第五章　§5.5　復(fù)　數(shù)2025高考

§5.5復(fù)數(shù)章節(jié)副標(biāo)題011.通過方程的解，認識復(fù)數(shù).2.理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個復(fù)數(shù)相等的含義.3.掌握復(fù)數(shù)的四則運算，了解復(fù)數(shù)加、減運算的幾何意義.課標(biāo)要求內(nèi)容索引01第一部分

落實主干知識02第二部分

探究核心題型03課時精練落實主干知識章節(jié)副標(biāo)題021.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中

是復(fù)數(shù)z的實部，

是復(fù)數(shù)z的虛部，i為虛數(shù)單位.(2)復(fù)數(shù)的分類：復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)實數(shù)(b

0)，虛數(shù)(b

0)(當(dāng)a

0時為純虛數(shù)).ab＝≠＝(3)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?

(a，b，c，d∈R).(4)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di互為共軛復(fù)數(shù)?

(a，b，c，d∈R).(5)復(fù)數(shù)的模：向量

的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的?；蚪^對值，記作

或

，即|z|＝|a＋bi|＝

(a，b∈R).a＝c且b＝da＝c，b＝－d|z||a＋bi|2.復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R) 復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b).(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量

.3.復(fù)數(shù)的四則運算(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算法則：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝

；(a＋c)＋(b＋d)i②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝

；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝

；(a－c)＋(b－d)i(ac－bd)＋(ad＋bc)i(2)幾何意義：復(fù)數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形法則或三角形法則進行.如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義，即

＝

，

＝

.2.i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*).3.i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*).4.復(fù)數(shù)z的方程在復(fù)平面上表示的圖形(1)a≤|z|≤b表示以原點O為圓心，以a和b為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)；(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)為圓心，r為半徑的圓.1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)復(fù)數(shù)z＝0沒有共軛復(fù)數(shù).(

)(2)復(fù)數(shù)可以比較大小.(

)(3)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，當(dāng)a＝0時，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù).(

)(4)復(fù)數(shù)的模實質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離，也就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模.(

)√×××2.(必修第二冊P95T1(3)改編)已知復(fù)數(shù)z＝i3(1＋i)，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限√z＝i3(1＋i)＝－i(1＋i)＝1－i，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(1，－1)，位于第四象限.3.(2023·合肥模擬)已知i是虛數(shù)單位，若|1＋ai|＝5，則實數(shù)a等于√由z(1－i)＝i，返回4.已知復(fù)數(shù)z滿足z(1－i)＝i(i為虛數(shù)單位)，則z的虛部為________.探究核心題型章節(jié)副標(biāo)題03例1

(1)(多選)(2023·銀川模擬)若復(fù)數(shù)z滿足z(1－2i)＝10，則√√題型一復(fù)數(shù)的概念對于B，z－2＝2＋4i－2＝4i，為純虛數(shù)，故B正確；對于C，z＝2＋4i，其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(2,4)，在第一象限，故C錯誤；(2)(2024·杭州模擬)若復(fù)數(shù)z滿足z(1＋i)＝－2＋i(i是虛數(shù)單位)，則|z|等于√依題意，z(1＋i)＝－2＋i，√√√x1，x2均為虛數(shù)，不能比較大小，故B錯誤；解決復(fù)數(shù)概念問題的方法及注意事項(1)復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)點的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可.(2)解題時一定要先看復(fù)數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部.跟蹤訓(xùn)練1

(1)(多選)下面是關(guān)于復(fù)數(shù)z＝－1－i(i為虛數(shù)單位)的命題，其中真命題為A.|z|＝2B.z2＝2iC.z的共軛復(fù)數(shù)為1＋iD.z的虛部為－1√√B選項，z2＝(－1－i)2＝1＋2i＋i2＝2i，B正確；C選項，z的共軛復(fù)數(shù)為－1＋i，C錯誤；D選項，z的虛部為－1，D正確.(2)(2023·淄博模擬)若復(fù)數(shù)z＝

的實部與虛部相等，則實數(shù)a的值為A.－3 B.－1 C.1 D.3√所以2a＋1＝a－2，解得a＝－3，故實數(shù)a的值為－3.(3)(2023·懷化模擬)若復(fù)數(shù)z是x2＋x＋1＝0的根，則|z|等于√∵x2＋x＋1＝0，綜上，|z|＝1.A.－i B.i C.0 D.1√題型二復(fù)數(shù)的四則運算(2)(多選)(2023·忻州模擬)下列關(guān)于非零復(fù)數(shù)z1，z2的結(jié)論正確的是A.若z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)，則z1·z2∈RB.若z1·z2∈R，則z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)√√設(shè)z1＝a＋bi(a，b∈R)，由z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)，得z2＝a－bi，則z1·z2＝a2＋b2∈R，故A正確；當(dāng)z1＝2＋2i，z2＝1－i時，z1·z2＝4∈R，此時z1，z2不是共軛復(fù)數(shù)，故B錯誤；由z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)，得|z1|＝|z2|，(1)復(fù)數(shù)的乘法：復(fù)數(shù)乘法類似于多項式的乘法運算.(2)復(fù)數(shù)的除法：除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù).跟蹤訓(xùn)練2

(1)(2022·新高考全國Ⅱ)(2＋2i)(1－2i)等于A.－2＋4i B.－2－4iC.6＋2i D.6－2i√(2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i＋4＝6－2i.(2)(2023·濟寧模擬)已知復(fù)數(shù)z滿足z·i3＝1－2i，則

的虛部為A.1 B.－1 C.2 D.－2√∵z·i3＝1－2i，∴－zi＝1－2i，√題型三復(fù)數(shù)的幾何意義(2)(2023·邢臺模擬)已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，且|z－i|＝|z＋2－i|，則|z－3＋

i|的最小值為A.5 B.4 C.3 D.2√因為z＝a＋bi(a，b∈R)，則z－i＝a＋(b－1)i，z＋2－i＝(a＋2)＋(b－1)i，解得a＝－1，則z＝－1＋bi，由于復(fù)數(shù)、點、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，因此可以把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀.跟蹤訓(xùn)練3

(1)在復(fù)平面內(nèi)，O為坐標(biāo)原點，復(fù)數(shù)z1＝i(－4＋3i)，z2＝7＋i對應(yīng)的點分別為Z1，Z2，則∠Z1OZ2的大小為√∵z1＝i(－4＋3i)＝－3－4i，z2＝7＋i，(2)(2023·太原模擬)已知復(fù)數(shù)z滿足|z－2|＝1，則|z－i|的最小值為√設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，所以(x－2)2＋y2＝1，即z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡為圓C：(x－2)2＋y2＝1，如圖，返回課時精練章節(jié)副標(biāo)題0412345678910111213141516一、單項選擇題1.已知a，b∈R，a＋3i＝(b＋i)i(i為虛數(shù)單位)，則A.a＝1，b＝－3 B.a＝－1，b＝3C.a＝－1，b＝－3 D.a＝1，b＝3√因為a＋3i＝(b＋i)i＝－1＋bi，所以a＝－1，b＝3.123456789101112131415162.(2023·西安模擬)已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z－i＝

，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為A.2 B.－2 C.2i D.－2i√12345678910111213141516所以z＝2，所以復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為2.123456789101112131415163.如果一個復(fù)數(shù)的實部和虛部相等，則稱這個復(fù)數(shù)為“等部復(fù)數(shù)”，若復(fù)數(shù)z＝(2＋ai)i(其中a∈R)為“等部復(fù)數(shù)”，則復(fù)數(shù)

＋ai在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限√12345678910111213141516∵z＝(2＋ai)i＝－a＋2i，又∵“等部復(fù)數(shù)”的實部和虛部相等，復(fù)數(shù)z為“等部復(fù)數(shù)”，∴－a＝2，解得a＝－2，12345678910111213141516√12345678910111213141516復(fù)數(shù)z1＝a＋i，z2＝1－2i，解得a＝2，即z1＝2＋i，123456789101112131415165.已知m，n為實數(shù)，1－i(i為虛數(shù)單位)是關(guān)于x的方程x2－mx＋n＝0的一個根，則m＋n等于A.0 B.1 C.2 D.4√由1－i是關(guān)于x的方程x2－mx＋n＝0的一個根，則1＋i是關(guān)于x的方程x2－mx＋n＝0的一個根，則m＝1－i＋1＋i＝2，n＝(1－i)×(1＋i)＝2，即m＝2，n＝2，則m＋n＝4.123456789101112131415166.(2023·齊齊哈爾模擬)已知復(fù)數(shù)z1與z＝3＋i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱，則

等于A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i√因為復(fù)數(shù)z1與z＝3＋i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱，所以z1＝3－i，123456789101112131415167.(2024·滄州模擬)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z－1＋i|＝2，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(x，y)，則A.(x＋1)2＋(y－1)2＝4 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4C.(x－1)2＋(y－1)2＝4 D.(x－1)2＋(y＋1)2＝4√復(fù)數(shù)z滿足z＝x＋yi(x，y∈R)，則|x－1＋(y＋1)i|＝2，∴(x－1)2＋(y＋1)2＝4.8.(2023·貴陽模擬)歐拉公式exi＝cosx＋isinx由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論占有非常重要的地位，被譽為數(shù)學(xué)中的天橋.依據(jù)歐拉公式，下列選項中不正確的是A.對應(yīng)的點位于第二象限B.為純虛數(shù)√12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516二、多項選擇題9.(2023·衡陽模擬)已知i為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論中正確的是A.i＋i2＋i3＋i4＝0B.3＋i>1＋iC.若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，則|z|2＝z2D.復(fù)數(shù)－2－i的虛部為－1√√12345678910111213141516對于A，由虛數(shù)的運算性質(zhì)，可得i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0，故A正確；對于B，虛數(shù)不能比較大小，故B不正確；對于C，當(dāng)z＝i時，|z|2＝1，z2＝－1，此時|z|2≠z2，故C不正確；對于D，根據(jù)復(fù)數(shù)的概念，可得復(fù)數(shù)－2－i的虛部為－1，故D正確.12345678910111213141516√√√12345678910111213141516對于C，當(dāng)z1＝3＋4i，z2＝5時，|z1|＝|z2|＝5，但是z1≠±z2，故C錯誤；12345678910111213141516三、填空題1234567891011121314151612.寫出一個同時滿足①②的復(fù)數(shù)z＝________.因為z?R，不妨設(shè)z＝bi(b∈R，b≠0)，則(bi)3＝－b3i＝－bi，解得b＝±1，即z＝±i符合.i(或－i)12345678910111213141516∴z＝－1＋i.－1＋i1234567891011121314151614.(2023·成都檢測)已知|z|＝