高中數(shù)學(xué)錯(cuò)題分析第6-10章修改稿

第六章立體幾何初步

§6.1兩條直線之間的位置關(guān)系

一"、知識(shí)導(dǎo)學(xué)

1.平面的基本性質(zhì).公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的

點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).公理2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，且

所有這些公共點(diǎn)的集合是一條過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的直線.公理3：經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三

點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，，有且只有一個(gè)平

面.推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且

只有一個(gè)平面.

2.空間兩條直線的位置關(guān)系，包括：相交、平行、異面.

3.公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行.定理4：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩

邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等.推論：如果兩條相交直線和另兩條相交

直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等.

4.異面直線.異面直線所成的角；兩條異面直線互相垂直的概念；異面直線的公垂線及距

離.

5.反證法.會(huì)用反證法證明一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題.

二、疑難知識(shí)導(dǎo)析

1.異面直線是指不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn).強(qiáng)調(diào)任何一個(gè)平面.

2.異面直線所成的角是指經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)作兩條分別和異面的兩條直線平行的直線所成

的銳角(或直角).一般通過(guò)平移后轉(zhuǎn)化到三角形中求角，注意角的范圍.

3.異面直線的公垂線要求和兩條異面直線垂直并且相交，

4.異面直線的距離是指夾在兩異面直線之間公垂線段的長(zhǎng)度.求兩條異面直線的距離關(guān)鍵是

找到它們的公垂線.

5.異面直線的證明一般用反證法、異面直線的判定方法：如圖，如果bua,Aea且

A史Z),aC(z=A，則a與b異面.

三、經(jīng)典例題導(dǎo)講

［例1］在正方體ABCD-AiBigD］中，0是底面ABCD的中心，M、N分別是棱DD】、D】g的中點(diǎn)，

則直線0M().

A.是AC和MN的公垂線.B.垂直于AC但不垂直于MN.

C.垂直于MN,但不垂直于AC.D.與AC、MN都不垂直.

錯(cuò)解:B.

錯(cuò)因：學(xué)生觀察能力較差，找不出三垂線定理中的射影.

正解：A.

［例2］如圖，已知在空間四邊形ABCD中,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn)，G,H分別是BC,CD上的

點(diǎn)，且第=盟=2,求證:直線EG,FH,AC相交于一點(diǎn).

錯(cuò)解：證明：???￡、F分別是AB,AD的中點(diǎn)，

1

：.EF//BD,EF=yBD,

1

又第=整=2,GH〃BD,GH=3BD,

四邊形EFGH是梯形，設(shè)兩腰EG,FH相交于一點(diǎn)T,

???盟=2,F分別是AD.；.AC與FH交于一點(diǎn).

直線EG,FH,AC相交于一點(diǎn)

正解：證明：?.?￡、F分別是AB,AD的中點(diǎn)，

1

：.EF〃BD,EF=5BD,

VBGDH_^

乂GC=HC=5

1

GH/7BD,GH=3BD,

四邊形EFGH是梯形，設(shè)兩腰EG,FH相交于一點(diǎn)T,

-.?EGu平面ABC,FHu平面ACD,

Te面ABC,且Te面ACD,又平面ABCfl平面ACD=AC,

：.TeAC,直線EG,FH,AC相交于一點(diǎn)T.

［例3］判斷：若a,b是兩條異面直線，P為空間任意一點(diǎn)，則過(guò)P點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面與a,b

都平行.

錯(cuò)解：認(rèn)為正確.

錯(cuò)因：空間想像力不夠.忽略P在其中一條線上，或a與P確定平面恰好與b平行，此時(shí)就

不能過(guò)P作平面與a平行.

正解：假命題.

［例4］如圖，在四邊形ABCD中，已知AB〃CD,直線AB,BC,AD,DC分別與平面a

相交于點(diǎn)E,G,H,F.求證：E,F,G,H四點(diǎn)必定共線（在同一條直線上）.

分析：先確定一個(gè)平面，然后證明相關(guān)直線在這個(gè)平面內(nèi)，最后證明四點(diǎn)共線.

證明AB//CD,AB,CD確定一個(gè)平面0.

又：ABna=E,ABUB,/.Eea,Eep,

即E為平面a與p的一個(gè)公共點(diǎn).

同理可證F,G,H均為平面a與p的公共點(diǎn).

V兩個(gè)平面有公共點(diǎn)，它們有且只有一條通過(guò)公共點(diǎn)的公共直線，

E,F,G,H四點(diǎn)必定共線.

點(diǎn)評(píng)：在立體幾何的問(wèn)題中，證明若干點(diǎn)共線時(shí)，先證明這些點(diǎn)都是某兩平面的公共點(diǎn)，

而后得出這些點(diǎn)都在二平面的交線上的結(jié)論.

［例5］如圖，已知平面a,B,且aCB=’.設(shè)梯形ABCD中，AD/7BC,且ABUa,

CDUp,求證：AB,CD,/共點(diǎn)（相交于一點(diǎn)）.

分析：AB,CD是梯形ABCD的兩條腰，必定相交于一點(diǎn)M,只要證明M在/上，

而I是兩個(gè)平面a,B的交線，因此，只要證明Mea,且MG6即可.

證明：,/梯形ABCD中，AD/7BC,

；.AB,CD是梯形ABCD的兩條腰.

AB,CD必定相交于一點(diǎn)，

設(shè)ABnCD=M.

又：ABCa,CDUB,MGa,且MeB.

Means.

又：aCB=/,AMeI,

即AB,CD,/共點(diǎn).

點(diǎn)評(píng)：證明多條直線共點(diǎn)時(shí)，與證明多點(diǎn)共線是一樣的.

［例6］已知：a,b,c,d是不共點(diǎn)且兩兩相交的四條直線，求證：a,b,c,d共

面.

分析：弄清楚四條直線不共點(diǎn)且兩兩相交的含義：四條直線不共點(diǎn)，包括有三條

直線共點(diǎn)的情況；兩兩相交是指任何兩條直線都相交.在此基礎(chǔ)上，根據(jù)平面的性

質(zhì)，確定一個(gè)平面，再證明所有的直線都在這個(gè)平面內(nèi).

證明1°若當(dāng)四條直線中有三條相交于一點(diǎn)，不妨設(shè)a,b,c相交于一點(diǎn)A直線d

和A確定一個(gè)平面a.

又設(shè)直線d與a,b,c分別相交于E,F,G,

則A,E,F,GGa.

A,Eda,A,Eea,

aUa.

同理可證bUa,cUa.

a,b,c,d在同一平面a內(nèi).

2°當(dāng)四條直線中任何三條都不共點(diǎn)時(shí)，如圖.

V這四條直線兩兩相交，

則設(shè)相交直線a,b確定一個(gè)平面a.

設(shè)直線c與a,b分別交于點(diǎn)H,K,

則H,Kea.

又：H,KGc,cUa.

同理可證dUa.

a,b,c,d四條直線在同一平面a內(nèi).

點(diǎn)評(píng)：證明若干條線（或若干個(gè)點(diǎn)）共面的一般步驟是：首先由題給條件中的部分線（或點(diǎn)）確

定一個(gè)平面，然后再證明其余的線（或點(diǎn)）均在這個(gè)平面內(nèi).本題最容易忽視“三線共點(diǎn)”這一

種情況.因此，在分析題意時(shí)，應(yīng)仔細(xì)推敲問(wèn)題中每一句話的含義.

［例7］在立方體ABCD-AiBiCiDi中，

（1）找出平面AC的斜線BDi在平面AC內(nèi)的射影；

（2）直線BDi和直線AC的位置關(guān)系如何？

（3）直線BDi和直線AC所成的角是多少度？

解：（1）連結(jié)BD,交AC于點(diǎn)0?.?OR，平面4。,二5。就是斜線5￡）1在平面4。上的射影.

（2）BDi和AC是異面直線.

（3）過(guò)O作BDi的平行線交DDi于點(diǎn)M,連結(jié)MA、MC,則/MOA或其補(bǔ)角即為異面直線

AC和BDi所成的角.

不難得到MA=MC,而O為AC的中點(diǎn)，因此MOJ_AC,即/MOA=90。，

.?.異面直線BDi與AC所成的角為90°.

［例8］已知：在直角三角形ABC中，NA為直角，PA，平面ABC,BD±PC,垂足為D,求證：

AD±PC

證明：PA_L平面ABC,PA±BA

又：BA±ACBA_L平面以C

4?是如在平面用C內(nèi)的射影

又：BDLPC：.ADVPC.（三垂線定理的逆定理）

四、典型習(xí)題導(dǎo)練

1.如圖，P是AABC所在平面外一點(diǎn)，連結(jié)PA、PB、PC后，在包括AB、BC、CA的六條棱所

在的直線中，異面直線的對(duì)數(shù)為（）

A.2對(duì)B.3對(duì)C.4對(duì)D.6對(duì)

2.兩個(gè)正方形ABCD、ABEF所在的平面互相垂直，則異面直線AC和BF所成角的大小為.

3.在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD—ABCD中，體對(duì)角線DB】與面對(duì)角線BQ所成的角是,

它們的距離是.

1

AADAM，，、=V5，

4.長(zhǎng)方體ABCD—A瓦G2中，BC-......2CD----2--DD1

則AC和用R所成角的大小為.

5.關(guān)于直角A0B在定平面a內(nèi)的射影有如下判斷：①可能是0。的角；②可能是銳角；③可

能是直角；④可能是鈍角；⑤可能是180。的角.其中正確判斷的序號(hào)是.（注：把你

認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）.

6.在空間四邊形力及力中，ABLCD,加5平面及2

求證：BHLCD

7.如圖正四面體中，D、E是棱PC上不重合的兩點(diǎn)；F、H分別是棱PA、PB上的點(diǎn)，且與P

點(diǎn)不重合.

求證：EF和DH是異面直線.

§6.2直線與平面之間的位置關(guān)系

一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)

1.掌握空間直線與平面的三種位置關(guān)系（直線在平面內(nèi)、相交、平行）.

2.直線和平面所成的角，當(dāng)直線與平面平行或在平面內(nèi)時(shí)所成的角是0°,當(dāng)直線與平面垂

直時(shí)所成的角是90。，當(dāng)直線與平面斜交時(shí)所成的角是直線與它在平面內(nèi)的射影所成的

銳角.

3.掌握直線與平面平行判定定理（如果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么

這條直線和平面平行）和性質(zhì)定理（如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平

面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行）.

4.直線與平面垂直的定義是：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)所有直線垂直，那么這條直線和

這個(gè)平面垂直；掌握直線與平面垂直的判定定理（如果一條直線和平面內(nèi)的兩條相交直

線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面）和性質(zhì)定理（如果兩條直線同垂直于一個(gè)平

面，那么這兩條直線平行）.

5.直線與平面的距離（一條直線和一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距

離，叫做這條直線和這個(gè)平面的距離）.

6.三垂線定理（在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂

直，那么它也和這條斜線垂直）、逆定理（在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一

條斜線垂直，那么它也和這條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直）.

7.從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中：①射影相等的兩條斜線段相等，射

影較長(zhǎng)的斜線段也較長(zhǎng)；②相等的斜線段的射影相等，較長(zhǎng)的斜線段的射影也較長(zhǎng)；③

垂線段比任何一條斜線段都短.

二、疑難知識(shí)導(dǎo)析

1.斜線與平面所成的角關(guān)鍵在于找射影，斜線與平面所成的角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)的

直線所成的一切角中最小的角.

2.在證明平行時(shí)注意線線平行、線面平行及面面平行判定定理和性質(zhì)定理的反復(fù)運(yùn)用.

3.在證明垂直時(shí)注意線線垂直、線面垂直及面面垂直判定定理和性質(zhì)定理的反復(fù)運(yùn)用，同時(shí)

還要注意三垂線定理及其逆定理的運(yùn)用.要注意線面垂直的判定定理中的“兩條相交直線”，

如果用“無(wú)數(shù)”或“兩條”都是錯(cuò)誤的.

4.直線與平面的距離一般是利用直線上某一點(diǎn)到平面的距離.“如果在平面的同一側(cè)有兩點(diǎn)

到平面的距離（大于0）相等，則經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的直線與這個(gè)平面平行.”要注意“同一側(cè)”、

“距離相等”.

［例1］已知平面e〃平面夕，直線/u平面a,點(diǎn)Pe直線/，平面a、夕間的距離為8,則

在￡內(nèi)到點(diǎn)P的距離為10,且到/的距離為9的點(diǎn)的軌跡是（）

A.一個(gè)圓B.四個(gè)點(diǎn)C.兩條直線D.兩個(gè)點(diǎn)

錯(cuò)解：A.

錯(cuò)因：學(xué)生對(duì)點(diǎn)線距離、線線距離、面面距離的關(guān)系掌握不牢.

正解：B.

［例2］a和b為異面直線，則過(guò)a與b垂直的平面（）.

A.有且只有一個(gè)B.一個(gè)面或無(wú)數(shù)個(gè)

C.可能不存在D.可能有無(wú)數(shù)個(gè)

錯(cuò)解：A.

錯(cuò)因：過(guò)a與b垂直的平面條件不清.

正解：C.

［例3］由平面e外一點(diǎn)P引平面的三條相等的斜線段，斜足分別為A,B,C,0為/ABC的外

心，求證：OPLa.

錯(cuò)解：因?yàn)?。?ABC的外心，所以O(shè)A=OB=OC,又因?yàn)镻A=PB=PC,P0公用，所以/POA,

ZIPOB,/POC都全等，所以NP0A=NP0B=NP0C=2,所以O(shè)P_La.

2

錯(cuò)因：上述解法中NPOA=NPOB=NPOC=RTN,是對(duì)的，但它們?yōu)槭裁词侵苯悄?？這里

缺少必要的證明.

正解：取BC的中點(diǎn)D,連PD、0D,

PB=PC,OB=0C,BC1PD,BC±OD,BC1面/.BC±P0,

同理ABLPO,;.POla.

［例4］如圖,在正三棱柱ABC-AiBC中，AB=3,AAi=4,M為AAi的中點(diǎn)，P是BC上一點(diǎn),且由

P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱CQ到M點(diǎn)的最短路線長(zhǎng)為亞，設(shè)這條最短路線與C￡的交點(diǎn)為N,

求：（1）該三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖的對(duì)角線長(zhǎng)；

（2）PC和NC的長(zhǎng)；

（3）平面NMP和平面ABC所成二面角（銳角）的大小（用反三角函數(shù)表示）

錯(cuò)因：（1）不知道利用側(cè)面BCGBi展開(kāi)圖求解，不會(huì)找回的線段在哪里；（2）不會(huì)找二面

角的平面角.

正解：（1）正三棱柱ABC-ABQ的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)長(zhǎng)為9,寬為4的矩形，其對(duì)角線長(zhǎng)為

A/92+42=V97

（2）如圖，將側(cè)面BQ旋轉(zhuǎn)120°使其與側(cè)面AG在同一平面上，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)R的位置，連

接MPi,則MP1就是由點(diǎn)P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)CQ到點(diǎn)M的最短路線.

設(shè)PC=%,則P￡=%,

在放AMA4中，（3+%）2+22=29,%=2

MAPXA55

⑶連接PPi（如圖），則PPi就是平面NMP與平面ABC的交線，作NHLP々于H,又CC」平

面ABC,連結(jié)CH,由三垂線定理的逆定理得，CH±PP}.

：.就是平面VMP與平面A3的成二面角的平面角.

在RtAPHC中NPCH=|NPCR=60°,CH=1

在RdNCH中,tanZNHC=-=-

CH5

［例5］P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，Q是PA的中點(diǎn)，求證：PC//平面BDQ.

分析：要證明平面外的一條直線和該平面平行，只要在該平面內(nèi)找到一條直線和已知直

線平行就可以了.

證明：如圖所示，連結(jié)AC,交BD于點(diǎn)0,

?.?四邊形ABCD是平行四邊形.

.?.A0=C0,連結(jié)0Q,則0Q在平面BDQ內(nèi)，且0Q是AA尸C的中位線，.?.PCaOQ.

VPC在平面BDQ外，；.PC〃平面BDQ.

點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用線面平行的判定定理證明線面平行時(shí)，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找一條直線與已知直線

平行.

［例6］在正方體ABED—ABCD中，E、F分別是棱AB、BC的中點(diǎn)，0是底面ABCD的中點(diǎn).求

證：EF垂直平面BBQ.

證明：如圖，連接AC、BD,則0為AC和BD的交點(diǎn).

VE>F分別是AB、BC的中點(diǎn),

AEF是4ABC的中位線，；.EF〃AC.

：BiB_L平面ABCD,ACu平面ABCD

.\AC±BiB,由正方形ABCD知：AC±BO,

又B0與BBi是平面BBiO上的兩條相交直線，

；.AC_L平面BBQ（線面垂直判定定理）

VAC/7EF,

,EF_L平面BBQ.

［例7］如圖，在正方體ABCD-ABCD中，E是BBi的中點(diǎn)，0是底面正方形ABCD的中心,

求證：0E1平面ACDi.

分析：本題考查的是線面垂直的判定方法.根據(jù)線面垂直的判定方法，要證明0E，平面

ACDi,只要在平面ACDi內(nèi)找兩條相交直線與0E垂直.

證明：連結(jié)BiD、A,D、BD,在ABiBD中，

VE.0分別是BiB和DB的中點(diǎn),

.,.E0/7B1D.

VBiAil面AADD,

ADAi為DBi在面AADD內(nèi)的射影.

XVADilAiD,

AADilDBi.

同理可證BiDJ_D￡.

又：ADiPICD1=ADi,DiCu面ACDi,

Z.BiDl平面ACDi.

VBiDZ/QE,

/.0E1平面ACDi.

點(diǎn)評(píng):要證線面垂直可找線線垂直，這是立體幾何證明線面垂直時(shí)常用的轉(zhuǎn)化方法.在

證明線線垂直時(shí)既要注意三垂線定理及其逆定理的應(yīng)用，也要注意有時(shí)是從數(shù)量關(guān)系方面找

垂直，即勾股定理或余弦定理的應(yīng)用.

［例8］.如圖，正方體ABCD-ABCD中，點(diǎn)N在BD上，點(diǎn)M在BC上，且CM=DN,求證:MN〃平

面AAiBiB.

證明：

證法一.如圖，作ME/7BC,交BBi于E,作NF/7AD,交法于F,連EF則EFu平面AAiBiB.

ME_BiMNF=BN

~BC-BQ，~AD—~BD，

ME_BN_NFm

BC-BD-AD，-,?ME=NF

又ME〃BC〃AD〃NF,MEFN為平行四邊形，

...MN〃EF.MN〃平面AAiBiB.

證法二.如圖,連接并延長(zhǎng)CN交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,連BiP,則BiPu平面AAiBiB.

.DN_CN

■■■ANDC^ANBP,??A?-'NP-

.CM_DN__CN.

又CM=DN,BiC=BD,??MB^~NB~NP'

：.MN//B.P.

BFu平面AAiBJB,MN〃平面AA1B1B.

證法三.如法作MP〃BB?交BC于點(diǎn)P,連NP.

MP〃BBi,.CM_CP_

,,MB,-PB'

■：BD=B￡,DN=CM,BXM=BN.

..CM__DN-CP__DN

?MR-NB，,?PB-NB.

；.NP〃CD〃AB..?.面MNP〃面AA1B1B.

MN〃平面AABB.

四、典型習(xí)題導(dǎo)練

1.設(shè)a,b是空間兩條垂直的直線，且b〃平面a.則在“a〃平面a"、"aua”、

“a與a相交”這三種情況中，能夠出現(xiàn)的情況有（）.

A.0個(gè)B.1C.2個(gè)D.3個(gè)

2.一個(gè)面截空間四邊形的四邊得到四個(gè)交點(diǎn)，如果該空間四邊形僅有一條對(duì)角線與這個(gè)截

面平行，那么此四個(gè)交點(diǎn)圍成的四邊形是（）.

A.梯形B.任意四邊形C.平行四邊形D.菱形

3.若一直線和一個(gè)平面平行，夾在直線和平面間的兩條線段相等，那么這兩條線段的位置

關(guān)系是（）.

A.平行B.相交C.異面D.平行、相交或異面

4.空間四邊形的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)分別是E、F、G、H,若兩條對(duì)角線BD、

AC的長(zhǎng)分別為2和4,貝I]EG2+HF2的值（）.

A.5B.10C.20D.40

5.點(diǎn)P、Q、R、S分別是空間四邊形ABCD四邊的中點(diǎn)，貝U：當(dāng)ACLBD時(shí)，四邊形

PQRS是形；當(dāng)AC=BD時(shí)，四邊形PQRS是形.

6.己知兩個(gè)全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面內(nèi)，M、N分別在它們的對(duì)角線AC,

BF上，且CM=BN,

求證：MN/7平面BCE.

7.如圖，已知平行六面體ABCD-A^iCiDi的底面ABCD是菱形,且

ZQCB=/C[CD=NBCD=60°.

(1)證明

CD

(2)當(dāng)CG的值為多少時(shí)，能使AEL平面GBD?請(qǐng)給出證明.

§6.3平面與平面之間的位置關(guān)系

一、基礎(chǔ)知識(shí)導(dǎo)學(xué)

1.空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系（有交點(diǎn)的是相交；沒(méi)交點(diǎn)的是平行）.

2.理解并掌握空間兩個(gè)平面平行的定義；掌握空間兩個(gè)平面平行判定定理（如果一個(gè)平面

內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行）和性質(zhì)定理（如果兩個(gè)平行

平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行）.

3.理解并掌握空間兩個(gè)平面垂直的定義（一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角

是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面垂直）；判定定理（如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線,

那么這兩個(gè)平面垂直）和性質(zhì)定理（如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線

的直線垂直于另一個(gè)平面）.

4.二面角的有關(guān)概念（從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角）與運(yùn)算；二

面角的平面角（以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，

這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角），二面角的平面角的常見(jiàn)作法（定義法、三垂線

定理及逆定理法、垂面法等）.

二、疑難知識(shí)導(dǎo)析

1.兩個(gè)平面的位置關(guān)系關(guān)系的判定關(guān)鍵看有沒(méi)有公共點(diǎn).

2.面面平行也是推導(dǎo)線面平行的重要手段；還要注意平行與垂直的相互聯(lián)系，如：如果兩

個(gè)平面都垂直于同一條直線，則這兩個(gè)平面平行；如果兩條直線都垂直于一個(gè)平面，則這兩

條直線平行等.在證明平行時(shí)注意線線平行、線面平行及面面平行的判定定理和性質(zhì)定理的反

復(fù)運(yùn)用.

3.對(duì)于命題“三個(gè)平面兩兩相交，有三條交線，則這三條交線互相平行或者相交于同一點(diǎn).”

要會(huì)證明.

4.在證明垂直時(shí)注意線線垂直、線面垂直及面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的反復(fù)運(yùn)用.

5.注意二面角的范圍是［0/］,找二面角的平面角時(shí)要注意與棱的垂直直線，這往往是二

面角的平面角的關(guān)鍵所在.求二面角的大小還有公式COS6>=1，用的時(shí)候要進(jìn)行交代.在二

面角棱沒(méi)有給出的情況下求二面角大小方法一：補(bǔ)充棱；方法二：利用“如果

0c尸=/,且。，/,01/,貝U/""；方法三：公式cos6?=等等，求二面角中解三角形

時(shí)注意垂直（直角）、數(shù)據(jù)在不同的面上轉(zhuǎn)換.

三、經(jīng)典例題導(dǎo)講

［例1］一直線與直二面角的兩個(gè)面所成的角分別為a,B,則a+B滿足（）.

A.a+B<90°B.a+BW90°C.a+0>90°D.a+B290°

錯(cuò)解:A.

錯(cuò)因：忽視直線與二面角棱垂直的情況.

正解：B.

［例2］.如圖，AABC是簡(jiǎn)易遮陽(yáng)棚，A,B是南北方向上兩個(gè)定點(diǎn)，正東方向射出的太陽(yáng)光線

與地面成40°角，為了使遮陰影面ABD面積最大，遮陽(yáng)棚ABC與地面所成的角應(yīng)為（）.

A.90°B.60°C.50°D.45°

錯(cuò)解:A.

正解：C

［例3］已知正三棱柱ABC-AB3底面邊長(zhǎng)是10,高是12,過(guò)底面一邊AB,作與底面ABC成60°

角的截面面積是.

錯(cuò)解：50抬.用面積射影公式求解：5底=手乂100=25而5截=；^7=507后.

錯(cuò)因：沒(méi)有弄清截面的形狀不是三角形而是等腰梯形.

正解：4873.

［例4］點(diǎn)。是邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD的中心，點(diǎn)E,尸分別是A。，的中點(diǎn).沿對(duì)

角線AC把正方形ABCD折成直二面角D-AC-B.

(1)求NEOb的大??；

(2)求二面角石一OP—A的大小.

錯(cuò)解:不能認(rèn)識(shí)折疊后變量與不變量.不會(huì)找二面角的平面角.

正解：(1)如圖，過(guò)點(diǎn)E作EGXAC,垂足為G,過(guò)點(diǎn)F作FHXAC,垂足為H,則

EG=FH=42,GH=20.

因?yàn)槎娼恰ㄒ?C—6為直二面角，

.EF2=GH2+EG2+FH2-2EGFHCOS90

=(2揚(yáng)2+(62+(后—0=12.

又在AEO尸中,OE=OF=2,

OE-+OF2-EF2_2?+2?—(2石1_1

..COS———■.

2OEOF2x2x22

:.ZEOF=120.

(2)過(guò)點(diǎn)G作GM垂直于尸。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,連EM.

?二面角D—AC—B為直二面角，；.平面DAC_L平面BAC,交線為AC,又；EG_LAC,Z.EG±

平面BAC.VGMX0F,由三垂線定理，得EM_LOF.

NEMG就是二面角七一O/一A的平面角.

在RtAEGM中，ZEGM=90,EG=丘,GM=-OE=l,

2

tanZEMG=----=0./EMG=arctan近.

GM

所以，二面角石一OP—A的大小為arctan0

［例5］如圖，平面a〃平面8〃平面丫，且B在a、y之間，若a和。的距離是5,

B和Y的距離是3,直線/和a、8、丫分別交于A、B、C,AC=12,則AB=,BC

解：作〃±a,

?/a〃B〃丫，；.「與B、Y也垂直，

I1與a、B、Y分別交于Ai、Bi、Ci.

因此，AiBi是a與B平面間的距離，BiCi是B與丫平

面間的距離，Afi是a與丫之間的距離.

AiBi=5,BiCi=3,AiCi=8,又知AC=12

AB

AB_4用5x12_15AB.—\\守3_9

AC—AQ?.?.AB=,BCBC,BC=丁一，.

159

答：AB=2，BC=5.

［例6］如圖，線段PQ分別交兩個(gè)平行平面a、B于A、B兩點(diǎn)，線段PD分別交a、

B于C、D兩點(diǎn)，線段QF分別交a、B于F、E兩點(diǎn)，若PA=9,AB=12,BQ=12,

△ACF的面積為72,求ABDE的面積.

解：：平面QAFCla=AF,平面QAFAB=BE

又「a"'，AF〃BE

同理可證：AC〃:BD"./FAC與/EBD相等成互補(bǔ)

由FA〃BE,得：BE：AF=QB：QA=12：24=1：2,.,.BE=yAF

由BD〃AC,得：AC：BD=PA：PB=9：21=3：7,.\BD=JAC

又「△ACF的面積為72,即/AF?AC?sinNE4C=72

S^DBE=^BEBDsinEBD=^-^-AFjAC-sinZFAC

=62-AC-sinZFAC=^6x72=84，

答：ABDE的面積為84平方單位.

［例7］如圖，B為AACD所在平面外一點(diǎn)，M、N、G分別為AABC、AABD、ABCD

的重心.

(1)求證：平面MNG〃平面ACD

(2)求SAMNG：SAADC

解：(1)連結(jié)BM、BN、BG并延長(zhǎng)交AC、AD、CD分別于P、F、H

M、N、G分別為△ABC、AABD>ZkBCD的重心，

BM_BN___BG^_7

則有:~MP一~NF一'GH一4

連結(jié)PF、FH、PH有MN〃PF

又PFu平面ACD

MN〃平面ACD

同理：MG〃平面ACD,MGCMN=M

平面MNG〃平面ACD.

MG_BG__2

（2）由（1）可知：PH~BH~~3

：.MG=fPH,又PH=yAD

,*.MG=fAD

同理：NG=yAC,MN=yCD,

AMNG^AACD,其相似比為1：3

.".SAMNG：SAA￡>C=1：9

［例8］如圖，平面EFGH分別平行于CD、AB,E、F、G、H分別在BD、BC、AC、AD±,且CD

—a,AB=b,CDXAB.

(1)求證：EFGH是矩形.

(2)求當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時(shí)，EFGH的面積最大.

(1)證明：：CD〃面EFGH,而面EFGHCI面BCD=EF.；.CD〃EF

同理HG〃CD.；.EF〃HG

同理HE〃GF....四邊形EFGH為平行四邊形

由CD/7EF,HE/7AB

ZHEF為CD和AB所成的角或其補(bǔ)角，

又：CD_LAB.；.HE_LEF..?.四邊形EFGH為矩形.

(2)解：由(1)可知在4BCD中EF〃CD,其中DE=m,EB=n

.EFBEn

----=-----,EF=-------a

CDDBm+n

由HE/7AB

HEDE…m,

—=—,HE=------b

ABDBm+n

又???四邊形EFGH為矩形

mnnrn

.*.S矩形EFGH=HE?EF=-----?b------a=-------j-ab

m+nm-\-n(m+n)

Vm+n^2VOTT,(m+n)?24nm

rnviI

?,?產(chǎn)士,當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)取等號(hào)，即E為BD的中點(diǎn)時(shí)，

(m+n)4

mn1

S矩形EFGH=------------yabW-ab,

Qn+n)4

矩形EFGH的面積最大為^ab.

4

點(diǎn)評(píng)：求最值時(shí)經(jīng)常轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值、不等式求最值、導(dǎo)數(shù)求最值、線性規(guī)劃求最值等.

四、典型習(xí)題導(dǎo)練

1.山坡面a與水平面成30°的角，坡面上有一條公路AB與坡角線BC成45°的角，沿公路

向上去1公里時(shí)，路基升高米.

2.過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A作線段PAL平面ABCD,且PA=AB,則平面ABP與平面CDP所成

二面角(小于或等于90°)的度數(shù)是.

3.在60°二面角的棱上，有兩個(gè)點(diǎn)A、B,AC、BD分別是在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)垂直于

AB的線段.已知：AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm,求CD長(zhǎng).

4.如圖，過(guò)S引三條長(zhǎng)度相等但不共面的線段SA、SB、SC,

且/ASB=/ASC=60°,ZBSC=90°.

求證：平面ABC_L平面BSC.

5.已知：如圖，SA_L平面ABC,AB±BC,DE垂直平分SC,且分別交AC、SC于D、E,又SA=AB,

SB=BC,求二面角E—BD—C的度數(shù).

§6.4空間角和距離

一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)

1.掌握兩條異面直線所成的角、直線與平面所成的角及二面角，掌握上述三類空間角的作

法及運(yùn)算.

2.掌握給出公垂線的兩條異面直線的距離、點(diǎn)到直線（或平面）的距離、直線與平面的距

離及兩平行平面間距離的求法.

二、疑難知識(shí)導(dǎo)析

1.求空間角的大小時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為平面上的角來(lái)求，具體地將其轉(zhuǎn)化為某三角形的一

個(gè)內(nèi)角.

2.求二面角大小時(shí)，關(guān)鍵是找二面角的平面角，可充分利用定義法或垂面法等.

3.空間距離的計(jì)算一般將其轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離.求點(diǎn)到平面距離時(shí)，可先找出點(diǎn)在平面內(nèi)

的射影（可用兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)），也可用等體積轉(zhuǎn)換法求之.另外要注意垂直的作用.球

心到截面圓心的距離由勾股定理得d=JR）-尸

4.球面上兩點(diǎn)間的距離是指經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的球的大圓的劣弧的長(zhǎng)，關(guān)鍵在于畫(huà)出經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的

大圓以及小圓.

5.要注意距離和角在空間求值中的相互作用，以及在求面積和體積中的作用.

三、經(jīng)典例題導(dǎo)講

［例1］平面a外有兩點(diǎn)A,B,它們與平面a的距離分別為a,b,線段AB上有一點(diǎn)P,且

AP:PB=m:n,則點(diǎn)P到平面a的距離為.

na+mb

錯(cuò)解:

m+n

錯(cuò)因:只考慮AB在平面同側(cè)的情形，忽略AB在平面兩測(cè)的情況.

na+mb-?mb-na,

正解:------或I-------1.

m+nm+n

［例2］與空間四邊形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)距離相等的平面共有個(gè).

錯(cuò)解：4個(gè).

錯(cuò)因：只分1個(gè)點(diǎn)與3個(gè)點(diǎn)在平面兩側(cè).沒(méi)有考慮2個(gè)點(diǎn)與2個(gè)點(diǎn)在平面兩側(cè).

正解：7個(gè).

［例3］一個(gè)盛滿水的三棱錐形容器，不久發(fā)現(xiàn)三條側(cè)棱上各有一個(gè)小洞D、E、F,且知SD：

DA=SE：EB=CF：FS=2：1,若仍用這個(gè)容器盛水，則最多可盛原來(lái)水的（）

錯(cuò)解：A、B、C.由過(guò)D或E作面ABC的平行面，所截體計(jì)算而得.

正解：D.

當(dāng)平面EFD處于水平位置時(shí)，容器盛水最多

I1/,—cSIXoL/IL%1—,SD-SE?sin/DSE?h,L

.yF—SDE__3

VcSAB1l

-SMAR-h,-SA-SBsinZASB-h2

32.3L

SDSE區(qū)二21_4_

最多可盛原來(lái)水得1

2727

［例4］斜三棱柱ABC-ABQ的底面是邊長(zhǎng)為a的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)等于b,一條側(cè)棱AAi

與底面相鄰兩邊AB、AC都成45°角，求這個(gè)三棱柱的側(cè)面積.

錯(cuò)解：一是不給出任何證明，直接計(jì)算得結(jié)果；二是作直截面的方法不當(dāng)，即“過(guò)BC作平

面與AAi垂直于M"；三是由條件“NAiAB=NAiAC=/AAi在底面ABC上的射影是NBAC的平分

線”不給出論證.

正解：過(guò)點(diǎn)B作BM±AAi于M,連結(jié)CM,在AABM和△ACM中，：AB=AC,ZMAB=

ZMAC=45°,MA為公共邊，.?.△ABM0Z\ACM,.?./AMC=NAMB=90°,BHC,

即平面BMC為直截面，又BM=CM=ABsin45°=更a,；.BMC周長(zhǎng)為2x變a+a=(l+啦)a,

22

且棱長(zhǎng)為b,；.S他=(1+V^)ab

［例5］已知CA_L平面a,垂足為A；ABCa,BD±AB,且BD與a成30°角；AC=BD=b,

AB=a.求C,D兩點(diǎn)間的距離.

解：本題應(yīng)分兩種情況討論：

(1)如下左圖.C,D在a同側(cè)：過(guò)D作DF_La,垂足為F.連BF,貝！|班'=30°,于是

DF=^BD=^

根據(jù)三垂線定理BD±AB得BFXAB.

在RtAABF中，AF=VAB2+BF2=小a+汐

bbb

過(guò)D作DE_LAC于E,則DE=AF,AE=DF二5.所以EC=AC-AE二-5二e.故

CD=^EC2+DE=^EC2+AF2=,?)2+“2+汐=S

(2)如上右圖.C,D在a兩側(cè)時(shí)：同法可求得CD=J02+362

點(diǎn)評(píng)：本題是通過(guò)把已知量與未知量歸結(jié)到一個(gè)直角三角形中，應(yīng)用勾股定理來(lái)求

解.

［例6］(06年湖北卷)如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體A3CD-4月孰2中，P是側(cè)棱CG

上的一點(diǎn)，CP=m.

(1)試確定加，使得直線AP與平面3DD131所成角的正切值為3后；

(2)在線段AG上是否存在一個(gè)定點(diǎn)。，使得對(duì)任意的加，3Q在平面APDi上的

射影垂直于AP.

并證明你的結(jié)論.

解：解法一(1)連AC,設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O,AP與平面BDD.B,相交于點(diǎn)，，連結(jié)

OG,因?yàn)?/p>

PC〃平面BDD]B[,平面BDD[B[n平面APC=OG,

|m

故OG〃PC,所以，OG=-PC=—.

22

又AOJ_BD,AO_LBB1,所以AO_L平面5。。耳，

故NAGO是AP與平面BDD出1所成的角.

V2

04。I—1

在RtZ\AOG中，tanZAGO=——=—=3V2,即m=—.

GOm3

7

所以，當(dāng)m='時(shí)，直線AP與平面與所成的角的正切值為30.

3

(2)可以推測(cè)，點(diǎn)Q應(yīng)當(dāng)是AICI的中點(diǎn)Oi，因?yàn)?/p>

DiOi±AiCi,且DiOi±AiA,所以DQi-L平面ACCiAi，

又APu平面ACCiAi，故DQi_LAP.

那么根據(jù)三垂線定理知，DQi在平面APDi的射影與AP垂直。

解法二：(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(l,0,0),B(l,1,0),P(0,b

m),C(0,1,0),D(0,0,0),Bi(l,1,1),Di(0,0,1)

所以=(—1,—1,0),BB\=(0,0,1),AP=(-1,1,m),AC=(-1,1,0).

又由AaB￡>=o,知，AC為平面34。。的一個(gè)法向量。

設(shè)AP與平面BBRD所成的角為8,則

式|AP-Acl223V2

sin3=cos(--8)=~L=-----。依題意有7/7廣，

APAC

2\l\\V2-V2W0々2+療Jl+(3衣2

解得m=g。故當(dāng)機(jī)=；時(shí)，直線AP與平面所成的角的正切值為3立。

(2)若在AiCi上存在這樣的點(diǎn)Q,設(shè)此點(diǎn)的橫坐標(biāo)為X,則Q(x,1—x,1),

RQ=(無(wú),1—X,O)。依題意，對(duì)任意的m要使DiQ在平面APDi上的射影垂直于AP,

等價(jià)于DiQJ_APoAP.D［Q=0<=>—x+(1—x)=0ox=；.即Q為AiCi的中點(diǎn)

時(shí)，滿足題設(shè)要求。

［例7］在梯形ABCD中，ZADC=90°,AB/7DC,AB=1,DC=2,AD=6，P為平面ABCD

外一點(diǎn)，PAD是正三角形，且PALAB,

求：(1)平面PBC和平面PAD所成二面角的大?。?/p>

(2)D點(diǎn)到平面PBC的距離.

解：(1)設(shè)ADClBC=E,可知PE是平面PBC和平面PAD的交線，依題設(shè)條件得PA=AD=AE,

則/EPD=90°,PD±PE

又PAJ_AB,DA±AB,故AB_L平面PAD.

DC/ZAB,DCJ_平面PAD.

由PE_LPC得PE_LPD,NDPC是平面PBC與平面PAD所成二面角的平面角.PD=V2,DC=2,

tanZDPC=2^=41,/DPC=arctanV2.

PD

(2)由于PE_LPD,PE±PC,故PE_L平面PDC,

因此平面PDC_L平面PBC,

作DHLPC,H是垂足，則DH是D到平面PBC的距離.

pr\nc

在Rt^PDC中，PD=V2,DC=2,PC=后，DH=——

PC3

平面PBC與平面PAD成二面角的大小為arctanV2，D到平面PBC的距離為——.

3

［例8］半徑為1的球面上有A、B、C三點(diǎn)，A與B和A與C的

兀71

球面距離都是耳，B與C的球面距離是y,求過(guò)A、B、C三點(diǎn)的截面到球心0距離.

分析：轉(zhuǎn)化為以球心。為頂點(diǎn)，AABC為底面的三棱錐問(wèn)題解決.

由題設(shè)知AOBC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，AAOB和AAOC是腰長(zhǎng)為1的全等的等腰三角形.

取BC中點(diǎn)D,連AD、0D,易得9_1面八0口，進(jìn)而得面AOD_L面ABC,過(guò)。作OH_LAD于H,則

011_1面人8虞0H的長(zhǎng)即為

所求，在RtAAD5中,AD=*，故在低440￡）,0口=氣盥=當(dāng)

ZrxLJ/

點(diǎn)評(píng)：本題若注意到H是aABC的外心，可通過(guò)解△ABC和△AHO得0H.或利用體積法.

四、典型習(xí)題導(dǎo)練

1.在平面角為60°的二面角，內(nèi)有一點(diǎn)P,P到a、B的距離分別為PC=2cm,

PD=3cm,貝ljP至I］棱I的是巨離為.

2.異面直線a,b所成的角為60。，過(guò)空間一定點(diǎn)P,作直線/,使/與a,b所成的角均

為60。，這樣的直線/有條.

3.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-ABCD中，E,F分別是AB和AD的中點(diǎn),則點(diǎn)&到平面EFBiDi

的距離為_(kāi)_____________

4.二面角1一/一夕內(nèi)一點(diǎn)P,分別作兩個(gè)面的垂線PA、PB,A、B為垂足.已知PA=3,PB=2,

ZAPB=60°求。一/一夕的大小及戶到/的距離.

5.ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，CG_L面ABCD,CG=2.E、F分別是AD、AB的中點(diǎn).求點(diǎn)B

到面EFG的距離.

6.如圖：二面角a-/-B為銳角，P為二面角內(nèi)一點(diǎn)，P到a的距離為2挺,到面6的距

離為4,到棱/的距離為4后，求二面角a-/-8的大小.

7.如圖，已知三棱柱461GY回的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱AA與AB、AC均成45°

角，且4反16歸于￡,4凡LCG于訝

（1）求點(diǎn)A到平面B\BCC\的距離；

（2）當(dāng)AAr多長(zhǎng)時(shí)，點(diǎn)4到平面46C與平面BxBCa的距離相等.

§6.5空間幾何體及投影

一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)

1.了解投影（投影