甘肅省嘉峪關(guān)市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1甘肅省嘉峪關(guān)市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題.1.若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的虛部為（）A. B. C.1 D.i【答案】A【解析】由，可得，所以，所以，所以的虛部為.故選：A.2.如圖，四邊形是正方形，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】易知.故選：B.3.已知向量滿(mǎn)足，則實(shí)數(shù)的值為（）A B. C. D.【答案】D【解析】由可得.故選：D.4.已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，且，則的形狀是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形【答案】C【解析】因?yàn)?，不妨設(shè)，，則為最大角，由余弦定理可得，即為鈍角，所以是鈍角三角形.故選：C.5.已知向量滿(mǎn)足，則（）A. B. C.0 D.1【答案】B【解析】向量滿(mǎn)足，所以.故選：B.6.已知平面向量，不共線(xiàn)，，，，則（）A.三點(diǎn)共線(xiàn) B.三點(diǎn)共線(xiàn)C.三點(diǎn)共線(xiàn) D.三點(diǎn)共線(xiàn)【答案】D【解析】對(duì)于A，，與不共線(xiàn)，A不正確；對(duì)于B，，，則與不共線(xiàn)，B不正確；對(duì)于C，，，則與不共線(xiàn)，C不正確；對(duì)于D，，即，又線(xiàn)段AC與CD有公共點(diǎn)C，所以三點(diǎn)共線(xiàn)，D正確．故選：D．7.如圖，為測(cè)量山高M(jìn)N，選擇和另一座山的山頂為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)．從點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角，點(diǎn)的仰角以及；從點(diǎn)測(cè)．已知山高，兩座山都垂直地面，則山高M(jìn)N長(zhǎng)度為（）.A.150 B. C.300 D.【答案】A【解析】在直角中，，BC＝100，可得，在中，，，則，由正弦定理有：，即，故，在直角△中，，可得().故選：A.8.在中，點(diǎn)滿(mǎn)足，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與、所在的直線(xiàn)分別交于點(diǎn)、，若，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如下圖所示：，即，，，，，，，、、三點(diǎn)共線(xiàn)，則.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故選：B.二、多選題.9.已知復(fù)數(shù)，以下結(jié)論正確的是（）A.是純虛數(shù)B.C.D.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限【答案】ABD【解析】，對(duì)于A，，純虛數(shù)，A正確；對(duì)于B，，B正確：對(duì)于C，，C錯(cuò)誤：對(duì)于D，，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限，D正確.故選：ABD.10.對(duì)于，有如下判斷，其中正確的判斷是（）A.若，則為等腰三角形B.若，則C.若，，，則符合條件的有兩個(gè)D.若，則是鈍角三角形【答案】ABD【解析】對(duì)于A，若，因?yàn)楹瘮?shù)在上為單調(diào)函數(shù)，所以，所以為等腰三角形，所以A正確；對(duì)于B，若，可得，由正弦定理，可得，可得，所以B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以符合條件的有0個(gè)，所以C不正確；對(duì)于D，若，由正弦定理得，則，因?yàn)椋?，所以是鈍角三角形，所以D正確.故選：ABD.11.下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的有（）A.已知，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是B.已知向量，，則不能作為平面的一個(gè)基底C.若，，則D.是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則是的內(nèi)心【答案】AC【解析】對(duì)A選項(xiàng)，，，且與的夾角為銳角，且與不共線(xiàn)，，則且，解得且，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)B選項(xiàng)，，則不能作為平面的一個(gè)基底，故B選項(xiàng)正確；對(duì)C選項(xiàng)，因?yàn)橄蛄?，所以不一定滿(mǎn)足，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)D選項(xiàng)，因?yàn)?，由可知，垂直與角的外角平分線(xiàn)，所以點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上，同理點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上，點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上，所以是的內(nèi)心，故D選項(xiàng)正確.故選：AC.三、填空題.12.設(shè)復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則________.【答案】【解析】，則，故.13.已知，，向量在方向上的投影向量是（是與方向相同的單位向量），則______．【答案】12【解析】由題意知，在方向上的投影向量為，所以，所以.14.在中，，.①若，則角的大小為_(kāi)____；②若角有兩個(gè)解，則的取值范圍是_____.【答案】【解析】①由正弦定理可得，，；②在中，，，如下圖所示：若使得角有兩個(gè)解，則，即.四、解答題.15.已知復(fù)數(shù)，.（1）求；（2）復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的向量分別是，，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值.解：（1）∵，∴.（2）∵，.，∵，∴.16.已知內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)．（1）求A；（2）若，的面積為，求a的值．解：（1）由得，由正弦定理得．由余弦定理得．，．（2）由于的面積為，，，由余弦定理得：．．17.如圖，在菱形中，.（1）若，求的值；（2）若，求.解：（1）因?yàn)?，，所以，所以，所以，?（2），，為菱形，，所以，.18.已知銳角的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（1）求；（2）當(dāng)時(shí)，求周長(zhǎng)的取值范圍.解：（1）∵，∴，∴，∵，∴，，∴.（2）∵，∴.∵為銳角三角形，∴，∴由正弦定理可得：，周長(zhǎng)，∵，∴，∴周長(zhǎng)的取值范圍是.19.如圖所示，設(shè)，是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，，分別是與，軸正方向同向的單位向量，則稱(chēng)平面坐標(biāo)系為仿射坐標(biāo)系，若在仿射坐標(biāo)系下，則把有序數(shù)對(duì)叫做向量的仿射坐標(biāo)，記為．已知在仿射坐標(biāo)系下，．（1）求向量，仿射坐標(biāo)；（2）當(dāng)時(shí)，