高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)年高考年模擬概率與統(tǒng)計

【3年高考2年模擬】第十章概率與統(tǒng)計第一部分

三年高考薈萃2011年高考題統(tǒng)計(一)

一、選擇題

1.(四川理1)有一個容量為66的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：

[11,5,15.5)2[15.5,19.5)4[19.5,23.5)9[23.5,27.5)18

[27.5,31.5)II[31.5,35.5)12[35.5.39.5)7[39.5,43.5)3

根據(jù)樣本的頻率分布估計，數(shù)據(jù)落在[31.5,43.5)的概率約是

1112

6-323

A.B.

【答案】B

夕_22_1

【解析】從3L5到43.5共有22,所以663。

2.(陜西理9)設(shè)(不，乂)，(%,必)，...，(/，K是變量x和V的〃個樣本點,

直線/是由這些樣本點通過最小二乘法得到的線性回歸直線(如圖)，以

下結(jié)論中正確的是

A.x和丁的相關(guān)系數(shù)為直線/的斜率

B.x和〉的相關(guān)系數(shù)在。到1之間

C.當(dāng)〃為偶數(shù)時，分布在/兩側(cè)的樣本點的個數(shù)一定相同

D.直線/過點(XJ)

【答案】D

3.(山東理7)某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表

廣告費用X(萬元)4235

銷售額y(萬元)49263954

人人

根據(jù)上表可得回歸方程夕=8+8中的6為9.4,據(jù)此模型預(yù)報廣告費用為6萬元時銷售額

為

A.63.6萬元B.65.5萬元C.67.7萬元D.72.0萬元

【答案】B

4.(江西理6)變量X與丫相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),

(13,5)；變量U與V相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),

(13,1),6表示變量丫與X之間的線性相關(guān)系數(shù)，々表示變量V與U之間的線性相關(guān)系

數(shù)，則

A々＜4＜°B.°＜與"c.弓D.

【答案】C

5.（湖南理4）通過隨機詢問110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項運動，得到如下的列聯(lián)

表：

男女總計

愛好402060

不愛好203050

總計6050110

2

K2rn(ad-bc)-2_110x(40x30-20x20)

(。+6)(。+"乂。+。)(6+”)算得，60x50x60x50

0.0500.0100.001

P(K2>k)

k3.8416.63510.828

參照附表，得到的正確結(jié)論是

A.再犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”

B.再犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關(guān)”

C.有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”

D.有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關(guān)”

【答案】C

二、填空題

6.（天津理9）一支田徑隊有男運動員48人，女運動員36人，若用分層抽樣的方法從該隊

的全體運動員中抽取一個容量為21的樣本，則抽取男運動員的人數(shù)為

【答案】12

7.（遼寧理14）調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x（單位：萬元）和年飲食支出y（單位：

萬元），調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對x的

回歸直線方程：9=0254'+0321由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲

食支出平均增加萬元.

【答案】0.254

8.（江蘇6）某老師從星期一到星期五收到信件數(shù)分別是10,6,8,5,6,則該組數(shù)據(jù)的方

差/=一

【答案】3.2

9.（廣東理13）某數(shù)學(xué)老師身高176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm、170cm

和182cm.因兒子的身高與父親的身高有關(guān)，該老師用線性回歸分析的方法預(yù)測他孫子的

身高為cm.

【答案】185

三、解答題

10.（北京理17）

以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組個四名同學(xué)的植樹棵樹。乙組記錄中有??個數(shù)據(jù)模糊，無法確

認，在圖中以X表示。

甲組乙組

990%89

0

(I)如果X=8,求乙組同學(xué)植樹棵樹的平均數(shù)和方差；

(II)如果X=9,分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵樹

丫的分布列和數(shù)學(xué)期望。

其中X為國

的平均數(shù))

解(1)當(dāng)X=8時，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：8,8,9,10,

所以平均數(shù)為

-8+8+9+1035

x=-----------二—

44

方差為

52=1[(8-35)2+(8-35)2+(9-35)2+(10-35)2]=11.

4444416

(H)當(dāng)X=9時，由莖葉圖可知，甲組同學(xué)的植樹棵樹是：9,9,11,11；乙組同學(xué)的植

樹棵數(shù)是：9,8,9,10。分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學(xué)，共有4x4=16種可能的

結(jié)果，這兩名同學(xué)植樹總棵數(shù)丫的可能取值為17,18,19,20,21事件"丫=17"等價于"甲組

選出的同學(xué)植樹9棵,乙組選出的同學(xué)植樹8棵"所以該事件有2種可能的結(jié)果，因此P(Y=17)

2_1

=16-8

尸(y=18)=1;尸(丫=19)=1;P(Y=20)=1;尸(丫=21)=1.

同理可得4448

所以隨機變量Y的分布列為：

Y1718192021

j_11J_

P

84448

EY=17xP(Y=17)+18xP(Y=18)+19xP(Y=19)+20xP(Y=20)+21xP(Y=21)

1￡11]_

=17x8+i8x4+i9x4+20x4+2ix8

=19

11.(遼寧理19)某農(nóng)場計劃種植某種新作物，為此對這種作物的兩個品種(分別稱為品種

家和品種乙)進行田間試驗.選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共2n小塊地中，

隨機選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙.

(1)假設(shè)n=4,在第一大塊地中，種植品種甲的小塊地的數(shù)目記為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)

期望；

(II)試驗時每大塊地分成8小塊，即n=8,試驗結(jié)束后得到品種甲和品種乙在個小塊地上

的每公頃產(chǎn)量(單位：kg/hm2)如下表：

品種甲403397390404388400412406

品種乙419403412418408423400413

分別求品種甲和品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣木方差；根據(jù)試驗結(jié)果，你認為應(yīng)該

種植哪一品種？

i___

2222

=-[(^-X)+(x2-x)+---+(x?-x)]_

附:樣本數(shù)據(jù)金，/，…，覆的的樣本方差〃，其中X為

樣本平均數(shù).

解：

(I)X可能的取值為0,1,2,3,4,且

1_1

P(X=0)=C；=70'

C：C；=8

P(X=1)

-35'

_18

P(X=2)

C；35,

C班8

P(X=3)

35'

11

P(X=4)

c「o.

即X的分布列為

X01234

181881

P

7035353570

4分

X的數(shù)學(xué)期望為

IQ1QQ,1C

E(X)=0x+lx+2x+3x+4x=2.

70353535706分

(II)品種甲的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為:

1

(403+397+390+404+388+400+412+406)=400,

8

122222

S甲?2+(—3)2+(—10)2+4+(-12)+0+12+6)=57.25.

8

.8分

品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為:

X乙=(419+403+412+418+408+423+400+413)=412,

8

Sl=1(72+(—9)2+02+62+(-4)2+112+(-12)2+12)=56.

8

........10分

由以上結(jié)果可以看出，品種乙的樣本平均數(shù)大于品種甲的樣本平均數(shù)，且兩品種的樣本方差

差異不大，故應(yīng)該選擇種植品種乙.

2011年高考題

(-)概率

一、選擇題

1.(浙江理9)有5本不同的書，其中語文書2本，數(shù)學(xué)書2本，物理書1本.若將其隨機

的并排擺放到書架的同一層上，則同一科目的書都不相鄰的概率

1234

A.5B.5C.5D5

【答案】B

2.(四川理1)有一個容量為66的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：

[11.5,15.5)2[15.5,19.5)4[19.5,23.5)9[23.5,27.5)18

[27.5,31.5)II[31.5,35.5)12[35.5.39.5)7[39.5,43.5)3

根據(jù)樣本的頻率分布估計，數(shù)據(jù)落在[31.5,43.5)的概率約是

1112

A.6B.3C.2D.3

【答案】B

尸=22=1

【解析】從3L5到43.5共有22,所以663。

3.(陜西理10)甲乙兩人一起去游“2011西安世園會”，他們約定，各自獨立地從1到6號

景點中任選4個進行游覽，每個景點參觀1小時，則最后一小時他們同在一個景點的概率是

1151

A.36B.9C.36D.6

【答案】D

4.(全國新課標(biāo)理4)有3個興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個小組，每位同學(xué)

參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個興趣小組的概率為

1123

(A)3(B)2(C)3(D)4

【答案】A

5.(遼寧理5)從1,2,3,4,5中任取2各不同的數(shù)，事件A="取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”,

事件B="取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)=

1121

(A)8(B)4(C)5(D)2

【答案】B

6.（湖北理5）已知隨機變量服從正態(tài)分布NR'a）,且p（4<4）=88,則p（0

<&<2）=

A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2

【答案】C

7.（湖北理7）如圖，用K、4、4三類不同的元件連接成一個系統(tǒng)。當(dāng)我正常工作且同、

4至少有一個正常工作忖，系統(tǒng)正常工作，已知K、4、4正常工作的概率依次為0.9、

0.8、0.8,則系統(tǒng)正常工作的概率為

―（XI——

-----QJ-----

A.0.960B.0.864C.0.720D.0.576

【答案】B

8.（廣東理6）甲、乙兩隊進行排球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊只要在贏一次就獲冠軍，乙隊

需要再贏兩局才能得冠軍，若兩隊勝每局的概率相同，則甲隊獲得冠軍的概率為

1323

A.2B.5C.3D.4

【答案】D

9.（福建理4）如圖，矩形ABCD中，點E為邊CD的中點，若在矩形ABCD內(nèi)部隨機取一個

點Q,則點Q取自4ABE內(nèi)部的概率等于

C.2D.3

【答案】C

二、填空題

10.（湖北理12）在30瓶飲料中，有3瓶已過了保質(zhì)期。從這30瓶飲料中任取2瓶，則至

少取到一瓶已過保質(zhì)期飲料的概率為。（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）

28

【答案】145

11.（福建理13）盒中裝有形狀、大小完全相同的5個球，其中紅色球3個，黃色球2個。

若從中隨機取出2個球，則所取出的2個球顏色不同的概率等于。

3

【答案】5

12.（浙江理15）某畢業(yè)生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷，

2

假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為3,得到乙丙公司面試的概率為夕，且三個公司是

否讓其面試是相互獨立的。記X為該畢業(yè)生得到面試得公司個數(shù)。若

"“一°）-12,則隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E（X）

5

【答案】3

13.（湖南理15）如圖4,EFGH是以。為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形。將一顆豆子

隨機地扔到該圖內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，B表示事

件“豆子落在扇形OHE（陰影部分）內(nèi)”，則

(1)P(A)=;(2)P(B|A)=

2,(2)1

【答案】(1)萬'4

14.（上海理9）馬老師從課本上抄錄一個隨機變量8的概率分布律如下表

請小牛同學(xué)計算￡的數(shù)學(xué)期望，盡管“！”處無法完全看清，且兩個“？”處字跡模糊，但

能肯定這兩個“？”處的數(shù)值相同。據(jù)此，小牛給出了正確答案

Es=

【答案】

2X123

15.（重慶理13）將??枚均勻的硬幣投擲6次,則正「口出現(xiàn)時天數(shù)反山1出以的次數(shù)多的概

P（￡=X）?

率__________

11

【答案】32

16.（上海理12）隨機抽取9個同學(xué)中，至少有2個同學(xué)在同一月出生的概率是（默

認每月天數(shù)相同，結(jié)果精確到

【答案】8985

17.（江西理12）小波通過做游戲的方式來確定周末活動，他隨機地往單位圓內(nèi)投擲一點,

21

若此點到圓心的距離大于5,則周末去看電影；若此點到圓心的距離小于4,則去打籃球;

否則，在家看書，則小波周末不在家看書的概率為

13

【答案】16

18.（江蘇5）5.從1,2,3,4這四個數(shù)中一次隨機取兩個數(shù)，則其中一個數(shù)是另一個的

兩倍的概率為

￡

【答案】3

三、解答題

19.（湖南理18）某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：

日銷售量（件）0123

頻數(shù)1595

試銷結(jié)束后（假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變），設(shè)某天開始營業(yè)時有該商品3件，

當(dāng)天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存貨少于2件，則當(dāng)天進貨補充至3件，否則不進貨，將

頻率視為概率。

（I）求當(dāng)天商品不進貨的概率；

（II）記X為第二天開始營業(yè)時該商品的件數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期型。

解（I）P（“當(dāng)天商品不進貨”）=P（"當(dāng)天商品銷售量為0件"）+P（“當(dāng)天商品銷售量

___15_3__

為1件，，）202010'

（II）由題意知,X的可能取值為2,3.

5_1

P（X=2）=P（“當(dāng)天商品銷售量為1件“）204,

P（X=3）=P（"當(dāng)天商品銷售量為o件，，）+P（“當(dāng)天商品銷售量為2件”）+。（“當(dāng)

1953

=++=

天商品銷售量為3件”)2020204

故X的分布列為

X23

13

P

44

EX=2x，+3x3=]

X的數(shù)學(xué)期望為444

20.（安徽理20）工作人員需進入核電站完成某項具有高輻射危險的任務(wù)，每次只派一個人

進去，且每個人只派一次，工作時間不超過10分鐘，如果有一個人10分鐘內(nèi)不能完成任務(wù)

則撤出，再派下一個人?，F(xiàn)在一共只有甲、乙、丙三個人可派，他們各自能完成任務(wù)的概率

分別P|，P2，P3,假設(shè)Pl，22，死互不相等，且假定各人能否完成任務(wù)的事件相互獨立.

（I）如果按甲最先，乙次之，丙最后的順序派人，求任務(wù)能被完成的概率。若改變?nèi)齻€人

被派出的先后順序，任務(wù)能被完成的概率是否發(fā)生變化？

（II）若按某指定順序派人，這三個人各自能完成任務(wù)的概率依次為％均2，%,其中%，%，%

是Pl，P2，P3的一個排列，求所需派出人員數(shù)目X的分布列和均值（數(shù)字期望）EX.

（III）假定1＞月＞22＞凸，試分析以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數(shù)

目的均值（數(shù)字期望）達到最小。

解：本題考查相互獨立事件的概率計算，考查離散型隨機變量及其分布列、均值等基本知識,

考查在復(fù)雜情境下處理問題的能力以及抽象概括能力、合情推理與演繹推理，分類讀者論論

思想，應(yīng)用意識與創(chuàng)新意識.

解：（I）無論以怎樣的順序派出人員，任務(wù)不能被完成的概率都是

（1一0）（1一22）（1一23）,所以任務(wù)能被完成的概率與三個被派出的先后順序無關(guān)，

并等于

）（1-02+23-P0-P2P3-

p2八）=+。P3Pl+P\PlPy

（II）當(dāng)依次派出的三個人各自完成任務(wù)的概率分別為處國2,犯時，隨機變量X的分布

列為

X123

Pq】(1-71)92(1-0)(1-92)

所需派出的人員數(shù)目的均值（數(shù)學(xué)期望）EX是

EX=q、+2（1-％）12+3（1-/）（1一%）=3-2/-鄉(xiāng)2+/%.

（III）（方法一）由（II）的結(jié)論知，當(dāng)以甲最先、乙次之、丙最后的順序派人時,

EX=3-2p\-p?+pm，

根據(jù)常理，優(yōu)先派出完成任務(wù)概率大的人，可減少所需派出的人員數(shù)目的均值.

下面證明:對于乩也卬3的任意排列小過2，%,都有

3-2q「q2+q%N3-2p「p?+PR,（*）

事實上，△=(3-2/一夕2+夕132)-(3-20一+P1P2)

=2（P|-0）+（/?2一夕2）-，/2+0%

=2（0|一％）+（。2-%）-3-%）。2一%（。2一縱）

-（2-22）（Pl-%）+（l—%）（（P2一夕2）

N（l-%）［（P］+。2）一（見+夕2）］

>0.

即（*）成立.

（方法二）（i）可將（II）中所求的EX改寫為3一（4+私）+%12一小，若交換前兩人的派

出順序，則變?yōu)?-（4+私）+4岡2—%，.由此可見，當(dāng)%>/時，交換前兩人的派出順

序可減小均值.

（ii）也可將（II）中所求的EX改寫為3-24-0+042,或交換后兩人的派出順序，則

變?yōu)?-2孫一g+孫刑.由此可見，若保持第一個派出的人選不變，當(dāng)私>42時，交換后

兩人的派出順序也可減小均值.

序綜合（i）（ii）可知，當(dāng)⑷，%，夕3）=3，22，23）時，EX達到最小.即完成任務(wù)概率

大的人優(yōu)先派出，可減小所需派出人員數(shù)目的均值，這一結(jié)論是合乎常理的.

21.（北京理17）以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組個四名同學(xué)的植樹棵樹。乙組記錄中有一個

數(shù)據(jù)模糊，無法確認，在圖中以X表示。

甲組乙組

990X89

1110

（I）如果X=8,求乙組同學(xué)植樹棵樹的平均數(shù)和方差；

（II）如果X=9,分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵樹

丫的分布列和數(shù)學(xué)期望。

其中X為花

的平均數(shù)）

解：（1）當(dāng)X=8時?，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：8,8,9,10,

所以平均數(shù)為

-8+8+9+1035

x=-------------=一;

44

方差為

52=1［（8—35）2+（8一352+（9一352+（］0—352］=II.

4444416

（H）當(dāng)X=9時，由莖葉圖可知，甲組同學(xué)的植樹棵樹是：9,9,11,11；乙組同學(xué)的植

樹棵數(shù)是：9,8,9,10。分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學(xué)，共有4x4=16種可能的

結(jié)果，這兩名同學(xué)植樹總棵數(shù)丫的可能取值為17,18,19,20,21事件“丫=17"等價于"甲組

選出的同學(xué)植樹9棵，乙組選出的同學(xué)植樹8棵”所以該事件有2種可能的結(jié)果，因此P(Y=17)

2_1

=16-8

P（Y=18）=1;P（Y=19）=1;P（Y=20）=1;P（K=21）=1.

同理可得4448

所以隨機變量丫的分布列為：

Y1718192021

]__1_11￡

P

84448

EY=17xP（丫=17）+18xP（丫=18）+19xP（丫=19）+20xP（丫=20）+21xP（丫=21）

1,111

=17x8+i8x4+i9x4+20x4+2ix8

=19

22.(福建理19)某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個等級，等級系數(shù)X依次為1,2,……，8,

其中X25為標(biāo)準(zhǔn)A,X2為標(biāo)準(zhǔn)B,已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為6元

/件；乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為4元/件，假定甲、乙兩廠得產(chǎn)品都符合

相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)

(I)已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)XI的概率分布列如下所示：

5678

P0.4ab0.1

且XI的數(shù)字期望EX1=6,求a,b的值；

(II)為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2,從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取30件，相應(yīng)的等級系

數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下：

3533855634

6347534853

8343447567

用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望.

(III)在(I)、(II)的條件下，若以“性價比”為判斷標(biāo)準(zhǔn)，則哪個工廠的產(chǎn)品更具可購

買性？說明理由.

產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望

注：(1)產(chǎn)品的“性價比”=產(chǎn)品的零售價

(2)“性價比”大的產(chǎn)品更具可購買性.

解：本小題主要考查概率、統(tǒng)計等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力、應(yīng)用意識,

考查函數(shù)與方程思想、必然與或然思想、分類與整合思想，滿分13分。

AT；/1、中小EX1=6,所以5x0.4+6。+76+8x0.1=6,即6。+7b=3.2.

又由XI的概率分布列得04+。+6+0.1=1,即a+6=0.5.

6。+76=3.2,“（a=0.3,

〈解得〈

由a+b—0.5.b-0.2.

（II）由已知得，樣本的頻率分布表如下：

345678

X]

0.30.20.20.10.10.1

f

用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數(shù)X2的概率分布列如

下：

345678

Xz

p0.30.20.20.10.10.1

所以

EX2=3P(X工=3)+4P(占=4)+5P(X2=5)+6P(X2=6)+7P(X2=7)+SP(X2=8)

=3x03+4x0.2+5x0.2+6x0.1+7x0.1+8x0.1

=4.8.

即乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8.

（Ill）乙廠的產(chǎn)品更具可購買性，理由如下：

6

因為甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的期望數(shù)學(xué)等于6,價格為6元/件，所以其性價比為7

因為乙廠產(chǎn)呂的等級系數(shù)的期望等于4.8,價格為4元/件，所以其性價比為4

據(jù)此，乙廠的產(chǎn)品更具可購買性。

23.（廣東理17）為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的

產(chǎn)品中分別抽出取14件和5件，測量產(chǎn)品中的微量元素x,y的含量（單位：毫克）.下表是

乙廠的5件產(chǎn)品的測量數(shù)據(jù)：

編號i2345

X169178166175180

y7580777081

（1）已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98件，求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量；

（2）當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素x,y滿足x2175,且y275時，該產(chǎn)品為優(yōu)等品。用上述樣本數(shù)據(jù)

估計乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量；

（3）從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中，隨機抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)自的分

布列極其均值（即數(shù)學(xué)期望）。

98urcu

—I5x7=3s

解：（1）14,即乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為35件。

2

（2）易見只有編號為2,5的產(chǎn)品為優(yōu)等品，所以乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中的優(yōu)等品5

35x2=14

故乙廠生產(chǎn)有大約5（件）優(yōu)等品,

(3)4的取值為0,1,2o

PG=0)U,尸C=1)1

5iu510

所以4的分布列為

012

P361

101010

J的均值為EJ=0x+lx+2x

故105

24.（遼寧理19）某農(nóng)場計劃種植某種新作物，為此對這種作物的兩個品種（分別稱為品種

家和品種乙）進行田間試驗.選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共2n小塊地中，

隨機選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙.

（I）假設(shè)n=4,在第一大塊地中，種植品種甲的小塊地的數(shù)目記為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)

期望；

（II）試驗時每大塊地分成8小塊，即n=8,試驗結(jié)束后得到品種甲和品種乙在個小塊地上

的每公頃產(chǎn)量（單位：kg/hm2）如下表：

品種甲403397390404388400412406

品種乙419403412418408423400413

分別求品種甲和品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣木方差；根據(jù)試驗結(jié)果，你認為應(yīng)該

種植哪一品種？

222

=—[(.^1—xY+(x2—X)4-----F(X—X)J—

附：樣本數(shù)據(jù)毛，覆，…，X”的的樣本方差〃，其中X為

樣本平均數(shù).

解:

（I）X可能的取值為0,1,2,3,4,且

P(X=0)="1,

70

P(X=1)=C；=35，

p(X=2)==I8,

C；35

P(X=3)=0；：=&

C；35

P(X=4)=)=1.

C；70

即X的分布列為

X01234

181881

p

7035353570

.................4分

X的數(shù)學(xué)期望為

1Q1QQ1

E(X)=Ox+lx+2x+3x+4x=2.

7035353570.................6分

(ID品種甲的每公頃產(chǎn)量的樣木平均數(shù)和樣本方差分別為:

x甲=1(403+397+390+404+388+400+412+406)=400,

8

s甲=1(32+(-3)2+(-10)2+42+(-12)2+02+122+62)=57.25.

8

.......8分

品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：

X乙=1(419+403+412+418+408+423+400+413)=412,

8

Sl=1(72+(-9)2+。2+62+(—4)2+1F+(—12)2+/)=56.

8

.......10分

由以上結(jié)果可以看出，品種乙的樣本平均數(shù)大于品種甲的樣本平均數(shù)，且兩品種的樣本方差

差異不大，故應(yīng)該選擇種植品種乙.

25.(全國大綱理18)根據(jù)以往統(tǒng)計資料?，某地車主購買甲種保險的概率為0.5,購買乙種

保險但不購買甲種保險的概率為0.3,設(shè)各車主購買保險相互獨立

(I)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的I種的概率；

(H)X表示該地的100位車主中，甲、乙兩種保險都不購買的車主數(shù)。求X的期望。

解：記A表示事件：該地的1位車主購買甲種保險；

B表示事件：該地的1位車主購買乙種保險但不購買甲種保險；

C表示事件：該地的1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種;

D表示事件：該地的1位車主甲、乙兩種保險都不購買；

(1)P(A)=0.5,P(B)=0.3,C=A+B,.............3分

P(C)=P(A+B)=P(A)+P(S)=0.8..............6分

D=C,P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2,

X?8(100,0.2),即x服從二項分布,........io分

所以期望EX=10°X0.2=20............................12分

26.(全國新課標(biāo)理19)某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)越大表明質(zhì)量越好,

且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品.現(xiàn)用兩種新配方(分別稱為A配方和B配

方)做試驗，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測量了每產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到時下面試驗結(jié)

果：

A配方的頻數(shù)分布表

指標(biāo)值分組[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]

頻數(shù)82042228

B配方的頻數(shù)分布發(fā)

指標(biāo)值分組[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]

頻數(shù)412423210

(I)分別估計用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率；

(II)已知用B配方生產(chǎn)的?種產(chǎn)品利潤y(單位：元)與其質(zhì)量指標(biāo)值t的關(guān)系式為

-2,r<94

y=<2,94<Z<102

4,/>102

從用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，其利潤記為X(單位:元).求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.(以

試驗結(jié)果中質(zhì)量指標(biāo)值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落入相應(yīng)組的概率).

解

22+8=0.3

(I)由試驗結(jié)果知，用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)的平率為10°,所以用A配方生

產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計值為0.3.

32+10=0.42

由試驗結(jié)果知，用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為100，所以用B配方生產(chǎn)

的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計值為0.42

(II)用B配方生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中,其質(zhì)量指標(biāo)值落入?yún)^(qū)間畋94),[94,102),[102,110]

的頻率分別為。04,,054,0.42,因此

P(X=-2)=0.04,P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.42,

即X的分布列為

X-224

p0.040.540.42

X的數(shù)學(xué)期望值EX=-2x0.04+2x0.54+4x0.42=2.68

27.(山東理18)紅隊隊員甲、乙、丙與藍隊隊員A、B、C進行圍棋比賽，甲對A,乙對B,

丙對C各一盤，已知甲勝A,乙勝B,丙勝C的概率分別為0.6,050.5,假設(shè)各盤比賽結(jié)果

相互獨立。

(I)求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率；

(II)用4表示紅隊隊員獲勝的總盤數(shù)，求&的分布列和數(shù)學(xué)期望E4.

解：(I)設(shè)甲勝A的事件為D,

乙勝B的事件為E,丙勝C的事件為F,

則萬，及*分別表示甲不勝A、乙不勝B,丙不勝C的事件。

因為P(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5,

由對立事件的概率公式知

P(D)=0.4,P(E)=0.5,P(F)=0.5,

紅隊至少兩人獲勝的事件有：

DEF,DEF,DEF,DEF.

由于以上四個事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨立，

因此紅隊至少兩人獲勝的概率為

P=P(DEF)+P(DEF)+P(DEF)+P(DEF)

=0.6x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5+0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5

=0.55.

(ID由題意知歲可能的取值為0,1,2,3。

又由(I)知萬力云R是兩兩互斥事件，

且各盤比賽的結(jié)果相互獨立，

因此尸C=0)=P(DEF)=0.4X0.5X0.5=0.1,

P記=1)=P(DEF)+P(DEF)+P(DEF)

=0.4x0.5x0.5+0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5

=0.35

P化=3)=P(DEF)=0.6x0.5x0.5=0.15.

由對立事件的概率公式得

%=2)=1-PC=0)—=1)--3)=0.4,

所以4的分布列為:

40123

p0.10.350.40.15

因此=0x0.1+1x0.35+2x0.4+3x0.15=1.6.

28.(陜西理20)如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2,據(jù)統(tǒng)計，通過兩條路徑所用的

時間互不影響，所用時間落在各時間段內(nèi)的頻率如下表：

時間(分鐘)10?2020?3030?4040?5050?60

L1的頻率0.10.20.30.20.2

L2的頻率00.10.40.40.1

現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站。

(I)為了盡最大可能在各自允許的時間內(nèi)趕到火車站，甲和乙應(yīng)如何選擇各自的路徑？

(II)用X表示甲、乙兩人中在允許的時間內(nèi)能趕到火車站的人數(shù)，針對(I)的選擇方案,

求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。

火車站

解(1)Ai表示事件“甲選擇路徑Li時，40分鐘內(nèi)趕到火車站”，Bi表示事件“乙選擇路徑

Li時，50分鐘內(nèi)趕到火車站”，i=l,2.用頻率估計相應(yīng)的概率可得

P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,

丁P(Al)>P(A2),一甲應(yīng)選擇Li

P(Bl)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,

*,P(B2)>P(Bl),??乙應(yīng)選擇L2.

(II)A,B分別表示針對(I)的選擇方案，甲、乙在各自允許的時間內(nèi)趕到火車站，由(I)

知尸(⑷=0.6,P(B)=0,9，又由題意知,A,B獨立,

P(X=0)=P(AB)=P(A)P(B)=0.4x0.1=0.04

P(X=1)=P(AB+AB)=P(7)P(B)+尸(N)尸(歷

=0.4x0.9+0.6x0.1=0.42

P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=0.6x0,9=0.54

:，X的分布列為

X012

P0.040.420.54

=0x0.04+1x0.42+2x0.54=1.5.

29.（四川理18）本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多。某自行車租車

點的收費標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租不超過兩小時免費，超過兩小時的收費標(biāo)準(zhǔn)為2元（不足1小時

的部分按1小時計算）。有人獨立來該租車點則車騎游。各租一車一次。設(shè)甲、乙不超過兩

11

小時還車的概率分別為4'2；兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為2'4；兩人租

車時間都不會超過四小時。

（I）求甲、乙兩人所付租車費用相同的概率;

（II）求甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量自，求自的分布列與數(shù)學(xué)期望“4；

1