第八章　§8.6　雙曲線2025高考

§8.6雙曲線章節(jié)副標(biāo)題011.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程.2.掌握雙曲線的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、漸近線、離心率).3.了解雙曲線的簡單應(yīng)用.課標(biāo)要求第一部分落實主干知識第二部分探究核心題型課時精練內(nèi)容索引落實主干知識章節(jié)副標(biāo)題021.雙曲線的定義把平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的

等于非零常數(shù)(_____|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的

，兩焦點間的距離叫做雙曲線的

.絕對值小于焦點焦距注意：(1)若將“小于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”，其余條件不變，此時動點的軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點的兩條射線(包括端點)；若將其改為“大于|F1F2|”，其余條件不變，此時動點軌跡不存在.(2)若將絕對值去掉，其余條件不變，則動點的軌跡是雙曲線的一支.(3)若將“等于非零常數(shù)”改為“等于零”，則此時動點的軌跡是線段F1F2的垂直平分線.標(biāo)準(zhǔn)方程圖形

性質(zhì)焦點________________________________________焦距__________F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)|F1F2|＝2c2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程性質(zhì)范圍

或

，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R對稱性對稱軸：

；對稱中心：_____頂點________________________________________軸實軸：線段

，長：

；虛軸：線段B1B2，長：

，實半軸長：

，虛半軸長：___x≤－ax≥a坐標(biāo)軸原點A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)A1A22a2bab標(biāo)準(zhǔn)方程性質(zhì)漸近線________________離心率a，b，c的關(guān)系c2＝

(c>a>0，c>b>0)(1，＋∞)a2＋b21.雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b.2.若P是雙曲線右支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)平面內(nèi)到點F1(0,4)，F(xiàn)2(0，－4)的距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線.(

)××√√A.－1<k<5 B.k>5C.k<－1 D.k≠－1或5√若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線，3.(選擇性必修第一冊P127T3改編)雙曲線9y2－16x2＝144的漸近線方程是________.返回4.(選擇性必修第一冊P127T1改編)設(shè)P是雙曲線

＝1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，若|PF1|＝9，則|PF2|＝______.17根據(jù)雙曲線的定義得||PF1|－|PF2||＝8，因為|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.探究核心題型章節(jié)副標(biāo)題03例1

(1)(多選)(2024·邵陽模擬)已知點P為定圓O上的動點，點A為圓O所在平面上異于點O的定點，線段AP的垂直平分線交直線OP于點Q，則點Q的軌跡可能是A.一個點

B.直線C.橢圓

D.雙曲線√√√題型一雙曲線的定義分以下幾種情況討論：設(shè)定圓O的半徑為R，①當(dāng)點A在圓O上，連接OA(圖略)，則|OA|＝|OP|，所以點O在線段AP的垂直平分線上，由垂直平分線的性質(zhì)可知|AQ|＝|PQ|.又因為點Q是線段AP的垂直平分線與OP的公共點，此時點Q與點O重合，此時，點Q的軌跡為圓心O，故A正確；②當(dāng)點A在圓O內(nèi)，且點A不與圓心O重合，連接AQ(圖略)，由垂直平分線的性質(zhì)可得|QA|＝|QP|，所以|QA|＋|QO|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝R>|OA|，此時，點Q的軌跡是以點A，O為焦點，且長軸長為R的橢圓，故C正確；③當(dāng)點A在圓O外，連接AQ(圖略)，由垂直平分線的性質(zhì)可得|QA|＝|QP|，所以||QA|－|QO||＝||QP|－|QO||＝|OP|＝R<|OA|，此時，點Q的軌跡是以點A，O為焦點，且實軸長為R的雙曲線，故D正確.(2)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點，點P在C上，∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積為_______.不妨設(shè)點P在雙曲線的右支上，∴|PF1|·|PF2|＝8，圓錐曲線的第二定義平面內(nèi)到一個定點和相應(yīng)一條定直線l的距離之比為常數(shù)e的點的軌跡：(1)當(dāng)0<e<1時，軌跡為橢圓.(2)當(dāng)e>1時，軌跡為雙曲線.①定點為焦點，定直線l叫準(zhǔn)線，左焦點對應(yīng)左準(zhǔn)線，右焦點對應(yīng)右準(zhǔn)線.∵c＝2，故a＝4，∴b2＝a2－c2＝12，由雙曲線第二定義知，在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合||PF1|－|PF2||＝2a，運用平方的方法，建立與|PF1|·|PF2|的聯(lián)系，利用三角形的面積公式求解.對于選擇題或填空題直接利用焦點三角形的面積公式計算即可.跟蹤訓(xùn)練1

(1)已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為√設(shè)動圓M的半徑為r，由動圓M同時與圓C1和圓C2相外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝2<6，所以動圓圓心M的軌跡是以點C1(－3,0)和C2(3,0)為焦點的雙曲線的左支，且2a＝2，解得a＝1，又c＝3，則b2＝c2－a2＝8，√所以|PF1|＝|PF2|＋4，√題型二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓C的焦點坐標(biāo)為(0，±2)，√因為PF1的中點為Q，△PF2Q為等邊三角形，所以|F1Q|＝|F2Q|＝|F2P|＝|PQ|，所以∠PF2Q＝60°，∠F1F2Q＝30°，故PF2⊥F1F2，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法：由題目條件判斷出動點軌跡是雙曲線，確定2a,2b或2c，從而求出a2，b2.跟蹤訓(xùn)練2

(1)(2024·榆林模擬)江西景德鎮(zhèn)青花瓷始創(chuàng)于元代，到明清兩代達到了頂峰，它藍(lán)白相映怡然成趣，晶瑩明快，美觀雋永.現(xiàn)有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦點在x軸上的雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面，如圖所示.若該花瓶的瓶身最小的直徑是4，瓶口和底面的直徑都是8，瓶高是6，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是√由題意可知該雙曲線的焦點在x軸上，實軸長為4，點(4,3)在該雙曲線上.依題意作圖，如圖所示，∴△OPF1是等腰三角形，|OP|＝|OF1|＝c，又|OF2|＝c，∴△F1PF2的外接圓是以O(shè)為圓心，|OF1|＝c為半徑的圓，∴F1P⊥PF2，根據(jù)雙曲線的定義有|PF1|－|PF2|＝2a，命題點1

漸近線例3

(1)(2023·連云港模擬)若雙曲線經(jīng)過點(1，

)，其漸近線方程為y＝±2x，則雙曲線的方程是____________.4x2－y2＝1題型三雙曲線的幾何性質(zhì)綜上，雙曲線的方程為4x2－y2＝1.方法二由題可設(shè)雙曲線方程為4x2－y2＝λ(λ≠0)，∴雙曲線方程為4x2－y2＝1.即bx－ay＝0，√命題點2離心率√如圖所示，雙曲線C的左焦點F1(－c,0)，|DF1|＝b，由勾股定理得|OD|＝a，求雙曲線的離心率時，將提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝

轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(或不等式)，通過解方程(或不等式)求得離心率的值(或范圍).√所以雙曲線的一條漸近線不妨取y＝2x，即2x－y＝0，e2＝________.因為直線l過點(0，b)和雙曲線E的右焦點F(c,0)，整理得b2c2＝a2(b2＋c2)，又b2＝c2－a2，所以(c2－a2)c2＝a2(2c2－a2)，即c4－3a2c2＋a4＝0，返回課時精練章節(jié)副標(biāo)題0412345678910111213141516√一、單項選擇題12345678910111213141516∵2a＝4，∴a2＝4，當(dāng)m>0時，2m＝4，m＝2；當(dāng)m<0時，－m＝4，m＝－4.√12345678910111213141516123456789101112131415163.若雙曲線

－y2＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P為圓x2＋y2＝4與此雙曲線的一個公共點，則△PF1F2的面積為A.4

B.3

C.2

D.1√所以線段F1F2是圓x2＋y2＝4的直徑，因此PF1⊥PF2，1234567891011121314151612345678910111213141516√12345678910111213141516聯(lián)立解得c＝3，即2c＝6.5.(2023·洛陽模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的頂點A(－3,0)，B(3,0)，其內(nèi)切圓圓心在直線x＝2上，則頂點C的軌跡方程為12345678910111213141516√如圖，設(shè)△ABC的邊AC，AB，BC與內(nèi)切圓的切點分別為D，E，F(xiàn)，則有|AD|＝|AE|＝5，|BF|＝|BE|＝1，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝5－1＝4.根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A，B為焦點，實軸長為4的雙曲線的右支(右頂點除外)，即c＝3，a＝2，又c2＝a2＋b2，所以b2＝5，1234567891011121314151612345678910111213141516√設(shè)點B位于第一象限，如圖所示，又因為O為F1F2的中點，則OA∥F2B，所以O(shè)A⊥BF1，所以|OB|＝|OF1|，則∠AOF1＝∠AOB，又因為∠AOF1＝∠BOF2，所以∠AOF1＋∠AOB＋∠BOF2＝3∠BOF2＝π，1234567891011121314151612345678910111213141516二、多項選擇題7.(2023·江門模擬)已知曲線C：x2sinα＋y2cosα＝1(0≤α<π)，則下列說法正確的是A.若曲線C表示兩條平行線，則α＝0√√12345678910111213141516若曲線C表示兩條平行線，則有sinα＝0或cosα＝0，且0≤α<π.若sinα＝0，則α＝0，此時曲線C的方程為y2＝1，可得y＝－1或y＝1，符合題意，此時曲線C的方程為x2＝1，可得x＝－1或x＝1，符合題意，故A錯；若曲線C表示雙曲線，則sinαcosα<0，由于0≤α<π且sinα≠0，則sinα>0，123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516此時，曲線C表示焦點在x軸上的橢圓，故D對.√√12345678910111213141516如圖所示，若△ABF1為直角三角形，由雙曲線的對稱性可知，AF1⊥BF1，且|AF1|＝|BF1|.設(shè)|AF2|＝m，則由雙曲線的定義得|AF1|＝|BF1|＝|AF2|＋2a＝2＋m，|AB|＝2m.所以在Rt△ABF1中，由勾股定理得(2＋m)2＋(2＋m)2＝4m2.1234567891011121314151612345678910111213141516|AF1|·|BF1|＝|AB|·|F1F2|，12345678910111213141516123456789101112131415162三、填空題12345678910111213141516所以雙曲線的實軸長為2a＝2.1234567891011121314151610.雙曲線的一條漸近線方程為x＋2y＝0，且焦距為10，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_______________________.依題意，2c＝10，∴c＝5，解得b2＝5，a2＝20，1234567891011121314151612345678910111213141516解得b2＝20，a2＝5，11.從某個角度觀察籃球(如圖1)，可以得到一個對稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形狀為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線的一部分，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，且AB＝BC＝CD＝2，設(shè)AD所在直線為x軸，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________.12345678910111213141516易知a＝1，又坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，1234567891011121314151612345678910111213141516因為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，B(0，b)，又因為|F2A|＝|F1F2|，1234567891011121314151612345678910111213141516整理得2c2－4ac＋a2＝0，即2e2－4e＋1＝0，四、解答題12345678910111213141516(1)求雙曲線C的方程；12345678910111213141516345678910111213141516(2)求雙曲線C的實軸長、離心率、焦點到漸近線的距離.1205123456789101112131415161234567891011121314151614.已知點F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：x2－

＝1(b>0)的左、右焦點，過F2作垂直于x軸的直線，在x軸的上方交雙曲線C于點M，且∠MF1F2＝30°.(1)求雙曲線C的方程；12345678910111213141516在Rt△MF1F2中，因為∠MF1F2＝30°，12345678910111213141516設(shè)兩條漸近線在第一、四象限的夾角為θ，12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151615.(2023·咸陽模擬)雙曲線C：

＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2作F1F2的垂線，交雙曲線于A，B兩點，D是雙曲線的右頂點，連接AD，BD并延長，分別交y軸于點M，N.若點P(－3a,0)在以MN為直徑的圓上，則雙曲線C