高考數(shù)學(xué)概念、方法、題型、易誤點(diǎn)、易錯(cuò)題型

高考數(shù)學(xué)概念、方法、題型、易誤點(diǎn)、易錯(cuò)題型

基本概念、公式及方法是數(shù)學(xué)解題的基礎(chǔ)工具和基本技能，為此作為臨考前的高三學(xué)生，務(wù)必首先要

掌握高中數(shù)學(xué)中的概念、公式及基本解題方法，其次要熟悉一些基本題型，明確解題中的易誤點(diǎn)，還應(yīng)了

解一些常用結(jié)論，最后還要掌握一些的應(yīng)試技巧。本資料對(duì)高中數(shù)學(xué)所涉及到的概念、公式、常見題型、

常用方法和結(jié)論及解題中的易誤點(diǎn)，按章節(jié)進(jìn)行了系統(tǒng)的整理，最后闡述了考試中的一些常用技巧，相信

通過對(duì)本資料的認(rèn)真研讀，一定能大幅度地提升高考數(shù)學(xué)成績。

一、集合與簡易邏輯

二、函數(shù)

三、數(shù)列

四、三角函數(shù)

五、平面向量

六、不等式

七、直線和圓

八、圓錐曲線

九、直線、平面、簡單多面體

十、排列、組合和二項(xiàng)式定理

十一、概率

十二、統(tǒng)計(jì)

十三、導(dǎo)數(shù)

十四、高考數(shù)學(xué)選擇題的解題策略

十五、高考數(shù)學(xué)填空題的解題策略

十六、高考數(shù)學(xué)應(yīng)試技巧

一、集合與簡易邏輯

集合元素具有確定性、無序性和互異性.在求有關(guān)集合問題時(shí)，尤其要注意元素的互異

性，如

（1）設(shè)P、Q為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，定義集合P+Q={a+MaeP力eQ},若2={0,2,5},

Q={1,2,6},則P+Q中元素的有個(gè)。

（答:8）

（2）設(shè)。={（國y）］》6/?,丁€/?},A={（x,y）|2x-y+m>0},B={（x,y）|x+W0},

那么點(diǎn)P（2,3）GACICQB）的充要條件是

（答：m>-\,n<5）；

（3）非空集合51{1,2,3,4,5},且滿足“若。65,則6-awS"，這樣的S共有個(gè)

（答：7）

遇到A8=0時(shí)，你是否注意至卜'極端"情況：A=0或6=0；同樣當(dāng)A=8時(shí)，你

是否忘記A=0的情形？要注意到0是任何集合的子集，是任何非空集合的K子集。如

集合A={x|ax—1=0},B={X|X2-3X+2=0},且4B=B,則實(shí)數(shù)a=—.

(答：a=0,1,—)

2

三.對(duì)于含有〃個(gè)元素的有限集合其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個(gè)數(shù)依次

為2",2"-1,2"-1,2"-2.如

滿足{1,2匠加1{1,2,3,4,5}集合M有個(gè)。

(答：7)

四.集合的運(yùn)算性質(zhì)：

⑴AB=A=8=A;

(2)A

⑶0廖??B；

⑷A輛=0=

(5)Q,A5=UoA±8；

(6)C(,(AB)=CuACL,B；

⑺C〃(AB)=C(jACuB.

如：設(shè)全集U={123,4,5},若ACI5={2},(QA)nB={4},(。*)。(。,5)={1,5},則

A=,B=—.

(答：A={2,3},B={2,4})

五.研究集合問題，一定要理解集合的意義一一抓住集合的代表元素。如：{x|y=lgx}—函

數(shù)的定義域；{y|y=lgx}一函數(shù)的值域；{(x,y)|y=lgx}—函數(shù)圖象上的點(diǎn)集，如

(1)設(shè)集合M={x|y=V^i},集合N={y|y=x2,xeM},則MN=—

(答：［4,+oo))；

(2)設(shè)集合M={a|a=(l,2)+/l(3,4),/leR},N={a|a=(2,3)+〃4,5),2e/?),則

MC|N=

(^：{(-2,-2)))

六.數(shù)軸和韋恩圖是進(jìn)行交、并、補(bǔ)運(yùn)算的有力工具，在具體計(jì)算時(shí)不要忘了集合本身和空

集這兩種特殊情況，補(bǔ)集思想常運(yùn)用于解決否定型或正面較復(fù)雜的有關(guān)問題。如：

已知函數(shù)/G)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+l在區(qū)間［-1,1］上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c,使

/(c)>0,求實(shí)數(shù)〃的取值范圍。

(答：(-3,6)

七.復(fù)合命題真假的判斷?！盎蛎}”的真假特點(diǎn)是“一真即真，要假全假”；“且命題”的真

假特點(diǎn)是“一假即假，要真全真”；“非命題”的真假特點(diǎn)是“真假相反”。如：

在下列說法中：⑴“p且q”為真是“〃或?yàn)檎娴某浞植槐匾獥l件；

⑵“p且q”為假是“p或q”為真的充分不必要條件；

⑶“〃或q”為真是“非p”為假的必要不充分條件；

(4)“非p”為真是“〃且4”為假的必要不充分條件。

其中正確的是

(答：(1)(3))

八.四種命題及其相互關(guān)系。若原命題是“若p則q”，則逆命題為“若q則p"；否命題為“若

-p則f”;逆否命題為“若「q則「p”。

提醒：

(1)互為逆否關(guān)系的命題是等價(jià)命題，即原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同

真同假。但原命題與逆命題、否命題都不等價(jià)；

(2)在寫出一個(gè)含有“或”、“且”命題的否命題時(shí)，要注意“非或即且，非且即或”；

(3)要注意區(qū)別“否命題”與“命題的否定”：否命題要對(duì)命題的條件和結(jié)論都否定，而命

題的否定僅對(duì)命題的結(jié)論否定；

(4)對(duì)于條件或結(jié)論是不等關(guān)系或否定式的命題，一般利用等價(jià)關(guān)系“AnBoBnX”判斷

其真假，這也是反證法的理論依據(jù)。

(5)哪些命題宜用反證法？

如：

(1)“在4人8(2中，若NC=90°,則NA、NB都是銳角”的否命題為

(答：在中，若NCW90,則不都是銳角)；

(2)已知函數(shù)/*)=優(yōu)+土匚,。>1,證明方程〃x)=0沒有負(fù)數(shù)根。

X+1

九.充要條件。關(guān)鍵是分清條件和結(jié)論(劃主謂賓)，由條件可推出結(jié)論，條件是結(jié)論成立的

充分條件；由結(jié)論可推出條件，則條件是結(jié)論成立的必要條件。從集合角度解釋，若

A^B,則A是B的充分條件；若則A是B的必要條件；若人=8,則A是B

的充要條件。如：

(1)給出下列命題：

①實(shí)數(shù)。=0是直線ox-2y=l與2以-2y=3平行的充要條件；

②若a,beR,aZ?=0是同+網(wǎng)=卜+4成立的充要條件；

③已知“若孫=0,則x=0或y=0”的逆否命題是“若XHO或yxO則

孫工0”；

④“若a和人都是偶數(shù)，則a+b是偶數(shù)”的否命題是假命題。

其中正確命題的序號(hào)是

(答：①④)；

(2)設(shè)命題p：|4%-3|<1；命題q:九2一(2。+l)x+a(a+l)40。若-)p是q的必要而不

充分的條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

(答：［0,白)

2

十.一元一次不等式的解法：通過去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等步驟化為依的

…b..b.?

形式，若a>0,則X〉一；若a<0,則x(一；若a=0,則當(dāng)。<0時(shí)，xe7?；當(dāng)。20時(shí)，xe0

aao

如

已知關(guān)于x的不等式(tz+b)x+(2a-3b)<0的解集為(-oo,-1),則關(guān)于x的不等式

(a-3b)x+(b-2a)>0的解集為

(答:{x|x<-3})

十一.一元二次不等式的解集(聯(lián)系圖象)。尤其當(dāng)△=()和A<0時(shí)的解集你會(huì)正確表示嗎？

設(shè)a>0,Xi，W是方程依?+/?x+c=0的兩實(shí)根，且玉<々，則其解集如下表：

ax2+Z?x+c>0ax2+Z?x+c>0ax2+/?x+c<0ax2+bx+c<0

A>0{x\x<x或[x\x<x或{x|X)<x<x}

]]{x[X[<x<x2}2

x>x2}x>x2}

A=0,b、{x|x=_=}

{txIXW--}R,

2a2a

A<0R

R,,

如解關(guān)于x的不等式：ar2-（<2+l）x+1<0o

（答：當(dāng)a=0時(shí)，x>l；當(dāng)。<0時(shí)，x>l或x<L；當(dāng)0<a<l時(shí)，l<x<,；當(dāng)。=1時(shí)，xe0；

aa

當(dāng)a>l時(shí)，—<x<l）

a

十二.對(duì)于方程依2+bx+c=0有實(shí)數(shù)解的問題。首先要討論最高次項(xiàng)系數(shù)a是否為0,其次

若a/0,則一定有△=/—4ac20。對(duì)于多項(xiàng)式方程、不等式、函數(shù)的最高次項(xiàng)中含

有參數(shù)時(shí)，你是否注意到同樣的情形？

如：（1）（a-2）d+2（a_2）x-l<0對(duì)一切xeR恒成立，則a的取值范圍是

（答：（1,2］）；

（2）關(guān)于x的方程/a）=上有解的條件是什么？（答：keD,其中。為/（x）的值域），特別

地，若在［0,句內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根滿足等式cos2x+&sin2x=Z+l,則實(shí)數(shù)Z的范圍是

2

（答：［0,1））

十三.一元二次方程根的分布理論。方程/（幻=公2+法+。=0（。>0）在（%,+8）上有兩根、在

（團(tuán),〃）上有兩根、在（-00,/；）和（%,+8）上各有一根的充要條件分別是什么？

"丹CA>o

△201f（m）>0

（a>（，）

（卜（公>0、\i//（?）>0、./"（Q<0）。根的分布理論成立的前提是開

-->*。―*m<-—<n

［2。I|I2a

區(qū)間，若在閉區(qū)間［九〃］討論方程/（X）=0有實(shí)數(shù)解的情況，可先利用在開區(qū)間（孫〃）上實(shí)根

分布的情況，得出結(jié)果，再令》=〃和X=檢查端點(diǎn)的情況.

如實(shí)系數(shù)方程/+以+乃=0的一根大于0且小于1,另一根大于1且小于2,則T的取值

a-1

范圍是—

（答：（-,1））

4

十四.二次方程、二次不等式、二次函數(shù)間的聯(lián)系你了解了嗎？二次方程辦2+公+。=0的兩

個(gè)根即為二次不等式a?+云+c>0（<0）的解集的端點(diǎn)值，也是二次函數(shù)尸加+法+C

的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

如（1）不等式?>公+之的解集是（4,打，則。=

2

（答：-）;

8

（2）若關(guān)于x的不等式?+/?x+c<0的解集為（-oo,〃z）U（〃,+8），其中m<〃<0,則關(guān)于x

的不等式C/一區(qū)+。<0的解集為

（答：（-8,---）U（——,+℃））；

mn

(3)不等式3/一2法+1<0對(duì)xe[-1,2]恒成立，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是

(答：0)。

二、函數(shù)

映射/：AfB的概念。在理解映射概念時(shí)要注意：㈠中元素必須都有象且唯一；㈡B中

元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如：

(1)設(shè)/:"f"是集合"到'的映射，下列說法正確的是A、M中每一個(gè)元素在N

中必有象B、N中每一個(gè)元素在M中必有原象C、N中每一個(gè)元素在M中的原象是

唯一的D、N是M中所在元素的象的集合

(答：A)；

(2)點(diǎn)(a,與在映射/的作用下的象是(a-b,a+份，則在/作用下點(diǎn)(3,1)的原象為點(diǎn)

(答:(2,-1))；

(3)若4={1,2,3,4},B^[a,h,c},a,b,c^R,則A到8的映射有個(gè)，B到A的映

射有一個(gè)，A到6的函數(shù)有個(gè)

(答：81,64,81)；

(4)設(shè)集合M={T,O,1},N={1,2,3,4,5},映射fN滿足條件“對(duì)任意的xeM,

x+/(x)是奇數(shù)”，這樣的映射了有一個(gè)

(答：⑵;

(5)設(shè)是集合A到集合B的映射，若8={1,2},則ADB一定是

(答：0或{1}).

二.函數(shù)/：A-B是特殊的映射。特殊在定義域A和值域B都是非空數(shù)集！據(jù)此可知函數(shù)圖

像與x軸的垂線至多有一個(gè)公共點(diǎn)，但與y軸垂線的公共點(diǎn)可能沒有，也可能有任意個(gè)。

如：

(1)已知函數(shù)/(幻，xeF,那么集合{(x,y)|y=/(x),xw尸}{(x,y)|x=l}中所含元素

的個(gè)數(shù)有個(gè)

(答：0或1);

(2)若函數(shù)y=2x+4的定義域、值域都是閉區(qū)間[2,2/，則人=

(答：2)

三.同一函數(shù)的概念。構(gòu)成函數(shù)的三要素是定義域，值域和對(duì)應(yīng)法則。而值域可由定義域和

對(duì)應(yīng)法則唯一確定，因此當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則相同時(shí)，它們一定為同一函數(shù)。

如

若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“天一函數(shù)”,

那么解析式為y=f,值域?yàn)閧4,1}的“天一函數(shù)”共有個(gè)

(答：9)

四.求函數(shù)定義域的常用方法(在研究函數(shù)問題時(shí)要樹立定義域優(yōu)先的原則)：

1.根據(jù)解析式要求如偶次根式的被開方大于零，分母不能為零，對(duì)數(shù)log“x中x>0,a>0

且awl,三角形中0<A<〃，最大角2三，最小角4生等。如

33

(D函數(shù)丁=如二2的定義域是一

lg(x-3)一

(答:(0,2)(2,3)(3,4))；

(2)若函數(shù)y=產(chǎn)kx+'7—的定義域?yàn)镽,則左￡_______

履2+4H+3

(答:Q5))；

(3)函數(shù)/(x)的定義域是們，h>-a>Q,則函數(shù)E(x)=/(x)+/(-x)的定義域是

(答：［a,-a］)；

(4)設(shè)函數(shù)/(x)=lg(ar2+2x+l),①若/(x)的定義域是R,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②

若Ax)的值域是R,求實(shí)數(shù)。的取值范圍

(答：??>1；?0<a<l)

2.根據(jù)實(shí)際問題的要求確定自變量的范圍。

3.復(fù)合函數(shù)的定義域：若已知“X)的定義域?yàn)椋踑,切，其復(fù)合函數(shù)/［g(x)］的定義域由不

等式a?g(x)Wb解出即可；若已知f［g(x)］的定義域?yàn)椋踑,切，求/(x)的定義域,相當(dāng)于當(dāng)

xe［a向時(shí),求g(x)的值域(即/(X)的定義域)。如

(1)若函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?,2,則/(log2%)的定義域?yàn)?/p>

(答：{x|V2<x<4})；

(2)若函數(shù)/(/+1)的定義域?yàn)椋邸?,1),則函數(shù)/(幻的定義域?yàn)?/p>

(答：

五.求函數(shù)值域(最值)的方法：

1.配方法一一二次函數(shù)(二次函數(shù)在給出區(qū)間上的最值有兩類：一是求閉區(qū)間［北川上的最

值；二是求區(qū)間定(動(dòng))，對(duì)稱軸動(dòng)(定)的最值問題。求二次函數(shù)的最值問題，勿忘數(shù)

形結(jié)合，注意“兩看”：一看開口方向；二看對(duì)稱軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系)，如

(1)求函數(shù)y=x?-2x+5,xe［-l,2］的值域

(答：［4,8］)；

(2)當(dāng)XG(0,2］時(shí)，函數(shù)/(幻=。/+4(4+1)》一3在》=2時(shí)取得最大值，則a的取值范

圍是一

(答：aN—)；

2

(3)已知/(x)=3j(2W4)的圖象過點(diǎn)(2,1),則一(x)="T(x)］2—尸(力的值域?yàn)?/p>

(答:［2,5］)

2.換元法一一通過換元把一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)變?yōu)楹唵我浊笾涤虻暮瘮?shù)，其函數(shù)特征是函數(shù)解

析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，如

(1)y=2sin2x-3cosx-l的值域?yàn)?/p>

(答：［-4,1?7］)；

O

(2)y=2x+l+VT7的值域?yàn)?/p>

(答：(3,+8))

(3)y=sinx+cosx+sinxcosx的值域?yàn)?/p>

（答：［-1」+及］）;

2

（4）y=x+4+j9-%2的值域?yàn)?/p>

（答:［1,30+4］）；

3.函數(shù)有界性法一一直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，來確定所求

函數(shù)的值域，最常用的就是三角函數(shù)的有界性，如

-4；,2sin6—13X2sin6-1人,土舟

求函數(shù)y=~y=--?y=------rt的i值域

1+sin。1+314-cos07r

（答：（一8二］、（0,1）、（一華亡）；

22

4.單調(diào)性法一一利用一次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性，如

1o_____

求y=冗——（1<x<9）,y=sin2x+---,y=2X-5+log的值域

xl+sin-x3

（答:（0,y）>［y,9］>［2,10］）;

5.數(shù)形結(jié)合法一一函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離、直線斜率、等等，

如

（1）已知點(diǎn)P（x,y）在圓f+y2=i上，求上及y-2x的取值范圍

x+2

（答：［—［-A/5,>/5］）；

（2）求函數(shù)y=J（x-2）2+J（x+8）2的值域

（答：［10,-HX））;

（3）求函數(shù)y=&-6x+13+&+4X+5及y=Jd-6x+13-&+以+5的值域

（答：［A,+8）、（一病，后））

注意：求兩點(diǎn)距離之和時(shí)，要將函數(shù)式變形，使兩定點(diǎn)在X軸的兩側(cè)，而求兩點(diǎn)距離之

差時(shí)，則要使兩定點(diǎn)在X軸的同側(cè)。

6.判別式法一一對(duì)分式函數(shù)（分子或分母中有一個(gè)是二次）都可通用，但這類題型有時(shí)也可

以用其它方法進(jìn)行求解，不必拘泥在判別式法上，也可先通過部分分式后，再利用均值不

等式：

①丁二一匚型，可直接用不等式性質(zhì)，如

k+x

求>=的值域

2+九

（答：（0,6）

②丁二十如一型，先化簡，再用均值不等式，如

（1）求），=」為的值域

1+X

（答：（-00,—］）;

2

(2)求函數(shù)y=的值域

x+3

(答：[0,占)

2

③y=x：+〃/i-+4型,通常用判別式法；如

x-+〃優(yōu)+〃

已知函數(shù)y=log,"W*的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇0,2],求常數(shù)根,〃的值

廠+1

(答：m=n=5)

④y=>+，+“型,可用判別式法或均值不等式法，如

mx+n

求y=X-+X+l的值域

X+1

(答：(9,一3][1,-KO))

7.不等式法一一利用基本不等式吐2疝(a/wR+)求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是

和式時(shí)要求積為定值，解析式是積時(shí)要求和為定值，不過有時(shí)須要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊

平方等技巧。如

設(shè)成等差數(shù)列，％耳,仇,y成等比數(shù)列，則如上立的取值范圍是

白。2

(答：(-00,0][4,+oo))o

8.導(dǎo)數(shù)法----般適用于高次多項(xiàng)式函數(shù)，如

求函數(shù)/(x)=2/+4f—40x,xe[-3,3]的最小值。

(答：-48)

提醒：(1)求函數(shù)的定義域、值域時(shí)，你按要求寫成集合形式了嗎？

(2)函數(shù)的最值與值域之間有何關(guān)系？

六.分段函數(shù)的概念。分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分別用幾個(gè)不同的式子來表示

對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，它是一類較特殊的函數(shù)。在求分段函數(shù)的值/*。)時(shí)，一定首先要判斷

小屬于定義域的哪個(gè)子集，然后再代相應(yīng)的關(guān)系式；分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不

同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集。如

(1)設(shè)函數(shù)/?(》)=r，則使得/(幻》的自變量X的取值范圍是_

4-Vx-l.(x>l)

(答：(fo,-2][0,10])；

(2)已知f(x)=F(X-0)，貝U不等式x+(x+2)〃x+2)K5的解集_____

-1(x<0)

3

(答：(-00,|])

七.求函數(shù)解析式的常用方法：

1.待定系數(shù)法一一已知所求函數(shù)的類型(二次函數(shù)的表達(dá)形式有三種：一般式：

22

f(x)=ax+bx+c；頂點(diǎn)式：f(x)=a(x-m)+n；零點(diǎn)式：f(x)=a(x-x,)(x-x2),要會(huì)

根據(jù)已知條件的特點(diǎn)，靈活地選用二次函數(shù)的表達(dá)形式)。如

已知了(幻為二次函數(shù)，且/(x-2)=/(-x-2),且f(0)=1,圖象在x軸上截得的線段長

為2vL求/(x)的解析式。

2

(答：/(X)=1X+2X+1)

2.代換(配湊)法--已知形如/(g(x))的表達(dá)式，求，(x)的表達(dá)式。如

(1)已知/(l-cosx)=sin2x,求/(1)的解析式

(答：f)=~x4+2x",xG[--\/2,s[2])；

(2)若/(x-4)=爐+2，則函數(shù)/(x-i)=

(答：x2—2x+3)；

(3)若函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)xe(0,+oo)時(shí)，/(%)=x(l+Vx),那么當(dāng)

xe(-oo,0)時(shí)，/(x)=

(答:無(1-五)).

這里需值得注意的是所求解析式的定義域的等價(jià)性，即/(X)的定義域應(yīng)是g(x)的值域。

3.方程的思想一一已知條件是含有/(x)及另外一個(gè)函數(shù)的等式，可抓住等式的特征對(duì)等式

的進(jìn)行賦值，從而得到關(guān)于/(X)及另外一個(gè)函數(shù)的方程組。如

(1)已知f(x)+2/(—x)=3x—2,求/(x)的解析式

2

(答：/(x)=-3x--)；

(2)已知/(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且/(x)+g(x)=—J—,則f(x)=_____

x-\

(答：4)。

X--1

A.反函數(shù)：

1.存在反函數(shù)的條件是對(duì)于原來函數(shù)值域中的任一個(gè)y值，都有唯一的x值與之對(duì)應(yīng)，故單

調(diào)函數(shù)一定存在反函數(shù)，但反之不成立；偶函數(shù)只有f(x)=0(xe{0})有反函數(shù)；周期函數(shù)

一定不存在反函數(shù)。如

函數(shù))=》2一2公-3在區(qū)間[1,2]上存在反函數(shù)的充要條件是

A、aG(-oo,l]B、ae[2,+oo)C、ae[l,2]D、aG(-OO,1][2,+00)

(答：D)

2.求反函數(shù)的步驟：①反求x；②互換x、y；③注明反函數(shù)的定義域(原來函數(shù)的值域)。

注意函數(shù)y=/(x+1)的反函數(shù)不是y=廣(》+1),而是y=/T(x)_]。如

設(shè)f(x)=(出y(x>0).求/a)的反函數(shù)廣(x)

X

(答：尸(無)="-(》>1)).

yJx-l

3.反函數(shù)的性質(zhì)：

①反函數(shù)的定義域是原來函數(shù)的值域，反函數(shù)的值域是原來函數(shù)的定義域。如

單調(diào)遞增函數(shù)/(x)滿足條件/(tu+3)=x,其中aW0,若/(x)的反函數(shù)/T(X)的定

義域?yàn)椋?斗，則/(幻的定義域是

aa

(答：[4,7]).

②函數(shù)y=/(x)的圖象與其反函數(shù)y=/T(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，注意函數(shù)

y=/(x)的圖象與x=/T(y)的圖象相同。如

(1)已知函數(shù)y=/(x)的圖象過點(diǎn)(1,1),那么/(4-x)的反函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點(diǎn)_

(答：(⑶)；

7,|_Q

(2)已知函數(shù)/(%)=——r-，若函數(shù)y=g(x)Vy=/T(x+1)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，

x-1

求g(3)的值

7

(答:-);

2

③/(0)=。0尸3)=。。如

(1)已知函數(shù)/(x)=log3(d+2),則方程尸(X)=4的解戶______

X

(答：1);

(2)設(shè)函數(shù)火x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,2)對(duì)稱,且存在反函數(shù)尸(x),/(4)=0,則尸⑷=

(答：-2)

④互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)具有相同的單調(diào)性和奇函數(shù)性。如

已知“X)是R上的增函數(shù)，點(diǎn)A(-Ll),8(1,3)在它的圖象上，廣(X)是它的反函數(shù)，那么

不等式|尸(log?x)|<1的解集為

(答：(2,8))；

⑤設(shè)/(幻的定義域?yàn)锳,值域?yàn)锽,則有力尸(X)]=X(XGB),f-l[f(x)]=x

(xeA),但

九.函數(shù)的奇偶性。

1.具有奇偶性的函數(shù)的定義域的特征：定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱！為此確定函數(shù)的奇偶性時(shí)，

務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。如

若函數(shù)/(x)=2sin(3x+(9),xe[2a-5乃,3a]為奇函數(shù),其中6e(0,2萬)，則的值是.

(答：0);

2.確定函數(shù)奇偶性的常用方法(若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先化簡，再判斷其奇偶性)：

①定義法：如判斷函數(shù)y=上三二4的奇偶性_(答：奇函數(shù))。

y/9-X2

②利用函數(shù)奇偶性定義的等價(jià)形式：/(x)±/(-幻=0或4①=±1(/(幻70)。如

/(x)

判斷了(x)=x(“+；)的奇偶性_.(答：偶函數(shù))

③圖像法：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱。

3.函數(shù)奇偶性的性質(zhì)：

①奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原

點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反.

②如果奇函數(shù)有反函數(shù)，那么其反函數(shù)一定還是奇函數(shù).

③若f(x)為偶函數(shù)，則/(-x)=/(x)=/(Ix|).如

若定義在R上的偶函數(shù)/(幻在(-8,0)上是減函數(shù)，且/(1)=2,則不等式/(bg|x)>2的

。8

解集為.

(答:(0,0.5)(2,+oo))

④若奇函數(shù)/(x)定義域中含有0,則必有/(0)=0.故/(0)=0是/")為奇函數(shù)的既不充

分也不必要條件。如

若/（X）=2'；1為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)4=一（答：1）.

⑤定義在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱區(qū)間上的任意一個(gè)函數(shù)，都可表示成“一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)

的和（或差）如

設(shè)/（X）是定義域?yàn)镽的任一函數(shù)，“0=以小盧2,G（X）=△^尹應(yīng)。①判斷E（x）

與G（x）的奇偶性；②若將函數(shù)/（x）=lg（10'+l）,表示成一個(gè)奇函數(shù)g（x）和一個(gè)偶函數(shù)〃（幻

之和，則g（x）=____

（答：①F（X）為偶函數(shù)，G（x）為奇函數(shù)；②g（x）=；x）

⑥復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”.

⑦既奇又偶函數(shù)有無窮多個(gè)（/（x）=0,定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任意一個(gè)數(shù)集）.

十.函數(shù)的單調(diào)性。

1.確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的常用方法：

①在解答題中常用：定義法（取值一一作差一一變形一一定號(hào)）、導(dǎo)數(shù)法（在區(qū)間5力）

內(nèi)，若總有八用>0,則/（幻為增函數(shù)；反之，若/（幻在區(qū)間（凡加內(nèi)為增函數(shù)，則八%）20,

請注意兩者的區(qū)別所在。如

已知函數(shù)/（》）=_?-必在區(qū)間［1,+00）上是增函數(shù)，則a的取值范圍是___

（答：（0,3］））；

②在選擇填空題中還可用數(shù)形結(jié)合法、特殊值法等等，特別要注意y=ax+2（a>0

X

人〉0）型函數(shù)的圖象和單調(diào)性在解題中的運(yùn)用：增區(qū)間為（-減區(qū)間為

［一*,0）,（0,*］.如

VaVa

（1）若函數(shù)八%）=/+2（。-l）x+2在區(qū)間（一8,4］上是減函數(shù)，那么實(shí)數(shù)。的取值

范圍是一

（答：a<—3））；

（2）已知函數(shù)”幻=》在區(qū)間（-2,y0）上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍—

（答：（；,+00））；

（3）若函數(shù)/（x）=logjx+f-4,。>0,且awl）的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

（答：0<aW4且aHl））；

③復(fù)合函數(shù)法：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的特點(diǎn)是同增異減，如

函數(shù)y=log?（—f+29的單調(diào)遞增區(qū)間是

2

（答：（1,2））。

2.特別提醒：求單調(diào)區(qū)間時(shí)，一是勿忘定義域，如若函數(shù)/（x）=log“，”+3）在區(qū)間（-8,學(xué)

上為減函數(shù)，求。的取值范圍（答：（1,2百））；二是在多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間不一定能添加

符號(hào)"”和“或”；三是單調(diào)區(qū)間應(yīng)該用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示.

3.你注意到函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的逆用了嗎？(①比較大??；②解不等式；③求參數(shù)范圍).

如已知奇函數(shù)/(x)是定義在(-2,2)上的減函數(shù)，若/(m-1)+/(2/?-1)>0,求實(shí)數(shù)加的取

值范圍。(答：-工<〃?<2)

23

十一.常見的圖象變換

1.函數(shù)y=/(x+a)(a>0)的圖象是把函數(shù)y=/(x)的圖象沿x軸向左平移。個(gè)單位得到

的。如

設(shè)/(x)=27,g(x)的圖像與/(x)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱，/?(%)的圖像由g(x)的圖像

向右平移1個(gè)單位得到，則〃(x)為

(答：/z(x)=-log2(^-l))

2.函數(shù)y=/(x+a)((a<0)的圖象是把函數(shù)>=/(x)的圖象沿x軸向右平移回個(gè)單位得

到的。如

(1)若/(x+199)=4f+4x+3,則函數(shù)/(x)的最小值為

(答：2)；

(2)要得到y(tǒng)=lg(3-x)的圖像，只需作y=lgx關(guān)于軸對(duì)稱的圖像，再向一平

移3個(gè)單位而得到

(答：y；右)；

(3)函數(shù)/(x)=x/g(x+2)-1的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有個(gè)

(答:2)

3.函數(shù)y=/(x)+a(a>0)的圖象是把函數(shù)^=〃龍)助圖象沿y軸向上平移。個(gè)單位得到

的；

4.函數(shù)y=/(x)+a(a<0)的圖象是把函數(shù)y=/(x)助圖象沿y軸向下平移時(shí)個(gè)單位得到

的；如

將函數(shù)y=，一+。的圖象向右平移2個(gè)單位后又向下平移2個(gè)單位，所得圖象如果與原

x+a

圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，那么

(A)Q=-1,Z?w0(B)a=—T,beR

(C)a=1,〃w0(D)a=09bGR

(答：C)

5.函數(shù)y=/(必)3>0)的圖象是把函數(shù)^=/(x)的圖象沿x軸伸縮為原來的,得到的。

a

如

(1)將函數(shù)y=/(x)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?(縱坐標(biāo)不變)，再將此圖

像沿x軸方向向左平移2個(gè)單位，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為

(答：〃3x+6))；

(2)如若函數(shù)y=/(2x-l)是偶函數(shù)，則函數(shù)y=/(2x)的對(duì)稱軸方程是一

(答：x=1g).

6.函數(shù)y=4(x)(a>0)的圖象是把函數(shù)>=/(x)的圖象沿y軸伸縮為原來的。倍得到的.

十二.函數(shù)的對(duì)稱性。

1.滿足條件/(x-a)=/e-力的函數(shù)的圖象關(guān)于直線》=一對(duì)稱。如

已知二次函數(shù)/(x)=公2+bx(a豐0)滿足條件/(5-x)=/(x-3)且方程/(x)=x有等根，

則/(%)=

(答：-■-X2+X);

2

2?點(diǎn)(x,y)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(-x,y)；函數(shù)y=/(無)關(guān)于y軸的對(duì)稱曲線方程為

y=/(-x)；

3.點(diǎn)(x,y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x,-y)；函數(shù)y=/(尤)關(guān)于x軸的對(duì)稱曲線方程為

y=-/W；

4.點(diǎn)(x,y)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為(-x,-y)；函數(shù)y=/(x)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱曲線方程為

y=-/(-x)；

5.點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線y=±x+a的對(duì)稱點(diǎn)為(土(y-a),±x+a)；曲線/(x,y)=0關(guān)于直線

y=±x+a的對(duì)稱曲線的方程為了(土(y-a),±x+a)=0。特別地，點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱

點(diǎn)為(y,x)；曲線/(x,y)=0關(guān)于直線y=x的對(duì)稱曲線的方程為/(y,x)

=0；點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線^=-刀的對(duì)稱點(diǎn)為(-y,-x)；曲線/(x,y)=0關(guān)于直線^=-%的對(duì)稱曲

線的方程為./■(-%-幻=0。如

己知函數(shù)“X)=士且,(x工3)，若y=/(x+1)的圖像是C”它關(guān)于直線y=x對(duì)稱圖像是

2x-32

。2，。2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖像為。3,則。3對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是.

6.曲線/(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)①⑼的對(duì)稱曲線的方程為/(2a-x,2b-y)=0。如

若函數(shù)y=/+%與＞=g*)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-2,3)對(duì)稱，則g(x)=

(答：-X2-7x-6)

7.形如y=g4(c/0，adN歷)的圖像是雙曲線，其兩漸近線分別直線x=-立(由分母

cx+a