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安徽省阜陽市太和縣2024-2025學(xué)年初三年級下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(本大題共12個小題,每小題4分,共48分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.)1.若關(guān)于x的不等式組無解,則m的取值范圍()A.m>3 B.m<3 C.m≤3 D.m≥32.下列解方程去分母正確的是()A.由x3B.由x-22C.由y3D.由y+123.如圖,小明為了測量河寬AB,先在BA延長線上取一點D,再在同岸取一點C,測得∠CAD=60°,∠BCA=30°,AC=15m,那么河AB寬為()A.15m B.m C.m D.m4.關(guān)于x的一元一次不等式≤﹣2的解集為x≥4,則m的值為()A.14 B.7 C.﹣2 D.25.若a+|a|=0,則等于()A.2﹣2a B.2a﹣2 C.﹣2 D.26.估計﹣÷2的運算結(jié)果在哪兩個整數(shù)之間()A.0和1 B.1和2 C.2和3 D.3和47.下列運算正確的是()A.x?x4=x5 B.x6÷x3=x2 C.3x2﹣x2=3 D.(2x2)3=6x68.為喜迎黨的十九大召開,樂陵某中學(xué)剪紙社團(tuán)進(jìn)行了剪紙大賽,下列作品既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是()A. B.C. D.9.下列圖形中,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是()A.等邊三角形 B.菱形 C.平行四邊形 D.正五邊形10.如果一元二次方程2x2+3x+m=0有兩個相等的實數(shù)根,那么實數(shù)m的取值為()A.m> B.m C.m= D.m=11.半徑為的正六邊形的邊心距和面積分別是()A., B.,C., D.,12.下列運算正確的是()A.(a2)3=a5 B. C.(3ab)2=6a2b2 D.a(chǎn)6÷a3=a2二、填空題:(本大題共6個小題,每小題4分,共24分.)13.在平面直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi),邊長為1的正方形ABCD的邊均平行于坐標(biāo)軸,A點的坐標(biāo)為(a,a).如圖,若曲線與此正方形的邊有交點,則a的取值范圍是________.14.已知邊長為5的菱形中,對角線長為6,點在對角線上且,則的長為__________.15.(2017黑龍江省齊齊哈爾市)如圖,在等腰三角形紙片ABC中,AB=AC=10,BC=12,沿底邊BC上的高AD剪成兩個三角形,用這兩個三角形拼成平行四邊形,則這個平行四邊形較長的對角線的長是______.16.若一個圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為6cm,圓心角為120°的扇形,則該圓錐的側(cè)面面積為______cm(結(jié)果保留π).17.如圖,點A(3,n)在雙曲線y=上,過點A作AC⊥x軸,垂足為C.線段OA的垂直平分線交OC于點B,則△ABC周長的值是.18.若代數(shù)式x2﹣6x+b可化為(x+a)2﹣5,則a+b的值為____.三、解答題:(本大題共9個小題,共78分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.19.(6分)計算:1220.(6分)某初中學(xué)校組織400位同學(xué)參加義務(wù)植樹活動,每人植樹的棵數(shù)在5至10之間,甲、乙兩位同學(xué)分別調(diào)查了30位同學(xué)的植樹情況,并將收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行了整理,繪制成統(tǒng)計表分別為表1和表2:表1:甲調(diào)查九年級30位同學(xué)植樹情況統(tǒng)計表(單位:棵)每人植樹情況78910人數(shù)36156頻率0.10.20.50.2表2:乙調(diào)查三個年級各10位同學(xué)植樹情況統(tǒng)計表(單位:棵)每人植樹情況678910人數(shù)363116頻率0.10.20.10.40.2根據(jù)以上材料回答下列問題:(1)表1中30位同學(xué)植樹情況的中位數(shù)是棵;(2)已知表2的最后兩列中有一個錯誤的數(shù)據(jù),這個錯誤的數(shù)據(jù)是,正確的數(shù)據(jù)應(yīng)該是;(3)指出哪位同學(xué)所抽取的樣本能更好反映此次植樹活動情況,并用該樣本估計本次活動400位同學(xué)一共植樹多少棵?21.(6分)如圖,沿AC方向開山修路.為了加快施工進(jìn)度,要在小山的另一邊同時施工,從AC上的一點B取∠ABD=120°,BD=520m,∠D=30°.那么另一邊開挖點E離D多遠(yuǎn)正好使A,C,E三點在一直線上(取1.732,結(jié)果取整數(shù))?22.(8分)如圖,在五邊形ABCDE中,∠C=100°,∠D=75°,∠E=135°,AP平分∠EAB,BP平分∠ABC,求∠P的度數(shù).23.(8分)甲、乙兩組工人同時開始加工某種零件,乙組在工作中有一次停產(chǎn)更換設(shè)備,更換設(shè)備后,乙組的工作效率是原來的2倍.兩組各自加工零件的數(shù)量y(件)與時間x(時)之間的函數(shù)圖象如下圖所示.(1)求甲組加工零件的數(shù)量y與時間x之間的函數(shù)關(guān)系式.(2)求乙組加工零件總量a的值.24.(10分)現(xiàn)有兩個紙箱,每個紙箱內(nèi)各裝有4個材質(zhì)、大小都相同的乒乓球,其中一個紙箱內(nèi)4個小球上分別寫有1、2、3、4這4個數(shù),另一個紙箱內(nèi)4個小球上分別寫有5、6、7、8這4個數(shù),甲、乙兩人商定了一個游戲,規(guī)則是:從這兩個紙箱中各隨機(jī)摸出一個小球,然后把兩個小球上的數(shù)字相乘,若得到的積是2的倍數(shù),則甲得1分,若得到積是3的倍數(shù),則乙得2分.完成一次游戲后,將球分別放回各自的紙箱,搖勻后進(jìn)行下一次游戲,最后得分高者勝出.。(1)請你通過列表(或樹狀圖)分別計算乘積是2的倍數(shù)和3的倍數(shù)的概率;(2)你認(rèn)為這個游戲公平嗎?為什么?若你認(rèn)為不公平,請你修改得分規(guī)則,使游戲?qū)﹄p方公平.25.(10分)(1)如圖1,在矩形ABCD中,點O在邊AB上,∠AOC=∠BOD,求證:AO=OB;(2)如圖2,AB是⊙O的直徑,PA與⊙O相切于點A,OP與⊙O相交于點C,連接CB,∠OPA=40°,求∠ABC的度數(shù).26.(12分)已知:如圖,AB為⊙O的直徑,C是BA延長線上一點,CP切⊙O于P,弦PD⊥AB于E,過點B作BQ⊥CP于Q,交⊙O于H,(1)如圖1,求證:PQ=PE;(2)如圖2,G是圓上一點,∠GAB=30°,連接AG交PD于F,連接BF,若tan∠BFE=3,求∠C的度數(shù);(3)如圖3,在(2)的條件下,PD=6,連接QC交BC于點M,求QM的長.27.(12分)如圖1,拋物線y=ax2+(a+2)x+2(a≠0),與x軸交于點A(4,0),與y軸交于點B,在x軸上有一動點P(m,0)(0<m<4),過點P作x軸的垂線交直線AB于點N,交拋物線于點M.(1)求拋物線的解析式;(2)若PN:PM=1:4,求m的值;(3)如圖2,在(2)的條件下,設(shè)動點P對應(yīng)的位置是P1,將線段OP1繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到OP2,旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<90°),連接AP2、BP2,求AP2+的最小值.
參考答案一、選擇題(本大題共12個小題,每小題4分,共48分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.)1、C【解析】
根據(jù)“大大小小找不著”可得不等式2+m≥2m-1,即可得出m的取值范圍.【詳解】,由①得:x>2+m,由②得:x<2m﹣1,∵不等式組無解,∴2+m≥2m﹣1,∴m≤3,故選C.考查了解不等式組,根據(jù)求不等式的無解,遵循“大大小小解不了”原則得出是解題關(guān)鍵.2、D【解析】
根據(jù)等式的性質(zhì)2,A方程的兩邊都乘以6,B方程的兩邊都乘以4,C方程的兩邊都乘以15,D方程的兩邊都乘以6,去分母后判斷即可.【詳解】A.由x3-1=1-x2,得:2B.由x-22-x4=-1C.由y3-1=y5,得:5D.由y+12=y3+1故選D.本題考查了解一元一次方程,注意在去分母時,方程兩端同乘各分母的最小公倍數(shù)時,不要漏乘沒有分母的項,同時要把分子(如果是一個多項式)作為一個整體加上括號.3、A【解析】過C作CE⊥AB,Rt△ACE中,∵∠CAD=60°,AC=15m,∴∠ACE=30°,AE=AC=×15=7.5m,CE=AC?cos30°=15×=,∵∠BAC=30°,∠ACE=30°,∴∠BCE=60°,∴BE=CE?tan60°=×=22.5m,∴AB=BE﹣AE=22.5﹣7.5=15m,故選A.【點睛】本題考查的知識點是解直角三角形的應(yīng)用,關(guān)鍵是構(gòu)建直角三角形,解直角三角形求出答案.4、D【解析】
解不等式得到x≥m+3,再列出關(guān)于m的不等式求解.【詳解】≤﹣1,m﹣1x≤﹣6,﹣1x≤﹣m﹣6,x≥m+3,∵關(guān)于x的一元一次不等式≤﹣1的解集為x≥4,∴m+3=4,解得m=1.故選D.考點:不等式的解集5、A【解析】
直接利用二次根式的性質(zhì)化簡得出答案.【詳解】∵a+|a|=0,∴|a|=-a,則a≤0,故原式=2-a-a=2-2a.故選A.此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡,正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵.6、D【解析】
先估算出的大致范圍,然后再計算出÷2的大小,從而得到問題的答案.【詳解】25<32<31,∴5<<1.原式=﹣2÷2=﹣2,∴3<﹣÷2<2.故選D.本題主要考查的是二次根式的混合運算,估算無理數(shù)的大小,利用夾逼法估算出的大小是解題的關(guān)鍵.7、A【解析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法,同底數(shù)冪的除法,合并同類項,冪的乘方與積的乘方運算法則逐一計算作出判斷:A、x?x4=x5,原式計算正確,故本選項正確;B、x6÷x3=x3,原式計算錯誤,故本選項錯誤;C、3x2﹣x2=2x2,原式計算錯誤,故本選項錯誤;D、(2x2)3=8x,原式計算錯誤,故本選項錯誤.故選A.8、C【解析】
根據(jù)軸對稱和中心對稱的定義去判斷即可得出正確答案.【詳解】解:A、是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形,故此選項錯誤;B、不是軸對稱圖形,也不是中心對稱圖形,故此選項錯誤;C、是軸對稱圖形,也是中心對稱圖形,故此選項正確;D、是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形,故此選項錯誤.故選:C.本題考查的是軸對稱和中心對稱的知識點,解題關(guān)鍵在于對知識點的理解和把握.9、B【解析】
在平面內(nèi),如果一個圖形沿一條直線對折,直線兩旁的部分能夠完全重合,這樣的圖形叫做軸對稱圖形;在平面內(nèi)一個圖形繞某個點旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形能互相重合,那么這個圖形叫做中心對稱圖形,分別判斷各選項即可解答.【詳解】解:A、等邊三角形是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形,故此選項錯誤;B、菱形是軸對稱圖形,也是中心對稱圖形,故此選項正確;C、平行四邊形不是軸對稱圖形,是中心對稱圖形,故此選項錯誤;D、正五邊形是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形,故此選項錯誤.故選:B.本題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義,熟練掌握是解題的關(guān)鍵.10、C【解析】試題解析:∵一元二次方程2x2+3x+m=0有兩個相等的實數(shù)根,∴△=32-4×2m=9-8m=0,解得:m=.故選C.11、A【解析】
首先根據(jù)題意畫出圖形,易得△OBC是等邊三角形,繼而可得正六邊形的邊長為R,然后利用解直角三角形求得邊心距,又由S正六邊形=求得正六邊形的面積.【詳解】解:如圖,O為正六邊形外接圓的圓心,連接OB,OC,過點O作OH⊥BC于H,∵六邊形ABCDEF是正六邊形,半徑為,∴∠BOC=,∵OB=OC=R,∴△OBC是等邊三角形,∴BC=OB=OC=R,∵OH⊥BC,∴在中,,即,∴,即邊心距為;∵,∴S正六邊形=,故選:A.本題考查了正多邊形和圓的知識;求得正六邊形的中心角為60°,得到等邊三角形是正確解答本題的關(guān)鍵.12、B【解析】分析:本題考察冪的乘方,同底數(shù)冪的乘法,積的乘方和同底數(shù)冪的除法.解析:,故A選項錯誤;a3·a=a4故B選項正確;(3ab)2=9a2b2故C選項錯誤;a6÷a3=a3故D選項錯誤.故選B.二、填空題:(本大題共6個小題,每小題4分,共24分.)13、-1≤a≤【解析】
根據(jù)題意得出C點的坐標(biāo)(a-1,a-1),然后分別把A、C的坐標(biāo)代入求得a的值,即可求得a的取值范圍.【詳解】解:反比例函數(shù)經(jīng)過點A和點C.當(dāng)反比例函數(shù)經(jīng)過點A時,即=3,解得:a=±(負(fù)根舍去);當(dāng)反比例函數(shù)經(jīng)過點C時,即=3,解得:a=1±(負(fù)根舍去),則-1≤a≤.故答案為:-1≤a≤.本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點,關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)y=(k為常數(shù),k≠0)的圖象上的點(x,y)的橫縱坐標(biāo)的積是定值k,即xy=k.14、3或1【解析】
菱形ABCD中,邊長為1,對角線AC長為6,由菱形的性質(zhì)及勾股定理可得AC⊥BD,BO=4,分當(dāng)點E在對角線交點左側(cè)時(如圖1)和當(dāng)點E在對角線交點左側(cè)時(如圖2)兩種情況求BE得長即可.【詳解】解:當(dāng)點E在對角線交點左側(cè)時,如圖1所示:∵菱形ABCD中,邊長為1,對角線AC長為6,∴AC⊥BD,BO==4,∵tan∠EAC=,解得:OE=1,∴BE=BO﹣OE=4﹣1=3,當(dāng)點E在對角線交點左側(cè)時,如圖2所示:∵菱形ABCD中,邊長為1,對角線AC長為6,∴AC⊥BD,BO==4,∵tan∠EAC=,解得:OE=1,∴BE=BO﹣OE=4+1=1,故答案為3或1.本題主要考查了菱形的性質(zhì),解決問題時要注意分當(dāng)點E在對角線交點左側(cè)時和當(dāng)點E在對角線交點左側(cè)時兩種情況求BE得長.15、10,,.【解析】解:如圖,過點A作AD⊥BC于點D,∵△ABC邊AB=AC=10,BC=12,∴BD=DC=6,∴AD=8,如圖①所示:可得四邊形ACBD是矩形,則其對角線長為:10;如圖②所示:AD=8,連接BC,過點C作CE⊥BD于點E,則EC=8,BE=2BD=12,則BC=;如圖③所示:BD=6,由題意可得:AE=6,EC=2BE=16,故AC==.故答案為10,,.16、12π【解析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖是扇形可得,,∴該圓錐的側(cè)面面積為:12π,故答案為12π.17、2.【解析】
先求出點A的坐標(biāo),根據(jù)點的坐標(biāo)的定義得到OC=3,AC=2,再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可知AB=OB,由此推出△ABC的周長=OC+AC.【詳解】由點A(3,n)在雙曲線y=上得,n=2.∴A(3,2).∵線段OA的垂直平分線交OC于點B,∴OB=AB.則在△ABC中,AC=2,AB+BC=OB+BC=OC=3,∴△ABC周長的值是2.18、1【解析】
根據(jù)題意找到等量關(guān)系x2﹣6x+b=(x+a)2﹣5,根據(jù)系數(shù)相等求出a,b,即可解題.【詳解】解:由題可知x2﹣6x+b=(x+a)2﹣5,整理得:x2﹣6x+b=x2+2ax+a2-5,即-6=2a,b=a2-5,解得:a=-3,b=4,∴a+b=1.本題考查了配方法的實際應(yīng)用,屬于簡單題,找到等量關(guān)系求出a,b是解題關(guān)鍵.三、解答題:(本大題共9個小題,共78分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.19、-1【解析】
先化簡二次根式、計算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、分母有理化、去絕對值符號,再合并同類二次根式即可得.【詳解】原式=1﹣4﹣+1﹣=﹣1.本題考查了實數(shù)的混合運算,熟練掌握二次根式的性質(zhì)、分母有理化、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義、絕對值的意義是解答本題的關(guān)鍵.20、(1)9;(2)11,12;(3)3360棵【解析】
(1)30位同學(xué)的植樹量中第15個、16個數(shù)都是9,即可得到植樹的中位數(shù);(2)根據(jù)頻率相加得1確定頻率正確,計算頻數(shù)即可確定錯誤的數(shù)據(jù)是11,正確的硬是12;(3)樣本數(shù)據(jù)應(yīng)體現(xiàn)機(jī)會均等由此得到乙同學(xué)所抽取的樣本更好,再根據(jù)部分計算總體的公式即可得到答案.【詳解】(1)表1中30位同學(xué)植樹情況的中位數(shù)是9棵,故答案為:9;(2)表2的最后兩列中,錯誤的數(shù)據(jù)是11,正確的數(shù)據(jù)應(yīng)該是30×0.4=12;故答案為:11,12;(3)乙同學(xué)所抽取的樣本能更好反映此次植樹活動情況,(3×6+6×7+3×8+12×9+6×10)÷30×400=3360(棵),答:本次活動400位同學(xué)一共植樹3360棵.此題考查統(tǒng)計的計算,掌握中位數(shù)的計算方法,部分的頻數(shù)的計算方法,依據(jù)樣本計算總體的方法是解題的關(guān)鍵.21、450m.【解析】
若要使A、C、E三點共線,則三角形BDE是以∠E為直角的三角形,利用三角函數(shù)即可解得DE的長.【詳解】解:,,,在中,,,,.答:另一邊開挖點離,正好使,,三點在一直線上.本題考查的知識點是解直角三角形的應(yīng)用和勾股定理的運用,解題關(guān)鍵是是熟記含30°的直角三角形的性質(zhì).22、65°【解析】∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=(5-2)×180°=540°,∠C=100°,∠D=75°,∠E=135°,∴∠EAB+∠ABC=540°-∠C-∠D-∠E=230°.∵AP平分∠EAB,∴∠PAB=12∠EAB.同理可得,∠ABP=∠ABC.∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°,∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA=180°-∠EAB-∠ABC=180°-(∠EAB+∠ABC)=180°-×230°=65°.23、(1)y=60x;(2)300【解析】
(1)由題圖可知,甲組的y是x的正比例函數(shù).設(shè)甲組加工的零件數(shù)量y與時間x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx.根據(jù)題意,得6k=360,解得k=60.所以,甲組加工的零件數(shù)量y與時間x之間的關(guān)系式為y=60x.(2)當(dāng)x=2時,y=100.因為更換設(shè)備后,乙組工作效率是原來的2倍.所以,解得a=300.24、(1)34(2)游戲不公平,修改得分規(guī)則為:把兩個小球上的數(shù)字相乘,若得到的積是2的倍數(shù),則甲得7分,若得到的積是3的倍數(shù),則乙得12分【解析】試題分析:(1)列表如下:共有16種情況,且每種情況出現(xiàn)的可能性相同,其中,乘積是2的倍數(shù)的有12種,乘積是3的倍數(shù)的有7種.∴P(兩數(shù)乘積是2的倍數(shù))=P(兩數(shù)乘積是3的倍數(shù))=(2)游戲不公平,修改得分規(guī)則為:把兩個小球上的數(shù)字相乘,若得到的積是2的倍數(shù),則甲得7分,若得到的積是3的倍數(shù),則乙得12分考點:概率的計算點評:題目難度不大,考查基本概率的計算,屬于基礎(chǔ)題。本題主要是第二問有點難度,對游戲規(guī)則的確定,需要一概率為基礎(chǔ)。25、(1)證明見解析;(2)25°.【解析】試題分析:(1)根據(jù)等量代換可求得∠AOD=∠BOC,根據(jù)矩形的對邊相等,每個角都是直角,可知∠A=∠B=90°,AD=BC,根據(jù)三角形全等的判定AAS證得△AOD≌△BOC,從而得證結(jié)論.(2)利用切線的性質(zhì)和直角三角形的兩個銳角互余的性質(zhì)得到圓心角∠POA的度數(shù),然后利用圓周角定理來求∠ABC的度數(shù).試題解析:(1)∵∠AOC=∠BOD∴∠AOC-∠COD=∠BOD-∠COD即∠AOD=∠BOC∵四邊形ABCD是矩形∴∠A=∠B=90°,AD=BC∴∴AO=OB(2)解:∵AB是的直徑,PA與相切于點A,∴PA⊥AB,∴∠A=90°.又∵∠OPA=40°,∴∠AOP=50°,∵OB=OC,∴∠B=∠OCB.又∵∠AOP=∠B+∠OCB,∴.26、(1)證明見解析(2)30°(3)QM=【解析】試題分析:(1)連接OP,PB,由已知易證∠OBP=∠OPB=∠QBP,從而可得BP平分∠OBQ,結(jié)合BQ⊥CP于點Q,PE⊥AB于點E即可由角平分線的性質(zhì)得到PQ=PE;(2)如下圖2,連接OP,則由已知易得∠CPO=∠PEC=90°,由此可得∠C=∠OPE,設(shè)EF=x,則由∠GAB=30°,∠AEF=90°可得AE=,在Rt△BEF中,由tan∠BFE=可得BE=,從而可得AB=,則OP=OA=,結(jié)合AE=可得OE=,這樣即可得到sin∠OPE=,由此可得∠OPE=30°,則∠C=30°;(3)如下圖3,連接BG,過點O作OK⊥HB于點K,結(jié)合BQ⊥CP,∠OPQ=90°,可得四邊形POKQ為矩形.由此可得QK=PO,OK∥CQ從而可得∠KOB=∠C=30°;由已知易證PE=,在Rt△EPO中結(jié)合(2)可解得PO=6,由此可得OB=QK=6;在Rt△KOB中可解得KB=3,由此可得QB=9;在△ABG中由已知條件可得BG=6,∠ABG=60°;過點G作GN⊥QB交QB的延長線于點N,由∠ABG=∠CBQ=60°,可得∠GBN=60°,從而可得解得GN=,BN=3,由此可得QN=12,則在Rt△BGN中可解得QG=,由∠ABG=∠CBQ=60°可知△BQG中BM是角平分線,由此可得QM:GM=QB:GB=9:6由此即可求得QM的長了.試題解析:(1)如下圖1,連接OP,PB,∵CP切⊙O于P,∴OP⊥CP于點P,又∵BQ⊥CP于點Q,∴OP∥BQ,∴∠OPB=∠QBP,∵OP=OB,∴∠OPB=∠OBP,∴∠QBP=∠OBP,又∵PE⊥AB于點E,∴PQ=PE;(2)如下圖2,連接,∵CP切⊙O于P,∴∴∵PD⊥AB∴∴∴在Rt中,∠GAB=30°∴設(shè)EF=x,則在Rt中,tan∠BFE=3∴∴∴∴∴在RtPEO中,∴30°;(3)如下圖3,連接BG,過點O作于K,又BQ⊥CP,∴,∴四邊形POKQ為矩形,∴QK=PO,OK//CQ,∴30°,∵⊙O中PD⊥AB于E,PD=6,AB為⊙O的直徑,∴PE=PD=3,根據(jù)(2)得,在RtEPO中,,∴,∴OB=QK=P
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