第十七屆全國(guó)高中生物理競(jìng)賽復(fù)賽試題與答案

第十七屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽試題

題號(hào)一二—四五六總計(jì)

全卷共六題，總分140分

一、（20分）在一大水銀槽中豎直插有一根玻璃管，管上端封閉，下端開口.槽中水銀液面以

上的那局部玻璃管的長(zhǎng)度/=76cm,管內(nèi)封閉有〃=1.0><10-3mol的空氣，保持水銀槽與玻

璃管都不動(dòng)而設(shè)法使玻璃管內(nèi)空氣的溫度緩慢地降低10€,問(wèn)在此過(guò)程中管內(nèi)空氣放出的熱

量為多少管外大氣的壓強(qiáng)為76cm汞柱高，每摩爾空氣的內(nèi)能U=Cv7，其中7為絕對(duì)溫度，

1-1

常量Cv=20.5J?（mol?K）-,普適氣體常量R=8.31J?（mol?K）。

二、（20分）如圖復(fù)17-2所示，在真空中有一個(gè)折射

率為〃“°為真空的折射率）、半徑為廣的質(zhì)

地均勻的小球。頻率為b的細(xì)激光束在真空中沿直線

傳播，直線與小球球心。的距離為/（/vr）,II

光束于小球體外表的點(diǎn)。點(diǎn)經(jīng)折刖進(jìn)入小球（小球成\、?

為光傳播的介質(zhì)），并于小球外表的點(diǎn)。點(diǎn)又經(jīng)折射進(jìn)7

入真空.設(shè)激光束的頻率在上述兩次折射后保持不

變.求在兩次折射過(guò)程中激光束中一個(gè)光子對(duì)小球作圖復(fù)一：

I,

用的平均力的大小.

三、（25分）1995年,美國(guó)費(fèi)米國(guó)家實(shí)驗(yàn)室CDF實(shí)驗(yàn)組和DO實(shí)驗(yàn)組在質(zhì)子反質(zhì)子對(duì)撞機(jī)TEVATRON

的實(shí)驗(yàn)中，觀察到了頂夸克，測(cè)得它的靜止質(zhì)量叫=1.75x10"eVH=3.lx10-25kg,壽命

r=0.4xl0-24s,這是近十幾年來(lái)粒子物理研究最重要的實(shí)聆進(jìn)展方一.

1.正、反頂夸克之間的強(qiáng)用互作用勢(shì)能可寫為〃（r）=-女*&,式中r是正、反頂夸克之間的

3r

距離，劭=0.12是強(qiáng)相互作用耦合常數(shù)，%是與單位制有關(guān)的常數(shù)，在國(guó)際單位制中

^=0.319xl0-25Jm.為估算正、反頂夸克能否構(gòu)成一個(gè)處在束縛狀態(tài)的系統(tǒng)，可把束縛狀

態(tài)設(shè)想為正反頂夸克在彼此間的吸引力作用下繞它們連線的中點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng).如能構(gòu)成

束縛態(tài)，試用玻爾理論確定系統(tǒng)處于基態(tài)中正、反頂夸克之間的距離它.處于束縛態(tài)的正、

反夸克粒子滿足量子化條件，即

2wv|1=；?—〃=1,2,3,

式中〃八為一個(gè)粒子的動(dòng)量,就與其軌道半徑.的乘積，〃為量子數(shù)，h=6.63x\0-34J-s

為普朗克常量.

2.試求正、反頂夸克在上述設(shè)想的基態(tài)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期丁.你認(rèn)為正、反頂夸克的

這種束縛態(tài)能存在嗎？

四、（25分）宇宙飛行器和小行星都繞太陽(yáng)在同一平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，飛行器的質(zhì)量比小行星

的質(zhì)量小得很多，飛行器的速率為%，小行星的軌道半徑為飛行器軌道半徑的6倍.有人企

圖借助飛行器與小行星的碰撞使飛行器S出太陽(yáng)系，于是他便設(shè)計(jì)了如下方案：I?當(dāng)飛行器

在其圓周軌道的適當(dāng)位置時(shí)，突然點(diǎn)燃飛行器上的噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)，經(jīng)過(guò)極短時(shí)間后立即關(guān)閉發(fā)

動(dòng)機(jī)，以使飛行器獲得所需的速度，沿圓周軌道的切線方向離開圓軌道；H.飛行器到達(dá)小行

星的軌道時(shí)正好位于小行星的前緣，速度的方向和小行星在該處速度的方向一樣，正好可被

小行星碰撞；m.小行星與飛行器的碰撞是彈性正碰，不計(jì)燃燒的燃料質(zhì)量.

I.試通過(guò)計(jì)算證明按上述方案能使飛行器飛出太陽(yáng)系；

2.設(shè)在上述方案中，飛行器從發(fā)動(dòng)機(jī)取得的能量為用.如果不采取上述方案而是令飛行器在

圓軌道上突然點(diǎn)燃噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)，經(jīng)過(guò)極短時(shí)間后立即關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，以使飛行器獲得足夠的速

度沿圓軌道切線方向離開圓軌道后能宜接飛出太陽(yáng)系.采用這種方法時(shí)，飛行器從發(fā)動(dòng)機(jī)取

得的能量的最小值用且表示，問(wèn)且為多少？

■E2

五、（25分）在真空中建設(shè)一坐標(biāo)系，以水平向右為X軸正方向，

豎直向下為），軸正方向，z軸垂直紙面向里（圖復(fù)17-5）.在

OKyKL的區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，L=0.80m,磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度

的方向沿z軸的正方向，其大小8=0.10T.今把一荷質(zhì)比

q/zn=50CkgT的帶正電質(zhì)點(diǎn)在x=0,y=-0.20m,z=0處

靜止釋放，將帶電質(zhì)點(diǎn)過(guò)原點(diǎn)的時(shí)刻定為，=（）時(shí)刻，求帶電質(zhì)

點(diǎn)在磁場(chǎng)中任一時(shí)刻/的位置坐標(biāo).并求它剛離開磁場(chǎng)時(shí)的位置

和速度.取重力加速度w=10m-s-2。

六、(25分)普通光纖是一種可傳輸光的園柱形細(xì)絲，由具有圓形截面的纖芯人和包層“組

成，8的折射率小于A的折射率，光纖的端

面和圓柱體的軸垂直，由一端面射入的光在

很長(zhǎng)的光纖中傳播時(shí)，在纖芯A和包層8的

分界面上發(fā)生屢次全反射.現(xiàn)在利用普通光

纖測(cè)量流體尸的折射率.實(shí)驗(yàn)方法如下：讓

光纖的一端(出射端)浸在流體尸中.令與

光纖軸平行的單色平行光束經(jīng)凸透鏡折射

后會(huì)聚光纖入射端面的中心O,經(jīng)端面折射

進(jìn)入光纖，在光纖中傳播.由點(diǎn)O出發(fā)的光

束為圓錐形，其邊緣光線和軸的夾角為a。，

如圖復(fù)17-6-1所示.最后光從另一端面出

射進(jìn)入流體尸.在距出射端面/八處放置一

垂直于光纖軸的毛玻璃屏。，在。上出現(xiàn)一圓形光斑，測(cè)出其直徑為由，然后移動(dòng)光屏。至

距光纖出射端面公處，再測(cè)出圓形光斑的直徑^2,如圖復(fù)17-6-2所示.1.假設(shè)A和B的折

射率分別為〃八馬，求被測(cè)流體F的折射率nF的表達(dá)式.

2.假設(shè)〃八、勺和%均為未知量，若何通過(guò)進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)以測(cè)出盯的值？

第十七屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽題參考解答

一、參考解答

設(shè)玻璃管內(nèi)空氣柱的長(zhǎng)度為從大氣壓強(qiáng)為Po,管內(nèi)空氣的壓強(qiáng)

為〃，水銀密度為夕，重力加速度為g,由圖復(fù)解17TT可知

p+(l-h)pg=pQ(1)

根據(jù)題給的數(shù)據(jù)，可知Po=/pg,得〃二夕皿(2)

假設(shè)玻璃管的橫截面積為S,則管內(nèi)空氣的體積為

V

V=Sh(3)由12)、(3)式得〃=(4)即

管內(nèi)空氣的壓強(qiáng)與其體枳成正比，由克拉珀龍方程〃Vn求下得圖復(fù)解17.1.1

V2

pgJ=nRT(5)由(5)式可知，隨著溫度降低，管內(nèi)空氣的體積變小，根據(jù)(4)式可知

S

管內(nèi)空氣的壓強(qiáng)也變小，壓強(qiáng)隨體積的變化

關(guān)系為P-V圖上過(guò)原點(diǎn)的直線，如圖復(fù)解

17-1-2所示.在管內(nèi)氣體的溫度由7；降到心

圖復(fù)解17.1.2

的過(guò)程中，氣體的體枳山匕變到修，體積縮小，外界對(duì)氣體做正功，功的數(shù)值可用圖中劃有

斜線的梯形面枳來(lái)表示，即有

印=3可［2+*）（匕_匕）二心.9⑹

管內(nèi)空氣內(nèi)能的變化

NUrCg-TJ（7）

設(shè)。為外界傳給氣體的熱量，則由熱力學(xué)第一定律W+Q=AU,有

Q=\U-W⑻

由⑸、⑹、⑺、⑻式代入得

Q=〃（弓_（）（￡+；/?）（9）

代入有關(guān)數(shù)據(jù)得

Q<0表示管內(nèi)空氣放出熱量，故空氣放出的熱量為

=-(2=0.247J(10)

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：此題20分

11）式1分，（4）式5分，（6）式7分，（7）式1分，18）式2分，（9）式1分，（10）式3

分。

二、參考解答

在由直線3c與小球球心。所確定的平面中，激光光束兩次折射的光路BCDE如圖復(fù)解

17-2所示，圖中入射光線BC與出射光線小的延長(zhǎng)線交于G,按照光的折射定律有

〃oSina=〃sin/(1)

式中a與尸分別是相應(yīng)的入射角和折射角，由幾何關(guān)系環(huán)可知

sintz=-（2）

r

激光光束經(jīng)兩次折射，頻率u保持不變，故在兩次

折射前后，光束中一個(gè)光子的動(dòng)量的大小〃和p'相

等，即

hv,e

p=---p（3J

c

式中c為真空中的光速，力為普朗克常量.因射入小

球的光束中光子的動(dòng)量〃沿3C方向，射出小球的

光束中光子的動(dòng)量沿OE方向，光子動(dòng)量的方向

由于光束的折射而偏轉(zhuǎn)了一個(gè)角度26,由圖中幾何

佞1復(fù)解17-2

關(guān)系可知

29=2(a一夕)(4)

假設(shè)取線段GN1的長(zhǎng)度正比于光子動(dòng)量〃，GN?的長(zhǎng)度正比于光子動(dòng)量〃'，則線段MN2的

長(zhǎng)度正比于光子動(dòng)量的改變量3,由幾何關(guān)系得

by

A/?=2/?sin^=2一sin。（5）

△GYN2為等腰三角形，其底邊上的高G”與6平行，故光子動(dòng)量的改變量△〃的方向

沿垂直CD的方向，且由G指向球心。.

光子與小球作用的時(shí)間可認(rèn)為是光束在小球內(nèi)的傳播時(shí)間，即

加=*皿⑹

c〃o/n

式中cn0/n是光在小球內(nèi)的傳播速率。

按照牛頓第二定律，光子所受小球的平均作用力的大小為

△//?rcosP

按照牛頓第三定律，光子對(duì)小球的平均作用力大小?=/,即

⑻

“COSP

力的方向由點(diǎn)0指向點(diǎn)G.由（1）>[2）、（4）及（8）式，經(jīng)過(guò)三角函數(shù)關(guān)系運(yùn)算，最

后可得

⑺?/〃（））2--

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：此題20分

口）式1分，（5）式8分，（6）式4分，（8）式3分，得到（9）式再給4分。

三、參考解答

1.相距為，?的電量為0與。2的兩點(diǎn)電荷之間的庫(kù)侖力為與電勢(shì)能公式為

FQ=kQ第%=飛尊⑴

現(xiàn)在正反頂夸克之間的強(qiáng)相互作用勢(shì)能為

根據(jù)直接類比可知，正反頂夸克之間的強(qiáng)相互作用力為

4〃

F（r）=—k—^（2）

設(shè)正反頂夸克繞其連線的中點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速率為>因二者相距々），二者所受的向心力

均為產(chǎn)仇），二者的運(yùn)動(dòng)方程均為

由題給的量子化條件，粒子處于基態(tài)時(shí)，取量子數(shù)〃=1,得

2可沙⑷

由(3)、(4)兩式解得

3好

⑸

代入數(shù)值得

F=1.4x1017in(6)

2.由(3)與(4)兩式得

4%

v=-p⑺

h[3

由u和％可算出正反頂夸克做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T

7=2%/2)=,/?，⑻

v27r~mt(k4as/3)~

代入數(shù)值得

7=1.8x10-24$⑼

由此可得z7T=0.2(10)

因正反頂夸克的壽命只有它們組成的束縛系統(tǒng)的周期的1/5,故正反頂夸克的束縛態(tài)通

常是不存在的.

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：此題25分

1.15分。(2)式4分，(5)式9分，求得(6)式再給2分。

2.10分。(8)式3分。(9)式1分，正確求得(10)式并由此指出正反頂夸克不能形成束

縛態(tài)給6分。

四、參考解答

1.設(shè)太陽(yáng)的質(zhì)量為M。，飛行器的質(zhì)量為〃?，匕行器繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R.根

據(jù)所設(shè)計(jì)的方案，可知飛行器是從其原來(lái)的圓軌道上某處出發(fā)，沿著半個(gè)橢圓軌道到達(dá)小行

星軌道上的，該橢圓既與飛行器原來(lái)的圓軌道相切，又與小行星的圓軌道相切.要使飛行器

沿此橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，應(yīng)點(diǎn)燃發(fā)動(dòng)機(jī)使飛行器的速度在極短的時(shí)間內(nèi)，由%變?yōu)槟骋话坩?設(shè)

飛行器沿橢圓軌道到達(dá)小行星軌道時(shí)的速度為〃，因大小為〃°和〃的這兩個(gè)速度的方向都與橢

圓的長(zhǎng)軸垂直，由開普勒第二定律可得

u0R=6uR(1)

由能量關(guān)系，有

L叫—GSL/_G也巴(2)

20R26R

由牛頓萬(wàn)有引力定律，有

或

%唇⑶

解（1）、12）、（3）三式得

=槨。⑸

設(shè)小行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的速度為八小行星的質(zhì)量由牛頓萬(wàn)有引力定律

得

可以看出（7）

由此可見，只要選擇好飛行器在圓軌道上適宜的位置離開圓軌道，使得它到達(dá)小行星軌道處

時(shí)，小行星的前緣也正好運(yùn)動(dòng)到該處，則飛行器就能被小行星撞擊.可以把小行星看做是相

對(duì)靜止的，飛行器以相對(duì)速度為丫-〃射向小行星，由于小行星的質(zhì)量比飛行器的質(zhì)量大得多,

碰撞后，匕行器以同樣的速率1，-〃彈回，即碰撞后，匕行器相對(duì)小行星的速度的大小為

方向與小行星的速度的方向一樣，故飛行器相對(duì)太陽(yáng)的速度為

或?qū)ⅱ伞ⅲ?）式代入得

如果飛行淵能從小行星的軌道上直接飛出太陽(yáng)系，它應(yīng)具有的最小速度為“2,則有

可以看出

_1f1

%>蘇0=〃2（1。）

飛行器被小行星撞擊后具有的速度足以保證它能飛出太陽(yáng)系.

2.為使K行器能進(jìn)入橢圓軌道，發(fā)動(dòng)機(jī)應(yīng)使飛行器的速度由％增加到〃0，t行器從發(fā)動(dòng)

機(jī)取得的能量

4=g〃*一；相詔一;〃=5（11）

假設(shè)飛行器從其圓周軌道上直接飛出太陽(yáng)系，飛行器應(yīng)具有的最小速度為%，則有

由此得

〃3=J2G等=夜%(12)

飛行器的速度由“增加到“3,應(yīng)從發(fā)動(dòng)機(jī)獲取的能量為

七2二3，〃后一9〃點(diǎn)=：加店門3)

所以

52

pT7wvo

‘■二畢一=0.71(14)

E.I2

2%叫

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：此題25分

1.18分。其中(5)式6分，求得(6)式，說(shuō)明飛行器能被小行星碰撞給3分；(8)式5

分；得到(10)式，說(shuō)明飛行器被小行星碰撞后能飛出太陽(yáng)系給4分。

2.7分。其中(11)式3分，(13)式3分，求得(14)式再給1分。

五、參考解答

解法■：

帶電質(zhì)點(diǎn)靜止釋放時(shí)，受重力作用做自由落體運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它到達(dá)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，速度為

V1=J2g|y|=2.0m?s-1(1)

方向豎直向下.帶電質(zhì)點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)后，除受重力作用外，還受到洛倫茲力作用，質(zhì)點(diǎn)速度的

大小和方向都將變化，洛倫茲力的大小和方向亦隨之變化.我們可以設(shè)想，在帶電質(zhì)點(diǎn)到達(dá)

原點(diǎn)時(shí)，給質(zhì)點(diǎn)附加上沿x軸正方向和負(fù)方向兩個(gè)大小都是%的初速度，由于這兩個(gè)方向相

反的速度的合速度為零，因而不影響帶電質(zhì)點(diǎn)以后的運(yùn)動(dòng).在，=0時(shí)刻，帶電質(zhì)點(diǎn)因具有沿x

軸正方向的初速度”而受洛倫茲力力的作用。

f\=q%B⑵

其方向與重力的方向相反.適中選擇%的大小，使力等于重力，即

q%B=mg⑶

—&—=2.0mJ

%(4)

((//ni)B

只要帶電質(zhì)點(diǎn)保持(4)式?jīng)Q定的％沿工軸正方向運(yùn)動(dòng)，力與重力的合力永遠(yuǎn)等于零.但此時(shí),

位于坐標(biāo)原點(diǎn)的帶電質(zhì)點(diǎn)還具有豎直向下的速度匕和沿x軸負(fù)方向的速度”,二者的合成速

度大小為

v=+vf=2.8m-s11.5J

方向指向左下方，設(shè)它與k軸的負(fù)方向的夾角為a,如圖復(fù)解17-5-1所示，則

a=-(6)

4

因而帶電質(zhì)點(diǎn)從f=0時(shí)刻起的運(yùn)動(dòng)可以看做是速率為%,沿x軸的正方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和

在xOy平面內(nèi)速率為v的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合成.圓周半徑

R=——=0.56m(7)

qB

帶電質(zhì)點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)瞬間所對(duì)應(yīng)的圓周運(yùn)動(dòng)的圓心。'位于垂直于質(zhì)點(diǎn)此時(shí)速度y的直線上，由

圖復(fù)解17-5T可知，其坐標(biāo)為

A.=Rsina-0.40m

n(8)

yo,=Reosa=0.40m

圓周運(yùn)動(dòng)的角速度

69=—=5.()rad-s-1(9)

R

由圖復(fù)解17-57可知，在帶電質(zhì)點(diǎn)離開磁場(chǎng)區(qū)域前的任何時(shí)刻f,質(zhì)點(diǎn)位置的坐標(biāo)為

x=vot-[/?sin(fy/+a)-x0.](10)

y=yo.-Rcos(在+a)(11)

式中“、R、cosa、x。,、已分別由(4)、(7)、(9)、(6)、(8)各式給出。

帶電質(zhì)點(diǎn)到達(dá)磁場(chǎng)區(qū)域下邊界時(shí)，y-L-0.80m,代入(11)式，再代入有關(guān)數(shù)值，解

得

r=0.31s(12)

將(12)式代入(10)式，再代入有關(guān)數(shù)值得

x=0.63m(13)

所以帶電質(zhì)點(diǎn)離開磁場(chǎng)下邊界時(shí)的位置的坐標(biāo)為

x=0.63my=0.80mz=0(14)

帶電質(zhì)點(diǎn)在磁場(chǎng)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)可分解成?個(gè)速率為v的勻速圓周運(yùn)動(dòng)和?個(gè)速率為"的沿x

軸正方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)，任何時(shí)刻，帶電質(zhì)點(diǎn)的速度V便是勻速圓周運(yùn)動(dòng)速度u與勻速直

線運(yùn)動(dòng)的速度％的合速度.假設(shè)圓周運(yùn)動(dòng)的速度在x方向和y方向的分量為匕、則質(zhì)點(diǎn)

合速度在彳方向和)，方向的分速度分別為

Vx=vx+vQ(15)

V=v..(16)

雖然+H=叭n由(5)式?jīng)Q定，具大小是恒定不變的，%由(4)式?jīng)Q定，也是恒定不

變的，但在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中因u的方向不斷變化，它在工方向和)，方向的分量匕和勺都隨時(shí)

間變化，因此匕和匕,也隨時(shí)間變化，取決于所考察時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)速度的方向，由于圓

周運(yùn)動(dòng)的圓心的y坐標(biāo)恰為磁場(chǎng)區(qū)域?qū)挾鹊囊话耄蓪?duì)稱性可知，帶電質(zhì)點(diǎn)離開磁場(chǎng)下邊緣時(shí),

圓周運(yùn)動(dòng)的速度方向應(yīng)指向右下方，與/軸正方向夾角優(yōu)=工，故代入數(shù)值得

將以上兩式及(5)式代入(15)、(16)式，便得帶電質(zhì)點(diǎn)剛離開磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速度分量，

它們分別為

-1

Vt=4.0m-s(17)

-1

Vv=2.0m-s(18)

速度大小為…―

v

(-------oOX

V=^V；+l/2=4.5m-s-,(19)T切I一"

設(shè)V的方向與x軸的夾角為如圖復(fù)解17-5-2所示，II

則％T

得尸=27。(20)iL

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：此題25分\

⑷式5分，求得⑸、(6)式各給3分，求得110)、、、B匕

[11)式各給2分，”4)式3分，(19)式5分，求-pi*?-

得(20)式再給2分。尸匕12X!V

解法二：圖復(fù)解17-5-2

假設(shè)以帶電質(zhì)點(diǎn)到達(dá)坐標(biāo)原點(diǎn)o的時(shí)刻作為起始--

時(shí)刻(r=o),則質(zhì)點(diǎn)的初速度為

Vi=12g|y|=2.()m-s-1(T)

方向沿)，軸正方向.進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)后，帶電質(zhì)點(diǎn)將受到洛倫茲力作用，洛倫茲力在x方向的分力

取決于質(zhì)點(diǎn)在y方向的分速度，因此質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量在x方向的分量的增量為

△吸=qvyB't=qBby(2')

△.y是帶電質(zhì)點(diǎn)在&時(shí)間內(nèi)沿y方向的位移，質(zhì)點(diǎn)在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中，此式對(duì)每一段

△，時(shí)間都成立，所以在，=0到/=/時(shí)間內(nèi)x方向的動(dòng)量的改變?yōu)?/p>

因初始時(shí)刻1=0),帶電質(zhì)點(diǎn)在x軸方向的動(dòng)量為零，其位置在原點(diǎn)，%=°，因而

得

即匕=更)，⑶)

當(dāng)帶電質(zhì)點(diǎn)具有X方向的速度后，便立即受到沿)，負(fù)方向的洛倫茲力的作用.根據(jù)牛頓第二定

律，在)，方向上有加速度旬

mav=mg-qvxB(40

將13'）式代入（49式，得

令）/=）,一。⑹）

式中

〃/g

D=g=0.40m⑺

("〃?)2爐

即在y方向作用于帶電質(zhì)點(diǎn)的合力

其中女=適

m

4是準(zhǔn)彈性力，在弓作用下，帶電質(zhì)點(diǎn)在歹方向的運(yùn)均是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)的圓頻率

，隨時(shí)間變化的規(guī)律為

y'=Acos（。/+仰）（9，）

或

y'=Acos（3/+00）+O（10'）

4與死是待求的常量，質(zhì)點(diǎn)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)可以用參考圓來(lái)描

寫，以所考察的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅A為半徑作一圓，過(guò)圓心。|

作一直角坐標(biāo)￡?！?，’.假設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)用沿此圓周做勻速率

圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的先速度等于所考察簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的角頻率①，

且按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，在/=0時(shí)刻，M點(diǎn)的在圓周上的位

置恰使連線與尸軸的夾角等于（9，）式中的常量?jī)r(jià)，

則在任意時(shí)刻/,。1與MR勺連線與歹軸的夾角等于

/1+外,于是連線在歹軸上的投影即為（9，）式所示的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，將工'軸平行下移

D=0.40m,連線在），軸的投影即如（10，）式所示（參看圖復(fù)解17-5-3）,M點(diǎn)做圓

周運(yùn)動(dòng)的速度大小y=方向與垂直，速度v的），分量就是帶電質(zhì)點(diǎn)沿），軸做簡(jiǎn)諧運(yùn)

動(dòng)的速度，即

vv=-Acos\x\（cot+（p0）（1r）

（iou和dr）兩式中的A和火可山下面的方法求得：因?yàn)樵冢?。時(shí)，帶電質(zhì)點(diǎn)位于），=（）

處，速度9=匕，把這個(gè)條件代入（i（r）式與dr）式得

解上面兩式，結(jié)合（「）、⑻）式，注意到振幅A總是正的.故得%=充

（129

A=0.56m（13，）

把（i（r）式代入（3，）式，便得帶電質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng)的速度

vx=coD+Acocos（＜wr+%）（149

（IT）式表示帶電質(zhì)點(diǎn)在工方向上的速度是由兩個(gè)速度合成的，即沿工方向的勻速運(yùn)動(dòng)速度

（oD和x方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)速度Acocos?W+例））的合成，帶電質(zhì)點(diǎn)沿x方向的勻速運(yùn)動(dòng)的位移

x'=coD!115'）

由沿x方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)速度4ycos（3+8o）可知，沿x方向振動(dòng)位移的振幅等于速度的最大值

與角頻率的比值（參看圖復(fù)解17-5-3）,即等于A.由參考圓方法可知，沿x方向的振動(dòng)的

位移爐具有如下的形式

它可能是x"=Asin（￡WE+/o）,亦可能是x"-b=Asin（+fo）.在此題中，1=0時(shí)刻，尤應(yīng)為

零，故前一表示式不符合題意.后一表示式中，人應(yīng)取的值為8=-4sin外,故有

x"=-Asin0（）+Asin（?+p0）（16f）

帶電質(zhì)點(diǎn)在x方向的合位移x=x'+x",由（15，）、（16，）式，得

r

x=（t）Dt-Asin（pl}+Asin（3f+秋））（17l

117，）、（10，）、（14，）和（11，）式分別給出了帶電質(zhì)點(diǎn)在離開磁場(chǎng)區(qū)域前任何時(shí)刻，的位

置坐標(biāo)和速度的X分量和y分量，式中常量/、A、%、。己分別由（8，）、（13，）、（120

和（7，）式給出.當(dāng)帶電質(zhì)點(diǎn)到達(dá)磁場(chǎng)的下邊界時(shí)，

y=L=-0.80m（18，）

將與（109式有關(guān)的數(shù)據(jù)代入（100式，可解得

r=0.31s（199

代入（17，）式，得

0.63m（20U

將（190式分別代入（149式與（IV）式，得

速度大小為

V=Jv：+W=4.5m.sT（2K）

速度方向?yàn)?/p>

a-arctan—=27°（22'）

Ivx）

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：此題25分

（7，）式2分，（8，）式3分，（10，）式2分，⑴，）式2分，（12，）式3分，（13，）式3分，（14，）

式2分，（17，）式3分，（2?。┦?分，（2-）式1分，（22，）式I分。

六、參考解答

1.由于光纖內(nèi)所有光線都從軸上的。點(diǎn)出發(fā)，在光纖中傳播的光線都與軸相交，位于通

過(guò)軸的縱剖面內(nèi)，圖復(fù)解17-67為縱剖面內(nèi)的光路圖，設(shè)由。點(diǎn)發(fā)出的與軸的夾角為1的光

線，射至A、8分界面的入射角為i,反射角也為i.該光線在光纖中屢次反射時(shí)的入射角均

為i,射至出射端面時(shí)的入射角為2.假設(shè)該光線折射后的折射角為6,則由幾何關(guān)系和折射

定律可得

i+a-90°（1）

〃八sina=〃尸sin。⑵

當(dāng)i大于全反射臨界角心時(shí)將發(fā)生全反射，沒有光能損失，相應(yīng)的光線將以不變的光強(qiáng)射向出

射端面，而的光線則因在發(fā)

生反射時(shí)有局部光線通過(guò)折射進(jìn)

入B,反射光強(qiáng)隨著反射次數(shù)的增

大而越火越弱，以致在未到達(dá)出射

圖復(fù)解17-6-1

端面之前就已經(jīng)衰減為零了.因而

能射向出射端面的光線的i的數(shù)值一定大于或等于左，J的值由下式?jīng)Q定

nAsinZc=nB(3)

與ic對(duì)應(yīng)的a值為

ar=90°-ir（4）