高等數(shù)學第六版課后全部答案

習題1-1

1.設4=(—OO,—5)U(5,+8),B=|-10,3),寫出及小(/⑻的表達

式.

解4u8=(-oo,3)D(5,+oo),

ZcB=[—10,-5),

J\5=(-00,-1O)U(5,4-00),

A\(A\B)=[-\0,-5).

2.設/、8是任意兩個集合，證明對偶律iacBFuZCuBC.

證明因為

xe(Zc8)Cox史Nc8<=>x任〃或xeBcxeAc或x&Bc=x&Ac<JBC,

所以(/C8)c=/Cu8c

3.設映射/:Xfy,/u￥,8u￥.證明

(l)/(/u8)=/(/)y/(8);

(2次4CB)$A)MB).

證明因為

yeJ(A<jB)^axeA\jB,使4x)可

0(因為xeA或xe8)Nq/(N)或ye/(8)

oyWO/B),

所以八AuB)=/lA)5(B).

(2)因為

ye/(/c3)=axe/c8,使/(x)=y=(因為xeAfLxeB)ye/(4)且ye/(3)nye

兒4)MB)，

所以j(A詢U(A)MB).

4.設映射/:￥今匕若存在一個映射g：AX,使go/=G，/og=/y,其中入、

"分別是X、丫上的恒等映射，即對于每一個xeX,有Ixx=x；對于每一個yeY,有

。尸y.證明:/是雙射，且g是/的逆映射:g=r'.

證明因為對于任意的yeY,有x=g(y)eX,且_/(x)，[g(y)]=A，■尸丁，即丫中任意元

素都是X中某元素的像，所以/為X到丫的滿射.

又因為對于任意的X1HX2,必有次X1)/X2),否則若XX1)q(X2)ngL/(xD]=g[/(X2)]

=>X\=X2.

因此/既是單射，又是滿射，即/是雙射.

對于映射g：y->X,因為對每個yey,有gO)=xeX,且滿足/(x)=/[g(y)]=/y產暝

按逆映射的定義,g是/的逆映射.

5.設映射/:Xfy,ZuY.證明：

(I尸(A/))R；

(2)當/是單射時，有尸(/(/))=4

證明⑴因為xeZn/(x)可44)=廣％)=》y|(/(/)),

所以尸(/(4))〉/.

(2)由⑴知尸(/(N))n4

另一方面，對于任意的xe尸(/(/))=>存在yU),使/T(y)=x/(x)可.因為

ye兒4)且/是單射，所以XG4這就證明了尸伏⑷)〃.因此尸(/(〃))=/.

6.求下列函數(shù)的自然定義域：

(l)y=j3x+2;

解由3x+220得x>-函數(shù)的定義域為+8).

⑵片

1-X2

解由1-￥蟲)得后吐1.函數(shù)的定義域為(-叫-i)u(-1,D5L+8).

(3)j=l-VP^；

X

解由H0且i-x2>0得函數(shù)的定義域n=[-i,0)50,1].

⑷尸由

解由4-X2>0得|x|<2.函數(shù)的定義域為(-2,2).

(5)y=sin我;

解由介0得函數(shù)的定義。=[0,+8).

(6)y=tan(x+l);

解由X+1吟(左=0,±1,±2,…)得函數(shù)的定義域為“左乃+5-1(左=0,±1,±2,??

,)?

(7)j^=arcsin(x-3);

解由卜-3區(qū)1得函數(shù)的定義域止[2,4].

⑻片y/3-x+arctan—;

x

解由3-Q0且/0得函數(shù)的定義域n=(-oo,0)50,3).

(9)y=ln(x+l);

解由X+l〉0得函數(shù)的定義域6(-1,+8).

1

(⑼尸ex.

解由存0得函數(shù)的定義域0=(-8,0)。(0,+8).

7.下列各題中，函數(shù)./(X)和g(x)是否相同？為什么?

(D/(x)=lgx2,g(x)=21gx;

(2)/%)=%,g(%)=^；

(3)/(X)=Vx4-%3,g(x)=xy/x~\.

(4)/(x)=1,g(x)=sec2x-tan2x.

解⑴不同.因為定義域不同.

(2)不同.因為對應法則不同,x<0時,g(x)=-x.

(3)相同.因為定義域、對應法則均相相同.

(4)不同.因為定義域不同.

4

m?X<-

Isoi3

。中，。(-?4-2),并作出函數(shù)產爾)

8.設夕(x)=<匹

>

-3

的圖形.

解^y)=|siny|=y,9(5)=|sin5|=￥，^(-j)=|sin(-j)|=^,奴-2)=0.

662442442

9.試證下列函數(shù)在指定區(qū)間內的單調性：

⑴產已，(-8,1)；

1-X

(2)尸x+lnx,(0,4-00).

證明(1)對于任意的陽,也￡(-8,1),有1-、2>0.因為當時,

x-x

}2<0,

1—Xj1~%2(1—X|)(l—X2)

所以函數(shù)片盤在區(qū)間Si)內是單調增加的.

(2)對于任意的X|,X2€(0,+8),當陽5時,有

弘一y2=(為+1n陽)一(巧+In)=(X】一電)+1n工<0,

x2

所以函數(shù)尸+lnx在區(qū)間。+8)內是單調增加的.

io.設y(x)為定義在(-/,/)內的奇函數(shù)，若人打在(0,/)內單調增加，證明人幻在

(-/,o)內也單調增加.

證明對于Wxi,X2e(-l,0)且X1<X2,有-Xi,-X2W(0,/)且-X1〉一X2.

因為/(x)在(0,7)內單調增加且為奇函數(shù)，所以

2)?-修),),),

這就證明了對于Vxi,X2G(-Z,0),有/(X1)</(X2),所以加)在(-/,0)內也單調增加.

11.設下面所考慮的函數(shù)都是定義在對稱區(qū)間(-/,/)上的，證明：

(1)兩個偶函數(shù)的和是偶函數(shù)，兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù)；

(2)兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，偶函數(shù)與奇函

數(shù)的乘積是奇函數(shù).

證明(1)設/x)=/a)+g(x).如果大?和g(x)都是偶函數(shù)，則

F(T)=*-x)+g(-x)=/(x)+g(x)=F(x),

所以尸(X)為偶函數(shù)，即兩個偶函數(shù)的和是偶函數(shù).

如果/(X)和g(x)都是奇函數(shù)，則

尸(-x)=A-x)+g(-x)=-/(x)-g(x)=d(x),

所以F(x)為奇函數(shù)，即兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù).

(2)設尸(x)=/(x>g(x).如果7(x)和g(x)都是偶函數(shù)，則

尸(T)=/(—x).g(—x)=/(x).g(x)=E(x),

所以F(x)為偶函數(shù)，即兩個偶函數(shù)的積是偶函數(shù).

如果/(X)和g(x)都是奇函數(shù)，則

尸(_x)=/(_x>g(_x)=[~/x)][_g(x)]=Ax)-g(x)=A(x),

所以F(x)為偶函數(shù)，即兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù).

如果人X)是偶函數(shù)，而g(x)是奇函數(shù)，則

F(-x)y-x).g(-x)=/(x)[-g(x)]=dx>g(x)=-E(x),

所以F(x)為奇函數(shù)，即偶函數(shù)與奇函數(shù)的積是奇函數(shù).

12.下列函數(shù)中哪些是偶函數(shù)，哪些是奇函數(shù)，哪些既非奇函數(shù)又非偶函

數(shù)？

(1)尸2(12)；

(2)^=3x2-%3;

2

⑶/尸A1-Y

(4)JF(X-l)(x+l);

(5)y=sinx-cosx+l;

zxxa+a

(6)y=—―

解⑴因為/(—X)=(-X)2[I-(―X)勺=x2(l-/)=/)，所以/(X)是偶函數(shù).

⑵由_A-X)=3(T)2_(T)3=3X2+X3可見於)既非奇函數(shù)又非偶函數(shù).

⑶因為,(3牌七名曲所以網是偶函數(shù).

(4)因為X-x)=(-x)(-x-l)(-x+l)=-x(x+l)(x-1所以")是奇函數(shù).

(5)i/(-x)=sin(-x)-cos(-x)+l=-sinx-cosx+1可見/(x)既非奇函數(shù)又非偶函數(shù).

(6)因為/(一)=土竽3=二2=/(》)，所以段)是偶函數(shù).

13.下列各函數(shù)中哪些是周期函數(shù)？對于周期函數(shù)，指出其周期：

(l)y=cos(x-2);

解是周期函數(shù)，周期為/=2a

(2)產cos4x;

解是周期函數(shù)，周期為/=5.

(3)y=l+sin辦；

解是周期函數(shù)，周期為/=2.

(4)片xcos%;

解不是周期函數(shù).

(5)^=sin2x.

解是周期函數(shù)，周期為/=加

14.求下列函數(shù)的反函數(shù)：

(l)y=Vx+T;

解由產存訂得％=/一1,所以產存訐的反函數(shù)為尸產-1.

⑵5

解由歹=蕓得x=懸,所以尸稅的反函數(shù)為萬

(3)(ad-6cM);

cx+a

解由產生空得X=也也，所以歹=經善的反函數(shù)為丁=也包.

cx+acy-acx+dcx-a

(4)y=2sin3x;

解由產2sin3x得不=%麗吟，所以尸2sin3x的反函數(shù)為尸garcs嗚.

(5)y=l+ln(x+2);

解由尸l+ln(x+2)得x="7-2,所以產l+ln(x+2)的反函數(shù)為尸產1-2.

(“6)、y=--2-”-.

'"2￥+1

解由片合得X=10g2，p所以歹=合的反函數(shù)為尸I%息.

15.設函數(shù)7U)在數(shù)集X上有定義，試證：函數(shù)Xx)在X上有界的充分必要條

件是它在X上既有上界又有下界.

證明先證必要性.設函數(shù)/(X)在X上有界，則存在正數(shù)M使］/(x)區(qū)M即

這就證明了左)在X上有下界-"和上界M.

再證充分性.設函數(shù)/(X)在X上有下界K和上界K2,即與g(x)WK2.取

代max{|K||,收|},貝U-M<K^x)<K2<M,

即\f{x)\<M.

這就證明了Xx)在X上有界.

16.在下列各題中，求由所給函數(shù)復合而成的函數(shù)，并求這函數(shù)分別對應于

給定自變量值X1和冷的函數(shù)值：

(1)y=u>w=sinx,%)=—,%2?

o5

解尸sidx,M=sin2,=(；)2=：,%=sin2q=(孚)2=(.

(2)尸sinu,u=2x,西=9,x?=J；

o4

解尸sin2x,^=sin(2~)=sin^=^Y-,y=sin(2")=sin-^=l.

1o42242

(3)y=&,〃=l+f,Xi=l,X2=2;

22

解y=y/l+x,歹]=Jl+F=Q>y2=yll+2=y/5.

(4)y=e\〃=f,%]=0,M=1；

x2

解y=e^,yx=e°=1,%=/=e.

(5)尸〃2,w=ex,x)=l,X2=-l.

解y=e2x,yi=e21=e2,j^2=^2(-1-^-2.

17.設/(x)的定義域。=[0,1],求下列各函數(shù)的定義域：

⑴尬)；

解由0女2金得慟q,所以函數(shù)/(/)的定義域為[_1,1].

(2)義sinx);

解由OMsinxWl得2〃脛區(qū)(2〃+1)乃(〃=0,±1,±2。??)，所以函數(shù)/(sinx)的定義域

為

[2〃%(2〃+1)同(n=0,±1,±2?…).

(3)Ax+a)(a>0);

解由(Kx+aWl得-4女41-4,所以函數(shù)/(x+a)的定義域為[-4,1-0.

(4)_/(x+a)+/(x-a)(a>0).

解由(Kx+a41且OWr-aWl得：當■時,aWl-。；當■時，無解.因此

當時函數(shù)的定義域為&1-0,當">；時函數(shù)無意義.

1N<J

18.設/(x)=J0|x|=l,g(x)=ex,求/[g(x)]和g[/(x)],并作出這兩個函數(shù)的圖

-1自>1

形.

1BQf1x<0

解/[g(x)]=0修,曰，即九g(x)]=0x=0.

-1\ex\>\[-1x>0

el|x|<l

g"(x)]=e〃x)=<e°|x|=l,即g"(x)]=<

e~}|x|>l

19.已知水渠的橫斷面為等腰梯形，斜角/=40。(圖1-37).當過水斷面ABCD

的面積為定值So時，求濕周與水深人之間的函數(shù)關系式，并指明

其定義域.

圖1-37-V______________▼?一

解〃8=〃=焉，乂從\"J三一/

g瓦8c+(8C+2cot40°/0]=S()得j④

b

BC=：°-cot40°m所以

h

*+2YOS40)

hsin40

自變量〃的取值范圍應由不等式組

h>0,務cot40°力〉0

確定，定義域為0<%<返340°.

20.收斂音機每臺售價為90元，成本為60元.廠方為鼓勵銷售商大量采購,

決定凡是訂購量超過100臺以上的，每多訂購1臺，售價就降低1分，但最低價為

每臺75元.

(1)將每臺的實際售價p表示為訂購量x的函數(shù)；

(2)將廠方所獲的利潤尸表示成訂購量x的函數(shù)；

(3)某一商行訂購了1000臺，廠方可獲利潤多少？

解⑴當0仝§00時,p=90.

令O.Ol(xo-lOO)=9O-75,得xo=16OO.因止匕當x>1600時,p=75.

當100<r<1600時，

片90—(100)x0.01=91—0.01%.

綜合上述結果得到

900<x<100

p=<91-0.Olx100Vx<1600.

75x>1600

3Ox0<x<100

(2)P=(^-60)x=<31x-0.01x2100<x<1600.

15xx>1600

(3)P=31x1000-0.01x10002=21OOO(TE).習題1—10

1.證明方程J—3x=l至少有一個根介于1和2之間.

證明設兀1)=9-3x7,則加)是閉區(qū)間［1,2］上的連續(xù)函數(shù).

因為大1)=-3,/(2)=25,義1)/(2)<0,所以由零點定理，在(1,2)內至少有一點自

(1<欠2),使火爐0,即是方程1―3戶1的介于1和2之間的根.

因此方程》5_3X=1至少有一個根介于1和2之間.

2.證明方程x=asinx+6,其中“〉0,力〉0,至少有一個正根，并且它不超過a+b.

證明設/(x)=asinx+h-x,則/(x)是［0,a+8］上的連續(xù)函數(shù).

/(0)=Z),f(a+b)-asin(<?+/?)+Z>-(a+Z>)=<7［sin(<7+Z>)-1］<0.

若大q+b)=0,則說明x=a+b就是方程x=asinx+b的一個不超過a+b的根；

若加+3<0,則/(0)/(a+6)<0,由零點定理，至少存在一點生(0,。+6),使/(企0,

這說明x=J也是方程x=asinx+h的一個不超過a+b的根.

總之，方程x=asinx+6至少有一個正根，并且它不超過a+b.

3.設函數(shù)/(x)對于閉區(qū)間［a,回上的任意兩點x、乂恒有/(刈二/3)區(qū)￡歸-仇其中

L為正常數(shù)，且寅“)犬6)<0.證明：至少有一點小(a"),使得火J=0.

證明設刖為(a,6)內任意一點.因為

0<lim|/(x)-/(x)|<lim￡|x-x|=O,

XfX。0XfX。o

所以lim|/(x)-/(^)|=0,

即lim/(x)=/(x).

XfX。0

因此；(x)在(a,b)內連續(xù).

同理可證/(x)在點。處左連續(xù)，在點6處右連續(xù)，所以./)在口,句上連續(xù).

因為於)在小句上連續(xù)，且大社由零點定理，至少有一點"(“,6),使

得/(企0.

4.若義x)在［a,6］上連續(xù),a<ri<X2<,??則在上至少有一點使

/(再)+/(》2)+…+/(x“)

n

證明顯然於)在團,方］上也連續(xù).設M和機分別是兀。在［Xi,X"］上的最大值和

最小值.

因為為e［x1,X”］(1Wi<n),所以有從而有

n-m<f(xi)+f(x2)+-■-+f(xn)<n-M,

旌?上ZaW

n

由介值定理推論，在上至少有一點使

/(.=/(為)+/(叼)+,??+/(X”)

n

5.證明：若左)在(-00,+8)內連續(xù)，且lim/(x)存在，則義x)必在(-8,+00)內有

界.

證明令lim/(x)=N,則對于給定的￡>0,存在X〉0,只要|x|>X,就有

Xf8

\<￡,即A-￡</(X)<A+￡.

又由于危)在閉區(qū)間[-瓦川上連續(xù)，根據有界性定理，存在論0,使次x)區(qū)M

x&[-X,X].

取N=max｛M\A-e\,\A+e\｝,則心)區(qū)N,xe(-oo,+oo),即加)在(-oo,+00)內有界.

6.在什么條件下,3")內的連續(xù)函數(shù)/(x)為一致連續(xù)？

習題1-2

1.觀察一般項與如下的數(shù)列｛居｝的變化趨勢，寫出它們的極限：

解當〃-8時，——>0,lim—=0.

n2n〃一幻2n

⑵x〃=(-以」；

n

解當〃->8時，r=(-1)"-^0,lim(-l)"-=0.

n〃一>8n

⑶“2+3；

n

解當〃foo時,x=2+412,lim(2+4)=2.

M〃一>8片

5,福；

解當〃一時，x=之二|=1——^――>0,lim-^1=1.

〃+1774-1〃->8〃+1

⑸37(-1)〃.

解當"一>8時,X*〃(一1)〃沒有極限.

C0S若

2.設數(shù)列｛x｝的-,般項x〃=.—.問limx=?求出N,使當n>N時,x〃與其

nYlw—>oon

極限之差的絕對值小于正數(shù)￡,當“0.001時，求出數(shù)M

解limx=0.

w—>00

|cos警[11

|x-0|=........—,V^>0,要使一0|<￡,只要上<￡,也就是〃>人.取

wnnn8

N吧，

則V〃>N,有隔-0|<￡.

當f=0.001時，N=p]=1000.

g

3.根據數(shù)列極限的定義證明：

(l)lim^=0;

〃一>8斤

分析要使四一0上』<￡,只須〃2>L即〃>」.

nngyjs

證明因為VQ0,mN=[-%],當〃>"吐有叢-0|<￡,所以lim」=0.

y/en8〃/

(2)lim^±l=|;

2w+l2

分析要使I洌一^=而—<:<￡，只須;<￡，即〃〉

2〃+122(2〃+1)4%4〃4a

證明因為VQO「N=U-],當〃〉N時，有|誓|一京￡,所以lim等斗=2.

4e2/7+12?-?cc2n+\2

(3)1而近±貯=1;

w->oo/7

分析要使I五運-舊叵△"=-/才—<貯<￡,只須好

nnn^rr+a2+w)n8

證明因為T￡>0,mN=[^),當V〃〉N時，有|J〃2+42￡,所以

￡n

7^w

wl-i?mooY\=1

(4)limO.999…9=1.

/7—>00

〃個

分析要使10.99…9T|=矗一只須表3即心”吟

證明因為VQ0,mN=[l+lg~4,當因時,有|0.99???9一1|<￡,所以

lim0.999--9=l.

w->oovy;'

〃個

4.limM?=a,證明同.并舉例說明:如果數(shù)列｛*|｝有極限，但數(shù)列

〃一>8W-?0O

｛%,｝未必有極限.

證明因為lim〃”=a,所以V￡>0,mNeN,當〃〉N時，有%-a|<￡,從而

W—>00

\\un\-\a\\<\un-a\<￡.

這就證明了

"―>8

數(shù)列也/｝有極限，但數(shù)列｛&｝未必有極限.例如lim|(-但lim(-l)"不

〃一>008

存在.

5.設數(shù)列｛孫｝有界,又limy“=0,證明：limx仇=0.

00>00

證明因為數(shù)列｛%”｝有界，所以存在M使V〃wZ,有％區(qū)M

又limy“=0,所以VGO,mVGN,當〃〉N時，有|為|<￡.從而當〃>N時，有

〃一>00

\xnyn-O\^xnyn\<M\yn\<M~^￡,

所以limx?y?=O.

w->oo

6.對于數(shù)列｛x“｝,若X2bl->a(%f8),X2*->a(A■->8),

證明:x”fa(〃foo).

證明因為X2*-l->a(h~>8),X2A->。(左一>8),所以V￡>0,

水1,當2『1〉2KLi時，旬X2I-水￡；

3K2,當2A>2七時，有曲《—4|<￡.

取N=max｛2KT,2K2｝,只要n>N,就旬&-水￡.

因此x?-><7(〃->8).習題1-3

1.根據函數(shù)極限的定義證明：

(l)lim(3x-l)=8;

x->3

分析因為

|(3x-l)-8|=|3x-9|=3|x-3|,

所以要使|(3x-1)-8|<￡,只須|x-3|<1

證明因為VQOT6=；￡,當0<|x-3|<5時，有

|(3x-1)-8|<^,

所以lim(3x-l)=8.

3

(2)lim(5x+2)=12;

x->2

分析因為

|(5x+2)-l2|=|5x-l0|=5\x-2\,

所以要使|(5X+2)-12|<￡,只須|X-2|<$.

證明因為V￡>O,mb=%,當0小-2|"時，有

|(5x+2)—12|<￡,

所以lim(5x+2)=12.

x->2

⑶lim^=r=-4;

x—>—2x+2

分析因為

1弟+4)卜|中

=|x+2|=|x-(-2)|,

所以要使|弟-(-4)|<￡,只須|X-(-2)|<￡.

證明因為Ve>0,正￡,當0<,-(-2)|<5時，有

導-臼為

所以1加上4=-4.

x—>—2x+2

叫田=2.

分析因為

|霽-2|=|1-2>2|=2卜一(母，

所以要使|與富-2卜￡,只須心(一9《￡.

證明因為V￡>o,ms=權，當0平-(-9K5時，有

1-4x3-2|<￡,

2x+l

所以lim二《=2.

XT，2x+l

2

2.根據函數(shù)極限的定義證明：

⑴lim史？=!；

is2x32

分析因為

I1+X31II1+-3—一3|I

I2x32??2x3?2|x|3

所以要使I第一撲￡，只須②<￡，即曲卷?

證明因為V￡>o,mx=^j,當慟>XI1寸，有

<￡,

I2/2

3

所以1+X1

lim3

X—>002x2

⑵lim羋=0.

Xf+ooJ%

分析因為

Isinxn

所以要使|詈-0卜￡,只須亡<￡，即

證明因為當x〉X時,有

所以lim平=0.

x->+?y/X

3.當x-2時，12-4.問3等于多少，使當|x-2|<3時,[y-4]<0.001?

解由于當x->2時,|x-2|f0,故可設卜-2|<1,即1a<3.

要使

|X2-4|=|X+2||X-2|<5|X-2|<0.001,

只要以-2|〈”2-0.0002.

取酬0.0002,則當0<|x-2|<5時，就有|%2—4|<0.001.

4.當Xf8時，尸與231，問X等于多少，使當|x|>X時,A“<0.01?

x+3

解要使IW4T卜Y_7<601，只要曲、孱口=屈7故工=屈7.

?廿+31x'+3v0.01

5.證明函數(shù)4x)=(x|當x-0時極限為零.

證明因為

]/(x)-0|=||x|-0|=W=|x-0|,

所以要使火X)-0|<￡,只須W|<￡.

因為對VQ0,m展與使當0<|x-0|<a時有

〃)-0|=|葉0|<￡,

所以lim|x|=O.

x->0

6.求/(力=工，0(x)=區(qū)當xfO時的左、右極限，并說明它們在xfO時的極

XX

限是否存在.

證明因為

lim/(x)=lim—=lim1=1,

xfO-x—>0_Xx—>0-

lim/(x)=lim—=lim1=1,

x->0+X-?O+xx->o+

lim/(x)=limf(x),

XT。-X->0+

所以極限limf(x)存在.

x->0

因為

lim(p(x)=lim—=lim—=-l,

x->0-x->0-Xx—^0~X

lim(p(x)=lim—=lim—=1,

x-0+xfo+xx-?0+x

lim夕(x)wlim(p(x),

x->0-x-o+

所以極限lim°(x)不存在.

x->0

7.證明：若x-?+oo及xf-oo時，函數(shù)作)的極限都存在且都等于4,則

limf(x)=A.

X—>00

證明因為limf(x)=A,limf(x)=A,所以V￡>0,

3￥|>0,使當x<—Xi時，有次x)—*<￡；

3X2>0,使當x〉E吐有心)-Z|<￡.

取Kmax{X,也},則當|x|>X時，有次x)T|<￡,即limf(x)=

X—>COA.

8.根據極限的定義證明：函數(shù)於)當xfxo時極限存在的充分必要條件是左

極限、右極限各自存在并且相等.

證明先證明必要性.設危)f/(xrxo),則VeO,3^0,使當0<|x—xo|<b時,

有

\fix)-A\<s.

因此當Xo—灰X<Xo和Xo4<Xo+b時者6有

\f{x}-A\<￡.

這說明./(X)當X-X0時左右極限都存在并且都等于A.

再證明充分性.設於()-0)=75)+0)=4,則VoO,

的>0,使當劭-5<x<xo時，有|/(x)-z<￡；

3^>0,使當XO<X<M+6時，旬於)-4|<￡.

取Nmin{bi,⑻，貝(J當0<|x-x()|<6吐有劭-及劭44。+歷，從而有

\fix)-A\<s,

即/(X)—(x-?xo).

9.試給出xf8時函數(shù)極限的局部有界性的定理，并加以證明.

解Xf8時函數(shù)極限的局部有界性的定理：如果/(X)當Xf8時的極限存在，則

存在X>0及A7>0,使當(x|>X時,\f［x)\<M.

證明設/(X)—>4(x—8),則對于￡=1,3￥>0,當|x|>X時，有］/(x)—/|<￡=l.所以

］危)|=配)々+小心)-4+⑷<1+圖

這就是說存在X>0及止0,使當|x|>X時,心)|<加，其中止1+囿

習題1-4

1.兩個無窮小的商是否一定是無窮?。颗e例說明之.

解不一定.

例如，當Xf0時,a(x)=2x,/?(x)=3x都是無窮小，但,等!不是無

XTOp(x)3p{x)

窮小.

2.根據定義證明：

(1)歹=止?當x-3時為無窮?。?/p>

(2)^=xsin—當x->0時為無窮小.

x

證明⑴當中3時|y|=|止UHX—3].因為\/益0「指￡,當0<,一3]<6時，有

人I-D

|y|=|\=\x-3\<6=s,

八十D

所以當xf3時y=W為無窮小.

(2)當XHO時|y|=|M|sin.國x—0|.因為X/QO,三層￡,當0<|x—0|<b時，有

X

3=1刈sin』令-0|<S=￡,

X

所以當x->0時^=xsin—為無窮小.

x

3.根據定義證明：函數(shù)歹=叵為當x-0時的無窮大.問x應滿足什么條件,

X

能使帆>104?

證明分析|止|必卜|2+工?!-2,要使明>跖只須;-2〉M,即

XX|X|IXI

|x|<―--.

11M+2

證明因為\7止0T3="^,使當0<卜—0]<b時，有|上心卜M,

M+21x1

所以當x-0時，函數(shù)少=1±么是無窮大.

X

取代lot則旌就T當0平-0|〈而匕時，例>iot

4.求下列極限并說明理由：

(l)lim^tl;

X—>00X

1_2

(2)網產r.

XT01-X

解⑴因為紅包=2+工而當XFOO時!是無窮小，所以lim@il=2.

XXXXT8X

(2)因為?已=l+x(xwl),而當x->0時x為無窮小，所以lim\呈=1.

l-xXfO[-X

5根據函數(shù)極限圖無窮大定義，填寫下表:

加)》/)一>8危)一>400AX)~?F

x—>XoV6>o,3^>0,使

當0<|x-工()|<加寸，

有恒阿-力|<￡?

X—>%0+

X-kXo

V￡>o,3X>0,使當慟>X時，

XT9

有恒

Xf+00

Xf-00

解

/(X)f8,/(x)->+00,/(x)-?-00

VQO,m%0,使V心0,眸0,使\/M>Q,3^0,使VA^O,3^>0,使

X—>Xo當O<|x-xo|<<5^,當0<,-的|<冽寸，當O<|x-xo|<(5H寸，當O<|x-xo|<<5H^,

有恒有恒］y(x)l>以有恒道x)>M.有恒/(x)<-M

VQO,三￡0,使VA^O,3t^0,使VA^O,3^0,使\/M>0,3c^0,使

x—>Xo+當0<X-X0<加寸，當Oa-xoC^f,當O<x-xo<(511寸，當O<x-xo<加寸，

有恒貝x)-Z|<￡有恒麻)|>M有恒大x)>M有恒{x)<-M

V￡>0,m&o,使V壯o,m蘇0,使VA^O,3(^0,使VA^>0,3^>0,使

X^Xo~當0<r()-x<例寸，當O<xo-x<(5H寸，當O<ro-x<(5H寸，當0<r()-x<況1寸，

有恒火、)一4|<￡有恒]/(x)|>M有恒有恒/(x)<-M

Vfi>o,3A>0,使VQO,少>0,使WQO,WO,使V￡>0「X>0,使

X->00當團〉X時，有恒當|x|>X時，有恒當,|>X時，有恒當慟〉X時，有恒

\/[X)-A\<￡.lAx)|>M.Ax>M.Ax)<-M.

V6>0,3A>0,使VQO,止0,使WQO,少bO,使V￡>0,3A>0,使

X—>+oo當x〉X時，有恒當x>X時，有恒當x〉X時，有恒當x〉X時，有恒

\f{x)-A\<￡.|/(x)|>M汽x)>M.Ax)<-M.

VQO,援0,使V6>o,3A>0,使VGO,少6),使V￡>0,3A>0,使

X—>-00當x<-X時，有恒當x<-X時，有恒當x<-X時，有恒當x<-X時，有恒

\f[x)-A\<￡.阿1〉加AX)>M.Ax)<-M.

6.函數(shù)尸xcosx在(-8,+8)內是否有界？這個函數(shù)是否為當x->+oo時的無窮

大？為什么？

解函數(shù)尸XCOSX在(-00,+00)內無界.

這是因為V〃〉0,在(-00,+8)內總能找到這樣的X,使得.例如

yQk腐=2k兀cos2km2k兀(k=b,1,2,???),

當《充分大時，就旬興2人砂〉

當X->+00時，函數(shù)尸XCOSX不是無窮大.

這是因為VA/〉O,找不到這樣一個時刻N,使對一切大于N的X,都有伏x)|>M.

例如

火2左"+彳)=(2左乃+彳)85(2左乃+彳)=0(%=0,1,2,???)，

對任何大的N,當左充分大時，總有x=2版■+'>",但雙>)|=0<欣

7.證明：函數(shù)y=！sin^在區(qū)間。1］上無界，但這函數(shù)不是當x->0+時的無窮

XX

大.

證明函數(shù)y=Lin］在區(qū)間(0,1］上無界.這是因為

XX

YM>0,在。1］中總可以找到點修,使y(4)>以例如當

4=―1—(k=0,1,2,…)

2

時，有

yg)=2Ax+］,

當％充分大時,了(雙)〉加.

當X-0+時，函數(shù)y=1sinL不是無窮大.這是因為

XX

VM>0,對所有的分0,總可以找到這樣的點使0<弘<育但M/)<M?例如可

取

(A=0,1,2,…)，

ZK7T

當k充分大B寸,Xk<8,但y(x?)=2左疾in2左乃=0<M

習題1-5

1.計算下列極限：

⑴呵頭；

Xf2X-3

解.當=密=一9.

xf2x-32-3

丫2_&

解,弱亮=翳三=°.

x2-2x+l

⑶曬

x2-l

解！呷石竽書即高片ri吧備=3=°?

4X3—2/+X

⑷罌

3X2+2X

4x3-2x2+x4x^-2x+ll

解lim=lim：=

io3X2+2XV->O3X4-22

10+/?)2工2

Ah

22x2-^2hx+h2-x2

癡[.(x+/?)-x

Wlim----；-----=hrm=lim(2x+A)=2x.

oh/?->oh

(6)lim(2--+^-);

x->8xx

解lim(2--+-^)=2-lim-+lim-^=2.

x->00XxzXfooxx->00xz

v2_i

⑺limJ；，；

x-?oo2x—x—1

iL

v2_i

解lim-=lim

X->002xz-x-lXf812,

,2

XX

（8）lim產+：;

8爐_3工2_1，

2

解lim4，二+；,=0（分子次數(shù)低于分母次數(shù),極限為零）.

x78x4-3x2-l

1+1

lim\x,=0.

或42

X—8X-3X-1XT8]__2__1_

（空陪―6x+8,

一5x+4'

lim舒辿=1而尹巫?=1而。=分等.

解

x->4x2—5x+4x->4(X—l)(x—4)x->4X—14—13

(10)lim(l+l)(2-t)；

XT8XX

解lim(l+-)(2-4-)=lim(l+-)-lim(2-^-)=lx2=2.

XT8XXZX->8XX->8Y2

co、].[+2+3d---F(w—1)

(12)hm-------5--~~-；

w—>oon

(〃一1)〃

布衛(wèi)1+2+3H---F(W—1)[.21v/7—11

解hrm-------z——---」lim——%—lim----二彳.

8Ytw—>002〃一>8Yl2

(13)lim("+D("+2)("+3)

-5/

解lim(n+l)(n+2)(n+3)=l(分子與分母的次數(shù)相同，極限為

〃->0°5n5

最高次項系數(shù)之比).

t-(〃+1)(〃+2)(〃+3)11\八2、/i3、1

或lim-——--r21-----=-7rlimZ(1l+—)(1+—)(1+—)=-.

mg5n55nnn5

(14)!呼士一金)；

2

解！呼士一3.)=iiml+x+x-3lim(l-x)(x+2)

1-x3Xf1(l-x)(l+x+x2)Xf1(l-x)(l+x+x2)

=_lim^±2=_1

Xfll+X+X，

2.計算下列極限：

⑴甄汗

解因為啊嗎假肛所以!喘舞a

2

(2)r

XT82x+l

2

解lim—v=oo(因為分子次數(shù)高于分母次數(shù)).

XT82x+l

(3)lim(2x3-x+l).

XT8

解lim(2x3-x+l)=oo(因為分子次數(shù)高于分母次數(shù)).

XTOO

3.計算下列極限：

(1)limx2sin—;

iox

解lim/sinL。(當x-0時是無窮小，而sin^是有界變量).

10xx

(2)lim^nx.

Xf8X

解limarctan壬=|jmX.arctanx=O(當x—>oo時，—是無窮小，

x->8xx->ooxx

而arctanx是有界變量).

4.證明本節(jié)定理3中的(2).

習題1—6

1.計算下列極限:

xfOx10OJX

(2)lim1^3x；

解lim咽盤=31im皿?一L-=3.

x->oxio3xcos3x

⑶1而皿;

x->osin5x

解lim皿=lim也空上2二

x->osin5xx->o2xsin5x55

(4)limxcotx;

x->0

解limxcotlim—?cosx=limF-limcosx=l.

x-?ox->osinxx-?osinxxfo

1-l-cos2x.

(5)hm—：——；

x->oxsinx

解limkco^=limlzc^=lim2^=21im(sinx)2=2,

z1

XT。xsinxxfOxDXx—OX

或lim上2L=iim辿a=21im皿=2.

xfoxsinxx—oxsinxx->ox

(6)lim2"sin二(x為不等于零的常數(shù)).

f1

H->002

sin.

解lim2"sin工=lim―^，x=x.

82H〃―>8X

2.計算下列極限：

1

(l)lim(l-x)^;

x->0

J_—(-1)—!—

解lim(l-=lim[l+(-x)](T)={lim[l+(-x)](_x)}-1=e~l.

xf0x->0x-?O

(2)lim(l+2x)x；

x->0

1_1_2J_

解lim(l+2x)x=lim(l+2x)2x=[lim(l+2x)2x]2=e2.

xfOxf0xf0

⑶lim(l±￡)2x.

XT8X

解limd±)2x=[lim(l+』)x]2=e2.

X->8XX->8X

(4)lim?！孤?左為正整數(shù)).

XT8X

fcvk

解lim(l--)=lim(l+_L)(-^)(-*)=e-.

XXfoo—X

3.根據函數(shù)極限的定