高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第十章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布

計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布

§10.1兩個(gè)計(jì)數(shù)原理

【考試要求】1.理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理2會(huì)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步

乘法計(jì)數(shù)原理分析和解決一些簡單的實(shí)際問題.

主干知識(shí)

【知識(shí)梳理】

兩個(gè)計(jì)數(shù)原理

(1)分類加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有機(jī)種不同的方法，在

第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法.

(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理：完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有機(jī)種不同的方法，做第2步有

w種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法.

【常用結(jié)論】

1.分類加法計(jì)數(shù)原理的推廣：完成一件事有〃類不同方案，在第1類方案中有恤種不同的

方法，在第2類方案中有他種不同的方法，……，在第”類方案中有如種不同的方法，那

么完成這件事共有N—M11+"22H種不同的方法.

2.分步乘法計(jì)數(shù)原理的推廣：完成一件事需要〃個(gè)步驟，做第1步有加種不同的方法，做

第2步有加2種不同的方法，……，做第"步有如種不同的方法，那么完成這件事共有N=

X切2義…X種不同的方法.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“義”)

(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，某兩類不同方案中的方法可以相同.(X)

(2)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事.(V)

(3)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，只有各步驟都完成后，這件事情才算完成.(V)

(4)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的.(V)

【教材改編題】

1.已知某公園有4個(gè)門，從一個(gè)門進(jìn)，另一個(gè)門出，則不同的走法的種數(shù)為()

A.16B.13C.12D.10

答案C

解析將4個(gè)門編號(hào)為1,2,3,4,從1號(hào)門進(jìn)入后，有3種出門的方式，共3種走法，從2,3,4

號(hào)門進(jìn)入，同樣各有3種走法，不同走法共有4X3=12（種）.

2.有4位教師在同一年級(jí)的4個(gè)班中各教一個(gè)班的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)檢測時(shí)要求每位教師不能在

本班監(jiān)考，則不同的監(jiān)考方法有（）

A.8種B.9種C.10種D.11種

答案B

解析設(shè)四位監(jiān)考教師分別為A,B,C,D,所教班級(jí)分別為a,b,c,d,假設(shè)A監(jiān)考6,則

余下三人監(jiān)考剩下的三個(gè)班，共有3種不同方法，同理A監(jiān)考c,d時(shí)，也分別有3種不同

方法.由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有3+3+3=9（種）不同的監(jiān)考方法.

3.由于用具簡單、趣味性強(qiáng)，象棋成為流行極為廣泛的棋藝活動(dòng).某棋局的一部分如圖所示，

若不考慮這部分以外棋子的影響，且“馬”和“炮”不動(dòng)，“兵”只能往前走或左右走，每

次只能走一格，從“兵”吃掉“馬”的最短路線中隨機(jī)選擇一條路線，其中也能把“炮”吃

掉的可能路線有（）

A.10條B.8條C.6條D.4條

答案C

解析由題意可知，“兵”吃掉“馬”的最短路線需橫走三步，豎走兩步；

其中也能把“炮”吃掉的路線可分為兩步：第一步，橫走兩步，豎走一步，有3種走法；第

二步，橫走一步，豎走一步，有2種走法.

所以所求路線共有3X2=6（條）.

■探究核心題型

題型一分類加法計(jì)數(shù)原理

例1（1）某同學(xué)有同樣的畫冊(cè)2本，同樣的集郵冊(cè)3本，從中取出4本贈(zèng)送給4位朋友，每

位朋友一本，則不同的贈(zèng)送方法共有（）

A.4種B.10種C.18種D.20種

答案B

解析贈(zèng)送1本畫冊(cè)，3本集郵冊(cè).需從4人中選取1人贈(zèng)送畫冊(cè)，其余贈(zèng)送集郵冊(cè)，有4

種方法.贈(zèng)送2本畫冊(cè)，2本集郵冊(cè)，只需從4人中選出2人贈(zèng)送畫冊(cè)，其余2人贈(zèng)送集郵

冊(cè)，有6種方法.由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，不同的贈(zèng)送方法共有4+6=10（種）.

⑵如果一個(gè)三位正整數(shù)如“414203”滿足且。2＞的，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)（如

120,343,275等），那么所有凸數(shù)的個(gè)數(shù)為.

答案240

解析若的=2,則百位數(shù)字只能選1,個(gè)位數(shù)字可選1或0,“凸數(shù)”為120與121,共2

個(gè).若念=3,則百位數(shù)字有兩種選擇，個(gè)位數(shù)字有三種選擇，則“凸數(shù)”有2義3=6（個(gè)）.若

痣=4,滿足條件的“凸數(shù)”有3義4=12（個(gè)），……，若3=9,滿足條件的“凸數(shù)”有8X9

=72（個(gè)）.所以所有凸數(shù)共有2+6+12+20+30+42+56+72=240（個(gè)）.

思維升華使用分類加法計(jì)數(shù)原理的兩個(gè)注意點(diǎn)

（1）根據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個(gè)合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，不能遺漏.

（2）分類時(shí)，注意完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復(fù).

跟蹤訓(xùn)練1（1）（2023?太原模擬）現(xiàn)有拾圓、貳拾圓、伍拾圓的人民幣各一張，一共可以組成

的幣值有（）

A.3種B.6種C.7種D.8種

答案C

解析由題意得，

三種幣值取一張，共有3種取法，幣值分別為拾圓、貳拾圓、伍拾圓；

三種幣值取兩張，共有3種取法，幣值分別為叁拾圓、陸拾圓、柒拾圓；

三種幣值全取，共有1種取法，幣值為捌拾圓.

一共可以組成的幣值有3+3+1=7（種）.

⑵設(shè)/={1,2,3,4},A與3是/的子集，若ACB={1,2},則稱（A,B）為一個(gè)“理想配集”.若

將（A,B）與（8,A）看成不同的“理想配集”，則符合此條件的“理想配集”有個(gè).

答案9

解析對(duì)子集A分類討論：

當(dāng)A是二元集{1,2}時(shí)，8可以為{1,2,3,4},{1,2,4},{1,2,3},{1,2},共4種情況；

當(dāng)A是三元集{1,2,3}時(shí)，8可以為{1,2,4},{1,2},共2種情況；

當(dāng)A是三元集{1,2,4}時(shí)，3可以為{1,2,3},{1,2},共2種情況；

當(dāng)A是四元集{1,2,3,4}時(shí)，B取{1,2},有1種情況.

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有4+2+2+1=9（種）結(jié)果，即符合此條件的“理想配集”有

9個(gè).

題型二分步乘法計(jì)數(shù)原理

例2（1）數(shù)獨(dú)是源自18世紀(jì)瑞士的一種數(shù)學(xué)游戲.如圖是數(shù)獨(dú)的一個(gè)簡化版，由3行3列9

個(gè)單元格構(gòu)成.玩該游戲時(shí)，需要將數(shù)字1,2,3（各3個(gè)）全部填入單元格，每個(gè)單元格填一個(gè)

數(shù)字，要求每一行、每一列均有1,2,3這三個(gè)數(shù)字，則不同的填法有（）

第一列第二列第三列

第一行

第二行□二

第三行□□□

A.12種B.24種C.72種D.216種

答案A

解析先填第一行，有3X2X1=6（種）不同填法，再填第二行第一列，有2種不同填法，當(dāng)

該單元格填好后，其他單元格唯一確定.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有6X2=12（種）不

同的填法.

⑵（多選）（2022?武漢模擬）現(xiàn)安排高二年級(jí)A,B,C三名同學(xué)到甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)行

社會(huì)實(shí)踐，每名同學(xué)只能選擇一個(gè)工廠，且允許多人選擇同一個(gè)工廠，則下列說法正確的是

（）

A.共有43種不同的安排方法

B.若甲工廠必須有同學(xué)去，則不同的安排方法有37種

C.若A同學(xué)必須去甲工廠，則不同的安排方法有12種

D.若三名同學(xué)所選工廠各不相同，則不同的安排方法有24種

答案ABD

解析對(duì)于A,A,B,C三名同學(xué)到甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，

每個(gè)學(xué)生有4種選法，則三個(gè)學(xué)生有4X4X4=43（種）選法，故A正確；

對(duì)于B,三人到4個(gè)工廠，有43=64（種）情況，其中甲工廠沒有人去，

即三人全部到乙、丙、丁三個(gè)工廠的情況有33=27（種），

則甲工廠必須有同學(xué)去的安排方法有64—27=37（種），故B正確；

對(duì)于C,若同學(xué)A必須去甲工廠，剩下2名同學(xué)安排到4個(gè)工廠即可，有42=16（種）安排方

法，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若三名同學(xué)所選工廠各不相同，有4X3X2=24（種）安排方法，故D正確.

思維升華利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的策略

（1）明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個(gè)步驟，且每步都是獨(dú)立的.

（2）將這件事劃分成幾個(gè)步驟來完成，各步驟之間有一定的連續(xù)性，只有當(dāng)所有步驟都完成了，

整個(gè)事件才算完成.

跟蹤訓(xùn)練2（1）教學(xué)大樓共有五層，每層均有兩個(gè)樓梯，則由一層到五層不同的走法有（）

A.10種B.25種C.52種D.24種

答案D

解析每相鄰的兩層之間各有2種走法，共分4步.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有24種不同的走法.

（2）（多選）有4位同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)不同的社團(tuán)，則下列說法正確的是（）

A.每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)社團(tuán)，則不同的報(bào)名方法共有34種

B.每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)社團(tuán)，則不同的報(bào)名方法共有43種

C.每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人，則不同的報(bào)名方法共有24種

D.每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人，則不同的報(bào)名方法共有43種

答案AD

解析對(duì)于A,B,第1個(gè)同學(xué)有3種報(bào)法，第2個(gè)同學(xué)有3種報(bào)法，后面的2個(gè)同學(xué)也有3

種報(bào)法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有34種結(jié)果，A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C,D,每個(gè)社團(tuán)

限報(bào)一個(gè)人，則第1個(gè)社團(tuán)有4種選擇，第2個(gè)社團(tuán)有4種選擇，第3個(gè)社團(tuán)有4種選擇，

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有43種結(jié)果，D正確，C錯(cuò)誤.

題型三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用

例3（1）有5個(gè)不同的棱柱、3個(gè)不同的棱錐、4個(gè)不同的圓臺(tái)、2個(gè)不同的球，若從中取出

2個(gè)幾何體，使多面體和旋轉(zhuǎn)體各一個(gè)，則不同的取法種數(shù)是（）

A.14B.23C.48D.120

答案C

解析分兩步：第1步，取多面體，有5+3=8（種）不同的取法；第2步，取旋轉(zhuǎn)體，有4+

2=6（種）不同的取法.所以不同的取法種數(shù)是8X6=48.

（2）（2023?南平質(zhì)檢）甲與其他四位同事各有一輛私家車，車牌尾數(shù)分別是9,0,2,1,5,為遵守當(dāng)

地某月5日至9日5天的限行規(guī)定（奇數(shù)日車牌尾數(shù)為奇數(shù)的車通行，偶數(shù)日車牌尾數(shù)為偶數(shù)

的車通行），五人商議拼車出行，每天任選一輛符合規(guī)定的車，但甲的車最多只能用一天，則

不同的用車方案種數(shù)為.

答案80

解析5日至9日，日期尾數(shù)分別為5,6,7,8,9,有3天是奇數(shù)日，2天是偶數(shù)日.第一步，安

排偶數(shù)日出行，每天都有2種選擇，共有2X2=4（種）用車方案；第二步，安排奇數(shù)日出行，

分兩類，第一類，選1天安排甲的車，另外2天安排其他車，有3X2X2=12（種）用車方案，

第二類，不安排甲的車，每天都有2種選擇，共有23=8（種）用車方案，共計(jì)12+8=20（種）

用車方案.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的用車方案種數(shù)為4X20=80.

思維升華利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解題時(shí)的三個(gè)注意點(diǎn)

（1）當(dāng)題目無從下手時(shí)，可考慮要完成的這件事是什么，即怎樣做才算完成這件事.

（2）分類時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)要明確，做到不重不漏，有時(shí)要恰當(dāng)畫出示意圖或樹狀圖.

（3）對(duì)于復(fù)雜問題，一般是先分類再分步.

跟蹤訓(xùn)練3（1）有4件不同顏色的襯衣,3件不同花樣的裙子,另有2套不同樣式的連衣裙.需

選擇一套服裝參加“五一”節(jié)歌舞演出，則不同的選擇方式種數(shù)為（）

A.24B.14C.10D.9

答案B

解析第一類：一件襯衣，一件裙子搭配一套服裝有4義3=12（種）選擇方式；第二類：選2

套連衣裙中的一套服裝有2種選法，由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有12+2=14（種）選擇方式.

（2）如圖，。省分別與從c,d,e四省交界，且6,c,1互不交界，在地圖上分別給各省地域

涂色，要求相鄰省涂不同色，現(xiàn)有5種不同顏色可供選用，則不同的涂色方案種數(shù)為（）

A.480B.600

C.720D.840

答案C

解析依題意，按c與d涂的顏色相同和不同分成兩類：

若c與d涂同色，先涂1有5種方法，再涂。有4種方法，涂c有1種方法，涂e有3種方

法，最后涂b有3種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得到不同的涂色方案有5X4X1X3X3=

180（#）,

若。與d涂不同色，先涂d有5種方法，再涂a有4種方法，涂c有3種方法，涂e,。也各

有3種方法，

由分步乘法計(jì)數(shù)原理得到不同的涂色方案有5X4X3X3X3=540（種），

所以，由分類加法計(jì)數(shù)原理得不同的涂色方案共有180+540=720（種）.

課時(shí)精練

《基礎(chǔ)保分練

1.小黑點(diǎn)表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的連線表示它們有網(wǎng)絡(luò)相連.連線上標(biāo)注的數(shù)字表示該

段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通過的最大信息量.現(xiàn)在從結(jié)點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)B傳遞信息，信息可分開沿

不同的路線同時(shí)傳遞，則單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量為（）

2

B

1

A.9B.21C.12D.8

答案D

解析由圖形可以看出，從可以分成兩種情況，Af￡）f8或AfC—2,

這兩類方法中各自包含的單位時(shí)間內(nèi)通過的信息量分別是5,3,根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知，

傳遞的最大信息量為5+3=8.

2.（2023?濟(jì)寧模擬）某省新高考采用“3+1+2”模式：“3”為全國統(tǒng)考科目語文、數(shù)學(xué)、外

語，所有學(xué)生必考；“1”為首選科目，考生須在物理、歷史科目中選擇1個(gè)科目；“2”為

再選科目，考生可在思想政治、地理、化學(xué)、生物4個(gè)科目中選擇2個(gè)科目.已知小明同學(xué)

必選化學(xué)，那么他可選擇的方案共有（）

A.4種B.6種C.8種D.12種

答案B

解析根據(jù)題意得，分兩步進(jìn)行分析：

①小明必選化學(xué)，則必須在思想政治、地理、生物中再選出1個(gè)科目，選法有3種；

②小明在物理、歷史科目中選出1個(gè)，選法有2種.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，小明可選擇的方案共有3X2=6（種）.

3.從集合｛1,2,3,…，10｝中任意選出三個(gè)不同的數(shù)，使這三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)

列的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.6D.8

答案D

解析以1為首項(xiàng)的等比數(shù)列為1,2,4；1,3,9；

以2為首項(xiàng)的等比數(shù)列為2,4,8；

以4為首項(xiàng)的等比數(shù)列為4,6,9；

把這四個(gè)數(shù)列順序顛倒，又得到4個(gè)新數(shù)列，

所以所求的數(shù)列共有2X（2+1+1）=8（個(gè)）.

4.中國古代將物質(zhì)屬性分為“金、木、土、水、火”五種，其相互關(guān)系是“金克木，木克土,

土克水，水克火，火克金”.將五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列，則屬性相克的兩種物質(zhì)

不相鄰的排法種數(shù)為（）

A.8B.10C.15D.20

答案B

解析由題意知，可看作五個(gè)位置排列五個(gè)元素，第一個(gè)位置有5種排列方法，不妨假設(shè)是

金，則第二個(gè)位置只能從土與水兩者中選一種排放，有2種選擇，不妨假設(shè)排的是水，則第

三個(gè)位置只能排木，第四個(gè)位置只能排火，第五個(gè)位置只能排土，因此，總的排列方法種數(shù)

為5X2X1X1X1=10.

5.中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個(gè)人的出生年份對(duì)應(yīng)了十二種動(dòng)物（鼠、牛、虎、

兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）中的一種，現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，甲同學(xué)喜

歡牛和馬，乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊，丙同學(xué)哪個(gè)吉祥物都喜歡，三位同學(xué)按甲、乙、丙的順

序依次選一個(gè)作為禮物，如果讓三位同學(xué)選取的禮物都滿意，那么不同的選法有（）

A.360種B.50種

C.60種D.90種

答案B

解析第一類：甲同學(xué)選擇牛，乙有2種選法，丙有10種選法，選法有1X2X10=20（種）；

第二類：甲同學(xué)選擇馬，乙有3種選法，丙有10種選法，

選法有1X3X10=30（種）,

所以共有20+30=50（種）選法.

6.（2023?宿州模擬）如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面

對(duì)”.在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”

的個(gè)數(shù)為（）

A.12B.24C.36D.48

答案C

解析第1類，對(duì)于每一條棱，都可以與兩個(gè)側(cè)面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面

對(duì)”有2X12=24（個(gè)）；第2類，對(duì)于每一條面對(duì)角線，都可以與一個(gè)對(duì)角面構(gòu)成“正交線面

對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有12個(gè).

所以正方體中“正交線面對(duì)”共有24+12=36（個(gè)）.

7.用0,123,4,5,6這7個(gè)數(shù)字可以組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.180B.240C.420D.480

答案C

解析以末位數(shù)字進(jìn)行分類：

當(dāng)末位數(shù)字為0時(shí)，共有6X5X4=120（個(gè)）；

當(dāng)末位數(shù)字是2,4,6中的某個(gè)數(shù)時(shí)，共有3義5義5X4=300（個(gè)），

故共有120+300=420（個(gè)）不同的數(shù)字.

8.（多選）現(xiàn)有4個(gè)數(shù)學(xué)課外興趣小組，第一、二、三、四組分別有7人、8人、9人、10人,

則下列說法正確的是（）

A.選1人為負(fù)責(zé)人的選法種數(shù)為34

B.每組選1名組長的選法種數(shù)為5400

C.若推選2人發(fā)言，這2人需來自不同的小組，則不同的選法種數(shù)為420

D.若另有3名學(xué)生加入這4個(gè)小組，加入的小組可自由選擇，且第一組必須有人選，則不

同的選法有37種

答案AD

解析對(duì)于A,4個(gè)數(shù)學(xué)課外興趣小組共有7+8+9+10=34（人），故選1人為負(fù)責(zé)人的選法共

有34種，A對(duì);

對(duì)于B,分四步：第一、二、三、四步分別為從第一、二、三、四組中各選1名組長，所以

不同的選法共有7X8X9X10=5040（種），B錯(cuò);

對(duì)于C,分六類：從第一、二組中各選1人，有7X8種不同的選法;

從第一、三組中各選1人,有7X9種不同的選法;

從第一、四組中各選1人,有7X10種不同的選法;

從第二、三組中各選1人,有8X9種不同的選法;

從第二、四組中各選1人,有8義10種不同的選法;

從第三、四組中各選1人,有9X10種不同的選法.

所以不同的選法共有7X8+7X9+7X10+8X9+8X10+9X10=431（種），C錯(cuò)；

對(duì)于D,若不考慮限制條件，每個(gè)人都有4種選法，共有43=64（種）選法，

其中第一組沒有人選，每個(gè)人都有3種選法，共有33=27（種）選法，

所以不同的選法有64—27=37（種），D對(duì).

9.如圖所示，在由連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形

有個(gè)（用數(shù)字作答）.

答案40

解析把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類：

第一類，有一條公共邊的三角形，共有8義4=32（個(gè)）；

第二類，有兩條公共邊的三角形，共有8個(gè).

由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有32+8=40（個(gè)）.

10.（2023?保定模擬）算籌是一根根同樣長短和粗細(xì)的小棍子，是中國古代用來記數(shù)、列式和

進(jìn)行各種數(shù)與式演算的一種工具，是中國古代的一項(xiàng)偉大、重要的發(fā)明.在算籌計(jì)數(shù)法中，

以“縱式”和“橫式”兩種方式來表示數(shù)字，如表所示：

X.數(shù)字

123456789

縱式1IIIII1111muTTurnn

橫式

一—一==?_L±

用算籌計(jì)數(shù)法表示多位數(shù)時(shí)，個(gè)位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類

推，遇零則置空，知“T=l”表示的三位數(shù)為；如果把5根算籌以適當(dāng)?shù)姆绞饺?/p>

放入下面的表格中，那么可以表示能被5整除的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為

答案62114

解析由題意，結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)和圖形，知“T=l”表示的三位數(shù)為621；

共有5根算籌，要能被5整除，則個(gè)位數(shù)必須為0或5,

①當(dāng)個(gè)位數(shù)為5時(shí)，不符合題意；

②當(dāng)個(gè)位數(shù)為0時(shí)，則5根算籌全部放在十位和百位，

若百位有1根,十位有4根，則共有1X2=2（個(gè)）三位數(shù);

若百位有2根,十位有3根，則共有2X2=4（個(gè)）三位數(shù);

若百位有3根,十位有2根，則共有2X2=4（個(gè)）三位數(shù);

若百位有4根,十位有1根，則共有2X1=2（個(gè)）三位數(shù);

若百位有5根,十位有0根，則共有2個(gè)三位數(shù).

所以共有2+4+4+2+2=14（個(gè)）三位數(shù).

會(huì)合提升練

11.如圖是在“趙爽弦圖”的基礎(chǔ)上創(chuàng)作出的一個(gè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車”平面模型，圖中正方形A8CZ）

內(nèi)部為“趙爽弦圖”（由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成），AABE,ABCF,

△COG,△D4”這4個(gè)三角形和“趙爽弦圖"ABC。涂色，且相鄰區(qū)域（即圖中有公共點(diǎn)的

區(qū)域）不同色，己知有4種不同的顏色可供選擇.則不同的涂色方法種數(shù)是（）

C.72D.108

答案C

解析設(shè)''趙爽弦圖"ABC。為①區(qū)，AABE,ABCF,△C￡）G,△D4”這4個(gè)三角形分別

為②，③，④，⑤區(qū).

G

第一步給①區(qū)涂色，有4種涂色方法.

第二步給②區(qū)涂色，有3種涂色方法.

第三步給③區(qū)涂色，有2種涂色方法.

第四步給④區(qū)涂色，若④區(qū)與②區(qū)同色，⑤區(qū)有2種涂色方法.

若④區(qū)與②區(qū)不同色，則④區(qū)有1種涂色方法，⑤區(qū)有1種涂色方法.

所以共有4X3X2X（2+1X1）=72（種）涂色方法.

12.（2022?懷化模擬）世界杯參賽球隊(duì)共32支，現(xiàn)分成8個(gè)小組進(jìn)行單循環(huán)賽，決出16強(qiáng)（各

組的前2名小組出線），這16支隊(duì)伍按照確定的程序進(jìn)行淘汰賽，決出8強(qiáng)，再?zèng)Q出4強(qiáng)，

直到?jīng)Q出冠、亞軍和第三名、第四名，則比賽進(jìn)行的總場數(shù)為.

答案64

解析因?yàn)?個(gè)小組進(jìn)行單循環(huán)賽，每小組進(jìn)行6場小組賽，所以小組賽的場數(shù)為8X6=48,

因?yàn)?6支隊(duì)伍按照確定的程序進(jìn)行淘汰賽，所以淘汰賽的場數(shù)為8+4+2+2=16,因此比

賽進(jìn)行的總場數(shù)為48+16=64.

qjH展沖刺練

13.幾只猴子在一棵枯樹上玩耍，假設(shè)它們均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的過程中依

次撞擊到樹枝A,B,C；（2）乙在下落的過程中依次撞擊到樹枝D,E,F；（3）丙在下落的過

程中依次撞擊到樹枝G,A,C；（4）丁在下落的過程中依次撞擊到樹枝B,D,H；（5）戊在下

落的過程中依次撞擊到樹枝/,C,E,則這九根樹枝從高到低不同的順序共有（）

A.23種B.24種C.32種D.33種

答案D

解析不妨設(shè)4B,C,D,E,F,G,H,/代表樹枝的高度，九根樹枝從上至下共九個(gè)位置，

根據(jù)甲依次撞擊到樹枝A,B,C；乙依次撞擊到樹枝￡>,E,F；丙依次撞擊到樹枝G,A,

C；丁依次撞擊到樹枝B,D,H；戊依次撞擊到樹枝I,C,E,可得G>A>B,且G,A,8

在前四個(gè)位置，OE>F,D>E>F,且E,尸一定排在后四個(gè)位置，

（1）若/排在前四個(gè)位置中的一個(gè)位置，前四個(gè)位置有4種排法，若第五個(gè)位置排C,則第六

個(gè)位置一定排后三個(gè)位置共有3種排法，若第五個(gè)位置排。，則后四個(gè)位置共有4種排

法，所以/排在前四個(gè)位置中的一個(gè)位置時(shí)，共有4義（3+4）=28（種）排法；

（2）若/不排在前四個(gè)位置中的一個(gè)位置，則G,4,8,。按順序排在前四個(gè)位置，由于I>C>E>F,

所以后五個(gè)位置的排法就是"的不同排法，共5種排法，即若/不排在前四個(gè)位置中的一個(gè)

位置共有5種排法，

由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，這九根樹枝從高到低不同的順序有28+5=33（種）.

14.若加，〃均為非負(fù)整數(shù)，在做機(jī)+〃的加法時(shí)，各位均不進(jìn)位（例如：134+3802=3936）,

則稱（加，力為“簡單的”有序數(shù)對(duì)，機(jī)+〃為有序數(shù)對(duì)（加，〃）的值，那么值為1942的“簡單

的”有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)是.

答案300

解析第1步，1=1+0,1=0+1,共2種組合方式；

第2步，9=0+9,9=1+8,9=2+7,9=3+6,…，9=9+0,共10種組合方式；

第3步，4=0+4,4=1+3,4=2+2,4=3+1,4=4+0,共5種組合方式；

第4步，2=0+2,2=1+1,2=2+0,共3種組合方式.

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，值為1942的“簡單的”有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為2X10X5X3=300.

§10.2排列與組合

【考試要求】1.理解排列、組合的概念.2.能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.3.能利

用排列、組合解決簡單的實(shí)際問題.

■落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳理】

1.排列與組合的概念

名稱定義

排列從n個(gè)不同元素中取按照一定的順序排成一列

組合出機(jī)(mW九)個(gè)元素作為一組

2.排列數(shù)與組合數(shù)

(1)排列數(shù)：從“個(gè)不同元素中取出機(jī)(mW”)個(gè)元素的所有丕同排列的個(gè)數(shù)，用符號(hào)韁表示.

(2)組合數(shù)：從“個(gè)不同元素中取出，球mW”)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù),用符號(hào)理表示.

3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)

n

C,1n-zuz*

(1)A”1)(〃2)?(〃in11)/、UN，且m^zn).

m)!(

公式

Amw!

⑵CLA廠M("一")!5，〃,UN,且特別地,d=i

(1)0!=1；An=nl.

性質(zhì)

.(~^m—r^m1

\^)^n一—?瓦丁

【常用結(jié)論】

1.排列數(shù)、組合數(shù)常用公式

(l)A^=(n-/77+l)A；r1.

⑵蝴=楨右1.

(3)(〃+1)!—〃！=n'n\.

(4)&￡=7?11.

(5)C*+C%i+…+C瓢i+/=cM.

2.解決排列、組合問題的十種技巧

(1)特殊元素優(yōu)先安排.

⑵合理分類與準(zhǔn)確分步.

(3)排列、組合混合問題要先選后排.

(4)相鄰問題捆綁處理.

⑸不相鄰問題插空處理.

(6)定序問題倍縮法處理.

(7)分排問題直排處理.

(8)“小集團(tuán)”排列問題先整體后局部.

⑼構(gòu)造模型.

(10)正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)所有元素完全相同的兩個(gè)排列為相同排列.(X)

(2)兩個(gè)組合相同的充要條件是其中的元素完全相同.(V)

⑶若組合式C方=C4,則x=/w成立.(X)

(4)A?=n(/7—1)(n—2),?,(n—ni).(X)

【教材改編題】

i.A3+◎等于()

A.35B.47C.45D.57

答案B

解析AHC”4X3+

：JAZA1

2.從4名男同學(xué)和3名女同學(xué)中選出3名參加某項(xiàng)活動(dòng)，則男、女生都有的選法種數(shù)是()

A.18B.24C.30D.36

答案C

解析選出的3人中有2名男同學(xué)1名女同學(xué)的方法有Cr』=18(種)，選出的3人中有1名

男同學(xué)2名女同學(xué)的方法有clc3=i2(種)，故3名學(xué)生中男、女生都有的選法有crj+dc*

=30(#).

3.將4名學(xué)生分別安排到甲、乙、丙三地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)地方至少安排一名學(xué)生參

加，則不同的安排方案共有種.

答案36

解析第一步，先從4名學(xué)生中任取兩人組成一組，與剩下2人分成三組，有C?=6(種)不同

的方法；第二步，將分成的三組安排到甲、乙、丙三地，則有A1=6(種)不同的方法.故共有

6X6=36(種)不同的安排方案.

■探究核心題型

題型一排列問題

例1(1)中國國家滑雪隊(duì)將開展自由式滑雪項(xiàng)目中的空中技巧、雪上技巧、障礙追逐和U型

場地技巧四個(gè)項(xiàng)目表演，現(xiàn)安排兩名男隊(duì)員和兩名女隊(duì)員組隊(duì)參演，參演選手每人展示其中

一個(gè)不同的項(xiàng)目，雪上技巧項(xiàng)目必須由女隊(duì)員展示，則所有不同出場順序與項(xiàng)目展示方案種

數(shù)為（）

A.576B.288C.144D.48

答案B

解析根據(jù)題意，雪上技巧項(xiàng)目必須由女隊(duì)員展示，有2種情況，剩下3人表演其他3個(gè)項(xiàng)

目，有A?=6（種）情況，而4個(gè)項(xiàng)目之間的排法有Al=24（種）順序，則有2X6X24=288（種）

展示方案.

（2）用0,1,2,345這六個(gè)數(shù)字可以組成個(gè)無重復(fù)數(shù)字且不大于4310的四位偶數(shù).

答案110

解析①當(dāng)千位上排1或3時(shí)，符合題意的共有A必3A2個(gè).

②當(dāng)千位上排2時(shí)，符合題意的共有A4AZ個(gè).

③當(dāng)千位上排4時(shí)，形如40XX,42XX的偶數(shù)各有A』個(gè)符合題意，形如41XX的偶數(shù)有

個(gè)符合題意，形如43XX的偶數(shù)只有4310和4302這兩個(gè)數(shù)符合題意.

故共有AjAjA?+AJA3+2AJ+A3AJ+2=110（個(gè)）符合題意.

思維升華對(duì)于有限制條件的排列問題，分析問題時(shí)，有位置分析法、元素分析法，在實(shí)際

進(jìn)行排列時(shí)，一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，

對(duì)于分類過多的問題可以采用間接法.

跟蹤訓(xùn)練1（1）（2023?武漢模擬）源于探索外太空的渴望，航天事業(yè)在21世紀(jì)獲得了長足的發(fā)

展.太空中的環(huán)境為某些科學(xué)實(shí)驗(yàn)提供了有利條件，宇航員常常在太空旅行中進(jìn)行科學(xué)實(shí)

驗(yàn).在某次太空旅行中，宇航員們負(fù)責(zé)的科學(xué)實(shí)驗(yàn)要經(jīng)過5道程序，其中A,8兩道程序既

不能放在最前，也不能放在最后，則該實(shí)驗(yàn)不同程序的順序安排共有（）

A.18種B.36種C.72種D.108種

答案B

解析先排A,8兩道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，則在第2,3,4道程序選兩

個(gè)放A,B,共有A』種放法；再排剩余的3道程序，共有A?種放法.

則共有A京A?=36（種）放法.

（2）8人站成前后兩排，每排4人，其中甲、乙兩人必須在前排，丙在后排，則共有

種排法.

答案5760

解析先排甲、乙，有A?種排法，再排丙，有AA種排法，其余5人有A?種排法，故不同的

排法共有AiA|A?=5760（種）.

題型二組合問題

例2（1）（多選）從6名男生和4名女生中選出4人去參加一項(xiàng)創(chuàng)新大賽，則下列說法正確的

有（）

A.如果4人全部為男生，那么有30種不同的選法

B.如果4人中男生、女生各有2人，那么有30種不同的選法

C.如果男生中的甲和女生中的乙必須在內(nèi)，那么有28種不同的選法

D.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，那么有140種不同的選法

答案CD

解析如果4人全部為男生，選法有d=15（種），故A錯(cuò)誤；

如果4人中男生、女生各有2人，男生的選法有CV=15（種），女生的選法有C3=6（種），則4

人中男生、女生各有2人的選法有15X6=90（種），B錯(cuò)誤；

如果男生中的甲和女生中的乙必須在內(nèi)，在剩下的8人中再選2人即可，有C&=28（種），故

C正確；

在10人中任選4人，有C%=210（種），甲、乙都不在其中的選法有C?=70（種），

故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內(nèi)的選法有210—70=140（種），故D正確.

（2）在某場新聞發(fā)布會(huì)上，主持人要從5名國內(nèi)記者與4名國外記者中依次選出3名來提問，

要求3人中既有國內(nèi)記者又有國外記者，且不能連續(xù)選國內(nèi)記者，則不同的選法有（）

A.80種B.180種C.260種D.420種

答案C

解析根據(jù)題意，分2種情況討論，

①選出的3人中有1名國外記者、2名國內(nèi)記者，

則有＜303=80（種）選法，

②選出的3人中有2名國外記者、1名國內(nèi)記者，

則有Cgc3A?=18O（種）選法，

由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有80+180=260（種）選法.

思維升華組合問題常有以下兩類題型

⑴“含有”或“不含有”問題：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，

則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取.

（2）“至少”或“最多”問題：用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法，分類復(fù)雜時(shí)，

考慮逆向思維，用間接法處理.

跟蹤訓(xùn)練2（1）從4名男生和3名女生中選派4人去參加課外活動(dòng)，要求至少有一名女生參

加，則不同的選派種數(shù)為（）

A.12B.24C.34D.60

答案C

解析由題可知，選派4人去的總的選派種數(shù)為C3=35,選派4人全部是男生的選派種數(shù)為

1,所以至少有一名女生參加的不同的選派種數(shù)為35—1=34.

（2）如圖，從上往下讀（不能跳讀,即念完標(biāo)號(hào)為②的國字后只能念下一行標(biāo)號(hào)為③或④的榮字,

又如標(biāo)號(hào)為⑤的校字只能接在標(biāo)號(hào)為④的榮字后念），構(gòu)成句子“愛國榮校做市西卓越學(xué)生”

的不同讀法總數(shù)為.

愛

市市市市市市

西西西西西

卓卓卓卓

越越越

學(xué)學(xué)

生

答案252

解析構(gòu)成句子“愛國榮校做市西卓越學(xué)生”的不同讀法需10步完成（從上一個(gè)字到下一個(gè)

字為一步），其中5步是從上往左下角方向讀，余下5步是從上往右下角方向讀，故共有不同

讀法C%=252（種）.

題型三排列與組合的綜合問題

命題點(diǎn)1相鄰、相間問題

例3（多選）有3名男生，4名女生，在下列不同條件下，正確的是（）

A.全體站成一排，女生必須站在一起有144種排法

B.全體站成一排，男生互不相鄰有1440種排法

C.任選其中3人相互調(diào)整座位，其余4人座位不變，則不同的調(diào)整方案有70種

D.全體站成一排，甲不站排頭，乙不站排尾有3720種排法

答案BCD

解析對(duì)于A,將女生看成一個(gè)整體，考慮女生之間的順序，有A才種排法，

再將女生的整體與3名男生在一起進(jìn)行全排列，有A1種排法，

故共有A1A才=576（種）排法，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,先排女生，將4名女生全排列，有A3種排法，

再安排男生，由于男生互不相鄰，可以在女生之間及首尾空出的5個(gè)空位中任選3個(gè)空位排

男生，有A$種排法，

故共有A1A§=1440（種）排法，故B正確；

對(duì)于C,任選其中3人相互調(diào)整座位，其余4人座位不變，則不同的調(diào)整方案有C3X2X1=

70（種）,故C正確；

對(duì)于D,若甲站在排尾，則有AR種排法，若甲不站在排尾，則有AgAgA?種排法，

故共有Ag+AgAgAg=3720（種）排法,故D正確.

命題點(diǎn)2定序問題

例4有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，將7名學(xué)生排成一行，要求從左

到右，女生從矮到高排列（不一定相鄰），不同的排法共有種.

答案840

解析7名學(xué)生的排列共有A彳種，其中女生的排列共有A?種，按照從左到右，女生從矮到高

的排列只是其中的一種，故有用=A3=840（種）不同的排法.

命題點(diǎn)3分組、分配問題

例5（1）（2023?岳陽模擬）中國書法歷史悠久，源遠(yuǎn)流長，書法作為一門藝術(shù)，以文字為載體,

不斷地反映著和豐富著華夏民族的自然觀、宇宙觀和人生觀，談到書法藝術(shù)，就離不開漢字,

漢字是書法藝術(shù)的精髓，漢字本身具有豐富的意象和可塑的規(guī)律性，使?jié)h字書寫成為一門獨(dú)

特的藝術(shù)，我國書法大體可分為篆、隸、楷、行、草五種書體，如圖，以“國”字為例，現(xiàn)

有5張分別寫有一種書體的臨摹紙，將其全部分給3名書法愛好者，每人至少1張，則不同

的分法種數(shù)為（）

國國（

A.60B.90C.120D.150

答案D

解析滿足條件的分法可分為兩類，

第一類，一人三張，另兩人各一張，符合條件的分法有CgAW種，即60種，

第二類，其中一人一張，另兩人各兩張，符合條件的分法有窄AW種，即90種，

A2

由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，滿足條件的不同分法種數(shù)為150.

（2）中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢天實(shí)驗(yàn)艙.假設(shè)中國空間站要安

排6名航天員開展實(shí)驗(yàn)，其中每個(gè)艙安排2人.若甲、乙兩人不被安排在同一個(gè)艙內(nèi)做實(shí)驗(yàn),

則不同的安排方案共有（）

A.20種B.36種

C.72種D.84種

答案C

解析將6名航天員每個(gè)艙安排2人開展實(shí)驗(yàn)的所有安排方法數(shù)為ClClCl,

其中甲、乙兩人被安排在同一個(gè)艙內(nèi)做實(shí)驗(yàn)的安排方法數(shù)為C3?等人上

所以滿足條件的不同的安排方案數(shù)為G?祟-A?=90—18=72.

思維升華求解排列、組合應(yīng)用問題的常用方法

捆綁法把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列

對(duì)于不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面

插空法

元素排列的空檔中

定序問題對(duì)于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列

跟蹤訓(xùn)練3（1）（多選）已知A,B,C,D,E五個(gè)人并排站在一起，則下列說法正確的有（）

A.若A,3不相鄰，共有72種排法

B.若A不站在最左邊，8不站在最右邊，有72種排法

C.若A在2右邊有60種排法

D.若A,B兩人站在一起有48種排法

答案ACD

解析對(duì)于A,若A,8不相鄰，共有A1之=72（種）排法，故A正確；

對(duì)于B,若A不站在最左邊，8不站在最右邊，利用間接法有A?—2A4+AW=78（種）排法，故

B錯(cuò)誤；

A5

對(duì)于C,若A在8右邊有謂=60（種）排法，故C正確；

對(duì)于D,若A,3兩人站在一起有A3A1=48（種）排法，故D正確.

（2）某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目，2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序，同類

節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是（）

A.72B.120C.144D.168

答案B

解析先安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目，然后讓歌舞節(jié)目去插空.安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目的順

序有三種：“小品，小品，相聲”、“小品，相聲，小品”和“相聲，小品，小品”.對(duì)于

第一種情況，形式為“□小品歌舞小品口相聲口”，有A3GA3=36（種）安排方法；同理，第

三種情況也有36種安排方法；對(duì)于第二種情況，三個(gè)節(jié)目形成4個(gè)空，其形式為“□小品口

相聲□小品口”，有A3A2=48（種）安排方法,故共有36+36+48=120（種）安排方法.

（3）將9名大學(xué)生志愿者安排在星期五、星期六及星期日3天參加社區(qū)公益活動(dòng)，每天分別安

排3人，每人參加一次，則不同的安排方案共有種.（用數(shù)字作答）

答案1680

解析先選出3人，有Cg種選法，再從剩下的6人中選出3人，有C2種選法，最后剩下的3

人為一組，有C?種選法.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理以及每AW中只能算一種不同的分組方法，可知不同的安排方案共有

課時(shí)精練

R基礎(chǔ)保分練

1.若A46d,則相等于（