蘇科版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三系列 專題71 平行線的判定【七大題型】（原卷版）

專題7.1平行線的判定【七大題型】

【蘇科版】

”幺國(guó)防力

【題型?平行公理及其推論】....................................................................1

【題型2同位角相等，兩直線平行】.............................................................2

【題型3內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行】.............................................................4

【題型4同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行】............................................................5

【題型5平行線的判定方法的綜合運(yùn)用】.........................................................6

【題型6角平分線與平行線的判定綜合運(yùn)用】.....................................................7

【題型7平行線判定的實(shí)際應(yīng)用】...............................................................9

。。藉干一八三

【知識(shí)點(diǎn)平行線的判定】

I.平行公理及其推論

①經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行.

②如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.

2.平行線的判定方法

①兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.（同位角相等，兩直線平行）.

②兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行.（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.

③兩直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，則這兩條直線平行.（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.）

【題型1平行公理及其推論】

【例1】（2022?江西上饒?七年級(jí)期中）同一平面內(nèi)的四條直線若滿足Qlb,blc,cld,則下列式子成

立的是（）

A.alldB.b1dC.a1dD.b\\c

【變式1-1]（2022?河南濠河?七年級(jí)期末）如圖，工人師傅用角尺畫出工件邊緣4B的垂線。和從得到川山,

理由是（）

A.連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短

B.在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行

C.在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有一條而且僅有一條直線垂直于已知直線

D.經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行

【變式1-2]（2022?湖北武漢?七年級(jí)期中）下列命題：①內(nèi)錯(cuò)角相等；②兩個(gè)銳角的和是鈍角；③〃，b,

c是同一平面內(nèi)的三條直線，若b//c,則a//c；④a,b,c是同一平面內(nèi)的三條直線，若alb,

,則；其中真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【變式1-3]（2022?四川?甘孜藏族自治州教育局七年級(jí)期末）如圖，ABWCD,如果41=42,那么EF與

4B平行嗎？說說你的理由.解：因?yàn)?1=42,

所以II.（）

又因?yàn)?叫CD,

所以48IIE/.()

【題型2同位角相等，兩直線平行】

[例2]（2022?甘肅?隴南育才學(xué)校七年級(jí)期末）如圖,AB1MN,垂足為8,CD1MN,垂足為。/1=42.在

卜面括號(hào)中填上理由.

因?yàn)锳B1MN,CD1MN,

所以N48M=NCDM=90。.

又因?yàn)镹1=N2(),

目〒以4/IBM-zl=zCDM-42(),

KPzEFM=zFDM.

所以EB||FD()

【變式2-1](2022?湖北?新春縣向橋鄉(xiāng)白水中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí))如圖，過直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行

線的方法叫“推平行線〃法，其依據(jù)是.

【變式2-2](2022?山東泰安?七年級(jí)期末)如圖，ABIBC,Zl+Z2=90°,42=乙3.請(qǐng)說明線段3￡與

。產(chǎn)的位置關(guān)系？為什么？

【變式2?3】(2022?北京東城?七七級(jí)期末)如圖，直線!與直線4氏C。分別交于點(diǎn)E,F,41是它的補(bǔ)角的

3倍，zl-z2=90°.判斷力B與CO的位置關(guān)系，并說明理由.

BC

【題型4同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行】

【例4】（2022?河北衡水?七年級(jí)階段練習(xí)）已知：Z.A=/.C=120°,Z.AEF=^CEF=60°,求證：AB\\CD.

B

DC

【變式4-1］（2022?西藏昂仁縣中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，12cAz）=20°,回3=70。，ABEL4C,求證：AD\\BC.

【變式42］（2022?甘肅?平?jīng)鍪械谄咧袑W(xué)七年級(jí)期中）如圖，N1=30。/8=60。,481AC.

（1）ZJMB+48等于多少度？

（2）4。與平行嗎？請(qǐng)說明理由.

【變式4-3］（2022?北京市第五中學(xué)分校七年級(jí)期末）如圖，已知點(diǎn)E在3c上，BZM4C,EI^AC,垂足分

別為。，F(xiàn),點(diǎn)、M,G在48上，GF交BD于點(diǎn)、H,魴MD+a48C=180°,01=02,求證：

下面是小穎同學(xué)的思考過程，請(qǐng)補(bǔ)全證明過程并在括號(hào)內(nèi)填上證明依據(jù).

證明：0BZM4C,EF^AC,

團(tuán)團(tuán)80c=90°,0EFC=9O°（①）.

^\BDC=^EFC（等量代換）.

她。|比尸（同位角相等，兩直線平行）.

002=0CBD（（2））.

001=02（已知）.

（301=0CTD（等最代換）.

團(tuán)③—（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.

00^WD+d4BC=18O°（已知），

0MDHBC（④）.

0MDHGF（⑤）.

【題型5平行線的判定方法的綜合運(yùn)用】

【例5】（2022?廣西賀州?七年級(jí)期末）如圖，有下列條件：0Z1=Z2；（2）Z3+Z4=180°；@Z5+Z6=

【變式5-1］（2022?浙江臺(tái)州?七年級(jí)期末）在鋪設(shè)鐵軌時(shí)，兩條直軌必須是互相平行的，如圖，已經(jīng)知道42

是直角，那么再度量圖中已標(biāo)出的哪個(gè)角，不熊判斷兩條直軌是否平行（）

A.Z.1B.Z.3C.Z.4D.Z,5

【變式5-2］（2022?山西臨汾?七年級(jí)期末）在下列圖形中,已知，1=N2,，一定能推導(dǎo)出匕II。的是（）

【變式5-3］（2022?山東口照?七年級(jí)期末）如圖，在下列給出的條件中，不能判定DEII8C的是（）

A.Z1=Z.2B.Z3=Z4C.Z5=ZCD.Z.B+Z,BDE=180°

【題型6角平分線與平行線的判定綜合運(yùn)用】

【例6】（2022?吉根大安市樂勝鄉(xiāng)中學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCQ中，〃OC+乙48C=180°,

乙ADF+乙AFZ）=90。，點(diǎn)E、?分別在OC、AB上，且3E、。戶分別平分EL4BC、團(tuán)AOC,判斷8￡、DF是

否平行，并說明理由.

【變式6-1］（2022?江蘇?揚(yáng)州市祁江區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期末）將下列證明過程補(bǔ)充完整:

已知：如圖，點(diǎn)石在A8上，且CE平分團(tuán)4CO,01=02.求證：ABWCD.

證明：EICE平分0ACO（已知），

002=0（）.

001=02（已知），

001=0（）.

團(tuán)4BIICD（）.

【變式6-2］（2022?遼寧沈陽?七年級(jí)期末）按邏輯填寫步驟和理由，將卜.面的證明過程補(bǔ)充完整

如圖，直線MN分別與直線4C、QG交于點(diǎn)B、F,且團(tuán)1=回2.（MBr的角平分線BE交直線QG于點(diǎn)E,WFG

的角平分線R?交直線AC于點(diǎn)C

求證:BEIICF.

證明：031=02（已知）

財(cái)8尸=團(tuán)1（對(duì)頂角相等）

0fiFG=02（）

酶ABF=（等量代換）

奶E平分財(cái)3/（已知）

^EBF=-（）

2------------------------------------------

團(tuán)尸。平分OBFG（已知）

（ZUCFB=：（）

2------------------------------------------

WBF=

回BEIICF（）

【變式6-3］（2022.內(nèi)蒙古?扎賁特旗音德爾第三中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)G在C。上，已知N44G+=

180°,￡4平分/BAG,FG平分~1GC.請(qǐng)說明力EIIGF的理由.

解：因?yàn)镹84G+乙4G。=180。(已知),

Z.AGC+Z.AGD=180°(),

所以484G=Z.AGC().

因?yàn)镋4平分Z84G,

所以41=^Z-BAG().

因?yàn)镕G平分N4GC,

所以42=3，

得，1=乙2（等量代換），

所以（）.

【題型7平行線判定的實(shí)際應(yīng)用】

【例7】（2022?全國(guó)?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，若將木條。繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)后使其與木條〃平行，則旋轉(zhuǎn)的最小

角度為（）

A.65°B.85°C.95°D.115°

【變式7-1］（2022?河南?鄭州外國(guó)語學(xué)校經(jīng)開校區(qū)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示的四種沿43進(jìn)行折疊的方法

中，不一定能判斷紙帶兩條邊人互相平行的是（）

圖1圖3圖4

A.如圖1,展開后測(cè)得團(tuán)1=團(tuán)2B.如圖2,展開后測(cè)得團(tuán)1=團(tuán)2且團(tuán)3=回4

C.如圖3,測(cè)得（31=團(tuán)2D.在圖4中,展開后測(cè)得團(tuán)1+團(tuán)2=180。

【變式7-2］（2022?全國(guó)?七年級(jí)）一輛汽車在廣闊的草原上行駛，兩次拐彎后，行駛的方向與原來的方向

相同，那么這兩次拐彎的角度可能是（）

A.第一次向右拐40。，第二次向右拐140。.

B.第一次向右拐40。，第二次向左拐40。.

C.第一次向左拐40。，第二次向右拐140。.

D.第一次向右拐140。，第二次向左拐40。.

【變式7-3］（2022?江蘇?南京外國(guó)語學(xué)校七年級(jí)期中）如圖，°、氏c三根木棒釘在一起，N1=70。4=100°,

現(xiàn)將木棒〃、〃問時(shí)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一冏，速度分別為18度/秒和3度/秒，兩根木棒都停止時(shí)運(yùn)動(dòng)結(jié)束:，則

秒后木棒。，力平行.

專題7.1平行線的判定【七大題型】

【蘇科版】

【題型1平行公理及其推論】...................................................................10

【題型2同位角相等，兩直線平行】.............................................................13

【題型3內(nèi)錯(cuò)角相等，西直線平行】.............................................................15

【題型4同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行】..........................................................17

【題型5平行線的判定方法的綜合運(yùn)用】........................................................20

【題型6角平分線與平行線的判定綜合運(yùn)用】....................................................23

【題型7平行線判定的實(shí)際應(yīng)用】...............................................................26

?加產(chǎn)三

【知識(shí)點(diǎn)平行線的判定】

1.平行公理及其推論

①經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行.

②如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.

2.平行線的判定方法

①兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.（同住角相等，兩

直線平行）.

②兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行.（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩

直線平行.

③兩直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，則這兩條直線平行.（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩

直線平行.）

【題型1平行公理及其推論】

【例1】（2022?江西上饒,七年級(jí)期中）同一平面內(nèi)的四條直線若滿足a1b,hlc,eld,

則下列式子成立的是（）

A.a\\dB.b1dC.aidD.b\\c

【答案】C

【分析】根據(jù)同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行，可證allc,再結(jié)合eld,可

證a1d.

【詳解】解：valb,bLc,

0a||c,

回c1d,

0a1d,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線及垂線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握同一平面內(nèi)，垂直于同一

條直線的兩條直線平行.

【變式1-1］（2022?河南漂河?七年級(jí)期末）如圖，工人師傅用角尺畫出工件邊緣的垂線

A.連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短

B.在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行

C.在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有一條而且僅有一條直線垂直于已知直線

D.經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行

【答案】B

【分析】三條直線A3、。位于同一平面內(nèi)，且直線a與直線。都垂直于4B,即可根據(jù)在

同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行的性質(zhì)來判斷出a\\b.

【詳解】團(tuán)直線A3、。、〃位于同一平面內(nèi)，且Al^b

加怙（同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行）

故答案為B.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線判定的性質(zhì)，根據(jù)已知題目反應(yīng)出兩條直線是同一平面內(nèi)，且同

時(shí)垂直于一條直線是本題的關(guān)鍵.

【變式1-2］（2022?湖北武漢?七年級(jí)期中）下列命題：①內(nèi)錯(cuò)角相等；②兩個(gè)銳角的和是

鈍角；③a，b,c是司一平面內(nèi)的三條直線，若a//b,b//c,則a//c；（4）??b,c

是同一平面內(nèi)的三條直線，若。_L〃，力J_c,則a_Lc；其中真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)可判斷①，根據(jù)兩銳角的大小求和可判斷②，根據(jù)平行公理推論

可判斷③，根據(jù)垂直定義得出（31=132=90。，然后利用同位角相等，兩直線平行的判定可判斷

④.

【詳解】解：①兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，故①不正確；

②兩個(gè)銳角的和可以是銳角，直角，鈍角，故②不正確；

③。，b,c是同一平面內(nèi)的三條直線，若a%,b//c,則〃〃c,故③正確;

④。，b,。是同一平面內(nèi)的三條直線，如圖

團(tuán)a_L〃，bA.c,

盟1:90°,02=90°,

001=02

加團(tuán)c,故④不正確：

團(tuán)真命題只有1個(gè).

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)與判定，兩銳角和的大小，掌握平行線的性質(zhì)與判定，銳角

定義是解題關(guān)鍵.

【變式1-3］（2022?四川?甘孜藏族自治州教育局七年級(jí)期末）如圖,ABWCD,如果N1二42,

那么與AB平行嗎？說說你的理由.解：因?yàn)?1=乙2,

所以II.（）

又因?yàn)?BIICD,

所以4811M.（）

【答案】?jī)?nèi)錯(cuò)角相等，兩直級(jí)平行；平行于同一直線的兩條直線平行

【分析】根據(jù)平行線的判定定理完成填空即可求解.

【詳解】解：因?yàn)镹l=/2,

所以CQIIEE（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

又因?yàn)?8IICD,

所以48IIE凡（平行于同一直線的兩條直線平行）

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，平行公理，掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵.

【題型2同位角相等，兩直線平行】

【例2】（2022?甘肅?隴南育才學(xué)校七年級(jí)期末）如圖，力B1MN,垂足為3,CD工MN,

垂足為D,乙1=，2.在下面括號(hào)中填上理由.

因?yàn)?81MN,CD1MN,

所以々/IBM=ZCDM=90°.

又因?yàn)橐?=42（）,

所以乙ABM-zl=zCDM-z2（）,

即NE8M=NFDM.

所以E8||FD（）

【答案】已知等量減等量，差相等同位角相等，兩直線平行

【分析】根據(jù)垂線的定義，得出418M=NCOM=90。，再根據(jù)角的等量關(guān)系，得出乙EBM=

乙FDM,然后再根據(jù)同位角相等，兩直線平行，得出E8I尸D,最后根據(jù)解題過程的理由填寫

即可.

【詳解】因?yàn)?81MN,CD1MN,

所以N48M=ZCDM=9O°.

又因?yàn)镹l=/2（已知），

所以乙48M—41=/CDM-N2（等量減等量，差相等），

即4E5M=4FDM.

所以EB||"）（同位角相等，兩直線平行）.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂線的定義、平行線的判定，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握平行線的判定定

理.

【變式2-1］（2022?湖北?新春縣向橋鄉(xiāng)白水中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，過直線外一點(diǎn)畫

已知直線的平行線的方法叫“推平行線〃法，其依據(jù)是.

【答案】同位角相等，兩直線平行

【分析】作圖時(shí)保持回1=團(tuán)2,根據(jù)同位角相等，兩直線平行即可畫出已知直線的平行線.

【詳解】解：過直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行線的方法叫“推平行線''法，其依據(jù)是：同位角

相等，兩直線平行.

故答案為：同位角相等，兩直線平行.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，平行公理，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的

判定和性質(zhì).

【變式2?2】（2022?山東泰安?七年級(jí)期末）如圖，ABIBC,Z14-Z2=90°,42=43.請(qǐng)

說明線段4E與。F的位置關(guān)系？為什么？

【分析】由已知推常的+04=90°,利用41+乙2=90°,Z2=Z3,得到回1=04,即可得到結(jié)論

BEWDF.

【詳解】解：BEWDF,

財(cái)81BC,

13M心90。,

003+04=90%

（3/1+42=90°,Z.2=匕3,

001=04,

WEWF.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定定理，熟記平行線的判定定理并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3]（2022?北京東城?七年級(jí)期末）如圖,直線i與直線AB,CD分別交于點(diǎn)E,F,Z1

是它的補(bǔ)角的3倍，zl-Z2=90°.判斷48與。0的位置關(guān)系，并說明理由.

【答案】48IICD；理由見解析

【分析】先根據(jù)補(bǔ)角的定義求出的度數(shù)，然后求出團(tuán)C/E和m2的度數(shù)，最后根據(jù)平行線

的判定進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：AB||CD；理由如下:

團(tuán)N1是它的補(bǔ)角的3倍，

團(tuán)設(shè)41=a,則41的補(bǔ)角為扣,

0a4-1?=180°,

解得：a=135°,

0Z1=135°,

0ZCFF=180°-Z1=45°,

0Z1-z2=90°,

團(tuán)42=Z.1-90°=45°,

0Z2=Z.CFE=45°,

^ABIICD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了補(bǔ)角的有關(guān)計(jì)算，平行線的判定，根據(jù)題意求出42=ZCFE=45。,

是解題的關(guān)鍵.

【題型3內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行】

【例3】（2022?山東?曲阜九巨龍學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A在直線OE上，人座。

于A,團(tuán)1與國(guó)C互余，。石和8。平行嗎？若平行，請(qǐng)說明理由.

【答案】平行，理由見解析

【分析】由垂直定義可得8BAO90。，根據(jù)平角定義得團(tuán)l+[aBAC+13CA￡：=180。，即可得出

01+0CAE=9O°,由團(tuán)1與團(tuán)C互余，根據(jù)余角的性質(zhì)即可得;I國(guó)CAEWC,根據(jù)平行線的判定定

理即可得出結(jié)論.

【詳解】解：平行，理由如下：

團(tuán)團(tuán)8AC=90°,

團(tuán)團(tuán)1+團(tuán)加C+I3CAE=18O°,

001+0CAE=9O%

團(tuán)團(tuán)1與團(tuán)C互余，BP01+0C=9O°,

00CA￡=0C,

0DEHBC.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定，余角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵.

【變式3-1]（2022?北京市房山區(qū)燕山教委八年級(jí)期中）如圖,己知41=75。，Z2=35°,

Z.3=40°＞求證：創(chuàng)也

【答案】見解析

【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和性質(zhì)，求得乙4=75。，再根據(jù)41=75。，即可得到乙1=44,

進(jìn)而判定allb.

【詳解】證明：如下圖：

???z4=z3+Z2=75°,

又N1=75°,

**?Z.1—Z.49

???a\\b.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定以及三角形內(nèi)角和性質(zhì)，解題時(shí)注意：內(nèi)錯(cuò)角相等，

兩直線平行.

【變式3-2]（2022?福建?莆田第二十五中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，d?是△ABC外角乙4cM

的平分線,々ICB=40。，△4=70°,求證：ABWCF.

【答案】證明見解析

【分析】由角平分線的定義及補(bǔ)角的定義可求得乙ACE的度數(shù)，即可得4力=乙4才，進(jìn)而可

證明結(jié)論.

【詳解】證明:團(tuán)乙408=40。，

0Z/1CM=180°-40°=140°,

團(tuán)C尸是A/IBC外角乙4cM的平分線，

^ACF=^ACM=700,

2

@Z/l=70°,

團(tuán)44=4力CF=70。，

^ABWCF.

【點(diǎn)睛】本題主要考告角平分線的定義、二角形外角的性質(zhì)和平行線的判定，證得乙A=

是解題的關(guān)鍵.

【變式3-3]（2022?遼寧?阜新市第十中學(xué)七年級(jí)期中）如圖,4和?！辏?[31=財(cái)。8,因。48=扣期。,

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得MACW1，等量代換得財(cái)CB/BAC,根據(jù)乙￡48=：乙8工?？?/p>

得團(tuán)4。3=團(tuán)。4。，即可得.

3羊解】證明：I34BIIOE,

00BAC=ai,

001=[MCB,

團(tuán)0AC8=138AC,

0ZC/4S=-Z-BAD,

2

團(tuán)（MCBWOAC,

財(cái)Dll8c.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定與性質(zhì).

【題型4同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行】

【例4】（2022?河北衡水?七年級(jí)階段練習(xí)）已知：乙4="=。20。,^,AEF=LCEF=60%

求證：ABWCD.

DC

【答案】見解析

【分析】根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，再根據(jù)平行于同i條直線的兩條直線平行即可證

明結(jié)論.

【詳解】證明：???41=NC=120%Z-AEF=乙CEF=60°,

Z.A+Z.AEF=180°,乙C+乙CEF=180°,

AB||EF,CD||EF,

AB||CD.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定.

【變式4-1]（2022?西臧昂仁縣中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，0CAD=2O°,團(tuán)8=70。,AB^AC,

求證:ADWBC.

【答案】見解析

【分析】根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行證明即可.

【詳解】解：

團(tuán)團(tuán)BAC=90°,

00CAD=2O0,團(tuán)8=70°,

團(tuán)團(tuán)B+08AZ）=7O°+9O°+2O°=18O°,

0ADHBC.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定、垂直定義，熟練掌握平行線的判定方法是解答的關(guān)鍵.

【變式4-2]（2022?甘肅?平?jīng)鍪械谄咧袑W(xué)七年級(jí)期中）如圖,-1=30°/8=60。,48147.

（1）乙。A8+乙B等于多少度？

（2）八。與"C平行嗎？請(qǐng)說明理由.

【答案】（1旭0A8+1汕=180。

（2）AD||BCx理由見解析

【分析】（1）由已知可求得團(tuán)。48=120。，從而可求得團(tuán)/）人8+團(tuán)8=180。；

（2）根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行可得力。IIBC.

（1）

解：例1AC,

回回8AC=90°.

又國(guó)團(tuán)1=30°,

團(tuán)（3840=120°,

005=60%

豳D48+回3=180°.

（2）

解：AD||BC.理由如下：

回回。48+團(tuán)8=180°,

團(tuán)40||BC.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

【變式4-3]（2022?北京市第五中學(xué)分校七年級(jí)期末）如圖，已知點(diǎn)E在8C上，BEX1AC,

E/B4C,垂足分別為。，F(xiàn),點(diǎn)M,G在44上，GF交BD于點(diǎn)、H,班MQ+MBC=180?，01

=02,求證：MDIIGF.

下面是小穎同學(xué)的思考過程，請(qǐng)補(bǔ)全證明過程并在括號(hào)內(nèi)填上證明依據(jù).

證明：0B/M4C,EFMC,

閉團(tuán)BOC=90°,團(tuán)EFC=90°（①）.

^BDC=^EFC（等量代換）.

田8。||石尸（同位角相等，兩直線平行）.

002=0CBD（（2））.

001=02（已知）.

團(tuán)團(tuán)1=田。8。（等量代換）.

0@—（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.

00^0+^4^0=180°（已知），

0MDHBC（④）.

團(tuán)MQIIG/（⑤）.

【答案】垂直的定義；兩直線平行，同位角相等；GR3BC；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；

平行于同一直線的兩直線平行.

【分析】根據(jù)垂直定義得出回6。。=回￡FC,根據(jù)平行線的判定推出超氾以根據(jù)平行線的

性質(zhì)得出團(tuán)。8。=02,求出時(shí)8。=（31,根據(jù)平行線的判定得出G/T38C,G/^MO即可.

【詳解】證明：0BZ>MC,EMMC,

團(tuán)團(tuán)8QC=90°,國(guó)EFC=90。（垂直的定義）.

物BDC=13EFC（等量代換）.

團(tuán)（同位角相等，兩直線平行）.

豳2=€CBD（兩直線平行，同位角相等）.

001=02（己知）.

001=0CBD（等量代換）.

I3GE3BC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.

WMD+^ABC=18Q°（已知），

團(tuán)MD0BC（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）.

團(tuán)MD0G/（平行于同一直線的兩直線平行）.

故答案為：垂直的定義；兩直線平行，同位角相等；G距8C；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行;

平行于同一直線的兩直線平行.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【題型5平行線的判定方法的綜合運(yùn)用】

［例5］（2022?廣西賀州?七年級(jí)期末）如圖，有下列條件:①乙1=乙2；②43+乙4=180°：

③45+△6=180。；@Z2=Z3.其中，能判斷直線a怙的有（）

【答案】B

【分析】同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.依

據(jù)平行線的判定方法即可得出結(jié)論.

【詳解】解：①由峰=例2,可得。怙；

②由團(tuán)3+04=180。，可得川山；

③由加+團(tuán)6=180°,03+06=180%可得（35=03,即可得到川山；

（4）*02=03,不能得到。怙；

故能判斷直線a怙的有3個(gè)，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定，掌握平行線的判定方法是解決問題的關(guān)鍵.

【變式5-1］（2022?浙江臺(tái)州?七年級(jí)期末）在鋪設(shè)鐵軌時(shí)，兩條直軌必須是互相平行的，

如圖，已經(jīng)知道42是直角，那么再度量圖中已標(biāo)出的哪個(gè)角，不熊判斷兩條直軌是否平行（）

A.Z1B.Z3C.Z4D.45

【答案】A

【分析】因?yàn)閳F(tuán)2是直角，只要找出與吃互為同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的其他角，根據(jù)

平行線的判定定理判定即可得到正確答案.

【詳解】因?yàn)槔?是直角，回4和回2是同位角，如果度量出匕4=90°,

根據(jù)“同位角相等，兩直線平行〃，就可以判斷兩條直軌平行，

團(tuán)5?和團(tuán)2是內(nèi)錯(cuò)角，如果度量出45=90°,

根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行”，就可以判斷兩條直軌平行，

03和圖2是同旁內(nèi)角，如果度量出43=90°,

根據(jù)“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”，就可以判斷兩條直軌平行，

所以答案為:A.

【點(diǎn)睛】本題考查兩直線平行的判定定理，解決本題的關(guān)健是熟練的掌握平行線的判定定理.

【變式5-2］（2022?山西臨汾?七年級(jí)期末）在下列圖形中，已知41=42,一定能推導(dǎo)出。12

的是（）

【答案】D

【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義，對(duì)頂角相等和平行線的判定定理即可求解.

【詳解】解：A.如圖，

???zl=z2,zl+Z3=1B00,

z.2+z.3=180°,

???不能推導(dǎo)出。IIG，不符合題意;

B.如圖，

???Zl=Z2,+43=180°,

Z2+Z3=180°,

???不能推導(dǎo)出21II5不符合題意;

C.如圖,

???zl=z2,zl+z3=1BO°,

z.2+z.3=180°,

二不能推導(dǎo)出，iIIG，不符合題意;

D.如圖，

vZ1=Z2?Z.1=Z3?

???Z2=Z3,

二一定能推導(dǎo)出。II%，符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，關(guān)鍵是熟悉同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩

直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行的知識(shí)點(diǎn).

【變式5-3］（2022?山東日照?七年級(jí)期末）如圖，在下列給出的條件中,不能判定。EII8C的

是（）

A.Z.1=Z.2B.z3=z4C.Z.5=zCD.乙B+乙BDE=180°

【答案】B

【分析】根據(jù)平行線的判定定理逐一判斷即可.

【詳解】因?yàn)橐?二42,

所以DEIIBC,

故A不符合題意；

因?yàn)橐?=乙4,

不能判斷DEIIBC,

故B符合題意；

因?yàn)樨?=Z.C,

所以DEIIBC,

故C不符合題意；

因?yàn)樨癇+48DE=180°,

所以DEII8C,

故D不符合題意；

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵.

【題型6角平分線與平行線的判定綜合運(yùn)用】

【例6】（2022?吉根大安市樂勝鄉(xiāng)中學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在四邊形A3CO中，〃DC+

/.ABC=180°,LADF+Z.AFD=90°,點(diǎn)E、F分別在DC.AB上，且BE.。尸分別平分時(shí)3C、

04DC,判斷BE、。尸是否平行，并說明理由.

【答案】平行，理由見解析

【分析】先根據(jù)角平分線的定義可得44BE=；ZL4BC,N.4DF=；N/DC,從而可得Z/WF+

/.ABE=90°,再結(jié)合24。/+N4FD=90?？傻靡?8E=4/1F。，然后根據(jù)平行線的判定即

可得.

【詳解】解：BE||DF,理由如下：

???8氏0尸分別平分448。,￡力0。，

AABE=^Z-ABC,/-ADF=^Z-ADC,

???/-ADC+/-ABC=180°,

:.Z-ADF+￡.ABE=；（4ADC+/.ABC）=90°,

又Z.ADF+^.AFD=90°,

:.Z.ABE=Z.AFD,

???BE||DF.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線、平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解題關(guān)鍵.

【變式6?1】（2022?江蘇揚(yáng)州市祁江區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期末）將卜列證明過程補(bǔ)充完整：

已知：如圖，點(diǎn)E在上，且CE平分0AC7）,01=02.求證：AB\\CD.

證明：回CE平分財(cái)CO（已知），

002=（3（）.

001=02（已知），

團(tuán)團(tuán)1=回（）.

^ABWCD（）.

【答案】ECD；角平分線的性質(zhì)；ECD：等量代換；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

【分析】根據(jù)平行線的判定依據(jù)角平分線的性質(zhì)即可解決問題.

【詳解】證明：團(tuán)CE平分BACD,

002=0ECD（角平分線的性質(zhì)），

001=02.（已知），

iaiai=@ECD（等量代換），

0ABHCD（內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行）.

故答案為：ECD；角平分線的定義；ECD；等量代換；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)和判定和角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的

判定解答.

【變式6-2］（2022?遼寧沈陽?七年級(jí)期末）按邏輯填寫步驟和理由，將下面的證明過程補(bǔ)

充完整

如圖，直線MN分別與直線AC、OG交于點(diǎn)B、F,且町=團(tuán)2.0/W/的角平分線BE交直線

0G于點(diǎn)E,0BFG的角平分線R7交直線AC于點(diǎn)C.

求證:BE||CF.

證明：（301=02（已知）

國(guó)48尸=團(tuán)1（對(duì)頂角相等）

團(tuán)BFG=同2（）

勵(lì)A(yù)BF=（等量代換）

（3BE平分或48戶（已知）

團(tuán)4E8F=-（）

團(tuán)產(chǎn)C平分（33/G（已知）

國(guó)iCFB=；（）

2-----------------------------------------------

______

團(tuán)BEIICF（）

【答案】對(duì)頂角相等；團(tuán)BFG；MBF；角平分線的定義；0BFG；角平分線的定義；J3CFB；

內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；

【分析】根據(jù)對(duì)頂角的定義，平行線的判定，角平分線的性質(zhì)，結(jié)合上下文填空即可.

【詳解】證明：001=團(tuán)2:已知）

[MBF=01（對(duì)頂角相等）

WFG=^\2（對(duì)頂角相等）

BBLA/^F=BBFG（等量代換）

團(tuán)BE平分團(tuán)48尸（已知）

回乙EBF=5ABF（角平分線的定義）

回廣。平分團(tuán)8尸G（已知）

團(tuán)乙CFB=,BFG（角平分線的定義）

團(tuán)團(tuán)國(guó)CFB,

團(tuán)BEIICF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）,

故答案為：對(duì)頂角相等；0BFG；0A8F；角平分線的定義；0BFG；角平分線的定義；0CFB；

內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.

【點(diǎn)睛】本撅考杳對(duì)頂角的定義及性質(zhì),平行線的判定，角平分線的性質(zhì)，能夠熟練掌握平

行線的判定是解決本題的關(guān)鍵.

【變式6-3]（2022?內(nèi)蒙古?扎賽特旗音德爾第三中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)G在CD上，已

^Z-BAG+Z-AGD=180°,EA平分乙BAG,FG平分乙力GC.請(qǐng)說明4E||GF的理由.

解：因?yàn)镹B4G+44G。=180。(己知),

Z.AGC+/-AGD=180°(),

所以乙BAG=^AGC().

因?yàn)閰^(qū)4平分乙BAG,

所以=^BAG(i.

因?yàn)?G平分乙4GC,

所以,

得41=42（等量代換），

所以（）.

【答案】平角的定義；同角的補(bǔ)角相等；角平分線的定義；（MGC：AE||GF-,內(nèi)錯(cuò)角相等,

兩直線平行

【分析】由題意可求得NB4G=^AGC,再由角平分線的定義得41=^BAG,z2=^AGC,

從而得Cl=Z2,即可判定4EIIGF.

【詳解】解：々BAG+Z.AGD=180°（已知），

/-AGC+^AGD=180°（平角的定義），

Z.BAG=Z.AGC（同角的補(bǔ)角相等）.

???瓦4平分乙BAG,

^1=^BAG（角平分線的定義）.

???FG平分乙4GC,

32GC,

??.41=42（等量代換），

：,AE||GF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.

故答案為：平角的定義；同角的補(bǔ)角相等；角平分線的定義；乙4GC；AE||GF；內(nèi)錯(cuò)角