廣東省中山市第二中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月月考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

中山市第二中學(xué)高二第二學(xué)期第一次段考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8題，每小題5分，共計(jì)40分.每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是最符合題目要求的）1.下列求導(dǎo)運(yùn)算結(jié)果不正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求解可判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤.【詳解】，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C正確；，故D正確.故選：A.2.函數(shù)的極大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到極大值.【詳解】由題意得.由，得；由，得或.則在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故極大值.故選：C3.函數(shù)的大致圖象是（）A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)的零點(diǎn)和極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可判斷作答.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，由得或，即有兩個(gè)零點(diǎn)，排除A；求導(dǎo)得：，由得：或，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，排除C，D，選項(xiàng)B符合要求.故選：B4.近日，各地有序開展新冠疫苗加強(qiáng)針接種工作，某社區(qū)疫苗接種點(diǎn)為了更好的服務(wù)市民，決定增派5名醫(yī)務(wù)工作者參加登記?接種?留觀3項(xiàng)工作，每人參加1項(xiàng)，接種工作至少需要2人參加，登記?留觀至少1人參加，則不同的安排方式有（）A.50 B.80 C.140 D.180【答案】B【解析】【分析】不同的安排方式分成兩類，再求出每一類中的安排方式即可作答.【詳解】不同的安排方式有兩類辦法，有3人參加接種工作的安排方式有種，有2人參加接種工作的安排方式有種，由分類加法計(jì)數(shù)原理得不同的安排方式有：種.故選：B.5.男女六位同學(xué)站成一排，則位女生中有且只有兩位女生相鄰的不同排法種數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先選個(gè)女生捆綁看做整體，然后將男生全排列以后再將女生插空即可.【詳解】由題意，先選個(gè)女生捆綁看做一個(gè)整體：，然后將男生全排列再將女生插空：，所以不同的排法有種.故選：B.6.從中任取3個(gè)數(shù)字，從中任取2個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)，則這樣的五位數(shù)共有（）A.252 B.396 C.468 D.612【答案】C【解析】【分析】滿足條件的五位數(shù)可分為兩類，第一類含0，第二類不含0，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理和分類加法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】滿足條件的五位數(shù)可分為兩類，第一類含0，先由2,4,6中任選兩個(gè)數(shù)，再從1,3,5中任選2個(gè)數(shù)，有種選法，最后將所選的數(shù)與0排成五位奇數(shù)有種排法，故滿足條件的數(shù)共個(gè)，第二類不含0，先由2,4,6中任選三個(gè)數(shù)，再從1,3,5中任選2個(gè)數(shù)，有種選法，最后將所選的數(shù)排成五位奇數(shù)有種排法，故滿足條件的數(shù)共個(gè)，故滿足條件的五位數(shù)共個(gè)，即468個(gè)，故選：C.7.若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn),所以當(dāng)曲線在點(diǎn)P的切線與直線平行時(shí)，點(diǎn)P到直線的距離的最小，直線的斜率為1，由，解得或（舍）.所以曲線與直線的切點(diǎn)為.點(diǎn)到直線的距離最小值是.選C.8.十八世紀(jì)，數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了公式…，其中，若，下列選項(xiàng)中與的值最接近的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】已知式兩邊同時(shí)求導(dǎo)，然后令代入，并結(jié)合角的變換，誘導(dǎo)公式變形可得．【詳解】因?yàn)椤?，令得，即．故選：A．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3題，每小題6分，共計(jì)18分.每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中有多項(xiàng)是符合題目要求的，多選或錯(cuò)選不得分）9.已知函數(shù)，則（）A.B.在上為增函數(shù)C.在上為減函數(shù)D.的最小值為【答案】BD【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算，可判斷A;根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可判斷B,C;利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的最小值，可判斷D.【詳解】因?yàn)椋?所以A不正確；因?yàn)闀r(shí),，故在上為增函數(shù)，所以B正確；因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且時(shí)，，故在上為減函數(shù)，所以C不正確：因?yàn)榈亩x域?yàn)椋以?0,1)上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，所以D正確,故選：BD．10.現(xiàn)安排高二年級(jí)A，B，C三名同學(xué)到甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，每名同學(xué)只能選擇一個(gè)工廠，且允許多人選擇同一個(gè)工廠，則下列說法正確的是（）A.所有可能的方法有種B.若工廠甲必須有同學(xué)去，則不同的安排方法有37種C.若同學(xué)A必須去工廠甲，則不同的安排方法有16種D.若三名同學(xué)所選工廠各不相同，則不同的安排方法有24種【答案】BCD【解析】【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理判斷AC選項(xiàng)的正確性，利用分類加法計(jì)數(shù)原理以及組合數(shù)計(jì)算判斷B選項(xiàng)的正確性，利用排列數(shù)計(jì)算判斷D選項(xiàng)的正確性.【詳解】所有可能的方法有種，A錯(cuò)誤.對(duì)于B，分三種情況：第一種：若有1名同學(xué)去工廠甲，則去工廠甲的同學(xué)情況為，另外兩名同學(xué)的安排方法有種，此種情況共有種，第二種：若有兩名同學(xué)去工廠甲，則同學(xué)選派情況有，另外一名同學(xué)的排法有3種，此種情況共有種，第三種情況，若三名同學(xué)都去工甲，此種情況唯一，則共有種安排方法，B正確.對(duì)于C，若A必去甲工廠，則B，C兩名同學(xué)各有4種安排，共有種安排，C正確.對(duì)于D，若三名同學(xué)所選工廠各不同，則共有種安排，D正確.故答案為：BCD11.已知函數(shù)（a，b，），則（）A.若，則曲線在處的切線方程為B.若，，，則函數(shù)在區(qū)間上的最大值為C.若，，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是D.若，，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)c的取值范圍【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，切線方程對(duì)于B，在區(qū)間上的單調(diào)性得解對(duì)于C，在區(qū)間上恒成立的取值范圍對(duì)于D，在區(qū)間內(nèi)存在兩個(gè)不同的根函數(shù)和的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，的單調(diào)性→作出和的大致圖象得解【詳解】對(duì)于A，，得，且，所以，所以曲線在處的切線方程為，即，所以A正確.對(duì)于B，，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，且易知，所以當(dāng)時(shí)，，所以B不正確.對(duì)于C，，定義域?yàn)椋?因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，而當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?，所以，所以C正確.對(duì)于D，，所以，定義域?yàn)?，在區(qū)間內(nèi)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)于關(guān)于x的方程即在區(qū)間內(nèi)存在兩個(gè)不同的根.令，則原問題等價(jià)于函數(shù)和的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，，所以由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，（作出函數(shù)和的大致圖象，如圖所示由圖可得，所以D正確故選：ACD.三、填空題（每小題5分，共計(jì)15分）12.已知函數(shù)在處可導(dǎo)，若＝1，則_______．【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義分析即可.【詳解】即故答案：.13.已知函數(shù)，若不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________【答案】【解析】【分析】用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性解不等式.【詳解】由得，，所以在上為減函數(shù)，由得，解得或.故答案為：14.已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿足f（1）＝3，且f(x)的導(dǎo)數(shù)在R上恒有<2(x∈R)，則不等式f(x)<2x＋1的解集為______.【答案】【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)＝f(x)－2x－1，則原不等式可化為.利用導(dǎo)數(shù)判斷出g(x)在R上為減函數(shù)，直接利用單調(diào)性解不等式即可【詳解】令g(x)＝f(x)－2x－1，則g（1）＝f（1）－2－1＝0.所以原不等式可化為.因?yàn)?，所以g(x)在R上為減函數(shù).由解得：x>1.故答案為：.四、解答題（本題共5題，共77分，解答題需寫出必要的解題過程或文字說明，）15.從A，B，C等8人中選出5人排成一排．（1）A必須在內(nèi)，有多少種排法？（2）A，B，C三人不全在內(nèi)，有多少種排法？（3）A，B，C都在內(nèi)，且A，B必須相鄰，C與A，B都不相鄰，有多少種排法？【答案】（1）4200種（2）5520種（3）240種【解析】【分析】（1）先依次求出從余下的7人中選4人、選出的4人與A進(jìn)行全排列的方法數(shù)，再依據(jù)分布乘法計(jì)數(shù)原理即可得解.（2）先求出8人中任選5人的排列數(shù)，再求出8人中任選5人A，B，C三人全在內(nèi)的排法，從而用8人中任選5人的排列數(shù)減去A，B，C三人全在內(nèi)的結(jié)果即可得解.（3）先求余下5人中選2人的排法，接著依據(jù)題意先將A、B進(jìn)行排列、再將選出的2人進(jìn)行全排列，然后再求出將A、B這個(gè)整體與C插入至所選出的2人所產(chǎn)生的3個(gè)空位中的其中2個(gè)的排列數(shù)，最后根據(jù)分布乘法計(jì)數(shù)原理將前面幾步所得結(jié)果乘起來即可得解.【小問1詳解】由題意，先從余下的7人中選4人共有種不同結(jié)果，再將選出的4人與A進(jìn)行全排列有種不同的排法，故由乘法原理可知共有種不同排法.【小問2詳解】從8人中任選5人排列共有種不同排法，A，B，C三人全在內(nèi)有種不同排法，所以由間接法可得A，B，C三人不全在內(nèi)共有種不同排法.【小問3詳解】因A，B，C都在內(nèi)，所以只需從余下5人中選2人有種不同結(jié)果，A、B必須相鄰，有種不同排法，由于C與A，B都不相鄰，先將選出的2人進(jìn)行全排列共有種不同排法，再將A、B這個(gè)整體與C插入至所選出的2人所產(chǎn)生的3個(gè)空位中其中2個(gè)有種不同排法，由乘法原理可得共有種不同排法.16.（1）解不等式：，；（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)排列數(shù)公式可得出關(guān)于的不等式組，結(jié)合可求得原不等式的解集；（2）根據(jù)組合數(shù)公式結(jié)合題干條件可得出關(guān)于的等式，結(jié)合的范圍可求得的值.【詳解】解：（1）因?yàn)?，則，由題意可知，所以，，即，解得，又因?yàn)椋獾?，所以，又因?yàn)?，所以原不等式的解集為；?）因?yàn)?，所以，，所以，，所以，所以，解得或（舍），所?17.已知函數(shù)在x＝1處取得極值．（1）求a的值；（2）求f（x）在區(qū)間[－4，4]上的最大值和最小值．【答案】（1）9；（2）最大值為76，最小值為－5.【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用在處取得極值，，求解即可．（2）求出．判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解極值，求解端點(diǎn)值，推出最值即可．【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以．因?yàn)樵趚＝1處取得極值，所以，即，解得經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意．（2）由（1）得．所以．令，得或；令，得．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為．所以的極大值為，極小值為又，，所以所以的最大值為76，最小值為18.如圖，已知海島A到海岸公路BC的距離AB為50km，B，C間的距離為10km，從A到C，先乘船，船速為25km/h，再乘汽車，車速為50km//h，問：登陸點(diǎn)選在何處，所用時(shí)間最少？【答案】登陸點(diǎn)在點(diǎn)處，所用時(shí)間最少【解析】【分析】設(shè)出登陸點(diǎn)，計(jì)算出所用時(shí)間的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得取得最小值時(shí)的登陸點(diǎn).【詳解】設(shè)登陸點(diǎn)為，且距離為，，所以所需時(shí)間函數(shù)，，，由于，所以，在上遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)登陸點(diǎn)在點(diǎn).19.已知函數(shù).（1）若函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，求函數(shù)的極值；（2）若，對(duì)于任意，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）極小值，極大值為；（2）.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)題意得，列出等式求解a即可寫出的解析式，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性從而求極值；（2）根據(jù)題意可將不等式變形推出函數(shù)在上單調(diào)遞減，令，則題意可轉(zhuǎn)化在上恒成立，