廣西南寧市第二十中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月質(zhì)量評(píng)估 數(shù)學(xué)試題（含解析）

南寧市第二十中學(xué)2025年春季學(xué)期3月高一數(shù)學(xué)質(zhì)量評(píng)估一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.若復(fù)數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出，進(jìn)而求出.【詳解】因?yàn)椋?，所以故選：B2.設(shè)點(diǎn)O是正三角形ABC的中心，則向量，，是（）A.相同的向量 B.模相等的向量C.共線(xiàn)向量 D.共起點(diǎn)的向量【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正三角形的中心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，得到這三個(gè)向量的模長(zhǎng)相等，即可判斷得解【詳解】是正的中心，向量分別是以三角形的中心和頂點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量，到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，但向量，，不是相同向量，也不是共線(xiàn)向量，也不是起點(diǎn)相同的向量.故選：B3.已知向量滿(mǎn)足，且，則的值為（）A.1 B.3 C.5 D.7【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件直接化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】因?yàn)橄蛄繚M(mǎn)足，且，所以.故選：C.4.在矩形中，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】選做基底，根據(jù)向量的加法和減法的平行四邊形法則和三角形法則運(yùn)算，即可求得答案.【詳解】在矩形中，為的中點(diǎn)，故選：D.5.已知平面向量滿(mǎn)足，且，則的夾角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)夾角為，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解．【詳解】因?yàn)?，所以，即，設(shè)夾角為，則，，又因?yàn)?，所以，故選：D．6.平面內(nèi)順次連接所組成的圖形是（）A.平行四邊形 B.直角梯形C.等腰梯形 D.以上都不對(duì)【答案】B【解析】【分析】先求出，然后通過(guò)判斷它們間的關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以，，所以，，∥，所以四邊形直角梯?故選：7.如圖，某市人民廣場(chǎng)正中央有一座鐵塔，為了測(cè)量塔高，小胡同學(xué)先在塔的正西方點(diǎn)C處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，然后從點(diǎn)C處沿南偏東方向前進(jìn)140米到達(dá)點(diǎn)D處，在D處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，則鐵塔的高度是（）A.70米 B.80米 C.90米 D.100米【答案】A【解析】【分析】先由題意得出，，再在中，由余弦定理即可求解.【詳解】由題，所以，故在中，由余弦定理得，所以即，（舍去）或，故鐵塔的高度是70米.故選：A.8.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則的最小值為（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，由復(fù)數(shù)的幾何意義可知點(diǎn)的軌跡為軸，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為軸上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最小值，從而即可求解.【詳解】解：設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿(mǎn)足，所以由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，點(diǎn)到點(diǎn)和的距離相等，所以在復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的軌跡為軸，又表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為軸上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最小值，所以的最小值為2，故選：B.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.（在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則（）A.與互為共軛復(fù)數(shù) B.C.為純虛數(shù) D.【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于A(yíng)，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義分析判斷，對(duì)于B，分別求出兩復(fù)數(shù)的模進(jìn)行判斷，對(duì)于C，直接計(jì)算進(jìn)行判斷，對(duì)于D，直接計(jì)算判斷.【詳解】對(duì)于A(yíng)，因?yàn)榈墓曹棌?fù)數(shù)為，所以與不互為共軛復(fù)數(shù)，所以不正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋瑸閷?shí)數(shù)，所以C不正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以D正確.故選：BD10.若，是平面內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，則下列說(shuō)法不正確的是（）A.可以表示平面內(nèi)的所有向量B.對(duì)于平面中的任一向量，使的實(shí)數(shù)，有無(wú)數(shù)多對(duì)C.，，，均為實(shí)數(shù)，且向量與共線(xiàn)，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使D.若存在實(shí)數(shù)，，使，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)平面向量基本定理結(jié)合線(xiàn)性運(yùn)算分析判斷.【詳解】由題意可知：，可以看成一組基底向量，根據(jù)平面向量基本定理可知：A，D正確，B不正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)任意實(shí)數(shù)均有，故C不正確；故選：BC．11.在中，，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.的面積為2C.的外接圓直徑是 D.的內(nèi)切圓半徑是【答案】ABD【解析】【分析】利用二倍角公式求出，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再由余弦定理求出，由正弦定理求出外接圓的直徑，利用面積公式及等面積法判斷B、D；【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，，故A、B正確；由余弦定理，即，所以，所以外接圓的直徑，故C錯(cuò)誤；設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，即，所以，故D正確；故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_________．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)純虛數(shù)的概念，列出關(guān)系式，求解即可得出答案.【詳解】由已知可得，，解得.故答案為：1.13.已知向量，則與向量平行的單位向量為_(kāi)_____（填入其中一個(gè)向量的坐標(biāo)）【答案】（或）【解析】【分析】根據(jù)平行向量和單位向量的定義求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以與向量平行的單位向量為或.故答案為：.（或）14.已知中，角的對(duì)邊分別為，且的面積為，則__________.【答案】##【解析】【分析】先利用三角形的面積列方程求出，再利用余弦定理求出，從而可求出的值.【詳解】，解得，，.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.（解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）15.（1）已知單位向量與的夾角為，且，求；（2）已知，求.【答案】（1）；（2）2【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得到，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律展開(kāi)，即可求解；（2）根據(jù)題意，對(duì)兩邊平方，并代入，即可求解.【詳解】（1）單位向量與的夾角為，則..（2）由，即.16.已知向量，且.（1）求的值；（2）求向量與的夾角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）運(yùn)用平面向量垂直的坐標(biāo)公式計(jì)算即可.（2）運(yùn)用平面向量夾角公式計(jì)算即可.小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，所以，解?故的值為3.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，所以，所以，所以故與的夾角的余弦值為.17.如圖，在△ABC中，，，，，．（1）設(shè)，求x，y的值，并求；（2）求的值．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）以為基底，由向量的線(xiàn)性運(yùn)算求出，再由向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求模即可；（2）根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算轉(zhuǎn)化為基底表示，再由數(shù)量積的運(yùn)算求解即可.【小問(wèn)1詳解】，，，，.【小問(wèn)2詳解】.18.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且．（1）求角的大小；（2）若的中線(xiàn)，求的最大值．【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）..（2）為中線(xiàn)結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由題可得，，結(jié)合正弦定理可得，因?yàn)?，所以，得，因?yàn)?，所以．【小?wèn)2詳解】易知，（技巧：向量的平行四邊形法則）兩邊同時(shí)平方得，得．法一：可化為，因?yàn)椋?，所以，得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．（點(diǎn)撥：運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，注意等號(hào)是否可以取到）所以的最大值是4．法二：，令則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．（點(diǎn)撥：三角函數(shù)的有界性）所以的最大值為4．19.在平面四邊形中（在的兩側(cè)），.（1）若，求；（2）若，求四邊形的面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中用余弦定理求出，再由角度之間