江蘇省蘇州市昆山震川中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月月考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

昆山震川高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高二第一次模塊測(cè)試數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1.若＝18，則m等于（）A.9 B.8 C.7 D.6【答案】D【解析】【分析】【詳解】由A＝m(m－1)(m－2)(m－3)＝18·，得m－3＝3，m＝6.2.設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，則（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，計(jì)算出切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值及切線的斜率，在根據(jù)直線方程求出直線斜率，兩直線平行斜率相等即可求出的值.【詳解】由，得，又因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，易知直線的斜率為，又因?yàn)閮芍本€平行，所以即.故選：C3.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（）．A.， B.， C. D.，【答案】A【解析】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)小于零，解不等式可求出此函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間【詳解】由題意可得：令，即解得：或故該函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和，故選：A【點(diǎn)睛】此題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查高次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.4.若函數(shù)有最大值，則實(shí)數(shù)的值是（）A.1 B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】通過導(dǎo)數(shù)確定為臨界點(diǎn)，由的符號(hào)分類討論求解即可.【詳解】，令，得臨界點(diǎn)（因，舍去），當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)無最大值，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又因?yàn)?，所以，滿足題意，故選：.5.只用2，3，4，5四個(gè)數(shù)字組成一個(gè)五位數(shù)，規(guī)定這四個(gè)數(shù)字必須同時(shí)使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的五位數(shù)有（）A.96 B.144 C.240 D.288【答案】B【解析】【分析】由分步乘法計(jì)數(shù)原理分三步求解即可.【詳解】從2，3，4，5四個(gè)數(shù)字選個(gè)作為重復(fù)數(shù)字，共有種選法，將不重復(fù)的個(gè)數(shù)字全排列，有種排法，不重復(fù)的個(gè)數(shù)字排好后形成個(gè)空位，從中選個(gè)空位插入重復(fù)數(shù)字，共有種選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得，所以這樣的五位數(shù)有個(gè).故選：.6.如圖，直線l和圓C，當(dāng)l從l0開始在平面上繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)到（轉(zhuǎn)到角不超過90°）時(shí)，它掃過的圓內(nèi)陰影部分的面積S是時(shí)間t的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)的圖像大致是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可知：S變化情況為“一直增加，先慢后快，過圓心后又變慢”，據(jù)此確定函數(shù)的大致圖像即可.【詳解】觀察可知面積S變化情況為“一直增加，先慢后快，過圓心后又變慢”，對(duì)應(yīng)的函數(shù)的圖象是變化率先變大再變小，由此知D符合要求.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)際問題中的函數(shù)圖像，函數(shù)圖像的變化趨勢(shì)等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.7.設(shè)，，，則，，大小關(guān)系是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)的單調(diào)性可得（3），從而得到，，的大小關(guān)系．【詳解】考查函數(shù)，則，在上單調(diào)遞增，，（3），即，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查了構(gòu)造法和轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題．8.方程-lnx-2=0的根的個(gè)數(shù)為A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】令，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后結(jié)合零點(diǎn)存在定理確定方程根的個(gè)數(shù)即可.【詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；且：，，，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知函數(shù)在上存在一個(gè)零點(diǎn)，在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，方程-lnx-2=0的根的個(gè)數(shù)為2.本題選擇C選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)零點(diǎn)存在定理及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．9.將和的圖象畫在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，不正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號(hào)之間的關(guān)系判斷各選項(xiàng)中和的圖象是否合乎要求，同時(shí)也要注意特殊點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值作為切線的斜率，由此可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由函數(shù)的圖象可知，，但函數(shù)在處的切線斜率不存在，不合乎題意；對(duì)于B選項(xiàng)，由函數(shù)圖象可知，函數(shù)存在增區(qū)間，但B選項(xiàng)的圖中，函數(shù)為減函數(shù)，不合乎題意；對(duì)于C選項(xiàng)，由函數(shù)的圖象可知，函數(shù)在上為增函數(shù)，合乎題意；對(duì)于D選項(xiàng)，由函數(shù)的圖象可知，函數(shù)有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間，但D選項(xiàng)的圖中，函數(shù)有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，不合乎題意.故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系，在判斷時(shí)要注意導(dǎo)函數(shù)符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性之間的聯(lián)系，考查推理能力，屬于中等題.10.回文數(shù)是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如22，121，3443，94249等，顯然兩位回文數(shù)有9個(gè)：11，22，33，…，99；三位回文數(shù)有90個(gè)：101，111，121，…，191，202，…，999.下列說法正確的是（）A.四位回文數(shù)有90個(gè)B.四位回文數(shù)有45個(gè)C.（）位回文數(shù)有個(gè)D.（）位回文數(shù)有個(gè)【答案】AC【解析】【分析】按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.【詳解】根據(jù)題意，對(duì)于四位回文數(shù)，有1001、1111、1221、……、1991、2002、2112、2222、……、2992、……、9009、9119、9229、……、9999，其首位和個(gè)位有種選法，第二為和第三位有種選法，故共有個(gè)，則A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于位回文數(shù)，首位和個(gè)位數(shù)字有9種選法，第二位和倒數(shù)第二位數(shù)字有10種選法，……，第個(gè)數(shù)字，即最中間的數(shù)字有10種選法，則共有種選法，即（）位回文數(shù)有個(gè)，故C正確，D錯(cuò)誤故選：AC.11.定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且對(duì)恒成立.下列結(jié)論正確的是（）A.B.若，，則C.D.若，，則【答案】CD【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，然后求導(dǎo)，可得到函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)單調(diào)性判斷所給選項(xiàng)的正誤.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則因?yàn)閷?duì)恒成立，所以在上恒成立，即在上遞減，所以，即，整理得：，故A錯(cuò)；所以，即，整理得：，故C正確；對(duì)于B選項(xiàng)，若，，則在恒成立，所以整理得：，所以B錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則可得，故D正確.故選：CD.【點(diǎn)睛】本題考查利用構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性判斷不等式是否成立的問題，難度一般.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分，請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上12.現(xiàn)有5名教師要帶3個(gè)興趣小組外出學(xué)習(xí)考察，要求每個(gè)興趣小組都有帶隊(duì)教師，且?guī)ш?duì)教師至多2人，但其中甲教師和乙教師均不能單獨(dú)帶隊(duì)，則不同的帶隊(duì)方案有___________種.(用數(shù)字作答)【答案】54【解析】【分析】根據(jù)題意，甲教師和乙教師帶不帶同一隊(duì)作為分類標(biāo)準(zhǔn)，分別計(jì)算兩種情況下不同帶隊(duì)方案，最后由分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算結(jié)果即可；【詳解】根據(jù)題意可得：若甲教師和乙教師不帶同一隊(duì)，則共有種不同的帶隊(duì)方案；若甲教師和乙教師帶同一隊(duì)，則共有種不同的帶隊(duì)方案；由分類加法計(jì)數(shù)原理可得：共有54中不同的帶隊(duì)方案；故答案為：54.13.若曲線有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是________________．【答案】【解析】【分析】設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點(diǎn)得到關(guān)于的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求得的取值范圍.【詳解】∵，∴，設(shè)切點(diǎn)為,則,切線斜率,切線方程為：,∵切線過原點(diǎn)，∴,整理得：,∵切線有兩條，∴,解得或,∴的取值范圍是,故答案為：14.設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】原問題等價(jià)于恒成立，據(jù)此將所得的不等式進(jìn)行恒等變形，可得，由右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性可得實(shí)數(shù)的二次不等式，求解二次不等式后可確定實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由函數(shù)的解析式可得在區(qū)間上恒成立，則，即在區(qū)間上恒成立，故，而，故，故即，故，結(jié)合題意可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題；本大題共5小題，共計(jì)77分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15已知，．試問：（1）從集合A和B中各取一個(gè)元素作為直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，共可得到多少個(gè)不同的點(diǎn)?（2）從中取出三個(gè)不同的元素組成三位數(shù)，從左到右的數(shù)字要逐漸減小，這樣的三位數(shù)有多少個(gè)?【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知可得集合，，分兩種情況求解即可；（2）由（1）可得，根據(jù)順序固定應(yīng)用組合數(shù)計(jì)算求解.【小問1詳解】由題意可得，，所以，，中元素作為橫坐標(biāo)，中元素作為縱坐標(biāo)，有個(gè)，中元素作為橫坐標(biāo)，中元素作為縱坐標(biāo)，有個(gè)，其中重復(fù)的有，所以不同的點(diǎn)有個(gè)；【小問2詳解】因?yàn)?，，所以，要滿足從中取出三個(gè)不同的元素組成三位數(shù)，從左到右的數(shù)字逐漸減小，即從個(gè)元素中選個(gè)元素的組合數(shù)，所以，所以滿足要求的三位數(shù)有個(gè).16.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）分和兩種情況，當(dāng)時(shí)討論和，即可求解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，令，可得或；令，可得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，恒成立，可以取任意實(shí)數(shù)；當(dāng)時(shí)，令，則，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以gx>g0即fx當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減，此時(shí)，即，不合題意；所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.17.用半徑為R的圓形鐵皮剪出一個(gè)圓心角為的扇形，制成一個(gè)圓錐形容器，設(shè)圓錐的高為h．（1）試將圓錐容積表示成關(guān)于高h(yuǎn)的函數(shù)；（2）當(dāng)扇形的圓心角為多大時(shí)，容器的容積最大?【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由錐體的體積公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，求導(dǎo)可得，令，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，體積為，則，因此，即.【小問2詳解】由（1）可得，則，令，解得．

∴

當(dāng)時(shí)容積最大，把代入得，由得，即圓心角為時(shí)容積最大．18.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最值；（2）證明：對(duì)一切，都有成立.【答案】（1）最小值為，無最大值；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，求得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，進(jìn)而求得最值；（2）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，由（1）得到的最小值是，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)取得最大值，即可作差證明.【詳解】（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，則，令，即，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因此在處取得最小值，即，函數(shù)在上無最大值.（2）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，由（1）知時(shí)，的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以對(duì)一切，都有，即.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及不等式的證明，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計(jì)算能力，對(duì)于此類問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．19.對(duì)于一個(gè)函數(shù)和一個(gè)點(diǎn)，令，若是取到最小值的點(diǎn)，則稱是在的“最近點(diǎn)”．（1）對(duì)于，求證：對(duì)于點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得點(diǎn)是在的“最近點(diǎn)”；（2）對(duì)于，請(qǐng)判斷是否存在一個(gè)點(diǎn)，它是在的“最近點(diǎn)”，且直線與在點(diǎn)處的切線垂直；（3）已知在定義域R上存在導(dǎo)函數(shù)，且函數(shù)在定義域R上恒正，設(shè)點(diǎn)，．若對(duì)任意的，存在點(diǎn)同時(shí)是在的“最近點(diǎn)”，試判斷的單調(diào)性．【答案】（1）證明見解析（2）存在，（3）嚴(yán)格單調(diào)遞減【解析】【分析】（1）代入，利用基本不等式即可；（2）由題得，利用導(dǎo)函數(shù)得到其最小值，則得到，再證明直線與切線垂直即可；（3）根據(jù)題意得到，對(duì)兩等式化簡(jiǎn)得，再利用“最近點(diǎn)”的定義得到不等式組，即可證明，最后得到函數(shù)單調(diào)性.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，故對(duì)于點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得該點(diǎn)是在的“最近點(diǎn)”．【小問2詳解】由題設(shè)可得，則，因?yàn)榫鶠樯蠁握{(diào)遞增函數(shù)，則在上為嚴(yán)格增函數(shù)，而，故當(dāng)時(shí)，