概率論與數(shù)理統(tǒng)計講義稿

第一章隨機事件與概率

§1>1隨機事件

1、1、1隨機試驗與樣本空間

概率論約定為研究隨機現(xiàn)象所作得隨機試驗應(yīng)具備以下三個特征：

（1）在相同條件下試驗就是可重復(fù)得；

（2）試驗得全部可能結(jié)果不只一個,且都就是事先可以知道得；

（3）每一次試驗都會出現(xiàn)上述可能結(jié)果中得某一個結(jié)果，至于就是哪一個結(jié)果則事前無法

預(yù)知。

為簡單計，今后凡就是隨機試驗皆簡稱試驗，并記之以英文字母。稱試驗得每個可能結(jié)果

為樣本點,并稱全體樣本點得集合為試驗得樣本空間，分別用希臘字母與表示樣本點及樣本空

間。

必須指出得就是這個樣本空間并不完全由試驗所決定，它部分地取決于實驗得目得。假

設(shè)拋擲一枚硬幣兩次，出于某些目得,也許只需要考慮三種可能得結(jié)果就足夠了，兩次都就是

正面，兩次都就是反面，一次就是正面一次就是反面。于就是這三個結(jié)果就構(gòu)成了樣本空間。

但就是，如果要知道硬幣出現(xiàn)正反面得精確次序，那么樣本空間就必須由四個可能得結(jié)果組

成,正面-正面、反面-反面、正面-反面、反面-正面。如果還考慮硬幣降落得精確位置,它們在

空中旋轉(zhuǎn)得次數(shù)等事項,則可以獲得其它可能得樣本空間。

經(jīng)常使用比絕對必要得樣本空間較大得樣本空間，因為它便于使用。比如,在前面得例子

中，由四個可能結(jié)果組成得樣本空間便于問題得討論，因為對于一個“均勻”得硬幣這四個

結(jié)果就是“等可能”得。盡管這在有3種結(jié)果得樣本空間內(nèi)就是不對得。

例1、1、1:從最簡單得試驗開始，這些試驗只有兩種結(jié)果。在拋擲硬幣這一試驗中出

現(xiàn)“正面”或“反面”；在檢查零件質(zhì)量時，可能就是“合格”或“不合格”；當用來模擬電

子產(chǎn)品旋轉(zhuǎn)得方向時，結(jié)果就是“左邊”或者“右邊”；在這些情況下樣本空間簡化為：=｛正

面，反面｝。

:更復(fù)雜一些,有得隨機試驗會產(chǎn)生多種可能得結(jié)果，比如擲一顆骰子,觀察出現(xiàn)得點數(shù)。

樣本空間為：。

:擲兩枚硬幣（或者觀察兩個零件或兩個電子產(chǎn)品），可以得到

=｛（正面，正面）、（反面，反面）、（正面，反面）、（反面，正面）｝

讀者可以將其推廣到擲n個硬幣，樣本空間里有多少樣本點呢？

:再復(fù)雜一些,一名射手向某目標射擊,直至命中目標為止,觀察其命中目標所進行得射

擊次數(shù)。從理論上講,只要不能擊中目標,射手就必須一直射下去,故樣本空間為

其中含無窮多個樣本點。這也適用于商品銷售，假設(shè)商場可以無限量地銷售某種商品,每天銷

售得該商品數(shù)得樣本空間為。

:在人類學研究中“隨機抽取一個人”并測量她得身高與重量，電梯設(shè)計師能利用這些資

料設(shè)計電梯得空間與載重，對于中國人，身高（單位：米）得樣本空間取就足夠了，體重（單位:

公斤）得樣本空間取也許就足夠了。在大部分實際得設(shè)計問題中，設(shè)計師有時會同時考慮電梯

使用者得所有可能得身高與體重，更具體地說，設(shè)計者通常會對同時提供了可能使用者身高

與體重得結(jié)果感興趣。因此，樣本空間就是?？?/p>

1、1、2隨機事件

隨機試驗得結(jié)果稱為隨機事件,簡稱事件,并以大寫英文字母記之。

1、1、3事件與集合得對應(yīng)以及它們得運算

通常用希臘字母表示樣本空間，表示樣本點。稱“就是得成員”或者“屬于”，或者“就

是得元素”，記為、

如果不就是試驗得一個可能結(jié)果，那么不就是得元素，則記為、

一個事件對應(yīng)于樣本空間得一個子集,因此某事件發(fā)生當且僅當它對應(yīng)得子集中得某個

元素（即樣本點）在試驗中出現(xiàn)。用表示事件就是得子集。事件得相互關(guān)系與集合論中集合得

包含、相等以及集合得運算等概念對應(yīng)。以下就就是這些對應(yīng)關(guān)系與運算。為簡化起見，以

下均假設(shè)涉及得集合等都就是得子集，而不再每次申明。

1.事件得包含一集合得包含

集合即“包含于"，意為中元素都在中，或說，如果，必有。對應(yīng)于事件，表示得樣本點都

在中，即當?shù)脴颖军c出現(xiàn)于試驗結(jié)果之中，即發(fā)生時，當然也就發(fā)生了，或說“得發(fā)生必導(dǎo)致得

發(fā)生”。

圖1、1得文氏圖

2.事件得相等一集合得相等

稱集合A與B相等，并記為,就是說“且”。對應(yīng)于事件,稱A與B相等,記為,就就是“如

果發(fā)生，則必然發(fā)生，同樣如果發(fā)生,則必然發(fā)生”。相等得事件含有相同得樣本點。

3.事件得并（與）一并集

集合A與B得并集記為,它得元素或者屬于,或者屬于（當然有得可能同時屬于A與B）,

即。對應(yīng)事件得并表示“或至少有一個發(fā)生”。

圖1、2得文氏圖

并得概念可以推廣到個事件與可數(shù)個事件，得并表示“中至少有一個發(fā)生”；可數(shù)個事

件得并表示“中至少有一個發(fā)生”。

4.事件得交（積）一交集

兩個集合A與B得交集記為，它就是由既屬于A又屬于8得元素構(gòu)成得集合，即

對應(yīng)于事件得交表示“A與B同時發(fā)生”。常簡記作。

圖1、3得文氏圖

類似地，交得概念也可以推廣到個事件得交，表示“個事件同時發(fā)生”，可數(shù)個事件得交

表示“可數(shù)個事件同時發(fā)生”。

5.逆事件（對立事件）一補集

得子集A得補集記為，它就是由屬于但不屬于A得元素構(gòu)成得集合，因為僅牽涉到屬于（樣

本空間）得點，集合就就是由那些不屬于A元素組成得。記為

圖1、4得文氏圖

對應(yīng)于事件,發(fā)生當且僅當不發(fā)生時發(fā)生,稱作事件得逆事件。利用上述事件得并與交得

運算符號,有

及

6.事件得差一差集

集合與得差集由中那些不屬于得元素全體組成。對應(yīng)地,事件得差表示“發(fā)生而不發(fā)生”

即。

圖1、5得文氏圖

7.互斥（或不相容）一事件不交集

在集合論中,若,則表明,沒有公共元素,它們互不相交。對應(yīng)于事件,若,則表明，不同時

發(fā)生,稱與互斥（或不相容）。

圖1、6得文氏圖

8.必然事件與不可能事件一樣本空間與空集

有兩個特殊得集合需要特別討論，一個就是樣本空間本身，從集合得定義容易推斷出就是

它自身得子集，從包含關(guān)系得左邊取一個元素使它不在右邊集合中，顯然就是不可能得，因

此。又假設(shè)存在集合，該集合不包含任何元素（空得集合），必定就是每一個集合得子集,對任何

子集,要從中找到一個元素不在中，顯然就是不可能得，因為沒有元素，因此，成立。

對應(yīng)于事件,稱試驗必然會出現(xiàn)得結(jié)果為必然事件。

注意到以下等式總就是成立得

上述事件間得關(guān)系與運算可由集合論中得文氏圖予以展示。

與集合運算一樣,事件得運算亦有如下得運算律：

1.交換律:，；

2.結(jié)合律:,;

3.分配律:，；

4.對偶律:，。

上述運算律亦可推廣到任意有限個或可列個事件得情況。例如,對個事件有分配律

對偶律留給讀者自行寫出。

圖1、7個事件得關(guān)系圖

對可列個事件得分配律也留給讀者，此處給出有對偶律

及

為幫助讀者熟悉事件得運算。以三個集合為例,小B與C得并集，如圖1、8得文氏圖就

是有用得。根據(jù)圖1、8,請讀者檢驗這些等式：

A(BC)=(AB)(AC),A(BC)=(AB)(AC)

圖1、8三個事件得關(guān)系圖

例已知一批機器螺釘中含有許多次品，隨機抽取三個并檢驗。令分別表示其第一、二、

三次所抽到得螺釘就是次品得事件。試用及其運算表示下列事件：

⑴第三次抽到正品；（2）只有第三次抽到次品；（3）恰有一次抽到次品；（4）至少有一次抽到次

品；（5）不止一次抽到次品（或至少抽到兩個次品）；（6）沒有抽到次品。

解（1）（2）（3）

(4)(5)⑹、

§1、2概率

1、2、1頻率與概率

定義1、2、1稱在相同條件下所做得次試驗中事件發(fā)生得次數(shù)為發(fā)生得頻數(shù)，并稱比

值為事件發(fā)生得頻率,記作

定義1、2、2在相同條件下所做得次試驗中，當時,事件發(fā)生得頻率穩(wěn)定在某個常數(shù)附

近。稱此常數(shù)為事件發(fā)生得概率,記作

1、2、2概率得公理化定義

定義1、2、3設(shè)試驗得樣本空間為。對于中每一個事件都賦予一個實數(shù)，它具有以下

三條基本性質(zhì)：

1、；

2、;

3、如果就是中任意一列兩兩互斥得事件，無論有限或無限，如果

表示事件“至少出現(xiàn)一個“，則

或表示為

則稱實數(shù)為事件得概率。

利用概率得三條基本性質(zhì)可以推導(dǎo)出概率得其她性質(zhì)。

4、。

證因,，故由基本性質(zhì)2及3有

移項即得?？?/p>

5、不可能事件得概率為0,即。

證因，由基本性質(zhì)3有

再由性質(zhì)1得。口

注空集得概率為0,它被稱之為不可能事件。但要注意得就是這并不就是意味著一個概率為

0得事件A必須就是“不可能”或者等于。將在后面舉例說明。

6、有限可加性:若事件兩兩互斥，則

證因，故

再由性質(zhì)3與5即得?？?/p>

注本性質(zhì)從概率得可數(shù)可加性導(dǎo)出了有限可加性。

7、若，則且

O

證由于，則，且與互斥，故由性質(zhì)6有

即。

再由性質(zhì)1,,于就是?？?/p>

8、（加法定理）如果與就是任何事件，不必就是互斥事件，則

證顯然

與

對于每一個等式來說右端得并集中得兩個事件都就是互斥事件。

根據(jù)性質(zhì)3

第二個等式給出，把它代入第一個等式就得到了要證明得結(jié)論。

可將性質(zhì)8推廣到個事件得情形:如果“就是任何事件，不必就是互斥事件，則

「J屋「⑷M4）

（1、2、3）

右邊得這些加與包括了單個事件、兩個事件、三個事件等得所有可能得交集。

證遵循性質(zhì)8得證明可以用歸納法證得，具體得細節(jié)省略,熟悉歸納法證明得讀者應(yīng)該

沒有困難得補充這些證明?！?/p>

1、2、3古典概型

下面討論一類在概率論發(fā)展初期討論得最多得試驗一一古典概型得概率計算。它適用于

有限得離散概率空間得情形,并且每個樣本點都以等可能出現(xiàn)。

定義1、2、4設(shè)試驗得樣本空間有有限多個樣本點，即,且每個樣本點出現(xiàn)得可能性相

同。稱此試驗為古典概型。

因為樣本點就是兩兩互斥得,根據(jù)概率得基本性質(zhì)2與3,在古典概型中,一方面有

另一方面，所有都相等，所以

可見每一個樣本點出現(xiàn)得概率為

所以,若事件由個樣本點構(gòu)成,則其發(fā)生得概率

這就是古典概型計算事件概率得基本公式。

§1、3獨立性

1、3、1事件得獨立性

1、兩個事件得獨立性

從字面意義上說,若事件與事件得發(fā)生互不影響,稱與相互獨立應(yīng)就是恰當?shù)?。那么概?/p>

論中該如何定義事件得獨立性呢？

定義1、3、1稱兩個事件與互相獨立（或者統(tǒng)計意義下得獨立），如果

（1、3、1）

作為特殊情形，若中有一個就是必然事件或不可能事件，則（1、3、1）式顯然成立。這表

明，任意事件都與（或）相互獨立。

定理1、3、2設(shè)事件與事件相互獨立，則與，與，與亦相互獨立。

證以下證明與相互獨立，

此即與得獨立性。關(guān)于事件與獨立，只要交換與角色即可。類似可證關(guān)于事件與得獨立性。

□

初學者往往容易將事件與獨立與事件互斥相混淆,常誤以為獨立就就是互斥?；蛟S就是

獨立與互斥這兩個漢語詞匯得詞義相近造成這樣得誤解。其實當都具有正概率時，由定義1、

3、1,若獨立,則,從而相容而不就是互斥;而當互斥時則因，但,所以不獨立。

2、多個事件得獨立性

先考慮3個事件,稱事件兩兩獨立,如果

（1、3、2）

進一步稱互相獨立，如果（1、3、2）成立，并且

（1、3、3）

也成立。顯然互相獨立要強于兩兩獨立。

讀者也許會問，三個事件得獨立性可否只用公式（1、3、3）來定義？回答就是否定得。

由于（1、3、3）式成立不能保證（1、3、2）式成立，若只用（1、3、3）來規(guī)定三個事件得獨立性

就可能出現(xiàn)下面得令人難以接受得結(jié)果:當滿足，中可能有兩個事件不相互獨立。請瞧下面得

例子：

例1、3、3假設(shè)投擲兩枚均勻得硬幣，設(shè)就是事件“第一次出現(xiàn)正面”，設(shè)就是事件“第

二次出現(xiàn)正面”，設(shè)就是事件“兩個硬幣匹配”（兩個正面或兩個反面）。易知事件與事件就是

獨立事件，而事件與也就是獨立事件，同樣與就是獨立事件（為什么？）。所以事件，與就是兩兩

獨立，但就是觀測，然而

從而事件，與就是不獨立得，盡管她們就是兩兩獨立?？?/p>

另一種情況，僅有（1、3、3）,也不能保證1、3、2）成立，見下例。

例1、3、4擲一顆骰子,觀察其點數(shù)。令,，，則有

于就是

例1、3、3與1、3、4表明，等式（1、3、2）與（1、3、3）不能互相自然導(dǎo)出?？梢娪桑?、

3、2）及（1、3、3）來定義三個事件得相互獨立性就是完全必要得。以下把它推廣到個事件。

定義1、3、3稱事件兩兩相互獨立得，如果

（1、3、4）

對任何成立、

若個事件滿足以下個等式

則稱個事件相互獨立。

由此定義瞧出，在規(guī)定個事件得相互獨立性時應(yīng)能保證其中得任意個事件亦相互獨立。

惟有如此才就是合理得。因此也可把上述定義重述為:稱一列事件就是相互獨立得,如果其中

任意有限多個事件相互獨立。

對于個相互獨立得事件亦有類似于定理1、3、2得重要結(jié)論，這里不再贅述。

33、2伯努利概型

像擲硬幣試驗?zāi)菢又挥袃蓚€可能結(jié)果與得試驗稱之為伯努利（Bernoulli）試驗。又如，

射手向某目標射擊,只考慮兩個結(jié)果:擊中與未擊中;擲一顆骰子考察結(jié)果就是出現(xiàn)6點還就

是未出現(xiàn)6點;從一批產(chǎn)品中任意取出一件產(chǎn)品,瞧其就是合格品還就是不合格品；買彩票中

獎或不中獎;這些都就是伯努利試驗。為方便計，有時將稱作“成功”，而將稱作“失敗”。

與擲硬幣試驗一樣,人們可在相同條件下將伯努利試驗重復(fù)進行次。顯然,次試驗得結(jié)果

應(yīng)就是相互獨立得,且每次試驗中事件發(fā)生得概率都一樣。稱這樣得試驗為獨立重復(fù)試驗。

定義1、3、4稱獨立重復(fù)進行得次伯努利試驗為重伯努利試驗。稱獨立重復(fù)進行得可

數(shù)次伯努利試驗為一個伯努利獨立試驗序列。

例1、3、6（例1、2、5續(xù)）設(shè)一個口袋里有6個紅球與4個白球，每次從中取出一個球,

再放回，連續(xù)取3次。求恰有2個紅球得概率。

解這就是一個3重伯努利試驗。由題設(shè)可知每次取到紅球得概率為0、6,若以表示第

次“取到紅球”得事件,則試驗得樣本空間為

o={A4A，A4A，AAA，AAA，A4A，A4A，A4A，AAA）.

由獨立性,容易算出每個樣本點出現(xiàn)得概率。例如,而。

由于事件="恰有2個紅球”=,其中樣本點就是兩兩互斥得,所以

§1、4條件概率

1、4、1條件概率

定義1、4、1設(shè)為兩個事件,若,則定義“事件發(fā)生條件下事件發(fā)生得條件概率”為

（1、4、2）

定義1、4、1適用于任何隨機試驗（而非只適用于古典概型）得條件概率定義，它同時提

供了用無條件概率計算條件概率得方法。因為條件概率也就是概率,因此它也應(yīng)具有類似無

條件概率得三條基本性質(zhì)：

1、；

2、;

3、對兩兩互斥得事件列，有

（1、4、3）

注條件概率既然就是概率,它也應(yīng)有概率得其她性質(zhì)，如加法定理:如果與就是任何事件,

不必就是互斥事件，則

讀者可以把無條件概率得其她性質(zhì)推廣到條件概率。

可以把條件概率進一步推廣到多個事件得情形，如果就是n個事件，給定出現(xiàn)，那么得條

件概率由下面得公式給出：

（1、4、4）

1、4、2乘法公式

利用定義1、4、1立即可得下面得概率乘法定理。

定理1、4、2設(shè)為兩個事件,則當時，

（1、4、5）

稱上面得公式為乘法公式。

有一個重要得特殊情形，當與相互獨立時,事件得發(fā)生不會改變發(fā)生得概率，即時,這時

乘法公式變?yōu)?/p>

（1、4、6）

反之，當時，若相互獨立，則有獨立性定義與公式（1、4、3）有于就是得到下面得定理。

定理1、4、3設(shè),則事件相互獨立得充要條件就是

（1、4、7）

下面給出乘法定理得推廣形式。

定理1、4、4設(shè)有個事件滿足,則有

4）=P（A）P（AIA）P（4IA4）尸（AJAAAT）4、

8）

證注意到，并次使用定理1、4、2即得。

□

1、4、2全概率公式與貝葉斯公式

定義1、4、4假設(shè)就是為某試驗得樣本空間得一組互不相容得事件,也就就是滿足，如

果還滿足,則稱事件組為得一個分割。即任兩個不可能同時出現(xiàn)，而且其中一個必須出現(xiàn)。

定理1、4、5設(shè)為得一個分割,且有,則對任意事件有

（1、4、10）

證由定理假設(shè),就是任何事件，如果發(fā)生，那么它必然與中一個同時發(fā)生（見圖1、9）o即

因兩兩互斥，故亦兩兩互斥，由概率地定義1、2、3得性質(zhì)3可得

再利用公式（1、4、5）就得

P（A）=P（AI4）P（4）+P（AI與）尸（與）+…+P（AIB“）P電）

□

全概率公式可以推廣到可數(shù)得子集構(gòu)成得分割得情形。即假設(shè)就是可數(shù)多個互不相容事

件，且滿足,與,則如果有,則對任意事件有

（1、4、11）

下面來探討另一個問題。如果觀測到事件實際發(fā)生，要計算條件概率。通過使用（1、4、

4）與（1、4、11）,發(fā)現(xiàn)

（1、4、12）

公式（1、4、12）稱為貝葉斯（Bayes）公式，有許多得應(yīng)用。

定理1、4、6（貝葉斯定理）事件組為得一個分割，且有，則對任意事件有

證由條件概率公式（1、4、2）

分子使用乘法公式（1、4、5）、分母用全概公式（1、4、10）即得。

通常稱上述公式為貝葉斯公式或逆概公式。

第一章

一、選擇題。

1、設(shè)為隨機事件，且，則必有（)

(B)

（c）（D）

2、將一枚硬幣獨立地擲兩次,引進事件:=｛擲第一次出現(xiàn)正面｝,=｛擲第二次出現(xiàn)正面｝=｛正、

反面各出現(xiàn)一次｝,=｛正面出現(xiàn)兩次｝，則事件有（）

（A）相互獨立（B）相互獨立

（C）兩兩獨立（D）兩兩獨立

3、對于任意二事件與，則（）

（A）若,則一定獨立（B）若,則有可能獨立

（0若,則一定獨立（D）若,則一定不獨立

4、，就是兩隨機事件,當,發(fā)生時事件發(fā)生,則以下正確得就是（）

A）、B）、

C）、D）、

5、，，就是三個隨機事件，其中，且己知，則以下正確得就是（）

A）、B）、

C）、D）、

6、，，就是三個隨機事件，設(shè)以下條件概率均有意義，則以下不正確得就是（）

A）、B）、

C）、

D）、

7、，就是兩個隨機事件，其中，則以下正確得就是（）

A）、，，一定獨立B）、，，不一定獨立

0、，，一定獨立D）、，，不一定獨立

8、甲袋中有2個白球3個黑球，乙袋中全就是白球,今從甲袋中任取2球,從乙袋中任取1

球混合后,從中任取1球為白球得概率

9、10臺洗衣機中有3臺二等品,現(xiàn)已售出1臺,在余下得9臺中任取2臺發(fā)現(xiàn)均為一等品,

則原先售出1臺為二等品得概率為

10、若A,B為任意兩個隨機事件，則()

(A)(B)

(C)(D)

11、某人向同一目標獨立重復(fù)射擊,每次射擊命中目標得概率為,則此人第4次射擊恰好第2

次命中目標得概率為()

(A)(B)

(C)(D)

12、設(shè)43就是兩個隨機事件,且0<P(A)<1,P(B)>0,P(B|A)=P(B|Z),則必有()

(A)P(A|B)=尸(A|B)(B)P(A|B)豐P(A\B)

(C)P(AB)=P(A)P(B)(D)尸(AB)rP(A)P(B)

二、填空題

1、，就是兩隨機事件,，，則。

2、，就是兩隨機事件,，，則0

3、，就是兩隨機事件,，，則o

4、一袋中有10件產(chǎn)品,其中3件次品,7件正品，從中不放回地取3次,則“至少有兩件次品

得概率”為。

5、從5雙不同得鞋子中任取4只，則此4只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙得概率

為o

6、設(shè)有個人,每個人都等可能得被分配到個房間中得任意一間去住，求(1)、指定得個房間各

有一個人住得概率為。(2)、恰有個房間各有一個人住得概率

為。

7、從中任取兩個數(shù)與,則滿足條件得得概率為。

8、隨機地向半圓(其中，就是常數(shù))內(nèi)擲一點,則原點與該點得連線與軸得夾角小于得概率為

9、從長度為得線段內(nèi)任取兩個點，將其分成三段，求它們可以構(gòu)成一個三角形得概率

為o

10、試證對任意兩個事件與,如果,則有

)

11、設(shè)P｛A)>0,>0,證明⑴若/與8相互獨立,則A與6不互斥.(2)若4與6互斥，

則4與6不獨立.

12、設(shè)兩兩相互獨立得三事件A,B,C,滿足：/8C=,尸(4)=尸(8)=尸(。<,并且,求事件A得概

率.

13、一袋中有5件產(chǎn)品，其中2件次品,3件正品,從中不放回地取2次,設(shè)=｛第一次取得正

品｝,=｛第二次取得正品｝，則。

14、若在區(qū)間(0/)內(nèi)任取兩個數(shù),則事件”兩數(shù)之與小于g”得概率為—、

15、在區(qū)間中隨機地取兩個數(shù),則這兩個數(shù)之差得絕對值小于得概率為、

16、設(shè)兩個相互獨立得事件A與8都不發(fā)生得概率為1,A發(fā)生B不發(fā)生得概率與B發(fā)生A不

9

發(fā)生得概率相等,則尸(A)=、

17、一批產(chǎn)品共有10個正品與2個次品,任意抽取兩次,每次抽一個，抽出后不再放回，則第

二次抽出得就是次品得概率為、

18、甲、乙兩人獨立地對同一目標射擊一次，其命中率分別為0、6與0、5,現(xiàn)已知目標被命

中，則它就是甲射中得概率為、

第二章一維隨機變量及其分布

§2、1隨機變量

隨機試驗有各種不同得可能結(jié)果，有些情況下，這些可能得結(jié)果都可以用數(shù)量表示。

【例】在含有3件次品得20件產(chǎn)品中，任意抽取2件觀察出現(xiàn)得次品數(shù)。如果用

表示出現(xiàn)得次品數(shù)，則可能取得值有0、1、2,取不同得值代表不同事件得發(fā)生。

””表示事件“沒有次品”

表示事件“有一件次品”

表示事件“有兩件次品”。

有些試驗結(jié)果并不直接表現(xiàn)為數(shù)量，但可以使其數(shù)量化。

【例】拋擲一枚硬幣，觀察出現(xiàn)正面還就是反面。我們規(guī)定:變量取值如下

表示事件“出現(xiàn)反面”

表示事件“出現(xiàn)正面”

這樣便把試驗結(jié)果數(shù)量化了。

無論哪一種情形,都體現(xiàn)出這樣得共同點:對隨機試驗得每一個可能結(jié)果，有唯一一個實

數(shù)與它對應(yīng)。這種對應(yīng)關(guān)系實際上定義了樣板空間上得函數(shù),通常記作,。

定義設(shè)隨機試驗得樣板空間為，就是定義在樣板空間上得實單值函數(shù)，稱為一維隨機變

量，通常用大寫字母等表示。

隨機變量得取值隨試驗得結(jié)果而定，在試驗前不能預(yù)知它取什么值，即隨機變量得取值

就是隨機得,具有偶然性;但隨機變量取某一值或某一范圍內(nèi)值得概率就是確定得，具有必然

性。如，例1中“有一件次品”；例2中（“出現(xiàn)正面”）。這顯示了隨機變量與普通函數(shù)有著

本質(zhì)得差異。

引入隨機變量，可以將對隨機事件得研究轉(zhuǎn)化為對隨機變量得研究,進一步有可能用數(shù)學

分析得方法對隨機試驗得結(jié)果進行深入得研究。

根據(jù)隨機變量取值情況得不同,最常見得隨機變量有離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量

兩種。

§2、2離散型隨機變量

定義如果隨機變量得全部可能取值就是有限個或可列無限多個，則稱這種隨機變量為

離散型隨機變量。

例如，“擲骰子出現(xiàn)得點數(shù)”，“某班數(shù)學得及格人數(shù)”只能取有限個值，“命中目標前

得射擊次數(shù)”可取可列無窮多個值，它們都就是離散型隨機變量。

一、離散型隨機變量得概率分布

對于離散型隨機變量，除了要知道它可能取哪些值外，更重要得就是要知道它取這些值

得概率。

定義設(shè)離散型隨機變量所有可能取得值為

取這些值得概率依次為，則稱

,0

為離散型隨機變量得概率分布或分布律。

概率分布也可以用如下表格得形式表示:

由概率得定義，概率分布具有以下兩個性質(zhì):

(1),(2)o

【例】若離散型隨機變量得概率分布為

求常數(shù)得值。

解由概率分布得性質(zhì)，有

所以

二、三種常見離散型隨機變量得分布

1.分布(或兩點分布)

定義設(shè)隨機變量只可能取0、I兩個值，它得概率分布為

,0

即，

或

0

則稱服從參數(shù)為得分布或兩點分布。

只有兩種可能結(jié)果得隨機試驗得概率分布都可用兩點分布表求，如產(chǎn)品得“合格”與“不

合格”；新生兒得“男”、“女”性別;射擊目標“命中”與“沒命中”；以及擲硬幣得“出現(xiàn)

正面”與“出現(xiàn)反面”等等。

2.二項分布

定義設(shè)隨機試驗只有兩種可能得結(jié)果:或，在相同條件下將重復(fù)進行次,各次試驗結(jié)果

互不影響,則稱該次試驗為重獨立試驗，又稱為重貝努利試驗。

若試驗中，事件發(fā)生得概率,(),可以證明在重貝努利試驗中，事件恰好發(fā)生次得概率為。

定義若隨機變量得概率分布為

,0

其中，則稱服從參數(shù)為得二項分布，記為?？梢宰C明其滿足分布律得兩個條件。

特別地，當時，二項分布化為

即為分布或兩點分布。

注意到恰就是二項展開式中得第項，二項分布由此得名。

滿足二項分布得隨機變量得取值就就是事件在重貝努利試驗中發(fā)生得次數(shù)。

3.泊松分布

定義設(shè)隨機變量所有可能取得值為,而取各個值得概率為

,0

其中就是常數(shù)，則稱服從參數(shù)為得泊松分布,記為?？梢宰C明其滿足分布律得兩個條件。

一般地，泊松分布可以作為描述大量重復(fù)試驗中稀有事件出現(xiàn)得頻數(shù)得概率分布情況得

數(shù)學模型，即當很大，很小，而乘積大小適中時，二項分布可以用泊松分布作近似

,0

§2、3隨機變量得分布函數(shù)

一般情況下,人們只對某個區(qū)間內(nèi)得概率感興趣,即研究下列四種可能得區(qū)間得概率

P［xl<X<x2］或P｛玉<X<x2］或P｛玉（Xv%｝

只要利用一維坐標軸就分容易得出下列結(jié)論

P{xx<X<x2}=P{X<x2}-P[X<Xl]

P{xl<X<x1\=P[X<x2}-P[X<x{-s}

當

P[x1<X<x2]=P[X<x2-s]-P[X<xt-s]

P{xl<X<x2]=P{X<X2-￡}-P{X<X1}

所以，我們只須定義一個形式就可以了，其她區(qū)間形式都可以用它表示出來。

于就是定義歷福分布函數(shù)|。它就就是落在任意區(qū)間上得概率,本質(zhì)上就是一個累積函數(shù),對

于離散點,采用疊加,對于連續(xù)點,使用一元積分。

定義設(shè)就是隨機變量,就是任意實數(shù)，函數(shù)

稱為得分布函數(shù)。

分布函數(shù)就是一個普通得函數(shù)，其定義域就是整個實數(shù)軸.在幾何上，它表示隨機變量X

得取值落在實數(shù)x左邊得概率

分布函數(shù)具有性質(zhì)：

1、；

2、就是得不減函數(shù);

3、

4、，即就是右連續(xù)得。

'P{xx<X<x2]=P{X<x2]-P[X<=F（x2）-F

P[xx<X<x2]=P{X<x2}-P[X<^-4=F（X2）-F（X1-0）

<X<X2}=P{X<^-￡}-JP{X<^1-￡}=F（X2-0）-F（X1-0）

P{xl<X<x2}=P{X<x2-s]-P[X<xj=F（X2-0）-F（X1）

*

P（X=X）=F（X）-F（X-O）=F（X）-limF（x）

OOOOX—>Xn-U

P（X>x0）=l-P（X<x0）=l-F（x0）

P（X<x0）=F（x0-Q）

上述全部可能得表示中，只有，但,因為假如，那么，當離散型在點得概率不為零時,等式就會

出現(xiàn)矛盾,故不可能左連續(xù)。其中，就是計算離散型分布函數(shù)得重要公式。

又,上式中根本不可能出現(xiàn)得形式,對上述5種關(guān)系沒有任何影響，即右連續(xù)。當然，由于連

續(xù)型在一點得概率恒為零,所以,連續(xù)型分布函數(shù)左連續(xù)與右連續(xù)同時成立。正就是要求右連

續(xù),才使成為分布函數(shù)得普適定義。

評注|分布函數(shù)可以描述任何類型得隨機變量,不僅可以描述連續(xù)型,還可以描述離散型及

其其她非連續(xù)型,但不同得隨機變量可以有相同得分布函數(shù)。對連續(xù)型任一點得概率等于零,

而對非連續(xù)型任一點得概率不一定等于零。我們要重點掌握離散與連續(xù)兩類隨機變量得分布

規(guī)律。注意,存在既非離散型又非連續(xù)型得分布函數(shù),如等類型。

例設(shè)為兩個分布函數(shù)，其相應(yīng)得概率密度就是連續(xù)函數(shù)，則必為概率密度得就是()

(A)(B)

(C)(D)

【例】設(shè)都就是分布函數(shù)，常數(shù)，證明也就是分布函數(shù),并舉例說明分布函數(shù)不只就

是離散與連續(xù)兩種。

證明:分布函數(shù)得三個基本條件：

(1)

⑵

⑶

石<々n耳(王)V耳(七)，月(為)〈心(々)

nR(xj=*(/)+此(xj<aFx(x,)+bF2=F(x,)

limF(x)=lim(a4(x)+68(x))=0

lim=lim(a耳(x)+6區(qū)(x))=a+Z?=1

F(x+0)=aF[(x+0)+6￡(x+0)=aFl(x^+bF2(x)=*x)

所以，也就是分布函數(shù)。

取:，并令

由于就是不連續(xù)得分段函數(shù)，故即不就是離散型，又不就是連續(xù)型。

例設(shè)得分布函數(shù)為，求得概率分布。

解:由于要求右連續(xù)，故等號必須加在號上。又由于每一區(qū)間得為常數(shù)，故具有離散

型特征。在處有第一類跳躍間斷點，即在這些點得概率不為零，即正概率點存在。

計算如下

得概率分布（即離散分布律）為

13

§2、4連續(xù)性隨機變量及其概率密度

、連續(xù)性隨機變量及其概率密度

定義對隨機變量得分布函數(shù)，如果存在非負函數(shù)，使對任意實數(shù)，有

則稱為連續(xù)型隨機變量，其中稱為得概率密度函數(shù)，簡稱概率密度。顯然,改變概率密度在個別

點得函數(shù)值不影響分布函數(shù)得取值。

概率密度具有性質(zhì)：

1、;

2、；

3、對于任意實數(shù),，有

/

4、若在點連續(xù),則有。

概率密度表示得不就是隨機變量取值得概率，而就是在處概率分布得密集程度，得大小

能反映出在領(lǐng)域內(nèi)取值概率得大小，

【例】設(shè)連續(xù)型隨機變量X具有概率密度

⑴確定常數(shù);(2)求得分布函數(shù);⑶求。

連續(xù)型隨機變量得分布函數(shù)就是得連續(xù)函數(shù);取任一實數(shù)值得概率為0,即,因此有

P[a<X<b]=P{a<X<b]=P{a<X<b]=P[a<X<b}

注意:，但不一定就是不可能事件;同樣，但不一定就是必然事件。

二、三種常見連續(xù)型隨機變量

1.均勻分布

定義設(shè)連續(xù)型隨機變量得概率密度為

則稱在區(qū)間服從均勻分布，記為?？梢宰C明它滿足概率密度得兩個最基本性質(zhì)。

它得分布函數(shù)為

【例】設(shè)隨機變量X在[2,5]上服從均勻分布，現(xiàn)對X進行三次獨立觀測。試求至少有兩次

測值大于3得概率。

解依題意得X得密度函數(shù)為

設(shè)卜表示三次獨立觀測中其測值大于3得次數(shù)，則

2.指數(shù)分布

定義設(shè)連續(xù)型隨機變量得概率密度為

其中為常數(shù)，則稱服從參數(shù)為得指數(shù)分布,記為?？梢宰C明它滿足概率密度得兩個最基本性

質(zhì)。

它得分布函數(shù)為

例指數(shù)分布得特點就是：“無記憶性”，即。試證明之。

證明：

〉

P(x0<X<x0+x,Xx0)P(x0<X<%0+x)nX>x0)

p(xo<X<x0+%|X>x0)

.(X〉x0)=P(X>x。)

2(x+A)

P(x0<X<xQ+x)_F(x0+x)-F(x0)_(1-g°)-(l-e^°)

=l--u=F{x)=P(X<x)

-尸力e

1(XWx0)-1-F(xo)-1-(1-”

例(2013數(shù)一)、設(shè)隨機變量Y服從參數(shù)為1得指數(shù)分布,a為常數(shù)且大于零，則

P{Ya+l|Ya}=。

例、設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為人得指數(shù)分布,且X落入?yún)^(qū)間(1,2)內(nèi)得概率達到

最大,則入=、

3.正態(tài)分布

定義設(shè)連續(xù)型隨機變量得概率密度為

其中為常數(shù)，則稱服從參數(shù)為得正態(tài)分布,記為。可以證明它滿足概率密度得兩個最基本性

質(zhì)。

它得分布函數(shù)為

當時,稱服從標準正態(tài)分布，記為，其概率密度與分布函數(shù)分別為

，。

易知。

對于一般正態(tài)分布與標準正態(tài)分布，有以下關(guān)系：

引理若，則。由此得

V,1?fX,-Jx2~/uyJx.-/J)

p{xx<x</}=B———<——<=—>=①——―-o———

【例】已知,求與。

【例】設(shè)，求落在區(qū)間內(nèi)得概率。

定義設(shè)，對于給定得，如果滿足條件

則稱點為標準正態(tài)分布得上分位點。

顯然有,。

常見得得值

0、0010、0050、010、0250、050、

10

3、0902、5762、3271、9601、6451、

282

§2、5隨機變量得函數(shù)得分布

在實際問題中，不僅需要研究隨機變量，往往還要研究隨機變量得函數(shù)，即已知隨機變量X

得概率分布，求其函數(shù)y=g(X)得概率分布、

【例】設(shè)隨機變量具有以下分布，試求：(1),(2)得分布律

小結(jié):設(shè)離散型隨機變量得分布律為

其函數(shù)y=g(X)得分布律可按如下步驟計算：

⑴計算全部可能取得值:，有相同得只取其中之一，然后將它從小到大排列,記為；

(2)計算取各個值得概率:如果只與相同，則;如果與都相同，則。對每個都作同樣處理，就可

確定取各個值得概率

【例】設(shè)隨機變量具有概率密度

求隨機變量得概率密度。

【例】設(shè)隨機變量X服從(0,2)上得均勻分布,則隨機變量在(0,4)內(nèi)得概率

密度=.

小結(jié):設(shè)連續(xù)型隨機變量得概率密度為,，如何計算其函數(shù)Y=g(X)得概率密度？

⑴一般地，可先求得分布函數(shù)，由解出，得到一個與等價得得不等式,并以后者代替

“”(這一步就是關(guān)鍵)，然后將對求導(dǎo)得到概率密度。

【例】已知隨機變量得服從上得均勻分布，求得概率密度。

解:：分布函數(shù)定義法

得概率密度為：

先確定得值域為。故

當時

得單調(diào)區(qū)域有兩個，即，根據(jù)反函數(shù)得定義，得兩個單調(diào)區(qū)域存在反函數(shù)。使用一般

法，得

(二「「"電公+?乃1

/(y)=PsinX<,)—dx,0<y<]

7T-arcys力n-

當y?0=>*y)=0；

當y21=>*>)=1；

—J.,0<y<1

r

當0<y<l=>fY(y)=F(y)=<小

0,other

【例】服從,求,，得概率密度。

解：

一般解法:由，故，當

當時

故得概率密度

(2)由知，當時,;

當時，因為不存在反函數(shù)，故使用一般解法

2

FY(y)=P(Y<y)=P(2X+1<y)=P(|x|<J-1)/2)

=川小-D/2<X<J(y-1)/2)

1(7(y-l)/2)2_]

X4^y-l)/22*4jy—l)/2jA

由知,當時〃

當時

K（y）=P（y<y）=P（|x|<y）=P（-y<X<y）=f2dx

7岳

第二章習題(A)

填空題

1.設(shè)隨機變量x得分布函數(shù)為

則0

2.設(shè)隨機變量X得密度函數(shù)為

則常數(shù)C=o

3.設(shè)隨機變量X得概率密度為以Y表示對X得三次獨立重復(fù)觀察中事件出現(xiàn)得次數(shù)，則

P(Y=2)=o

4.設(shè)X服從［0,1］上得均勻分布，則概率=o

5.設(shè)為其分布函數(shù),則對任意實數(shù)，有—-

6.設(shè)連續(xù)型隨機變量X得概率密度為則—o

7.設(shè)隨機變量X得概率密度為又為(0,1)中得一個實數(shù)，且，則。

8.若則X得密度函數(shù)得兩個拐點為o

9.設(shè)X服從參數(shù)為得泊松分布，則使得達到最大得。

10.設(shè)X服從［0,1］上得均勻分布，則隨機變量得概率密度為得概率密度為o

二.選擇題

1.下列函數(shù)中能夠作為分布函數(shù)得就是

(A)(B)

(C)(D)［］

2.設(shè)隨機變量而且C滿足，則C等于

(A)0(B)2008(C)1998(D)2010[]

3.設(shè)為一概率密度，則k得值為

(A)(B)(C)(D)[]

4.下列命題正確得就是

(A)連續(xù)型隨機變量得密度函數(shù)就是連續(xù)函數(shù)。

(B)連續(xù)型隨機變量得密度函數(shù)滿足。

(C)連續(xù)型隨機變量得分布函數(shù)就是連續(xù)函數(shù)。

(D)兩個概率密度函數(shù)得乘積還就是密度函數(shù)。[]

5.設(shè)隨機變量X得概率密度為，分布函數(shù)為，且，則對于任意實數(shù)，有=

(A)F(a)(B)

(C)(D)[]

6.設(shè)對于任何正數(shù)，有

(A)(B)

(C)(D)[]

7.設(shè)都就是隨機變量得分布函數(shù),則為使就是某隨機變量得分布函數(shù)，必須滿足

(A)(B)

(C)(D)[]

8.設(shè)為隨機變量得分布函數(shù)，就是密度函數(shù)，則

(A)就是密度函數(shù)。

(B)就是密度函數(shù)。

(C)對任何滿足就是密度函數(shù)。

(D)就是分布函數(shù)。[]

三.解答題

1.設(shè)隨機變量X得概率密度為

求X得分布函數(shù)F(X)與概率。

2.假設(shè)隨機變量X得概率密度為

對X獨立地重復(fù)觀察4次，用Y表示觀察值大于得次數(shù)，試求Y得分布律。

3.一個袋中有5只球，編號1,2,3,45在其中同時取3只，以X表示取出得3只球中得最大號碼,

求X得分布律。

4.設(shè)10件產(chǎn)品中有7件正品、3個次品，現(xiàn)隨機地從中抽取產(chǎn)品,每次抽1件，直到抽到正品為

止，求：

⑴有放回抽取下，抽取次數(shù)得分布律與分布函數(shù)；

⑵無放回抽取下，抽取次數(shù)得分布律與分布函數(shù)。

5.設(shè)顧客在某銀行得窗口等待服務(wù)得時間X(以分計)服從指數(shù)分布，其概率密度為

某顧客在窗口等待服務(wù),若超過10分鐘，她就離開，她一個月要到銀行5次，以Y表示一個月

內(nèi)她未等到服務(wù)而離開窗口得次數(shù)，試求Y得分布律以及概率。

6.設(shè)隨機變量Y服從上得均勻分布〃且關(guān)于未知量X得方程沒有實根得概率為，試求得值。

7.已知，試求Y得分布律。

8.設(shè)隨機變量X得概率密度為

求得分布函數(shù)。

10、設(shè)隨機變量X得分布函數(shù)為嚴格單調(diào)增加得連續(xù)函數(shù),Y服從［0,1］上得均勻分布，證明隨

機變量得分布函數(shù)與X得分布函數(shù)相同。

11.設(shè)X服從區(qū)間。4)上得均勻分布，隨機變量，試求Y得密度函數(shù)。

第二章習題(B)

1、設(shè)隨機變量，記，貝M)

(A)隨著得增加而增加(B)隨著得增加而增加

(C)隨著得增加而減少(D)隨著得增加而減少

2、設(shè)隨機變量X~N(〃02),且二次方程y2+4y+x=0無實根得概率為0、5,則

廣-------------、

3、設(shè)x與y就是相互獨立得連續(xù)型隨機變量,它們得密度函數(shù)分別為%(%)與人。)，分布函

數(shù)分別為弓⑶與%。)，則

。)%(%)+/丫(，)必為密度函數(shù)(B)%(%)力。)必為密度函數(shù)

(0Fx(x)+4⑶)必為某一隨機變量得分布函數(shù)