2025年甘肅省平?jīng)鲆恢懈呖紨?shù)學(xué)沖刺壓軸試卷（二）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2025年甘肅省平?jīng)鲆恢懈呖紨?shù)學(xué)沖刺壓軸試卷（二）一、單選題：本題共7小題，每小題5分，共35分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若z1=1+i，z2=2+i，則z=A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知M，N是一個隨機試驗中的兩個事件，且P(M)=13，P(N)=12，P(M|N)=1A.13 B.16 C.343.若0<c<1<b<a，則(

)A.bc>ac B.ca>4.中華美食源遠流長，廚師活計有“站道，站板，雕花，爐火”等分工術(shù)語，現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊這5名同學(xué)參加廚師活計，每人只安排一個活計，若“爐火”活計不安排，其余三項活計至少有1人參加，則不同安排方案的種數(shù)為(

)A.150 B.180 C.240 D.3005.一個球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截后，剩下的線段長叫做球缺的高，球缺曲面部分的面積(球冠面積)S=2πRH，其中R是球的半徑，H是球缺的高.若球缺的底面面積為3π，高H=3，球半徑R<3，則該球缺曲面部分的面積為(

)A.18π B.12π C.63π6.設(shè)D是邊長為3的等邊△P1P2P3及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合，點P0是△PA.[3,15] B.[32,152]7.已知函數(shù)f(x)=tanπx+ln2x1?x，若f(12025)+f(A.4 B.2 C.1 D.1二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。8.2024年手機迎來發(fā)展新機遇，國內(nèi)兩家傳媒公司共同發(fā)起了中國手機消費行為調(diào)查，下表為根據(jù)調(diào)查得到的2024年1000名中國手機用戶購買手機價格頻數(shù)表，同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值代表，則(

)價格(千元)(0,5](5,10](10,15](15,20](20,25]頻數(shù)1506001805020A.估計1000名用戶購買手機價格的眾數(shù)為7.5

B.估計1000名用戶購買手機價格的平均數(shù)為8.45

C.估計1000名用戶購買手機價格的中位數(shù)不超過8

D.估計1000名用戶購買手機價格的84%分位數(shù)不超過129.已知函數(shù)f(x)=cosx+12cos2x，則A.f(x)的最大值為32 B.2π為f(x)的一個周期

C.x=π2為曲線y=f(x)的一條對稱軸 D.f(x)10.已知雙曲線x2?y2=n(n∈N?)，直線l與雙曲線右支交于點B，C(B在x軸上方，C在x軸下方)，與雙曲線漸近線交于點A，D(A在xA.直線l的傾斜角范圍為(π4,3π4)

B.|AC|=|BD|

C.△AOD面積的最小值為1

D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。11.頂點為坐標原點，對稱軸為坐標軸，焦點在直線x?2y?4=0上的拋物線的標準方程為______．12.已知函數(shù)f(x)=ex+kx2在(0,+∞)13.已知α∈(0,π2),sin(2α+β)=3sinβ四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。14.(本小題12分)

已知數(shù)列{an}的各項都不為0，其前n項和為Sn，q為不等于0的常數(shù)，且Sn=qSn?1+a1(n≥2)．

(1)證明：{a15.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=4.點E在側(cè)棱PC上(端點除外)，平面ABE交PD于點F．

(1)求證：四邊形ABEF為直角梯形；

(2)若PF=3FD，求直線PC與平面ABEF所成角的正弦值．16.(本小題12分)

如圖，在△ABC中，AB=AC=5，∠BAC=90°，點E，F(xiàn)在邊BC上(E,F不與B，C重合，且E在B，F(xiàn)之間)，且∠EAF=π4，∠EAB=θ．

(1)若BE=2，求EF的值；

(2)試確定θ的值，使得△AEF的面積取得最小值，并求出17.(本小題12分)

已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個焦點與短軸的一個端點恰好是一個直角三角形的三個頂點，直線l：y=?x+3與橢圓E有且只有一個公共點T．

(1)求橢圓E的方程及點T的坐標；

(2)設(shè)O是坐標原點，直線m//OT，m與橢圓E交于不同的兩點A，B，且與直線l交于點P．

①求△ABT面積的最大值；

18.(本小題12分)

若函數(shù)f(x)，g(x)的圖象與直線x=m分別交于A，B兩點，與直線x=n分別交于C，D兩點(m<n)，且直線AC，BD的斜率互為相反數(shù)，則稱f(x)，g(x)為“(m,n)相關(guān)函數(shù)”．

(1)(2)f(x)=eax，g(x)=ax2，若存在實數(shù)mn>0，使得f(x)，g(x)為“(m,n)相關(guān)函數(shù)”，且|AB|=|CD|參考答案1.A

2.D

3.D

4.A

5.B

6.B

7.C

8.ABC

9.AB

10.ABD

11.y2=16x或12.?e13.214.15.(1)證明：因為AB//CD，CD?平面PCD，AB?平面PCD，

所以AB//平面PCD，

又AB?平面ABEF，平面ABEF∩平面PCD=EF，

所以AB//EF，

因為EF<CD=AB，所以四邊形ABEF為梯形，

因為PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，所以AB⊥PA，

又AB⊥AD，PA∩AD=A，PA，AD?平面PAD，

所以AB⊥平面PAD，

又AF?平面PAD，所以AB⊥AF，

所以四邊形ABEF為直角梯形．

(2)解：(法一)以A為原點，向量AB,AD,AP的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,4,0)，D(0,4,0)，P(0,0,4)，

所以AB=(4,0,0),AP=(0,0,4),PD=(0,4,?4),PC=(4,4,?4)，

因為PF=3FD，

所以AF=AP+PF=AP+34PD=(0,0,4)+(0,3,?3)=(0,3,1)，

設(shè)m=(x,y,z)為平面ABEF的法向量，則m?AB=0,m?AF=0,即4x=0,3y+z=0,

取y=1，則z=?3，所以m=(0,1,?3)，

設(shè)直線PC與平面ABEF所成角為θ，則sinθ=|cos<m，PC>|=|m?PC||m|?|PC|=4+1210×43=23015，

所以直線PC與平面ABEF所成角的正弦值為23015．

(法二)因為AB⊥平面PAD，AB?平面ABEF，所以平面ABEF⊥平面PAD，

作PM⊥AF，垂足為M，

因為平面ABEF∩平面PAD=AF，PM?平面PAD，

所以PM⊥平面ABEF，

連接EM，則∠PEM為直線PC與平面ABEF所成的角，

在Rt△PAD中，因為PA=AD=4，所以16.17.18.證明：(1)設(shè)A(m,f(m))，C(n,f(n)).由f(x)單調(diào)遞增，則f(n)>f(m)．

則kAC=f(n)?f(m)n?m>0．

同理可得，kBD>0．

所以直線AC，BD的斜率均為正數(shù)，不可能互為相反數(shù)．

即不存在實數(shù)m，n，使得f(x)，g(x)為“(m,n)相關(guān)函數(shù)”．

解：(2)情況一：當(dāng)a=0時，f(x)=1，g(x)=0，若|m?n|=1，則存在實數(shù)mn>0，使得f(x)，g(x)為“(m,n)相關(guān)函數(shù)”，且|AB|=|CD|；

情況二：當(dāng)a≠0時，

因為f(x)，g(x)為“(m,n)相關(guān)函數(shù)”，所以有f(n)+g(n)=f(m)+g(m)．

因為|AB|=|CD|，所以有f(n)?g(n)=f(m)?g(m)或f(n)?g(n)=?f(m)+g(m)．

①聯(lián)立f(n)+g(n)=f(m)+g(m)f(n)?g(n)=f(m)?g(m)，可得f(m)=f(n)g(m)=g(n)，所以a=0，

則有f(x)=1，g(x)=0，此時有kAC=kBD=0，滿足題意；

②聯(lián)立f(n)+g(n)=f(m)+g(m)f(n)?g(n)=?f(m)+g(m)，可得f(m)=g(n)g(m)=f(n)．

因為mn>0，所以方程組eam=an2ean=am2，則a>0．

當(dāng)m，n>0時，

因為eax，ax2均為[0,+∞)上的單調(diào)遞增函數(shù)，由(1)知不存在實數(shù)m，n，

使得f(x)，g(x)為“(m,n)相關(guān)函數(shù)”，所以m<n<0，

則由eam=an2ean=am2，可得n=?eam2an=lna+2ln(?m)a，可得lna+2ln(?m)=?aeam2，

所以lna+2ln(?m)+aeam2=0，

同理可得lna+2ln(?n)+aean2=0．

則lna+2ln(?x)+aeax2=0在(?∞,0)上存在兩個不同的實數(shù)根．(?)

記?(x)=lna+2ln(?x)+aeax2(x<0)，則?′(x)=2x+aaeax22=aaxeax2+42x．

記p(x)