安徽省安慶市大觀區(qū)第四中學2023-2024學年八年級下學期期中數(shù)學試題

八年級數(shù)學一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）1.下列二次根式是最簡二次根式的是（）A. B. C. D.2.已知關于x方程的一個根是1，則此方程的另一根為（）A.0 B.1 C.2 D.33.下列各式中，一定能成立的是()A. B.C. D.4.用配方法解一元二次方程，配方正確的是（）．A. B.C. D.5.如圖，在平面直角坐標系中，A（﹣1，0），B（0，2），以點A為圓心，AB為半徑畫弧，交x軸正半軸于點C，點C的橫坐標為（）A﹣1 B.2 C.﹣1 D.1﹣6.三角形兩邊長分別為3和6，第三邊長是方程的解，則這個三角形的周長是（）A15 B.13 C.11或8 D.11和137.在下列條件中，能確定是直角三角形的條件是（）A. B.C. D.8.有一個人患流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有81個人患流感，每輪傳染中平均一個人傳染幾個人？設每輪傳染中平均一個人傳染x個人，可到方程為（）A. B. C. D.9.我國宋代數(shù)學家秦九韶的著作《數(shù)書九章》中關于三角形的面積公式與古希臘數(shù)學家海倫的成果并稱“海倫-秦九韶公式”．它的主要內容是：如果一個三角形的三邊長分別是a，b，c，記，S為三角形的面積，，若一個三角形的三邊長分別為a，b，c，，，且，則b值為（）A. B. C. D.1010.已知直角三角形的三邊滿足，分別以為邊作三個正方形，把兩個較小的正方形放置在最大正方形內，如圖，設三個正方形無重疊部分的面積為，均重疊部分的面積為，則（）A. B. C. D.大小無法確定二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）11.若與最簡二次根式可以合并，則______．12.若關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是________．13.如圖，它是由弦圖變化得到的，是由八個全等的直角三角形拼接而成的，將圖中正方形、正方形、正方形的面積分別記為、、，若，，則________．14.定義：若、是方程的兩個整數(shù)根，且滿足，則稱此類方程為“自然方程”，例如：是“自然方程”．（1）下列方程是“自然方程”的是________；（填序號）①；②；③．（2）若方程是“自然方程”，m的值為________．三、（本大題共3小題，第15題，第16題各8分，第17題10分，滿分共26分）15.計算：16.用適當?shù)姆椒ń夥匠蹋海?7.已知，，求下列各式的值：（1）；（2）．四、（本題共2小題，第18題10分，第19題8分，共18分）18.圖①、圖②均是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1個單位長度，每個小正方形的頂點稱為格點，的頂點均在格點上，點P為內部的格點，在圖①、圖②給定網(wǎng)格中按要求作圖，只用無刻度的直尺，保留適當?shù)淖鲌D痕跡．（1）在圖①中，作的邊上高，垂足為H，則______，_______；（2）在②中的邊上確定一點M，邊上確定一點N，連接、，使的周長最短，最短周長為________．19.觀察下列各式及其驗證過程：，驗證：；，驗證：；，驗證：（1）仿照上述三個等式的變形，對下列式子進行變形：____________，____________．（2）根據(jù)上述規(guī)律，寫出用n（n為正整數(shù)且）表示的等式，并加以驗證．五、（本題10分）20.某中學有一塊四邊形的空地，如圖所示，學校計劃在空地上種植草皮，經(jīng)測量，，，，．若每平方米草皮需要200元，問學校需要投入多少資金買草皮？六、（本題10分）21.已知關于x一元二次方程．（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若的兩邊、的長是方程的兩個實數(shù)根，第三邊的長為4，當是等腰三角形時，求k的值．七、（本題12分）22.某水果商店經(jīng)銷一種名為“陽光玫瑰”水果，現(xiàn)進行春日促銷，原價每千克50元，連續(xù)兩次降價后每千克32元，若每次下降的百分率相同．（1）求每次下降的百分率；（2）若每千克盈利10元，每天可售出250千克，經(jīng)市場調查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，商場決定采取適當?shù)臐q價措施，若每千克漲價1元，日銷售量將減少10千克，現(xiàn)該商場要保證每天盈利3000元，且要盡快減少庫存，那么每千克應漲價多少元？八、（本題14分）23.（1）如圖1，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，的三個頂點均在格點上，現(xiàn)將繞點按順時針方向旋轉90°，點的對應點為，點的對應點為，連接，如圖所示則___________．（2）如圖2，在等邊內有一點，且，，，如果將繞點逆時針旋轉60°得出，求的度數(shù)和的長；（3）如圖3，將（2）題中“在等邊內有一點”改為“在等腰直角三角形內有一點”，且，，，，求度數(shù)．

八年級數(shù)學一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）1.下列二次根式是最簡二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查最簡二次根式．根據(jù)二次根式的化簡方法將每個根式進行化簡，判斷那個為最簡二次根式即可．【詳解】解：A、，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；B、，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；C、，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；D、是最簡二次根式，故本選項符合題意；故選：D2.已知關于x的方程的一個根是1，則此方程的另一根為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的解，解題的關鍵是理解一元二次方程的解的定義，根據(jù)方程的解，求出方程中的參數(shù)，再代入求解方程即可；【詳解】解：把代入方程得：，解得：，則方程為：整理得：則此方程的另一根為2，故選：C3.下列各式中，一定能成立的是()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】此題主要考查了二次根式的化簡，正確理解二次根式乘法、積的算術平方根等概念是解答問題的關鍵．需注意二次根式的雙重非負性，，．分別利用二次根式的性質化簡判斷即可．【詳解】解：A、，當時，原式，故此選項錯誤；B、，故此選項錯誤；C、，故此選項錯誤；D、，正確；故選：D．4.用配方法解一元二次方程，配方正確的是（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】按照配方法的步驟進行求解即可得答案．【詳解】解：，移項得，二次項系數(shù)化1的，配方得，即，故選：A．【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟為（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．5.如圖，在平面直角坐標系中，A（﹣1，0），B（0，2），以點A為圓心，AB為半徑畫弧，交x軸正半軸于點C，點C的橫坐標為（）A.﹣1 B.2 C.﹣1 D.1﹣【答案】C【解析】【分析】求出OA、OB，根據(jù)勾股定理求出AB，即可得出AC，求出OC長即可．【詳解】解：∵A（?1，0），B（0，2），

∴OA＝1，OB＝2，

在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝，

∴AC＝AB＝，

∴OC＝，

∴點C的橫坐標為（），

故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理，實數(shù)的大小比較，坐標與圖形性質的應用，解此題的關鍵是求出OC的長．6.三角形兩邊長分別為3和6，第三邊長是方程的解，則這個三角形的周長是（）A.15 B.13 C.11或8 D.11和13【答案】B【解析】【分析】本題考查解一元二次方程，三角形三邊關系．根據(jù)題意解出方程，繼而利用三邊關系判斷能否組成三角形，即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，解得：，∵三角形兩邊長分別為3和6，∴當?shù)谌呴L為時，不符合構成三角形三邊關系，故此種情況舍去，當?shù)谌呴L為時，符合構成三角形三邊關系，則周長為：，故選：B．7.在下列條件中，能確定是直角三角形的條件是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查直角三角形的判定，掌握直角三角形的判定和性質是解題的關鍵．根據(jù)直角三角形有一個角是直角，另外兩個角互余可判定A選項；根據(jù)勾股定理可判定B，C選項；根據(jù)直角三角形兩銳角互余可判定D選項，由此即可求解．【詳解】解：．∵，∴，∴，∴，∴不能判定為直角三角形，故不符合題意；．∵，∴設，則，∵，∴，∴不能判定是直角三角形，故不符合題意；．∵，∴，∴，∴是直角三角形，故符合題意；．，∴不能判定為直角三角形，故不符合題意，故選：．8.有一個人患流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有81個人患流感，每輪傳染中平均一個人傳染幾個人？設每輪傳染中平均一個人傳染x個人，可到方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】平均一人傳染了x人，根據(jù)有一人患了流感，第一輪有（x+1）人患流感，第二輪共有x+1+（x+1）x人，即81人患了流感，由此列方程求解．【詳解】x+1+（x+1）x=81

整理得，（1+x）2=81．

故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，關鍵是得到兩輪傳染數(shù)量關系，從而可列方程求解．9.我國宋代數(shù)學家秦九韶的著作《數(shù)書九章》中關于三角形的面積公式與古希臘數(shù)學家海倫的成果并稱“海倫-秦九韶公式”．它的主要內容是：如果一個三角形的三邊長分別是a，b，c，記，S為三角形的面積，，若一個三角形的三邊長分別為a，b，c，，，且，則b值為（）A. B. C. D.10【答案】A【解析】【分析】本題主要考查二次根式的應用，解一元二次方程，解答本題的關鍵是明確題意，熟悉掌握解一元二次方程．依據(jù)題意，由海倫-秦九韶公式轉化得到關于b的一元二次方程即可求解．【詳解】解：，，即即把，，代入得：整理得，即且即，故選：A10.已知直角三角形的三邊滿足，分別以為邊作三個正方形，把兩個較小的正方形放置在最大正方形內，如圖，設三個正方形無重疊部分的面積為，均重疊部分的面積為，則（）A. B. C. D.大小無法確定【答案】C【解析】分析】根據(jù)題意，由勾股定理可得，易得，然后用分別表示和，即可獲得答案．【詳解】解：如下圖，∵為直角三角形的三邊，且?！?，∴，∵，，∴．故選：C．【點睛】本題主要考查了勾股定理以及整式運算，結合題意正確表示出和是解題關鍵．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）11.若與最簡二次根式可以合并，則______．【答案】2【解析】【分析】本題考查同類二次根式，根據(jù)被開方數(shù)相同的最簡二次根式叫做同類二次根式進行求解即可．【詳解】解：∵，且與最簡二次根式可以合并，∴，∴；故答案為：2．12.若關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是________．【答案】且【解析】【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式．利用一元二次方程根的判別式，即可求解．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴且，解得：且．故答案為：且13.如圖，它是由弦圖變化得到的，是由八個全等的直角三角形拼接而成的，將圖中正方形、正方形、正方形的面積分別記為、、，若，，則________．【答案】【解析】【分析】本題考查勾股定理的證明、正方形的面積，利用數(shù)形結合的思想解答是解答本題的關鍵．先設出四個直角三角形面積之和為S，再根據(jù)和求出，即可求解；【詳解】解：設四個直角三角形的面積之和為S，又解得正方形的邊長為：則，故答案：14.定義：若、是方程的兩個整數(shù)根，且滿足，則稱此類方程為“自然方程”，例如：是“自然方程”．（1）下列方程是“自然方程”的是________；（填序號）①；②；③．（2）若方程是“自然方程”，m的值為________．【答案】①.②②.2或0##0或2【解析】【分析】本題考查解一元二次方程，含絕對值的方程，有理數(shù)的運算：（1）利用“自然方程”定義判斷即可；（2）利用因式分解法表示出方程的解，根據(jù)“自然方程”定義確定出m的值即可．【詳解】解：①，∴，∴，則該方程的解不是整數(shù)，故此選項不符合題意；②∴，∴，∴，∴，∴該方程是“自然方程”；③∴，∴，則該方程的解不是整數(shù)，故此選項不符合題意；故答案為：②（2），∴，∴，∴，∵方程是“自然方程”，∴，∴或0．故答案為：2或0三、（本大題共3小題，第15題，第16題各8分，第17題10分，滿分共26分）15.計算：【答案】【解析】【分析】先把每項化簡為最簡二次根式，然后再計算乘法，最后在合并同類二次根式即可.【詳解】原式.【點睛】二次根式的化簡及其四則混合運算是本題的考點，正確化簡二次根式是解題的關鍵.16.用適當?shù)姆椒ń夥匠蹋海敬鸢浮?，．【解析】【分析】先移項，把方程化為，再配方得到，再解方程即可．【詳解】解：∵，∴，則，即，∴，∴，．【點睛】本題考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握“配方法的步驟”是解本題的關鍵．17.已知，，求下列各式的值：（1）；（2）．【答案】（1）194（2）【解析】【分析】本題考查了二次根式的化簡求值，平方差公式，完全平方公式，解題的關鍵是采用分母有理化對x、y進行化簡，（1）運用平方差公式對對x、y進行化簡，求出，再對所求式子進行變形即可求解，（2）對所求式子進行變形，代入數(shù)值即可；【小問1詳解】解：，，，【小問2詳解】解：由（1）可知：，，四、（本題共2小題，第18題10分，第19題8分，共18分）18.圖①、圖②均是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1個單位長度，每個小正方形的頂點稱為格點，的頂點均在格點上，點P為內部的格點，在圖①、圖②給定網(wǎng)格中按要求作圖，只用無刻度的直尺，保留適當?shù)淖鲌D痕跡．（1）在圖①中，作的邊上高，垂足為H，則______，_______；（2）在②中的邊上確定一點M，邊上確定一點N，連接、，使的周長最短，最短周長為________．【答案】（1）圖形見解析；3；（2）圖形見解析；【解析】【分析】本題考查了格點正方形中的作圖以及軸對稱的性質，勾股定理：（1）取格點K，連接交于點H，則即為所求；（2）分別連接，由網(wǎng)格性質易得P、F關于對稱，連接，交于點M、N，連接，則點M，N即為所求．【小問1詳解】解：如圖，取格點K，連接交于點H，則即為所求，根據(jù)題意得：，，邊的高為2，∴，∵，∴，∴；故答案為：3；【小問2詳解】解：如圖，分別連接，由網(wǎng)格性質易得P、F關于對稱，連接，交于點M、N，連接，則點M，N即為所求．∵點P、點F關于對稱，點M在上，∴，同理可得：，∴的周長，∵兩點之間線段最短，∴此時的周長是最短的，∵在中，，∴周長最小值為，故答案為：．19.觀察下列各式及其驗證過程：，驗證：；，驗證：；，驗證：（1）仿照上述三個等式的變形，對下列式子進行變形：____________，____________．（2）根據(jù)上述規(guī)律，寫出用n（n為正整數(shù)且）表示的等式，并加以驗證．【答案】（1），（2），理由見解析【解析】【分析】（1）觀察題目所給等式，找出題中規(guī)律直接寫出結果即可；（2）歸納總結出規(guī)律即可．【小問1詳解】解：；驗證：，；驗證：，故答案為：，．【小問2詳解】解：證明：左式右式．【點睛】本題主要考查了實數(shù)運算，解題的關鍵是熟練掌握實數(shù)的運算法則以及根據(jù)題意找出一般性規(guī)律．五、（本題10分）20.某中學有一塊四邊形的空地，如圖所示，學校計劃在空地上種植草皮，經(jīng)測量，，，，．若每平方米草皮需要200元，問學校需要投入多少資金買草皮？【答案】7200元【解析】【分析】本題主要考查了勾股定理及其逆定理的應用．連接，根據(jù)勾股定理可得，再由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，然后根據(jù)四邊形的面積為，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，在中，，，，∴，∵，，∴，∴是直角三角形，且，∴四邊形的面積為，元，即學校需要投入7200元資金買草皮．六、（本題10分）21.已知關于x的一元二次方程．（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若的兩邊、的長是方程的兩個實數(shù)根，第三邊的長為4，當是等腰三角形時，求k的值．【答案】（1）證明見解析；（2）或

【解析】【分析】本題考查了解一元二次方程，也考查了根的判別式，解題的關鍵是熟練掌握因式分解求方程的解，以及具有分類討論的思想．（1）計算判別式的值得到即可證明；（2）利用因式分解法解方程得到，求出方程的兩個解為，再進行分類討論即可．小問1詳解】證明：．方程有兩個不相等的實數(shù)根；【小問2詳解】解：由，得，即、的長為，當時，即

，滿足三角形構成條件；當時，，解得

，滿足三角形構成條件．綜上所述，或

．七、（本題12分）22.某水果商店經(jīng)銷一種名為“陽光玫瑰”水果，現(xiàn)進行春日促銷，原價每千克50元，連續(xù)兩次降價后每千克32元，若每次下降的百分率相同．（1）求每次下降的百分率；（2）若每千克盈利10元，每天可售出250千克，經(jīng)市場調查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，商場決定采取適當?shù)臐q價措施，若每千克漲價1元，日銷售量將減少10千克，現(xiàn)該商場要保證每天盈利3000元，且要盡快減少庫存，那么每千克應漲價多少元？【答案】（1）每次下降的百分率為；（2）每千克應漲價5元【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是找準等量關系正確列出方程