＝|m－6|，又－6≤m≤6，解得m＝2，所以點M(2,0)．設橢圓上的點(x，y)到點M的距離為d，有d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－eq\f(5,9)x2＝eq\f(4,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(9,2)))2＋15，由于－6≤x≤6.所以當x＝eq\f(9,2)時，d取最小值eq\r(15).運用“設而不求”法探討直線和橢圓位置關系問題典例已知橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，過點A(－a,0)，B(0，b)的直線傾斜角為eq\f(π,6)，原點到該直線的距離為eq\f(\r(3),2).(1)求橢圓的方程；(2)斜率大于零的直線過D(－1,0)與橢圓分別交于點E，F(xiàn)，若eq\o(ED,\s\up6(→))＝2eq\o(DF,\s\up6(→))，求直線EF的方程；(3)對于D(－1,0)，是否存在實數(shù)k，使得直線y＝kx＋2分別交橢圓于點P，Q，且|DP|＝|DQ|，若存在，求出k的值，若不存在，請說明理由．考點直線與橢圓的位置關系題點求橢圓中的直線方程解(1)由eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3)，eq\f(1,2)ab＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)×eq\r(a2＋b2)，得a＝eq\r(3)，b＝1，所以橢圓的方程是eq\f(x2,3)＋y2＝1.(2)設EF：x＝my－1(m>0)代入eq\f(x2,3)＋y2＝1，得(m2＋3)y2－2my－2＝0.設E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)．由eq\o(ED,\s\up6(→))＝2eq\o(DF,\s\up6(→))，得y1＝－2y2，由y1＋y2＝－y2＝eq\f(2m,m2＋3)，y1y2＝－2yeq\o\al(2,2)＝eq\f(－2,m2＋3)得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2m,m2＋3)))2＝eq\f(1,m2＋3)，∴m＝1或m＝－1(舍去)，直線EF的方程為x＝y(tǒng)－1，即x－y＋1＝0.(3)記P(x1′，y1′)，Q(x2′，y2′)．將y＝kx＋2代入eq\f(x2,3)＋y2＝1，得(3k2＋1)x2＋12kx＋9＝0，(*)x1′，x2′是此方程的兩個相異實根．設PQ的中點為M，則xM＝eq\f(x1′＋x2′,2)＝－eq\f(6k,3k2＋1)，yM＝kxM＋2＝eq\f(2,3k2＋1)，由|DP|＝|DQ|，得DM⊥PQ，∴kDM＝eq\f(yM,xM＋1)＝eq\f(\f(2,3k2＋1),－\f(6k,3k2＋1)＋1)＝－eq\f(1,k)，∴3k2－4k＋1＝0，得k＝1或k＝eq\f(1,3).但k＝1，k＝eq\f(1,3)均使方程(*)沒有兩相異實根．故這樣的k不存在．[素養(yǎng)評析]本例(2)(3)均采納了“設而不求”的數(shù)學運算策略，特殊(3)利用定點D與弦端點的幾何關系，由設而不求的思想方法，轉換成坐標關系，構造出關于k的方程，減小了數(shù)學運算的難度，提高了解題效率.1．若直線l：2x＋by＋3＝0過橢圓C：10x2＋y2＝10的一個焦點，則b等于()A．1B．±1C．－1D．±2考點題點答案B解析因為橢圓x2＋eq\f(y2,10)＝1的焦點F1(0，－3)，F(xiàn)2(0,3)，所以b＝1或－1.2．直線y＝x＋1被橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1所截得的弦的中點坐標是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(5,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(7,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(1,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,2)，－\f(17,2)))考點題點答案C解析聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋1，,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，))消去y，得3x2＋4x－2＝0，設直線與橢圓交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－eq\f(4,3)，故AB的中點橫坐標x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝－eq\f(2,3).縱坐標y0＝x0＋1＝－eq\f(2,3)＋1＝eq\f(1,3).3．已知橢圓的方程是x2＋2y2－4＝0，則以M(1,1)為中點的弦所在直線的方程是()A．x＋2y－3＝0 B．2x＋y－3＝0C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0考點直線與橢圓的位置關系題點求橢圓中的直線方程答案A解析由題意易知所求直線的斜率存在，設過點M(1,1)的直線方程為y＝k(x－1)＋1，即y＝kx＋1－k.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2y2－4＝0，,y＝kx＋1－k，))消去y，得(1＋2k2)x2＋(4k－4k2)x＋2k2－4k－2＝0，所以eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(1,2)×eq\f(4k2－4k,1＋2k2)＝1，解得k＝－eq\f(1,2)，所以所求直線方程為y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(3,2)，即x＋2y－3＝0.4．過橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1的右焦點F作與x軸垂直的直線與橢圓交于A，B兩點，以AB為直徑的圓的面積是________．考點題點答案eq\f(81π,16)解析由題意可知，在eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1中，c＝eq\r(16－9)＝eq\r(7)，故F(eq\r(7)，0)．當x＝eq\r(7)時，y＝±3eq\r(1－\f(7,16))＝±eq\f(9,4)，所以|AB|＝eq\f(9,2)，所以以AB為直徑的圓的面積是π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)))2＝eq\f(81π,16).5．求過點(3,0)且斜率為eq\f(4,5)的直線被橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1所截得的線段的長度．考點題點解過點(3,0)且斜率為eq\f(4,5)的直線方程為y＝eq\f(4,5)(x－3)，設直線與橢圓的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線方程代入橢圓方程得eq\f(x2,25)＋eq\f(x－32,25)＝1，即x2－3x－8＝0.∴x1＋x2＝3，x1x2＝－8.∴|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋\f(16,25))·eq\r(9＋32)＝eq\f(41,5).解決直線與橢圓的位置關系問題，常常利用設而不求的方法，解題步驟為：(1)設直線與橢圓的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)聯(lián)立直線與橢圓的方程；(3)消元得到關于x或y的一元二次方程；(4)利用根與系數(shù)的關系設而不求；(5)把題干中的條件轉化為x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2，進而求解．一、選擇題1．斜率為1的直線l與橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1相交于A，B兩點，則|AB|的最大值為()A．2B.eq\f(4\r(5),5)C.eq\f(4\r(10),5)D.eq\f(8\r(10),5)答案C解析設A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，直線l的方程為y＝x＋t，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4y2＝4，,y＝x＋t，))消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，則x1＋x2＝－eq\f(8,5)t，x1x2＝eq\f(4t2－1,5).∴|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,5)t))2－4×\f(4t2－1,5))＝eq\f(4\r(2),5)·eq\r(5－t2)，當t＝0時，|AB|max＝eq\f(4\r(10),5).2．已知F是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的一個焦點，AB為過橢圓中心的一條弦，則△ABF面積的最大值為()A．6B．15C．20D．12考點題點答案D解析S＝eq\f(1,2)|OF|·|y1－y2|≤eq\f(1,2)|OF|·2b＝12.3．已知F1為橢圓C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的左焦點，直線l：y＝x－1與橢圓C交于A，B兩點，那么|F1A|＋|F1B|的值為()A.eq\f(4\r(2),3)B.eq\f(8\r(3),3)C.eq\f(8\r(2),3)D.eq\f(16\r(2),3)考點題點答案C解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2y2＝2，,y＝x－1，))聯(lián)立得3x2－4x＝0，可知A(0，－1)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(1,3)))，又F1(－1,0)，∴|F1A|＋|F1B|＝eq\r(2)＋eq\f(5\r(2),3)＝eq\f(8\r(2),3).4．橢圓mx2＋ny2＝1與直線y＝1－x交于M，N兩點，過原點與線段MN中點所在直線的斜率為eq\f(\r(2),2)，則eq\f(m,n)的值是()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(9\r(2),2)D.eq\f(2\r(3),27)考點直線與橢圓的位置關系題點直線與橢圓相交時弦中點問題答案A解析聯(lián)立方程組可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝1－x，,mx2＋ny2＝1，))即(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點P(x0，y0)，則x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(n,m＋n)，y0＝1－x0＝1－eq\f(n,m＋n)＝eq\f(m,m＋n)，所以kOP＝eq\f(y0,x0)＝eq\f(m,n)＝eq\f(\r(2),2).5．已知直線y＝－x＋1與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)相交于A，B兩點，若橢圓的離心率為eq\f(\r(2),2)，焦距為2，則線段AB的長是()A.eq\f(2\r(2),3)B．2C.eq\r(2)D.eq\f(4\r(2),3)考點直線與橢圓的位置關系題點直線與橢圓相交求弦長與三角形面積答案D解析由題意得橢圓方程為eq\f(x2,2)＋y2＝1，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)＋y2＝1，,y＝－x＋1，))化簡得3x2－4x＝0，得x＝0或x＝eq\f(4,3)，代入直線方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,3)，,y＝－\f(1,3)，))不妨設A(0,1)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，－\f(1,3)))，所以|AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)－0))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)－1))2)＝eq\f(4\r(2),3).6．經(jīng)過橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1的一個焦點作傾斜角為45°的直線l，交橢圓于A，B兩點．設O為坐標原點，則eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))等于()A．－3 B．－eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3)或－3 D．±eq\f(1,3)考點直線與橢圓的位置關系題點直線與橢圓相交的其他問題答案B解析由eq\f(x2,2)＋y2＝1，得a2＝2，b2＝1，c2＝a2－b2＝1，焦點為(±1,0)．不妨設直線l過右焦點，傾斜角為45°，直線l的方程為y＝x－1.代入eq\f(x2,2)＋y2＝1得x2＋2(x－1)2－2＝0，即3x2－4x＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1·x2＝0，x1＋x2＝eq\f(4,3)，y1y2＝(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝1－eq\f(4,3)＝－eq\f(1,3)，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝0－eq\f(1,3)＝－eq\f(1,3).7．設斜率為eq\f(\r(2),2)的直線l與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)交于不同的兩點，且這兩個交點在x軸上的射影恰好是橢圓的兩個焦點，則該橢圓的離心率為()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(1,3)考點題點答案C解析兩個交點橫坐標是－c，c，所以兩個交點分別為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，－\f(\r(2),2)c))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(\r(2),2)c))，代入橢圓方程得eq\f(c2,a2)＋eq\f(c2,2b2)＝1，兩邊乘以2a2b2，則c2(2b2＋a2)＝2a2b2，∵b2＝a2－c2，c2(3a2－2c2)＝2a4－2a2c2，2a4－5a2c2＋2c4＝0，(2a2－c2)(a2－2c2)＝0，eq\f(c2,a2)＝2或eq\f(1,2)，∵0<e<1，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).二、填空題8．過橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1的右焦點F作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為________．考點直線與橢圓的位置關系題點直線與橢圓相交求弦長與三角形面積答案eq\f(5,3)解析由已知可得直線方程為y＝2x－2，|OF|＝1，聯(lián)立方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1，,y＝2x－2，))解得A(0，－2)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(4,3)))，所以S△AOB＝eq\f(1,2)·|OF|·|yA－yB|＝eq\f(5,3).9．已知橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<2)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線l交橢圓于A，B兩點，若|BF2|＋|AF2|的最大值為5，則b的值是________．答案eq\r(3)解析由題意知a＝2，所以|BF2|＋|AF2|＋|AB|＝4a＝8，因為|BF2|＋|AF2|的最大值為5，所以AB的最小值為3，當且僅當AB⊥x軸時，取得最小值，此時Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(3,2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，－\f(3,2)))，代入橢圓方程得eq\f(c2,4)＋eq\f(9,4b2)＝1，又c2＝a2－b2＝4－b2，所以eq\f(4－b2,4)＋eq\f(9,4b2)＝1，即1－eq\f(b2,4)＋eq\f(9,4b2)＝1，所以eq\f(b2,4)＝eq\f(9,4b2)，解得b2＝3，所以b＝eq\r(3).10．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一條弦所在的直線方程是x－y＋5＝0，弦的中點是M(－4,1)，則橢圓的離心率是________．考點題點答案eq\f(\r(3),2)解析設直線x－y＋5＝0與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2，直線AB的斜率k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1))兩式相減得eq\f(x1＋x2x1－x2,a2)＋eq\f(y1＋y2y1－y2,b2)＝0，∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2,a2)×eq\f(x1＋x2,y1＋y2)＝1，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4)，故橢圓的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(3),2).11．已知P(1,1)為橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1內肯定點，經(jīng)過P引一條弦，使此弦被P點平分，則此弦所在的直線方程為________________．答案x＋2y－3＝0解析方法一易知此弦所在直線的斜率存在，所以設其方程為y－1＝k(x－1)，弦所在的直線與橢圓相交于A，B兩點，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－1＝kx－1，,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，))消去y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，∴x1＋x2＝eq\f(4kk－1,2k2＋1)，又∵x1＋x2＝2，∴eq\f(4kk－1,2k2＋1)＝2，解得k＝－eq\f(1,2).故此弦所在的直線方程為y－1＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.方法二易知此弦所在直線的斜率存在，所以設斜率為k，弦所在的直線與橢圓相交于A，B兩點，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\f(x\o\al(2,1),4)＋eq\f(y\o\al(2,1),2)＝1，①eq\f(x\o\al(2,2),4)＋eq\f(y\o\al(2,2),2)＝1，②①－②得eq\f(x1＋x2x1－x2,4)＋eq\f(y1＋y2y1－y2,2)＝0，∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴eq\f(x1－x2,2)＋y1－y2＝0，∴k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(1,2).∴此弦所在的直線方程為y－1＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.三、解答題12．已知橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，經(jīng)過點F1的一條直線與橢圓交于A，B兩點．(1)求△ABF2的周長；(2)若直線AB的傾斜角為eq\f(π,4)，求弦長|AB|.考點題點解(1)橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，a＝2，b＝eq\r(3)，c＝1，由橢圓的定義，得|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，|BF1|＋|BF2|＝2a＝4，又|AF1|＋|BF1|＝|AB|，∴△ABF2的周長為|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝8.(2)由(1)可得F1(－1,0)，∵AB的傾斜角為eq\f(π,4)，則AB的斜率為1，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，故直線AB的方程為y＝x＋1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))整理得7y2－6y－9＝0，由根與系數(shù)的關系得y1＋y2＝eq\f(6,7)，y1y2＝－eq\f(9,7)，則由弦長公式|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\r(1＋1)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))2－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,7))))＝eq\f(24,7).13．橢圓ax2＋by2＝1與直線x＋y－1＝0相交于A，B兩點，C是線段AB的中點，O為坐標原點，若|AB|＝2eq\r(2)，直線OC的斜率為eq\f(\r(2),2)，求橢圓的方程．考點直線與橢圓的位置關系題點直線與橢圓相交時弦中點問題解易知a>0，b>0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由題意得axeq\o\al(2,1)＋byeq\o\al(2,1)＝1，①axeq\o\al(2,2)＋byeq\o\al(2,2)＝1，②②－①，得a(x1＋x2)(x2－x1)＋b(y2＋y1)(y2－y1)＝0.∵eq\f(y2－y1,x2－x1)＝kAB＝－1，eq\f(y2＋y1,x2＋x1)＝kOC＝eq\f(\r(2),2)，∴b＝eq\r(2)a.又|AB|＝eq\r(1＋k\o\al(2,AB))|x2－x1|＝eq\r(2)|x2－x1|＝2eq\r(2)，∴|x2－x1|＝2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax2＋by2＝1，,x＋y＝1，))得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0，∴x1＋x2＝eq\f(2b,a＋b)，x1x2＝eq\f(b－1,a＋b)，∴|x2－x1|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2b,a＋b)))2－4·eq\f(b－1,a＋b)＝4，將b＝eq\r(2)a代入上式，得a＝eq\f(