測量學課件 第5章 測量誤差基礎(chǔ)知識學習資料

1《測量學》2水準儀系列型號DS05DS1DS3DS10每千米往返測高差中數(shù)偶然中誤差≤0.5mm≤1mm≤3mm≤10mm主要用途國家一等水準測量及地震監(jiān)測國家二等水準測量及其他精密水準測量國家三、四等水準測量及一般工程水準測量一般工程水準測量各等級水準測量技術(shù)及用途3技術(shù)項目一測回水平方向中誤差望遠鏡有效孔徑不小于望遠鏡放大倍數(shù)不小于水準管分劃值水平度盤垂直度盤主要用途經(jīng)緯儀等級DJ1DJ2DJ6126二等平面控制測量及精密工程測量60mm40mm40mm30倍28倍26倍6/2mm20/2mm30/2mm10/2mm20/2mm30/2mm三、四等平面控制測量及一般工程測量圖根控制測量及一般工程測量技術(shù)參數(shù)表3-1經(jīng)緯儀系列技術(shù)參數(shù)和用途4成果整理表5§5-1測量誤差的概念一、測量誤差的來源1、儀器精度的局限性2、觀測者感官的局限性3、外界環(huán)境的影響6一.產(chǎn)生測量誤差的原因產(chǎn)生測量誤差的三大因素：儀器原因

儀器精度的局限,軸系殘余誤差,等。人的原因

判斷力和分辨率的限制,經(jīng)驗,等。外界影響

氣象因素(溫度變化,風,大氣折光)

結(jié)論：觀測誤差不可避免(粗差除外)有關(guān)名詞：觀測條件:

上述三大因素總稱為觀測條件等精度觀測:在上述條件基本相同的情況下進行的各次觀測，稱為等精度觀測。7二、測量誤差的分類與對策（一）分類系統(tǒng)誤差——在相同的觀測條件下，誤差出現(xiàn)在符號和數(shù)值相同，或按一定的規(guī)律變化。例：誤差

鋼尺尺長誤差

Dk

鋼尺溫度誤差

Dt

水準儀視準軸誤差i

經(jīng)緯儀視準軸誤差C

……處理方法計算改正計算改正操作時抵消(前后視等距)操作時抵消(盤左盤右取平均)

……系統(tǒng)誤差(systemerror)1．定義：在相同觀測條件下，對某量進行一系列觀測，如誤差出現(xiàn)符號和大小均相同或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。2．特點：具有積累性，對測量結(jié)果的影響大，但可通過一般的改正或用一定的觀測方法加以消除。89二、測量誤差的分類與對策（一）分類偶然誤差——在相同的觀測條件下，誤差出現(xiàn)的符號和數(shù)值大小都不相同，從表面看沒有任何規(guī)律性，但大量的誤差有“統(tǒng)計規(guī)律”粗差——特別大的誤差（錯誤）例：估讀數(shù)、氣泡居中判斷、瞄準、對中等誤差，導致觀測值產(chǎn)生誤差

。（二）處理原則10粗差——必須進行重測系統(tǒng)誤差——找出規(guī)律，加以改正偶然誤差——多余觀測，制定限差例如：對同一量觀測了n次觀測值為l1,l2,l3,….ln如何取值？11如何評價數(shù)據(jù)的精度？12三.偶然誤差的特性1.偶然誤差的定義：

設(shè)某一量的真值為X，對該量進行了n次觀測，得n個觀測值，則產(chǎn)生了n個真誤差：(6-1-1)真誤差真值觀測值例如：對358個三角形在相同的觀測條件下觀測了全部內(nèi)角，三角形內(nèi)角和的誤差

i為

i=180–(i+i+i)其結(jié)果如表6-1，圖6-1,分析三角形內(nèi)角和的誤差

I的規(guī)律。13

誤差區(qū)間負誤差正誤差誤差絕對值dΔ" KK/nKK/n KK/n0~3 45 0.126 46 0.128910.254

3~6 40 0.112 410.115810.226

6~933 0.092 330.092660.184

9~1223 0.064210.059 44 0.123

12~15 17 0.047 160.045 33 0.092

15~18 13 0.036 13 0.036 26 0.073

18~21 6 0.01750.014 11 0.031

21~244 0.0112 0.006 6 0.017

24以上0 000 00

Σ 1810.5051770.4953581.00014表5-1偶然誤差的統(tǒng)計15-24-21-18-15-12-9-6-30+3+6+9+12+15+18+21+24X=

k/d有限性：漸降性：對稱性：抵償性：有限性：在有限次觀測中，偶然誤差應小于限值。漸降性：誤差小的出現(xiàn)的概率大對稱性：絕對值相等的正負誤差概率相等抵償性：當觀測次數(shù)無限增大時，偶然誤差的平均數(shù)趨近于零。16偶然誤差的特性一、方差和標準差（中誤差）17§5-2評定精度的標準18二、相對中誤差平均誤差一、中誤差§6-2評定精度的標準19如果函數(shù)是連續(xù)型隨機變量X的分布密度函數(shù)202122m1較小,誤差分布比較集中，觀測值精度較高；m2較大，誤差分布比較離散，觀測值精度較低。

兩組觀測值中誤差圖形的比較：m1=2.7m2=3.6用觀測值的中誤差與觀測值之比來描述距離或面積測量的精度23二、相對中誤差正態(tài)分布密度以為對稱軸,并在處達到最大。當時，f(x)0，所以f(x)以x軸為漸近線。用求導方法可知，在處f(x)有兩個拐點。對分布密度在某個區(qū)間內(nèi)的積分就等于隨機變量在這個區(qū)間內(nèi)取值的概率242526但大多數(shù)被觀測對象的真值不知，如何評定觀測值的精度，即：

=？m=？27§5-3觀測值的算術(shù)平均值及改正值尋找最接近真值的值x中位數(shù)：設(shè)把n個觀測值按大小排列，這時位于最中間的數(shù)就是“中位數(shù)”。眾數(shù)：在n個數(shù)中，重復出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)就是“眾數(shù)”。切尾平均數(shù)：去掉lmax,lmin以后的平均數(shù)。28算術(shù)平均數(shù)：滿足最小二乘原則的最優(yōu)解29一、算術(shù)平均值：

將上列等式相加，并除以n,得到

30證明（x是最或然值）最小平方法（又稱最小二乘法）是一種數(shù)學優(yōu)化技術(shù)，它通過最小化誤差的平方和找到一組數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。最小平方法是用最簡的方法求得一些絕對不可知的真值，而令誤差平方之和為最小。測量學中最小二乘法的數(shù)據(jù)處理原則：使各個改正值的平方和最小。最小平方法通常用于曲線擬合。31曲線擬合的最小二乘法給出一組離散點，確定一個函數(shù)逼近原函數(shù)，插值是這樣的一種手段。

在實際中，數(shù)據(jù)不可避免的會有誤差，插值函數(shù)會將這些誤差也包括在內(nèi)。因此，我們需要一種新的逼近原函數(shù)的手段：①不要求過所有的點（可以消除誤差影響）；②盡可能表現(xiàn)數(shù)據(jù)的趨勢，靠近這些點。32應用：有時候，問題本身不要求構(gòu)造的函數(shù)過所有的點。如：5個風景點，要修一條公路S使得S為直線，且到所有風景點的距離和最小。若被觀測對象的真值不知，則取平均數(shù)為最優(yōu)解x33改正值的特性定義改正值似真差滿足最小二乘原則的最優(yōu)解最小二乘標準差可按下式計算34中誤差§5-4觀測值的精度評定將上列左右兩式相減，得353637對代入前式38計算標準差例子39一、已知真值X，則真誤差一、真值不知，則二、中誤差二、中誤差已知：mx1,mx2,……mxn求：my=?40

y=?

§5-5誤差傳播定律41觀測值函數(shù)的中誤差

——誤差傳播定律42二、幾種常用函數(shù)的中誤差（一）和(差)函數(shù)已知：mx,my,

求：mz=?43二、幾種常用函數(shù)的中誤差（一）和(差)函數(shù)已知：mx,my,

求：mz=?和44二、幾種常用函數(shù)的中誤差（一）和差函數(shù)已知：mx,my,

求：mz=?和45二、幾種常用函數(shù)的中誤差（一）和差函數(shù)已知：mx,my,

求：mz=?46二、幾種常用函數(shù)的中誤差（一）和差函數(shù)已知：mx,my,

求：mz=?和47二、幾種常用函數(shù)的中誤差（二）倍乘函數(shù)已知：mx,求：mz=?和平方48二、幾種常用函數(shù)的中誤差（二）倍乘函數(shù)已知：mx,求：mz=?49解：例量得地形圖上兩點間長度=168.5mm

0.2mm,

計算該兩點實地距離S及其中誤差ms：列函數(shù)式中誤差式50二、幾種常用函數(shù)的中誤差（三）線性函數(shù)已知：mxi,求：mz=?51（三）線性函數(shù)特殊xi為獨立觀測值52

凡是相對中誤差，都必須用分子為1的分數(shù)表示。53(四)一般函數(shù)的中誤差公式——誤差傳播定律設(shè)有函數(shù)xi為獨立觀測值對上式線性化小結(jié)第一步：寫出函數(shù)式第二步：寫出全微分式(線性化)第三步：寫出中誤差關(guān)系式注意：只有自變量微分之間相互獨立才可以進一步寫出中誤差關(guān)系式。5455

觀測值函數(shù)中誤差公式匯總

函數(shù)式函數(shù)的中誤差一般函數(shù)倍數(shù)函數(shù)

和差函數(shù)

線性函數(shù)

算術(shù)平均值

56例已知某矩形長a=500米，寬b=400米,ma=mb=0.02cm，求矩形的面積中誤差mp。三、幾種常用函數(shù)的中誤差求觀測值函數(shù)中誤差的步驟：(1)列出函數(shù)式；(2)對函數(shù)式線性化(全微分)；(3)套用誤差傳播定律，寫出中誤差式。已知

有求：57錯誤！例題已知

有；求：58例題觀測值：斜距S和豎直角v待定值：水平距離D59SvhD§5-6誤差傳布定律

應用舉例觀測值：斜距S和豎直角v待定值：高差h60SvhD算術(shù)平均值已知：m1=m2=….=mn=m求：mx616263

DMPxyXYO由誤差傳播定律：解：例9：已知直線MP的坐標方位角

=722000，水平距離D=240m。如已知方位角中誤差，距離中誤差，求由此引起的P點的坐標中誤差、，以及P點的點位中誤差。誤差傳播定律的應用64誤差傳播定律的應用解：由題意：每個角的測角中誤差：由于DJ6一測回角度中誤差為：由角度測量n測回取平均值的中誤差公式：

用DJ6經(jīng)緯儀觀測三角形內(nèi)角時，每個內(nèi)角觀測4個測回取平均，可使得三角形閉合差?，F(xiàn)有三組觀測值，計算其最或然值A(chǔ)組：123.34,123.39,123.35B組：123.31,123.30,123.39,123.32C組：123.34,123.38,123.35,123.39,123.32各組的平均值

A組：123.360

B組：123.333

C組：123.356

65=?

各組的平均及其權(quán)

A組：123.360權(quán)PA=3B組：123.333PB=4C組：123.356PC=566

67一、權(quán)與單位權(quán)1.權(quán)定義：設(shè)觀測值Li的中誤差為mi,則該觀測值Li的權(quán)定義為

或

682.單位權(quán)P=1稱單位權(quán)；

P=1相應的觀測值，稱單位權(quán)觀測值；P=1相應的觀測值中誤差，稱單位權(quán)觀測值中誤差。69平均數(shù)的權(quán)pA=3平均數(shù)的中誤差m——單位權(quán)中誤差權(quán)與誤差的平方成反比70

若取

則

同理

【例】水準路線高差的權(quán)1.等精度觀測值代數(shù)和的權(quán)

【例】水準路線高差的權(quán)

2.等精度觀測值算術(shù)平均值的權(quán)

71三、加權(quán)平均值及其中誤差

1.加權(quán)平均值

72如果m可以用真誤差

j計算，則73如果m要用改正數(shù)v計算，則74

已知：S1=2.5kmS2=4kmS3=2km

HA=10.325h1=5.436HB=12.786h2=2.970HC=14.568h3=1.204求P點高程的加權(quán)平均值及其中誤差

五、【例】7576例：對某水平角進行了三組觀測，各組分別觀測2，4，6測回計算該水平角的加權(quán)平均值。加權(quán)平均值的計算

組號測回數(shù)各組平均值L權(quán)

P

LPL表5-5加權(quán)平均值：1