2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第九章計數(shù)原理與概率隨機變量及其分布第55講分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理課時達(dá)標(biāo)理含解析新人教A版VIP

PAGEPAGE1第55講分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理課時達(dá)標(biāo)一、選擇題1．現(xiàn)有2門不同的考試要支配在5天之內(nèi)進(jìn)行，每天最多進(jìn)行一門考試，且不能連續(xù)兩天有考試，那么不同的考試支配方案種數(shù)是()A．12 B．6C．8 D．16A解析若第一門支配在開頭或結(jié)尾，則其次門有3種支配方法，這時，共有Ceq\o\al(1,2)×3＝6(種)方案．若第一門支配在中間的3天中，則其次門有2種支配方案，這時，共有3×2＝6(種)方案．綜上可得，全部的不同的考試支配方案有6＋6＝12(種)，故選A.2．用0到9這10個數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為()A．324 B．648C．328 D．360C解析首先應(yīng)考慮0，當(dāng)0排在個位時，有Aeq\o\al(2,9)＝9×8＝72(個)，當(dāng)0不排在個位時，有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,8)＝4×8＝32(個)．當(dāng)不含0時，有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,8)＝4×7×8＝224(個)，由分類加法計數(shù)原理，得符合題意的偶數(shù)共有72＋32＋224＝328(個)．3．有4位老師在同一年級的4個班中各教一個班的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)檢測時要求每位老師不能在本班監(jiān)考，則監(jiān)考的方法有()A．8種 B．9種C．10種 D．11種B解析設(shè)四位監(jiān)考老師分別為A，B，C，D，所教班分別為a，b，c，d，假設(shè)A監(jiān)考b，則余下三人監(jiān)考剩下的三個班，共有3種不同方法，同理A監(jiān)考c，d時，也分別有3種不同方法，由分類加法計數(shù)原理共有3＋3＋3＝9(種)．4．如圖所示的五個區(qū)域中，中心區(qū)域是一幅圖畫，現(xiàn)在要求在其余四個區(qū)域中涂色，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，要求每一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域涂色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為()A．64 B．72C．84 D．96C解析分成兩類，A和C同色時有4×3×3＝36(種)；A和C不同色時有4×3×2×2＝48(種)，所以一共有36＋48＝84(種)，故選C.5．某體育彩票規(guī)定：從01至36共36個號中抽出7個號為一注，每注2元．某人想從01至10中選3個連續(xù)的號，從11至20中選2個連續(xù)的號，從21至30中選1個號，從31至36中選1個號組成一注，則這人把這種特別要求的號買全，至少要花()A．3360元 B．6720元C．4320元 D．8640元D解析從01至10中選3個連續(xù)的號共有8種選法；從11至20中選2個連續(xù)的號共有9種選法；從21至30中選1個號有10種選法；從31至36中選一個號有6種選法，由分步乘法計數(shù)原理知共有8×9×10×6＝4320(種)選法，故至少需花4320×2＝8640(元)，故選D.6．設(shè)集合I＝{1,2,3,4,5}，選擇I的兩個非空子集A和B，要使B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù)，則不同的選擇方法共有()A．50種 B．49種C．48種 D．47種B解析當(dāng)A中最大的數(shù)為1時，B可以是{2,3,4,5}的非空子集，即有24－1＝15(種)方法；當(dāng)A中最大的數(shù)為2時，A可以是{2}，也可以是{1,2}，B可以是{3,4,5}的非空子集，即有2×(23－1)＝14(種)方法；當(dāng)A中最大的數(shù)為3時，A可以是{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，B可以是{4,5}的非空子集，即有4(22－1)＝12(種)方法；當(dāng)A中最大的數(shù)為4時，A可以是{4}，{1,4}，{2,4}，{3,4}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}，B可以是{5}，有8×1＝8(種)方法，故共有15＋14＋12＋8＝49(種)方法．二、填空題7．(2024·邯鄲一中模擬)從集合{1,2,3，…，10}中，選出由5個數(shù)組成的子集，使得這5個數(shù)中的任何兩個數(shù)的和不等于11，這樣的子集共有________個．解析和為11的數(shù)共有5組：1與10,2與9,3與8,4與7,5與6，子集中的元素不能取自同一組中的兩個數(shù)，即子集中的元素取自5個組中的一個數(shù)．而每個數(shù)的取法有2種，所以子集的個數(shù)為2×2×2×2×2＝25＝32.答案328．如圖所示的幾何體由一個正棱錐P－ABC與正三棱柱ABC－A1B1C1組合而成，現(xiàn)用3種不同顏色對這個幾何體的表面染色(底面A1B1C解析先涂三棱錐P－ABC的三個側(cè)面，然后涂三棱柱ABC－A1B1C1答案129．(2024·杭州質(zhì)檢)用1,2,3,4,5組成不含重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，數(shù)字2不出現(xiàn)在首位和末位，數(shù)字1,3,5中有且僅有兩個數(shù)字相鄰，則滿意條件的不同五位數(shù)的個數(shù)是________．(注：用數(shù)字作答)解析依據(jù)題意，可以分為兩步：第一步將1,3,5分為兩組且同一組的兩個數(shù)排序，共有6種方法；其次步，將第一步的兩組看成兩個元素，與2,4排列，其中2不在兩邊且第一步兩組(記為a，b)之間必有元素，即4，a,2，b；a,2,4，b；a,4,2，b；a,2，b,4，其中a，b可以互換位置，所以共有8種．依據(jù)分步乘法計算原理知，滿意題意的五位數(shù)共有6×8＝48個．答案48三、解答題10．一個袋子里裝有10張不同的中國移動手機卡，另一個袋子里裝有12張不同的中國聯(lián)通手機卡．(1)某人要從兩個袋子中任取一張手機卡自己運用，共有多少種不同的取法？(2)某人想得到一張中國移動卡和一張中國聯(lián)通卡，供自己今后選擇運用，問一共有多少種不同的取法？解析(1)任取一張手機卡，可以從10張不同的中國移動卡中任取一張，或從12張不同的中國聯(lián)通卡中任取一張，每一類方法都能完成這件事，故應(yīng)用分類加法計數(shù)原理，有10＋12＝22(種)不同的取法．(2)從移動、聯(lián)通卡中各取一張，則要分兩步完成：從移動卡中任取一張，再從聯(lián)通卡中任取一張，故應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理，有10×12＝120(種)不同的取法．11．有5幅不同的國畫，2幅不同的油畫，7幅不同的水彩畫．(1)從中任選一幅畫布置房間，有幾種不同的選法？(2)從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅畫布置房間，有幾種不同的選法？(3)從這些畫中任選出兩幅不同畫種的畫布置房間，有幾種不同的選法？解析(1)利用加法計數(shù)原理知，有5＋2＋7＝14(種)不同的選法．(2)國畫有5種不同的選法，油畫有2種不同的選法，水彩畫有7種不同的選法，利用乘法計數(shù)原理得到5×2×7＝70(種)不同的選法．(3)選法分三類，分別為選國畫與油畫、油畫與水彩畫、國畫與水彩畫，由分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理知共有5×2＋2×7＋5×7＝59(種)不同的選法．12．編號為A，B，C，D，E的五個小球放在如圖所示的五個盒子里，要求每個盒子只能放一個小球，且A球不能放在1,2號，B球必需放在與A球相鄰的盒子中，則不同的放法有多少種？解析依據(jù)A球所在位置分三類：①若A球放在3號盒子內(nèi)，則B球只能放在4號盒子內(nèi)，余下的三個盒子放球C，D，E，則依據(jù)分步乘法計數(shù)原理得，3×2×1＝6(種)不同的放法．②若A球放在5號盒子內(nèi)，則B球只能放在4號盒子內(nèi)，余下的三個盒子放球C，D，E，則依據(jù)分步乘法計數(shù)原理得，3×2×1＝6(種)不同的放法．③若A球放在4號盒子內(nèi)，則B球可以放在2號，3號，5號盒子中的任何一個，余下的三個盒子放球C，D，E有3×2×1＝6(種)不同的放法，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，得3×6＝18(種)不同的方法．綜上所述，由分類加法計數(shù)原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30種．13．[選做題](2024·黃岡多校月考)三邊長均為整數(shù)，且最大邊長為11的三角形的個數(shù)是多少？解析設(shè)較小的兩邊長為x，y，且x≤y，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤y≤11，,x＋y>11，,x、y∈N*.))當(dāng)x