高中數(shù)學(xué)必修4同步練習(xí)與單元測(cè)試（39份）

1.1.2弧度制

【課時(shí)目標(biāo)】1.理解角度制與弧度制的概念，掌握角的不同度量制度，能對(duì)弧度和角度進(jìn)行正確的

變換2掌握并會(huì)應(yīng)用弧度制下的弧長公式和扇形面積公式.

知識(shí)梳理?

1.角的單位制

(1)角度制：規(guī)定周角的為1度的角，用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制.

(2)弧度制：把長度等于的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，記作.

(3)角的弧度數(shù)求法：如果半徑為/?的圓的圓心角a所對(duì)的弧長為/,那么/,a,廠之間存在的關(guān)系

是：;這里a的正負(fù)由角a的決定.正角的弧度數(shù)是一個(gè)

,負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè),零角的弧度數(shù)是.

2.角度制與弧度制的換算

角度化弧度弧度化角度

360°=rad2兀rad=

180°=rad7irad=_

］。=______rad?

1rad=_二___5_7。18'

0.01745rad

3.扇形的弧長及面積公式

設(shè)扇形的半徑為R,弧長為/,a(0<a<27t)為其圓心角，則

單位

a為角度制a為弧度制

類別

扇形的弧長/=/=

扇形的面積s=_____s=___=____

作業(yè)設(shè)計(jì)?

一、選擇題

1.集合與集合5=*|a=2E±g,的關(guān)系是()

A.A=BB.AQB

C.B^AD.以上都不對(duì)

2.已知2弧度的圓心角所對(duì)的弦長為2,那么這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長是()

2

A.2B.sin2C~~7D.2sin1

sin1

3.扇形周長為6cm,面積為2cm2,則其中心角的弧度數(shù)是()

A.1或4B.1或2C.2或4D.1或5

4.已知集合4={a|2EWaW(2〃+l)7i,8={a|—4WaW4},則4nB等于()

A.0

B.

C.{a|0WaW7t}

D.{a|-兀，或OWGCWTT}

5.把一2Tr表示成0+2E(ACZ)的形式，使網(wǎng)最小的6?值是()

A兀c兀-3—3

A-4B.一不C甲D.一卒

6.扇形圓心角為多半徑長為a,則扇形內(nèi)切圓的圓面積與扇形面積之比為()

A.1：3B.2：3C.4：3D.4：9

二、填空題

7.將一1485?；癁?E+a(0Wa<2兀，攵￡Z)的形式是______.

8.若扇形圓心角為216。，弧長為30兀，則扇形半徑斤.

77t

9.若2冗兀，且a與一豆角的終邊垂直，則a=.

10.若角a的終邊與角方的終邊關(guān)于直線y=x對(duì)稱，且ae(-47t,4兀)，則a=.

三、解答題

11.把下列各角化成2E+a(0Wa<2jr,*GZ)的形式，并指出是第幾象限角：

(1)-1500°；(2)y7t；(3)-4.

12.已知一扇形的周長為40cm,當(dāng)它的半徑和圓心角取什么值時(shí)，才能使扇形的面積最大？最大

面積是多少？

【能力提升】

13.已知一圓弧長等于其所在圓的內(nèi)接正方形的周長，那么其圓心角的弧度數(shù)的絕對(duì)值為

14.己知一扇形的中心角是a,所在圓的半徑是尺.

(1)若a=60。，A=10cm,求扇形的弧長及該弧所在的弓形面積；

(2)若扇形的周長是一定值c(c>0),當(dāng)a為多少弧度時(shí)，該扇形有最大面積？

⑥反思感悟

1.角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系：每一個(gè)角都

有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)（即這個(gè)角的弧度數(shù)）與它對(duì)應(yīng)；反過來，每一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)角（即弧度

數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)的角）與它對(duì)應(yīng).

2.解答角度與弧度的互化問題的關(guān)鍵在于充分利用“180。=/這一關(guān)系式.易知：度數(shù)義奇=

弧度數(shù)，弧度數(shù)X（祟）=度數(shù).

3.在弧度制下，扇形的弧長公式及面積公式都得到了簡化，具體應(yīng)用時(shí)，要注意角的單位取弧

度.

1.1.2弧度制

答案

知識(shí)梳理

1.⑴志（2）半徑長1rad（3）|a|=：

終邊的旋轉(zhuǎn)方向正數(shù)負(fù)數(shù)0

作業(yè)設(shè)計(jì)

1.A

12

2-C&=封???/=即=汴

3.A［設(shè)扇形半徑為八圓心角為?,

2r+ar=6

則｛1,C

(2ar=2

r=1r=2

解得，或'0=1,

a=4

4.C［集合4限制了角a終邊只能落在x軸上方或x軸上.］

5.D—^TC=-2兀+（—（兀）,/.0=

6.B［設(shè)扇形內(nèi)切圓半徑為廠，

則廠+宜=，.+2-=。；“=3〃，...S內(nèi)尸步.

sm6

5s^=^ar2=1x^Xtz2=1x^X9/-2=17cr2.

；.S內(nèi)切：S扇形=2:3.]

7

7.—10兀+開

解析?.?一i485。=—5X3600+3I5。,

7

—1485?？梢员聿粸橐?0兀兀.

8.25

解析216°=216Xy^=器，/=。7=器〃=30兀，.??尸=25.

1oUJ3

短土二7J1477,92010

解析—％兀+，兀=不兀=鏟，一％兀+5兀=?-兀=丁兀.

_j_ht_5Kn7n

io.一亍—了，y*y

解析由題意，角a與斜邊相同，貝及+2兀=%,

兀-5兀，11

2兀=一鏟，廠4兀=一了兀.

5兀

11.解(1)-1500°=-18000+300°=-107t+y,

.?.—1500。與袁終邊相同，是第四象限角.

23]1?311

(2)^■兀=2兀+不兀，?兀與不兀終邊相同，是第四象限角.

(3)—4=-2兀+(2兀-4),

.?.一4與2兀一4終邊相同，是第二象限角.

12.解設(shè)扇形的圓心角為仇半徑為小弧長為/,面積為S,

則/+2r=40,.??/=40—2廠.

S=|/r=|X(40-2r)r=20/—?=-(/~10)2+100.

???當(dāng)半徑r=10cm時(shí)，扇形的面積最大，最大值為100cm\

,,」/40-2X10

此時(shí)0=~-....訪----2rad.

13.4也

解析設(shè)圓半徑為八則內(nèi)接正方形的邊長為明一，圓弧長為4班;

圓弧所對(duì)圓心角網(wǎng)=生卓=4陋.

14.解(1)設(shè)弧長為/,弓形面積為S，x

兀10兀

?.?。=60°=?,K=10,^.l=aR=~^~(cm).

S弓=S扇一10—1X102Xsin600=50(]一坐)(cm2).

c—2R

(2)扇形周長c=2R+l=2R+aR,*.a=一飛一,

2

1?1c—2R71?,1c72,c

..S塌=/產(chǎn)=于---?R~=-(c-2R)R=-R2+-CR~—(R--)+—

當(dāng)且僅當(dāng)R=今即a=2時(shí)，扇形面積最大，且最大面積是信.

1.2.1任意角的三角函數(shù)（二）

【課時(shí)目標(biāo)】1.掌握正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域.2.了解三角函數(shù)線的意義，能用三角函數(shù)線表

示一個(gè)角的正弦、余弦和正切.

知識(shí)梳理?

1.三角函數(shù)的定義域

正弦函數(shù)歹=$出》的定義域是.,；余弦函數(shù)^=（:0$》的定義域是;正切函的

定義域是.

2.三角函數(shù)線

如圖，設(shè)單位圓與x軸的正半軸交于點(diǎn)4與角a的終邊交于尸點(diǎn).過點(diǎn)尸作x軸的垂線2垂

足為過力作單位圓的切線交。戶的延長線（或反向延長線）于7點(diǎn).單位圓中的有向線段

,分別叫做角a的正弦線、余弦線、正切線.記作：sina=cosa

,tana=

一、選擇題

1.如圖在單位圓中角a的正弦線、正切線完全正確的是（）

A.正弦線PM,正切線HV

B.正弦線MP,正切線HV

C.正弦線MP,正切線4r

D.正弦線PM,正切線4T

2.:角］（0。＜2兀）的正、余弦線的長度相等，且正、余弦符號(hào)相異，那么a的值為（）

,兀3兀D.苧或與

A-4B.彳

3.若a是第一象限角,則sina+cosa的值與1的大小關(guān)系是（）

A.sina+cos?>1B.sina+cosa=1

C.sina+cosa<lD.不能確定

4.利用正弦線比較sin1,sin1.2,sin1.5的大小關(guān)系是（）

A.sinl>sin1,2>sin1.5

B.sinl>sin1.5>sin1.2

C.sin1.5>sin1.2>sin1

D.sin1.2>sinl>sin1.5

5.若0<。<2兀，且sin坐，cosa>^則角a的取值范圍是（）

A.（+，f）B.（o,§

C.圖2n）D.（o,加侍2n）

6.如果與那么下列不等式成立的是（）

A.cosa<sina<tanaB.tana<sina<cosa

C.sina<cosa<tanaD.cosa<tana<sina

二、填空題

7.在[0,2兀]上滿足sinx》；的x的取值范圍為.

8.集合A=[0,2TC],B={a|sina<cosa}f則/CB=______________.

9.不等式tana+坐>0的解集是.

10.求函數(shù)y（x）=lg（3—dsidx）的定義域?yàn)?

三、解答題

11.在單位圓中畫出適合下列條件的角。終邊的范圍，并由此寫出角a的集合.

（l）sina2坐；（2）cosaW-去

12.設(shè)夕是第二象限角，試比較sin爭cos$tan冬的大小.

【能力提升】

13.求函數(shù)/(x)=qi—2cosx+ln(sinx—乎)的定義域.

14.如何利用三角函數(shù)線證明下面的不等式？

當(dāng)aG（O,習(xí)時(shí)

求證：sina<a<tana.

?反思感悟

1.三角函數(shù)線的意義

三角函數(shù)線是用單位圓中某些特定的有向線段的長度和方向表示三角函數(shù)的值，三角函數(shù)線的長度

等于三角函數(shù)值的絕對(duì)值，方向表示三角函數(shù)值的正負(fù)，具體地說，正弦線、正切線的方向同縱坐

標(biāo)軸一致，向上為正，向下為負(fù)；余弦線的方向同橫坐標(biāo)軸一致，向右為正，向左為負(fù)，三角函數(shù)

線將抽象的數(shù)用幾何圖形表示出來了，使得問題更形象直觀，為從幾何途徑解決問題提供了方便.

2.三角函數(shù)的畫法

定義中不僅定義了什么是正弦線、余弦線、正切線，同時(shí)也給出了角a的三角函數(shù)線的畫法即先找

到P、M、T點(diǎn),再畫出MP、OM、AT.

注意三角函數(shù)線是有向線段，要分清始點(diǎn)和終點(diǎn)，字母的書寫順序不能顛倒.

1.2.1任意角的三角函數(shù)（二）

答案

知識(shí)梳理

1.RR{xpcGR且kGZ}

2.MPOMATMPOMAT

作業(yè)設(shè)計(jì)

1.C

2.D[角a終邊落在第二、四象限角平分線上.]

3.A[設(shè)a終邊與單位圓交于點(diǎn)P,

sina=MP,cosa=OM>

則|OM+|A/P|>|OP|=1,即sina+cosa>L]

4.C1,12,1.5均在（0,D內(nèi)，正弦線在（0,珈隨a的增大而逐漸增大,

/.sin1.5>sin1.2>sin1.]

5.D[在同一單位圓中，利用三角函數(shù)線可得D正確.]

6.A[

77

如圖所示，在單位圓中分別作出a的正弦線MP、余弦線0M、正切線力T,很容易地觀察出

OM<MP<AT,即cosa<sina<tana.]

7后T]

8

兀，?兀，?

9.1a\lfkn~~^<a<kn+y

解析不等式的解集如圖所示（陰影部分）,

7C兀

工竹妝兀一d〈avE+s，女CZj.

1O.（E-?

kez

解析如圖所示.

收Z）.

11.解（1）

作直線y=坐交單位圓于N、B,連結(jié)。X、OB,則。4與。8圍成的區(qū)域（圖1陰影部分），即為角

a的終邊的范圍.

故滿足條件的角a的集合為

{a|2E+^WaW2E+空，kGZ].

⑵

y

圖2

作直線x=-g交單位圓于C、D,連結(jié)。C、0D,則。C與。。圍成的區(qū)域（圖2陰影部分），即為

角a的終邊的范圍.故滿足條件的角a的集合為

{a|2?+號(hào)WaW2E+與，k^Z].

TT"K071

12.解I?。是第二象限角，.?.2hr+]<*2E+7t(*GZ),(A：eZ).

作出?所在范圍如圖所示.

當(dāng)2E+；<*2E+5（左GZ）時(shí)，cosmsin^<tan*

當(dāng)2E+苧v,<2E+%（〃金Z）時(shí)，sin^<cos^<tan彳

13.解由題意，自變量x應(yīng)滿足不等式組

,也

1—2cosx20,sinx>2?

即'

sinx-

cosxWj.

則不等式組的解的集合如圖（陰影部分）所示,

14.證明

如圖所示，在直角坐標(biāo)系中作出單位圓，a的終邊與單位圓交于P,a的正弦線、正切線為有向線

段MP,ATf則MP=sina,^7=tana.

因?yàn)镸尸=￡sina,

S扇形力0尸=5口0/一=呼€,S^OT^^OA'A71=^tana,

又SZ\4OP<5砌形/op<5z\/or，

所以$ina<^?<^tana,即sina<a<tana.

§1.3三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（一）

【課時(shí)目標(biāo)】1.借助單位圓及三角函數(shù)定義理解三組公式的推導(dǎo)過程2運(yùn)用所學(xué)四組公式進(jìn)行求

值、化簡與證明.

知識(shí)梳理?]

1.設(shè)a為任意角，則兀+a,一a,兀一。的終邊與a的終邊之間的對(duì)稱關(guān)系.

相關(guān)角終邊之間的對(duì)稱關(guān)系

Tt+a與a關(guān)于對(duì)稱

-a與a關(guān)于一對(duì)稱

it—a與a關(guān)于____對(duì)稱

2.誘導(dǎo)公式一~四

(1)公式一：sin(a+2E)=,cos(a+2E)=,tan(a+2E)=,其中kGZ.

(2)公式二：sin(n+a)=,cos(兀+a)=,tan(;c+a)=.

(3)公式三：sin(-a)=，cos(-a)=，tan(-a)=.

(4)公式四：sin(n—a)=,COS(TT-a)=,tan(n-a)=.

作業(yè)設(shè)計(jì)?

一、選擇題

1.sin585。的值為（）

A.—巫

2

2.若〃為整數(shù),則代數(shù)式一1的化簡結(jié)果是（

cos（〃兀'+a《）)

A.±tanaB.—tana

D.^tana

C.tana

\3.八

3.若cos(兀+a)=—5兀＜。＜2兀，貝ljsin(2?r+a)等于()

D?-乎

A-2

,、n.sin(a-3TT)+cos(n-a)

4.tan(57r+a)=加，則制―a)—cos")的值為（)

w+1

Am-1Bw+1c.-1D.

5.記cos(—80。)=%,那么tan100。等于()

A早1—lc

c,，

B._kD.—/；

且aC（一冬0）,

6.若sin(兀-a)=log8則cos（兀+a）的值為（）

一或

B.

3

D.以上都不對(duì)

二、填空題

7.已知cos《+0）=坐，則cos*—0）=.

cos(a+7t)sin2(G+3兀)

8.三角函數(shù)式的化簡結(jié)果是

tan(a+n)cos3(—a—7i)

9.代數(shù)N+黑*著的化簡結(jié)果是

10.設(shè)/)=asin(m+a)+Aos(兀t+0+2,其中a、b、a.夕為非零常數(shù).若火2009)=1,則貝2

010)=____.

2

-、sin?—2兀)+sin(—a—3n)cos(a—3兀),,在

3求---二----：-----；------:―7—7T的值?

cos(7i-a)—cos(一?！猘)cos(a-4兀)

12.已知sin(a+￡)=I,求證：tan(2a+與+tan6=0.

【能力提升】

sin[(4+l)7iT-apcos[(4+1)兀一

13.化簡:,（其中左￡Z）.

sin(^K-0)'cos(47t+0)

14.在△ABC中，若sin(2兀一，)=一，5sin(兀-8),小cos/=-*\/^cos(7i—8),求△/5C的三個(gè)內(nèi)

角.

<8）反思感悟

1.明確各誘導(dǎo)公式的作用

誘導(dǎo)公式作用

公式一將角轉(zhuǎn)化為0?27t求值

公式二將0?27t內(nèi)的角轉(zhuǎn)化為0?兀之間的角求值

公式三將負(fù)角轉(zhuǎn)化為正角求值

公式四將角轉(zhuǎn)化為。?，求值

2.誘導(dǎo)公式的記憶

這組誘導(dǎo)公式的記憶口訣是“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”.其含義是誘導(dǎo)公式兩邊的函數(shù)名稱一

致，符號(hào)則是將a看成銳角時(shí)原角所在象限的三角函數(shù)值的符號(hào).a看成銳角，只是公式記憶的方

便，實(shí)際上a可以是任意角.

§1.3三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（一）

答案

知識(shí)梳理

1.原點(diǎn)X軸V軸

2.(l)sinacosatana(2)—sina-cosatana(3)—sinacosa—tana(4)sina-cos

a-tana

作業(yè)設(shè)計(jì)

1.A2.C

3.D[由cos(兀+a)=一得cosa=g,

.\sin(27t+a)=sina=-yj1—cos2a=(a為第四象限角).]

hi、sina+cosatana+11

4.A[原式=-----------------;=----]

sina-cosatana-1tn—1

5.B[Vcos(-80°)=Jt,Acos80°=^,

/.sin80°tan80°

..tan100°=—tan80°=—----.1

kJ

6.B[Vsin(7r—a)=sina=log22—^=—7,

V3

8.tana

銀耗后十_—cosasin%_—cosorsin%_cosasin,_sina

小工tana-cos3(a+7t)—tanorcos%sinacos^acosa

9.-1

H[、qi+2sin(1800+lgcos(360°+70°5

000

解析原式=sin(180+70)+cos(720°+70)

N1—2sin1100cos70°61-2sin700cos70°

—-sin700+cos70°-cos70°-sin70°

Isin70°—cos70°|sin70°—cos70°

-------------------------------------------=-1

cos70°—sin70°cos70°—sin70°

10.3

解析fi2009)=asin(20097t+a)+/>cos(2009兀+尸)+2

=asin(n+a)+bcos(兀+為+2

=2一(asina+bcos4)=1,

.?.asina+bcos0=1,

/(2010)=asin(2010;u+a)+Z?cos(2OIO71+夕)+2

=asina+Z)cos夕+2=3.

一sin(27r—a)—sin(37i+a)cos(3九一a)

11.解原式=

-cosa-(-cosa)cosa

sina-sinacosa

—cosa+cos*2a

sina(l—coss)

—cosa(l—cosa)

=-tana.

2

cos(a-71)=COS(TI-a)=-cosa=一§,

2

???cosa=Q.a為第一象限角或第四象限角.

2

當(dāng)a為第一象限角時(shí)，cosa=§,

r.--------A/5sinaV5e-鄧

sina=Y1—cosa=M，..tana=z>=?J??原式=一甘.

2

當(dāng)a為第四象限角時(shí)，cos。=東

r------亞.sina迅.h_u小

sina=—yj1—cos~a=—,??tana=-------=—V，?.原式=十？

v3cosa22

綜上，原式=土坐.

12.證明Vsin(a+^)=1,

：.a+[i=2kit+^/￡Z),

/.a=Ikn+y—p(A￡Z).

tan(2(z+^)+tanB=ta1[2（2攵兀+個(gè)一夕）+夕]+tanp

=tan(4版+兀-2夕+份+tanp

=tan(4%兀+7i-p)+tan§

=tan(7c-/0+tan夕

=—tan夕+tan§=0,

???原式成立.

13.解當(dāng)人為偶數(shù)時(shí)，不妨設(shè)左=2〃，Z,則

sin[(2〃+l)7c+0]?cos[(2〃+l)7t—O]_sin(7r+〃>cos(兀一〃)—sin夕(~~cos。)

原式=1.

sin(2〃兀-0)-cos(2〃兀+。)一sin夕cos0-sinO'cos0

當(dāng)上為奇數(shù)時(shí)，設(shè)左=2〃+1,〃￡Z,則

sin[(2〃+2)7r+e}cos[(2〃+2)7i—。]

泉式sin[(2〃+1)冗一句，cos[(2〃+1)兀+即

sin[2(〃+1)兀+01cos[2(〃+1)兀一町

sin(兀-9)?COS(TT+0)

sin6cos6_

sincos0)?

，上式的值為-1.

14.解由條件得sin4=Wsin8,由cosA=pcosB,

平方相加得2cos2/=1,cosA=±乎，

又*￡（（）,兀），??,4=:或不L

當(dāng)兀時(shí)，8sB=一坐＜0,.?.BW住，兀）,

???4,8均為鈍角，不合題意，舍去.

.,.4=?cos8=半，.??8=1,?工=看兀.

§1.3三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（二）

【課時(shí)目標(biāo)】1.借助單位圓及三角函數(shù)定義理解公式五、公式六的推導(dǎo)過程2運(yùn)用公式五、公式六

進(jìn)行有關(guān)計(jì)算與證明.

知識(shí)梳理?]

1.誘導(dǎo)公式五?六

（1）公式五：sin《一a

以一a替代公式五中的a,可得公式六.

（2）公式六：sin（j+ftj=；cos（j+a

2.誘導(dǎo)公式五?六的記憶

j-a,W+a的三角函數(shù)值，等于a的三角函數(shù)值，前面加上一個(gè)把a(bǔ)看成銳角時(shí)原

函數(shù)值的,記憶口訣為“函數(shù)名改變，符號(hào)看象限”?

作業(yè)設(shè)計(jì)?]

一、選擇題

1.已知/(sinx)=cos3x,則火cos10。)的值為()

A.—C.一孚

2.若sin(37i+a)=-貝4cos6兀—a)等于(

）

A.-JB.；。坐D.一直

2

3.已知sin（a—￡）=；,則85（會(huì)+。）的值等于（）

C亭D邛

貝!JcosR?！猘)+2sin(27t—a)的值為(

=-〃?，)

3m—3m

——n—

C.252

5.已知cos住+q）=坐，且陽書，則tan9等于（）

A.一坐B坐C一小D.小

6.已知85（75。+。）=/則sin（a—15。）+85（105。一a）的值是（）

A.gB.|C.—jD.—I

二、填空題

7.若sin(a+^0=；,貝Ucos(a+患)=.

8.代數(shù)式sin2(4+45o)+sin2(4-45。)的化簡結(jié)果是

9.sin2l°+sin22°+…+sin2880+sin289°=

sin（a-3兀）+cos（?！猘）+sin（，-a—2cos（g+a

10.已知tan（3兀+a）=2,則，

—sin（—a）+cos（7c+a）

解答題

11.求證:——tana.

12.已知sin（甘一a）cos（—且%a專求sina與cosa的值.

【能力提升】

13.化簡：（A￡Z）.

（TT兀、

14.是否存在角a,P，匹（一爹，2）'g（。，力，使等式

■制3兀一。尸也。同時(shí)成立.

.gcos（-a）=-，5cos（元+夕）

若存在，求出。，尸的值；若不存在，說明理由.

?反思感悟

1.學(xué)習(xí)了本節(jié)知識(shí)后，連同前面的誘導(dǎo)公式可以統(tǒng)一概括為“導(dǎo)a(AGZ)”的誘導(dǎo)公式.當(dāng)k為

偶數(shù)時(shí)，得a的同名函數(shù)值；當(dāng)*為奇數(shù)時(shí)，得a的異名函數(shù)值，然后前面加一個(gè)把a(bǔ)看成銳角時(shí)

原函數(shù)值的符號(hào).

2.誘導(dǎo)公式統(tǒng)一成?！┦縜/CZ)”后，記憶口訣為“奇變偶不變，符號(hào)看象限”.

§1.3三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式(二)

答案

知識(shí)梳理

1.(1)cosasina(2)cosa-sina

2.異名符號(hào)

作業(yè)設(shè)計(jì)

1.A[/(cos10°)=/(sin80°)=cos240°=cos(180°+60°)=-cos60°=~]

2.A「；sin(3冗+a)=-sina=-；,Asin

cos(與-a)=cos&-a)=-cos6一a)=-sina=-1.]

住+1

3.A[cosa

3

(《+

4.C[sin7c+a)+cosa)=-sina-sina=-m,

多.cos^|n-a)+2sin(27i—a)=-sina_2sina=_3sina=-%?.]

sina—

坐，得sin9=一坐,

5.C[由cos|升9)=_sin@=

又?.,陽感，.,.夕=一率tan(p=^y[3.]

6.D[sin(a—15°)+cos(105°—a)

=sin[(75°+a)~90°]+cos[l80°一(75。+a)]

=一sin[90°一(75°+a)]-cos(750+a)

=-cos(75°+a)-cos(75°+a)

2

=-2cos(750+a)=-j.]

_1

7.~3

cos(a+居)=cos^+(a+恐)]=-sin(a+母=—

解析

8.1

解析原式=6言(4+45。)+5由2(45。-4)=5言(4+45。)+8§2(4+45。)=1.

娉

解析原式=(sir?10+sin289°)+(sin22°+sin288°)H-----l-(sin2440+sin246o)+sin245°=44+1

_89

~~2-

10.2

sinatana2

解析原式=

sina-cosatana~12—1

tan(—a)?sin(-a)?cos(-a)

11.證明左邊=

si427i—(j-a)].COSJTT—(j-

(—tana)(—sina)cosa

sin

sin2a

—sinajcosl尹

sin%sina

——tana=右邊.

—cosasinacosa

???原等式成立.

12.解sin(一a)=-cosa,

2兀+升0)=

COS1§-a)=COs|—sina.

60即2sinacosa=樵.

acosa=Y^，?

又Vsin2a+cos2a=1,②

non

①+②得(sina+cosa)2=y^,

49

②一①得(sina—cosa)2—

169'

又：a￡15,sina>cosa>0,

即sina+cosa>0,sina—cosa>0,

???sina+c°sa=E

③

7

sina—cosa=jy，④

125

③+④得sina=后,③一④得cosa=百

13.解原式=sir

當(dāng)上為奇數(shù)時(shí)，設(shè)％=2〃+1(〃￡2),則

原式=sij(2〃+1)兀一仔+a)]+cos[(2〃+1)兀+71

A~a

71

=sin+cod兀+彳一

=sin

=sin7+a

(；+。卜出仔+01)=0；

=sin

當(dāng)改為偶數(shù)時(shí),設(shè)女=2〃(〃￡Z),則

原式=sii[2〃?！?；+,]+cos[2〃7t+

A-a

=-sin仔+a)+cos仔-a)

=-sin

=0.

綜上所述，原式=0.

fsina=y[2s\n①

14.解由條件，得V廠V廠_

l\3cosa=\2cosp.②

①?+②2,得sii?a+3cos2(Z=2,③

又因?yàn)閟i/a+sin2a=1,(4)

由③④得sin2a=￡,即sina=土坐，

因?yàn)槿?(一去。所以a=々或

當(dāng)/=今時(shí),代入②得COS片坐，又夕￡(0,71),

所以所系代入①可知符合.

當(dāng)。=一々時(shí)，代入②得8§4=乎，又夕￡(0,71),

所以￡=去代入①可知不符合?

綜上所述，存在［=今夕弋滿足條件.

1.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)（一）

【課時(shí)目標(biāo)】1.了解周期函數(shù)、周期、最小正周期的定義.2.會(huì)求y（x）=4sin（①x+卬）及y=Zcos（5+9）

的周期.3.掌握y=sinx,y=cosx的周期性及奇偶性.

知識(shí)梳理?

1.函數(shù)的周期性

（1）對(duì)于函數(shù)危），如果存在一個(gè)，使得當(dāng)X取定義域內(nèi)的時(shí)，都有

，那么函數(shù)40就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)7叫做這個(gè)函數(shù)的周期.

（2）如果在周期函數(shù)凡⑦的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做/（X）的

2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性

由sin（x+2to）=________,cos（x+2E）=________j/=sinx與y=cosx都是________函數(shù)，

都是它們的周期,且它們的最小正周期都是.一

3.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性

（1）正弦函數(shù)夕=$也工與余弦函數(shù)y=cosx的定義域都是，定義域關(guān)于對(duì)稱.

（2）由sin（-x）=知正弦函數(shù)y=sinx是R上的函數(shù)，它的圖象關(guān)于對(duì)稱.

（3）由cos（-x）=知余弦函數(shù)夕=cosx是R上的函數(shù)，它的圖象關(guān)于對(duì)稱.

作業(yè)設(shè)計(jì)?

一、選擇題

1.函數(shù)段）=，5sin@—3，x￡R的最小正周期為（）

7C

A，2B.7tC.2KD.4TI

2.函數(shù)7（x）=sin（5+,）的最小正周期為?其中①>0,則①等于（）

A.5B.10C.15D.20

3.設(shè)函數(shù)7（x）=sin（2x-。xGR,則人只是（）

A.最小正周期為兀的奇函數(shù)

B.最小正周期為兀的偶函數(shù)

C.最小正周期為多的奇函數(shù)

D.最小正周期定的偶函數(shù)

4.下列函數(shù)中，不是周期函數(shù)的是（）

A.y=|cosx|B.y=cos|x|

C.y=|sinx|D.尸sin|x|

5.定義在R上的函數(shù)"既是奇函數(shù)又是周期函數(shù)，若?。┑淖钚≌芷跒樨?，且當(dāng)尤卜去0）

時(shí)，./（x）=sinx,則專）的值為（）

6.函數(shù)y=cos（sinx）的最小正周期是（）

71

A，2B.兀C.2兀D.4兀

題號(hào)123456

答案

二、填空題

7.函數(shù)./(x)=sin(2m+；)的最小正周期是.

8.函數(shù)y=sin(sx+；)的最小正周期是專，則。=.

9.若/(x)是R上的偶函數(shù)，當(dāng)x，0時(shí)，/(x)=sinx,則｛x)的解析式是______________.

10.美于x的函數(shù)兀r)=sin(x+w)有以下襦題：

①對(duì)任意的9,/U)都是非奇非偶函數(shù)；

②不存在夕，使/(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；

③存在夕，使/(x)是奇函數(shù)；

④對(duì)任意的心/(x)都不是偶函數(shù).

其中的假命題的序號(hào)是.

三、解答題

11.判斷下列函數(shù)的奇偶性.

(1)/(x)=cos(W+2x)cos(兀+x)；

(2)/(x)=》l+sinx+y/1-sinx；

?$皿》+?，sinx

OyW=esmx_esinv.

12.已知火x)是以兀為周期的偶函數(shù)，且x￡[0,，時(shí)，“r尸1—sinx,求當(dāng)工￡@兀，3網(wǎng)時(shí)/(x)的解

析式.

【能力提升】

13.欲使函數(shù)y=4sin5(4>0,刃>0)在閉區(qū)間［0刀上至少出現(xiàn)50個(gè)最小值，則外的最小值是

14.判斷函數(shù)兒0=ln(sinx+yjl+sii?x)的奇偶性.

?反思感悟

1.求函數(shù)的最小正周期的常用方法：

(1)定義法，即觀察出周期，再用定義來驗(yàn)證：也可由函數(shù)所具有的某些性質(zhì)推出使7(x+7)=/(x)成

立的T.

(2)圖象法，即作出y=/(x)的圖象，觀察圖象可求出7.如)=卜山林

(3)結(jié)論法，一般地，函數(shù)尸Zsin(sx+0)(其中/、3、。為常數(shù)，/片0,co>0,xGR)的周期7=套.

2.判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)遵從“定義域優(yōu)先”原則，即先求定義域，看它是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

1.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)(一)

答案

知識(shí)梳理

1.(1)非零常數(shù)7每一個(gè)值,f{x+T)=j[x)(2)最小正周期

2.sinxcosx周期2也伏GZ且*WO)27r

3.(1)R原點(diǎn)(2)—sinx奇原點(diǎn)(3)cosx偶y軸

作業(yè)設(shè)計(jì)

1.D2.B

3.B['.'sin^Zr——sin^_2x^=—cos2x,

.'.J(x)=—coslx.

又f[—x)=—cos(—2x)=-cos2x=j[x),

的最小正周期為7t的偶函數(shù).]

4.D[畫出y=sin|x|的圖象，易知.]

5.D”一安周=-/(_*_sin(一*sin畀除]

6.B[cos[sin(x+7u)]=cos(-sinx)=cos(sinx).

：.T=n.]

7.1

8.±3

27r27r

解析T7=T，*'?|co|=3,/.co=±3.

|cy|J11

9.{x)=sin|x|

解析當(dāng)x<0時(shí)，-x>0,

7(-x)=sin(—x)=-sinx,

■:R—x)=&x),/.x<0時(shí)，J(x)=—sinx.

?\/(x)=sin|x|，x^R.

10.①④

解析易知②③成立，令9=，7(x)=cosx是偶函數(shù)，①④都不成立.

11.解(l)x￡R,/(X)=COS(54-2X^COS(7T+X)=—sin2x-(—cosx)=sin2xcosx.

?77(-x)=sin(_2x)cos(-x)=-sin2xcosx=-/(x).

???y=/W是奇函數(shù)?

(2)對(duì)任意x￡R,—KsinxWl,

1+sinx20,l-sinGO.

=yj1+sinx+d1—sinx定義域?yàn)镽.

?:氏—x)=\j1+sin(—x)+勺1-sin(-x)=yj1+sinx+^/1—sinx=J(x),

.??y=/a)是偶函數(shù).

(3)Vesinx-e-sinx^0,.'.sinx^O,

???x￡R且xWE,kQZ.

???定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

esin(-x)_i_c-sin(-x)e-sinx_|_esinx

又產(chǎn)in(-x)_e-sin(-g-sinxgsinx-—

???該函數(shù)是奇函數(shù).

12.解%e［|-7r,3兀］時(shí)，3兀-x￡［0,多,

■:x1［0,與時(shí)，於)=1—sinx,

?！獂)=1—sin(3n—x)=1—sinx.

又:/U)是以兀為周期的偶函數(shù)，

?,成3兀-x)=/(—x)=Ax)，

?\/(x)的解析式為/(x)=1—sinx,》0@兀，3兀］.

“199

］3.w兀

解析要使歹在閉區(qū)間［0刀上至少出現(xiàn)50個(gè)最小值,

則y在［0,1］上至少含49:個(gè)周期，

"g199

即12兀，解得①2〒兀.

T=—

Ico

14.解Vsinx+yj1+sin2x^sinx+1^0,

若兩處等號(hào)同時(shí)取到，貝ijsinx=0且sinx=-1矛盾,

???對(duì)R都有sinx+yf1+sin2x>0.

:大—x)=ln(—sinx+yj\+sin2x)

=\n(yj1+sin2x-sinx)

=\n(yj1+sin2x+sinx)-1

=—ln(sinx1+sin2x)=-f(x),

?；/W為奇函數(shù).

1.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)（二）

【課時(shí)目標(biāo)】1.掌握y=sinx,y=cosx的最大值與最小值，并會(huì)求簡單三角函數(shù)的值域或最值.2.掌

握歹=$出工，y=cosx的單調(diào)性，并能用單調(diào)性比較大小.3.會(huì)求函數(shù)y=4sin（①x+e）及N=/cos（s

+p）的單調(diào)區(qū)間.

知識(shí)梳理?

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì):

函數(shù)y=sinxy=cosx

y1y

2TT

圖象T-2*29

-1

定義域

值域

奇偶性

周期性最小正周期：__最小正周期：__

在在

單調(diào)性上單調(diào)遞增；在_______上單調(diào)遞增；在

______________________________上單

_______________上單調(diào)遞減調(diào)遞減

在________________________時(shí)?_Fmax=

在______________時(shí)，Jmax=1；在

1;在

最值時(shí)，，min=

-1

_____時(shí)，ymin=T

作業(yè)設(shè)計(jì)?

一、選擇題

1.若尸=$出》是減函數(shù)，y=cosx是增函數(shù)，那么角》在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.若a,夕都是第一象限的角，且。<尸，那么（）

A.sin?>sinI）B.sin^ff>sina

C.sina>sin/TD.sina與sin/7的大小不定

3.函數(shù)y=sin2x+sinx—1的值域?yàn)椋ǎ?/p>

5