高中數(shù)學選修1-1測試題等復習資料（內含多套試題資料）

第一章章末總結

知識再現(xiàn)?]

.____________,l四種命題及其真假判斷

L命題及其關系科------'?

1------------1」四種命題間的關系及應用|

,__________________,「|充分條件、必要條件、充要條件的定叉]

一充分條件與必要不件H--.....-....--------------------1

1--------------------'1條件充要性的碉

I常用邏輯用語I-

E語時浮.或且‘非”的含義?,

1-------------------1I—|命題"p或g”"且g”"-p”的真假判斷及應再]

—I全稱量詞與存在量詞丁號”‘道殳其真假~號—量詞的命題的否圉

1-------------------1L-I特稱命題及其真假判斷|」1-----------------------1

重點解讀?]

知識點一四種命題間的關系

命題是能夠判斷真假、用文字或符號表述的語句.一個命題與它的逆命題、否命題之間

的關系是不確定的，與它的逆否命題的真假性相同，兩個命題是等價的；原命題的逆命題和

否命題也是互為逆否命題.

【例1】判斷下列命題的真假.

(1)若xGAUB,則xdg的逆命題與逆否命題；

(2)若0<x<5,則|無一2|<3的否命題與逆否命題；

(3)設“、〃為非零向量，如果則a協(xié)=0的逆命題和否命題.

知識點二充要條件及其應用

充分條件和必要條件的判定是高中數(shù)學的重點內容，綜合考察數(shù)學各部分知識，是高考

的熱點，判斷方法有以下幾種：

(1)定義法

(2)傳遞法：對于較復雜的關系，常用推出符號進行傳遞，根據(jù)這些符號所組成的圖示

就可以得出結論.互為逆否的兩個命題具有等價性，運用這一原理，可將不易直接判斷的命

題化為其逆否命題加以判斷.

(3)等價命題法：對于含有邏輯聯(lián)結詞“非”的充分條件、必要條件的判斷，往往利用

原命題與其逆否命題是等價命題的結論進行轉化.

(4)集合法：與邏輯有關的許多數(shù)學問題可以用范圍解兩個命題之間的關系，這時如果

能運用數(shù)形結合的思想(如數(shù)軸或Venn圖等)就能更加直觀、形象地判斷出它們之間的關系.

【例2】若p：-2<a<0,0<ixl；q：關于x的方程A2+av+b=0有兩個小于1的正根，

則夕是q的什么條件？

【例3】設p：實數(shù)x滿足f-4ax+3a2c0,a<0.

q；實數(shù)x滿足f—x-6W0或f+2r—8>0.

且是梆q的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.

知識點三邏輯聯(lián)結詞的應用

對于含邏輯聯(lián)結詞的命題，根據(jù)邏輯聯(lián)結詞的含義，利用真值表判定真假.

利用含邏輯聯(lián)結詞命題的真假，判定字母的取值范圍是各類考試的熱點之一.

【例4】判斷下列命題的真假.

(1)對于任意x,若x—3=0,則x—3W0；

(2)若x=3或x=5,則(x-3)(x-6)=0.

【例5】設命題p：函數(shù)—x+1”)的定義域為R；命題g：不等式

+以對一切正實數(shù)均成立.如果命題p或g為真命題，命題p且q為假命題，求實數(shù)a的

取值范圍.

知識點四全稱命題與特稱命題

全稱命題與特稱命題的判斷以及含一個量詞的命題的否定是高考的一個重點，多以客觀

題出現(xiàn).

全稱命題要對一個范圍內的所有對象成立，要否定一個全稱命題，只要找到一個反例就

行.特稱命題只要在給定范圍內找到一個滿足條件的對象即可.

全稱命題的否定是特稱命題，應含存在量詞.

特稱命題的否定是全稱命題，應含全稱量詞.

【例6】寫出下列命題的否定，并判斷其真假.

(1)3=2；

(2)5>4；

(3)對任意實數(shù)x,x>0；

(4)有些質數(shù)是奇數(shù).

【例7】已知函數(shù)火x)=f—2x+5.

(1)是否存在實數(shù)處使不等式m+_/(x)>0對于任意xCR恒成立，并說明理由.

(2)若存在一個實數(shù)xo，使不等式加一/Uo)>0成立，求實數(shù)加的取值范圍.

章末總結

重點解讀

【例1】解(1)若XWAU8,則是假命題，故其逆否命題為假，逆命題為若

則xEAUB,為真命題.

(2)V0<r<5,：.-2<X~2<39

???0—

原命題為真，故其逆否命題為真.

否命題：若xWO或則以一2|23.

例如當冗=—今~2~2=2<3,

故否命題為假.

(3)原命題：a,方為非零向量，a_Z.>=a協(xié)=0為真命題.

逆命題：若〃，方為非零向量，。,力=O=a_Zb為真命題.

否命題：設。，萬為非零向量，。不垂直力=。力#0也為真.

I例2]解若〃=—1,b=y則』=/—4。<0,關于x的方程/+以+8=0無實根,

故pNd若關于x的方程/+奴+〃=0有兩個小于1的正根，不妨設這兩個根為為、x2,

且O<X1WX2<1,

則Xl+x2=-。，X\X2=b.

于是0<—a<2,0<b<\,

即—2<〃<0,0<。<1,故q=p.

所以，〃是q的必要不充*條件.

I例3]解設4〃/+3層<0,a<0]={x\3a<x<ai。<0}.

B={x|q}={xlx2—x-6^0或f+2x—8>0}

={x|x<—4或x》一2}.

???^p是^夕的必要不充分條件，

:.q是p的必要不充分條件.

Z—413心一2

/.AB,/.或,

[a<0la<0

2

解得一或aW—4.

故實數(shù)。的取值范圍為(一8,-4ju[-|,0).

【例4】解(l)：x-3=0,有X-3W0,...命題為真;

(2)V當x=5時，(犬一3)(犬一6)￥0,

「?命題為假.

【例5】解p：由以2—》十七4>0恒成立得

a>0

<a,/.a>2.

J=l—4XizXy^<0

q：由，2x+lvl+or對一切正實數(shù)均成立,

令t=yj2jc~]r1>1,貝!Ix=-2-，

產一1

/./<1+a--3-,

???2?—1)<〃(?—1)對一切t>\均成立.

??2.

?:p或q為真,〃且夕為假，與q一真一假.

若p真q假，。>2且。<1不存定.

若p假9真，則且。21,lWaW2.

故〃的取值范圍為1W〃W2.

【例6】解（1）3^2,真命題；

（2）5^4,假命題；

（3）存在一個實數(shù)x,xWO,真命題；

（4）所有質數(shù)都不是奇數(shù)，假命題.

【例71解（1）不等式m+j（x）>0可化為〃?>—/U）,

即機>—f+Zr-5=—（x—I/—4.

要使z7t>—（%—I）2—4對于任意恒成立，

只需加>一4即可.

故存在實數(shù)加，使不等式機+兀力>0對于任意x￡R恒成立，此時，只需機>—4.

（2）不等式團一兀粕）>0可化為加次刻），若存在一個實數(shù)沏，使不等式加嘰ro）成立,

只需刁（X）min.

又fix）=（X—1產+4,/-Xx）min=4,心4.

所以，所求實數(shù)R的取值范圍是（4,+8）.

第一章章末檢測（A）

（時間：120分鐘滿分：150分）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）

1.下列語句中是命題的是（）

A.梯形是四邊形B.作直線AB

C.x是整數(shù)D.今天會下雪嗎？

2.設原命題：若a+b22,則a,6中至少有一個不小于1,則原命題與其逆命題的真

假情況是（）

A.原命題真，逆命題假

B.原命題假，逆命題真

C.原命題與逆命題均為真命題

D.原命題與逆命題均為假命題

3.給出命題：若函數(shù)）?=Ax）是幕函數(shù)，則函數(shù)y=/（x）的圖象不過第四象限.在它的逆

命題、否命題、逆否命題三個命題中，真命題的個數(shù)是（）

A.3B.2C.ID.0

4.設集合M={x|x>2},P={x|x<3},那么“xGM,或是“xGMCP''的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.有下列命題：①2004年10月1日是國慶節(jié)，又是中秋節(jié)；②10的倍數(shù)一定是5的

倍數(shù)；③梯形不是矩形；④方程f=l的解x=±l.其中使用邏輯聯(lián)結詞的命題有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

6.在△A8C中，“A>30°”是“sinA>g”的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.若p：a￡R.|?|<1,<7：x的二次方程『+（“+l）x+a—2=0的一個根大于零，另一

根小于零，則〃是4的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.已知條件p：|x+l|>2,條件q：5x—6>W,則㈱/，是^“的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

9.己知實數(shù)命題p：函數(shù)yMlog^f+Zx+a）的定義域為R,命題q：\x\<\^x<a

的充分不必要條件，則（）

A."p或為真命題

B."p且/'為假命題

C.且為真命題

D.或解4”為真命題

10.“。和b都不是偶數(shù)”的否定形式是（）

A.“和b至少有一個是偶數(shù)

B.〃和匕至多有一個是偶數(shù)

C.〃是偶數(shù)，人不是偶數(shù)

D.“和b都是偶數(shù)

11.不等式（〃-2）*2+2（“一2）x—4<0對于xCR恒成立，那么a的取值范圍是（）

A.（-2,2）B.（-2,2]

C.（—8,2]D.（―°°,—2）

J2

12.已知命題p：存在xCR,使tanx='，命題q：『一3x+2<0的解集是{x[l<x<2},

下列結論：①命題"P且是真命題；②命題“p且㈱/是假命題：③命題或

是真命題；④命題“㈱p或是假命題，其中正確的是（）

A.②③B.①②④

C.①③④D.①②③④

題號123456789101112

答案

二、填空題（本大題共7小題，每小題4分，共28分）

11.已知a、￡是不同的兩個平面，直線aUa,直線命題p：a與匕無公共點;

命題4：a〃.，則p是q的條件.

12.命題“以2—2ax—3>0不成立”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是.

13.若小“平行四邊形一定是菱形”，則“非p”為

14.下列四個命題中

①“％=1”是“函數(shù)y=cos2自一sin2日的最小正周期為?！钡某湟獥l件：

②“。=3”是“直線ar+2y+3a=0與直線版+3—1））=。-7相互垂直”的充要條件;

③函數(shù)y=；的最小值為2.

巾~+3

其中是假命題的為..（將你認為是假命題的序號都填上）

三、解答題（本大題共6小題，共70分）

17.（10分）將下列命題改寫成“若p,則的形式，并判斷其真假.

（1）正方形是矩形又是菱形；

（2）同弧所對的圓周角不相等；

（3）方程/-x+1=0有兩個實根.

18.（12分）判斷命題“已知a、x為實數(shù)，如果關于x的不等式*+（箕+1沈+/+2?0

的解集非空，則的逆否命題的真假.

x—1

19.（12分）已知p：1—W2；<7：x2—2x+1（〃?>0）,若是的必要

非充分條件，求實數(shù)加的取值范圍.

20.（12分）已知方程1+（2%—l）x+F=O,求使方程有兩個大于1的實數(shù)根的充要條件.

21.（12分）p：對任意實數(shù)x都有加+ax+1>0恒成立；q：關于x的方程x2—x+a=O

有實數(shù)根；如果〃與q中有且僅有一個為真命題，求實數(shù)〃的取值范圍.

22.(12分)已知下列三個方程：x+4^—4a+3=0,x+(5―1)^+5=0,x+2ax~

2d=0至少有一個方程有實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍.

單元檢測卷答案解析單元檢測卷答案解析

第一章常用邏輯用語(A)

答案

1.A

2.A[因為原命題"若a+b>2,則a,b中至少有一個不小于1"的逆否命題為，"若a,

b都小于1,則。+b<2"顯然為真，所以原命題為真；原命題"若。+b22,則。，b中至少有

一個不小于1”的逆命題為："若a,b中至少有一個不小于1,則。+b22”,是假命題，反例

為。=1.2,6=0.3.]

3.C

4.A["xGM,或xep"不能推出"xGMnP",反之可以.]

5.C[①中有"且"；②中沒有；③中有“非"；④中有"或]

6.B[當月=170。時，$皿170。=$皿10。弓，所以‘'過不去”；但是在△A8C中，sin舄

=30°<4<150°=4>30°,即“回得來”.]

7.A[Q￡R,|a|<l=>(7—2<0,充分成立，反之不成立.]

8.A|^/?：|x+l|W2,-糠q：5工一64f,

即A2—5x+620,解得x23,或x<2.

=㈱小但故是的充分不必要條件.]

9.A[命題p：當時，4=4—4〃<0,即f+Zx+oO恒成立，故函數(shù)》二匕房。2

+21+〃)的定義域為R,即命題〃是真命題；命題/當。>1時，由因<1,得一14<1,即因<1

是的充分不必要條件，故命題q也是真命題.所以命題“p或/是真命題.]

10.A[對"。和b都不是偶數(shù)〃的否定為〃。和b不都不是偶數(shù)"，等價于〃。和b中至少

有一個是偶數(shù)]

11.B[注意二次項系數(shù)為零也可以.]

12.D「「p、q都是真命題，，①②③④均正確.]

13.必要不充分

解析q=p,pKq.

14.[-3,0]

解析加一2〃上一3<0恒成立，

當〃=0時，一3W0成立；

；=4/+12aW0得-3=<0;

當a#0時，由

—3WaW0.

15.平行四邊形不一定是菱形；或至少有一個平行四邊形不是菱形

解析本題考查復合命題“非夕”的形式，p-.“平行四邊形一定是菱形”是假命題，

這里“一定是”的否定是用“一定不是”還是“不一定是”？若為“平行四邊形一定不是

菱形”仍為假命題，與真值表相違，故原命題的“非p”為“平行四邊形不一定是菱形”，

是一個真命題.

第二種說法是命題是全稱命題的簡寫形式，應用規(guī)則變化即可.

16.??③

解析①“&=1"可以推出"函數(shù))，=cos2履一sin?日的最小正周期為?！?，但是函數(shù)y

=cos2fcv—sin2fcr的最小正周期為兀，

2冗

即y=cosT=|2川一兀，Z=±l.

②“。=3”不能推出“直線or+2y+34=0與直線版+(〃-1?=。-7相互垂直”，反

2

之垂直推出

f+4/+3+1])—1.I—I—

③函數(shù)y=許=干丁="+后T令0戶欄小’

J4^3

),min—斗

H3,

17.解(1)若一個四邊形是正方形，則它既是矩形，又是菱形，為真命題.

(2)若兩個角為同弧所對的圓周角，則它們不相等，為假命題.

(3)如果一個方程為x+l=O,則這個方程有兩個實數(shù)根，為假命題.

18.解方法一(直接法)

逆否命題：已知a、x為實數(shù)，如果”<1,則關于x的不等式f+Qa+Dx+qZ+ZWO的

解集為空集.

判斷如下：

二次函數(shù)+(2a+l)x+/+2圖象的開口向上，判別式/=(2〃+1)2—4(4+2)

=4。—7.

\\z<l,：.4a~7<0.

即二次函數(shù)y=』+(2〃+\)x+a2+2與x軸無交點，

???關于x的不等式/+(2〃+1求+。2+24()的解集為空集，故逆否命題為真.

方法二(先判斷原命題的真假)

尢為實數(shù)，且關于x的不等式f+Qa+Dx+/+ZWO的解集非空，

?,"=(2。+1)2—4(/+2)20,

7

即4〃-720,解得02不

?.zeli,???原命題為真.

又??,原命題與其逆否命題等價，，逆否命題為真.

方法三(利用集合的包含關系求解)

命題P：關于x的不等式『+(2〃+1)工+〃2+240有非空解集.

命題q：ael.

：.p：A={〃|關于x的不等式f+(2a+l)元+°2+2W0有實數(shù)解}={冰2°+1)2—4(〃2+

2)20}={雨磊,

q：B—{a\a^l).

■：A^B,“若p,則q”為真，

“若p,則°”的逆否命題“若㈱，/,則㈱p”為真.

即原命題的逆否命題為真.

19.解㈱p：1-'3)>2，解得x<—2,或x>10,

A—{x\x<-2,或x>10}.

q：x2—2x+1—m2>0,

解得X<1—機，或

B={X|X<1~m,或x>l+，*}.

是^4的必要非充分條件，A,

即{1一，“W—+朋》10且等號不能同時成立，=加29,

二機29.

20.解令兀r)=f+(2&-l)x+S,方程有兩個大于1的實數(shù)根。

7=(211)2—49》0

Ai)>0)

k

即k<-2.

所以其充要條件為上一2.

21.解對任意實數(shù)x都有東+必+1>0恒成立—或廣八=0Wa<4；

U<0

關于x的方程f—x+〃=0有實數(shù)根=1—4a200"W；；如果p真，且q假，有0Wa<4,

且懸，

.'.^<a<4；如果q真，且p假，有。<0或。24,且「.avO.

綜上，實數(shù)”的取值范圍為(一8,O)uQ,4).

22.解假設三個方程：/+4以-4〃+3=0,

f+(a—l)x+a2=o,*+20￥—2a=0都沒有實數(shù)根，則

4=(甸2_4(_4〃+3)<

</2=(。―1)2—4/,

/3=(2〃)2—4(一2〃)<0

3

-y

2

即卜當或kl,得一3旌加一］

、—2<。<0

???所求實數(shù)a的范圍是〃<一］3或一1.

第一章章末檢測(B)

(時間：120分鐘滿分：150分)

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分).

1.函數(shù)兀t)=x|x+a|+b是奇函數(shù)的充要條件是()

A.ab=QB.a+b=0

C.a=hD.<r+b2=O

2.若“心bnc>d”和"a<b=eW/都是真命題,其逆命題都是假命題，則"c近d”

是“eWf的（）

A.必要非充分條件

B.充分非必要條件

C.充分必要條件

D.既非充分也非必要條件

3.在下列結論中，正確的是（）

①“pAq”為真是“pVq”為真的充分不必要條件；

②為假是“p7q”為真的充分不必要條件；

③“pVq”為真是為假的必要不充分條件；

④為真是“pAg”為假的必要不充分條件.

A.①②B.①③

C.②④D.③④

4.“aWl或b#2”是“q+bW3”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要

5.若命題"p或為真，“非p”為真，貝1（）

A.p真q真B.p假q真

C.p真q假D.p假q假

6.條件p：x>l.y>l,條件q：x+y>2,xy>l,則條件p是條件“的（）

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

7.2X2—5%—3<0的一個必要不充分條件是（）

A.—^<x<3B.—^<x<0

C.--3<X<2D.—l<x<6

8.“x=2航+￡（kf是“tanx=l”成立的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分條件

D.既不充分也不必要條件

9.下列命題中的假命題是（）

A.3x￡R,1§^=0B.S.rGR,tanx=1

C.VxGR,/>0D.VxGR,2V>0

10.設原命題：若a+/?N2,則a,b中至少有一個不小于1,則原命題與其逆命題的真

假情況是（）

A.原命題真，逆命題假

B.原命題假，逆命題真

C.原命題與逆命題均為真命題

D.原命題與逆命題均為假命題

11.下列命題中為全稱命題的是（）

A.圓內接三角形中有等腰三角形

B.存在一個實數(shù)與它的相反數(shù)的和不為0

C.矩形都有外接圓

D.過直線外一點有一條直線和已知直線平行

12.以下判斷正確的是（）

A.命題“負數(shù)的平方是正數(shù)”不是全稱命題

B.命題“VxGN,V>x”的否定是“mxGN,丁>尤”

C.“a=l”是“函數(shù)式x）=sin2分的最小正周期為兀”的必要不充分條件

D.“6=0”是“函數(shù)是偶函數(shù)”的充要條件

題號123456789101112

答案

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.下列命題中為真命題.（填序號）

①“4CB=A”成立的必要條件是“4B”；

②“若f+V=0,貝lx,y全為0”的否命題；

③“全等三角形是相似三角形”的逆命題；

④“圓內接四邊形對角互補”的逆否命題.

14.命題“正數(shù)的絕對值等于它本身”的逆命題是

___________________________________,這是命題.

15.若“VxWR,*—2x—〃?>0”是真命題，則實數(shù)機的取值范圍是

16.給出下列四個命題：

①VxGR,x2+2>0；

②VxGN,x4^l；

@3xeZ,Al；

@3xGQ,W=3.

其中正確命題的序號為.

三、解答題（本大題共6小題，共70分）

17.（10分）分別寫出下列命題的逆命題，否命題，逆否命題，并判斷其真假.

（1）矩形的對角線相等且互相平分；

（2）正偶數(shù)不是質數(shù).

18.（12分）寫出由下述各命題構成的“p或q”，“p且,“非p”形式的命題，并

指出所構成的這些命題的真假.

（Dp：連續(xù)的三個整數(shù)的乘積能被2整除，外連續(xù)的三個整數(shù)的乘積能被3整除；

（2）p：對角線互相垂直的四邊形是菱形，q：對角線互相平分的四邊形是菱形.

19.（12分）已知求證：a+b=1的充要條件是分+/+而一層一除=0.

20.(12分)已知二次函數(shù)大幻=加+乂對于Vxd[O,l],成立，試求實數(shù)a的取

值范圍.

21.(12分)下列三個不等式：

25

①2-f+ar—才>1；

②(a—3)/+(a—2)x-l>0；

③+點

若其中至多有兩個不等式的解集為空集，求實數(shù)”的取值范圍.

22

22.(12分)已知命題p：?和及是方程x-/nr-2=0的兩個實根，不等式a~5a-3^\xt

一刈對任意實數(shù)[-1,1]恒成立;命題(7：不等式加+2?-1>0有解;若命題p是真命題，

命題q是假命題，求a的取值范圍.

第一章常用邏輯用語(B)

答案

222

1.D[若a+b=0,即<7=6=0時，f(—x)=(—x)\—x+0\+0=-x\x\=—f(x)9/.a

+b2=0是f(x)為奇函數(shù)的充分條件.又若f(x)為奇函數(shù)即f(—x)=—x\(—x)+a\+b=—(x\x

+a|+b),則必有a=b=0,即標+82=0,，/+爐二。是‘⑼為奇函數(shù)的必要條件.]

2.B[由QNb=c>d可得c4d=Q<b,又a<b=ewf,所以cwd=ewf；而ewf=cwd顯

然不成立，故"cwd"是"ew「的充分非必要條件.]

3.B

4.B「?Z=1且A=2=〃+8=3,

...a+Z?W3=q#l或8#2.]

5.B[由〃非p"為真可得p為假，若同時"p或q〃為真，則可得q必須為真.]

6.A[由我們學習過的不等式的理論可得p=q,但x=100,y=0.1滿足q：x+y>2,

xy>l,但不滿足q,故選項為A.]

7.D[由左一5;（:—3<0,解得一水x<3,記為P,則①②BP,B是P的充分

非必要條件，③，C既不是P的充分條件，也不是P的必要條件，④尸。是P的必

要不充分條件.]

8.A[tan（2E+；）=tan^=1,所以充分；

但反之不成立，如tan￥=l.]

9.C

10.A[舉例:4=1.2,6=0.3,

則a+6=1.5<2,二逆命題為假.]

11.C

12.D「.?"負數(shù)的平方是正數(shù)”即為Vx<0,則f>0,是全稱命題，；.A不正確；

又?.?對全稱命題“VxeN,的否定為“mxGN,RWx”，；.B不正確；

又,?7（x）=sin2ax,當最小正周期T=n時，有命=兀，；.同=1/4=1.

故％=1”是“函數(shù)式x）sin2℃的最小正周期為?！钡某浞植槐匾獥l件.]

13.②④

解析①4nB=A=AU8但不能得出AB,

...①不正確；

②否命題為：“若則x,y不全為0"，是真命題；

③逆命題為：“若兩個三角形是相似三角形，則這兩個三角形全等"，是假命題；

④原命題為真，而逆否命題與原命題是兩個等價命題，.?.逆否命題也為真命題.

14.如果一個數(shù)的絕對值等于它本身，那么這個數(shù)一定是正數(shù)假

15.（—8,—1）

解析由/=（—2）2—4X（一機）<0,得”?<—1.

16.（D@

17.解（1）逆命題：若一個四邊形的對角線相等且互相平分，則它是矩形（真命題）.

否命題：若一個四邊形不是矩形，則它的對角線不相等或不互相平分（真命題）.

逆否命題：若一個四邊形的對角線不相等或不互相平分，則它不是矩形（真命題）.

（2）逆命題：如果一個正數(shù)不是質數(shù)，那么這個正數(shù)是正偶數(shù)（假命題）.

否命題：如果一個正數(shù)不是偶數(shù)，那么這個數(shù)是質數(shù)（假命題）.

逆否命題：如果一個正數(shù)是質數(shù)，那么這個數(shù)不是偶數(shù)（假命題）.

18.解（l）p或g：連續(xù)的三個整數(shù)的乘積能被2或能被3整除.

〃且q：連續(xù)的三個整數(shù)的乘積能被2且能被3整除.

非p：存在連續(xù)的三個整數(shù)的乘積不能被2整除.

二.連續(xù)的三整數(shù)中有一個（或兩個）是偶數(shù)，而另一個是3的倍數(shù)，

真，g真，二?；騫與p且q均為真，而非p為假.

（2）p或仍對角線互相垂直的四邊形是菱形或對角線互相平分的四邊形是菱形.

p且4：對角線互相垂直的四邊形是菱形且對角線互相平分的四邊形是菱形.

非p：存在對角線互相垂直的四邊形不是菱形.

假q假，二?；騫與p且q均為假，而非p為真.

19.證明充分性：Va3+b3+ab—a2—b2

—（a+b'）（a2—ab+b2）—（a2-ab+b2）

=（a+b_1）（辟一曲+占2）

/.(a+b-1)(〃2—"+/)=0.

又"#0,即〃NO且AHO,

/.a2—ab+b2=^a—^2+肘>0.

?二。+人——1=0,.*.6r+/?=1.

必要性：\*a+b=1,即。+。-1=0,

：.a3+b3+ab~a2~b2

=(〃+/?—1)(層一+序)=0.

綜上可知，當出?#0時，

a+b=\的充要條件是足+人+必一〃2—〃=o.

20.解|/U)|Wlo—lW>U)Wlo—lW加+xWl,xe[0,l].①

當工=05，”0,①式顯然成立；

當x￡(0』]時，①式化為一土一：Wa<g—5在工￡(0,1]上恒成立.

設則01,+°°),

則有一戶一/〈。?尸一人所以只需

]〃2(一戶一，)|曲=一

-=-2—,

女(尸9一f)min=0

又a#0,故一2Wa<0.

綜上，所求實數(shù)a的取值范圍是[-2,0).

21.解對于①，2一r+這一竽>1,即一f+ax—苧>0,故/—ar+竽<0,J=a2—25,

所以不等式的解集為空集，實數(shù)a的取值范圍是一5WaW5.

對于②，當。=3時，不等式的解集為{x|x>l},不是空集；當a#3時，要使不等式(a

-3)f+(a-2)x—l>0的解集為空集.

[?—3<0,

耐解得一2用WaW2巾.

'l(a-2)2+4(a-3)<0,

對于③，因為『+122弋/$=2

當且僅當f=l,即》=±1時取等號.

所以，不等式的解集為空集時，aW2.

因此，當三個不等式的解集都為空集時，-2pWaW2.

所以要使三個不等式至多有兩個不等式的解集為空集，則實數(shù)a的取值范圍是

26或a>2}.

22.解Vxi,X2是方程f一如一2=0的兩個實根，

則x\+x2=m且X]X2=-2,

ki-X2|=A/(XI+X2)2-4X1X2=》"「+8,

當加￡[—1,1]時，|X1—X2|max=3,

由不等式5a—32|x]—及]對任意實數(shù)加e[-1,1]恒成立可得：/—5a—323,

：.a—6或aW—1.

所以命題p為真命題時，或aW—1.

命題4：不等式a^+Zx—1>0有解，

當〃>0時,顯然有解；

當。=0時，2x—1>0有解；

當a〈0時，???加+2￥—1>0有解，

??./=4+4〃>0,-1<a<0,

從而命題4：不等式aj^+lx—1>0有解時a>—\.

又命題q為假命題，—1.

綜上得，若P為真命題且4為假命題則4＜一1.

第二章章末總結

知識再現(xiàn)?

~I定義I

T橢研―|標準方程1

一―|兒何性質卜

圓

錐T定義!

曲

線

與―-1雙曲線卜—I標準方程F

方■TWI

程—I幾何性質卜

一

定義|

T拋物線F標準方程卜

~I幾何性質卜

T相交卜標礫曲線的弦I

直線與圓錐曲

線的位置關系I相切I

_!相離|

重點解讀?

知識點一圓錐曲線的定義和性質

對于圓錐曲線的有關問題，要有運用圓錐曲線定義解題的意識，“回歸定義”是一種重

要的解題策略；應用圓錐曲線的性質時，要注意與數(shù)形結合思想、方程思想結合起來.總之，

圓錐曲線的定義、性質在解題中有重要作用，要注意靈活運用.

【例1】已知雙曲線的焦點在X軸上，離心率為2,Fl,B為左、右焦點，P為雙曲線上

一點，且NFIPF2=60。，S4PFIFZ=12小,求雙曲線的標準方程.

知識點二直線與圓錐曲線的位置關系

直線與圓錐曲線一般有三種位置關系：相交、相切、相離.

在直線與雙曲線、拋物線的位置關系中有一種情況，即直線與其交于一點和切于一點,

二者在幾何意義上是截然不同的，反映在代數(shù)方程上也是完全不同的，這在解題中既是一個

難點也是一個十分容易被忽視的地方.圓錐曲線的切線是圓錐曲線的割線與圓錐曲線的兩個

交點無限靠近時的極限情況，反映在消元后的方程上，就是一元二次方程有兩個相等的實數(shù)

根，即判別式等于零；而與圓錐曲線有一個交點的直線，是一種特殊的情況(拋物線中與對

稱軸平行，雙曲線中與漸近線平行)，反映在消元后的方程上，該方程是一次的.

【例21

如圖所示，。為坐標原點，過點尸(2,0)且斜率為4的直線/交拋物線丁=左于M3,

yi),N(X2,?)兩點.

⑴求為及與yi”的值;

(2)求證：OM±ON.

知識點三軌跡問題

軌跡是解析幾何的基本問題，求解的方法有以下幾種：

(1)直接法：建立適當?shù)淖鴺讼担O動點為(x,y),根據(jù)幾何條件直接尋求小>■之間的

關系式.

(2)代入法：利用所求曲線上的動點與某一已知曲線上的動點的關系，把所求動點轉換

為已知動點.具體地說，就是用所求動點的坐標x、y來表示已知動點的坐標并代入已知動

點滿足的曲線的方程，由此即可求得所求動點坐標x、y之間的關系式.

(3)定義法：如果所給幾何條件正好符合圓、橢圓、雙曲線、拋物線等曲線的定義，則

可直接利用這些已知曲線的方程寫出動點的軌跡方程.

(4)參數(shù)法：當很難找到形成曲線的動點P(x,y)的坐標x,y所滿足的關系式時，借助第

三個變量r,建立r和x,r和)，的關系式x=p⑺，⑺，再通過一些條件消掉［就間接地

找到了x和y所滿足的方程，從而求出動點P(x,y)所形成的曲線的普通方程.

1例31設點A、B是拋物線V=4px(p>0)上除原點。以外的兩個動點，已知0AL03,

OMLAB,垂足為求點〃的軌跡方程，并說明它表示什么曲線？

知識點四圓錐曲線中的定點、定值問題

圓錐曲線中的定點、定值問題是高考命題的一個熱點，也是圓錐曲線問題中的一個難點,

解決這個難點沒有常規(guī)的方法，但解決這個難點的基本思想是明確的，定點、定值問題必然

是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題的直線方程、數(shù)量積、

比例關系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關系不受變化的量所影響的某個點或值，就是要

求的定點、定值.化解這類問題難點的關鍵就是引進變化的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比

例關系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量.

72

【例4】若直線/：y=kx+m與橢圓，+，=1相交于A、B兩點(A、B不是左、右頂點)，

心為橢圓的右頂點且AA2_LBA2,求證：直線/過定點.

知識點五圓錐曲線中的最值、范圍問題

圓錐曲線中的最值、范圍問題，是高考熱點，主要有以下兩種求解策略：

(1)平面幾何法

平面幾何法求最值問題，主要是運用圓錐曲線的定義和平面幾何知識求解.

(2)目標函數(shù)法

建立目標函數(shù)解與圓錐曲線有關的最值問題，是常規(guī)方法，其關鍵是選取適當?shù)淖兞拷?/p>

立目標函數(shù)，然后運用求函數(shù)最值的方法確定最值.

【例51已知A(4,0),8(2,2)是橢圓U+]=1內的兩定點，點M是橢圓上的動點，求|MA|

+|M周的最值.

2

【例6】已知Q、尸2為橢圓f+5=1的上、下兩個焦點，AB是過焦點B的一條動弦,

求△ABF?面積的最大值.

章末總結答案

重點解讀

【例1】解

如圖所示，設雙曲線方程為上一

\>=~=2,.\c=2a.

由雙曲線的定義，

得||PFi|一|PF2ll=2a=c,

在△PF1F2中，由余弦定理，得：

2

|F,F2|=\PFi『+[PF/一2『吊||PF21cos60°

=(|/3FI|-|/,F2|)2+2|PFI||PF2|(1-COS600),

即4，=/+|尸尸|||力引.①

又SAPFIF2=12V3,

.".||PFi||PF2|sin60°=12小，

即|尸已|仍尸2|=48.②

由①@,得/=16,c=4,

則a=2,/>2=c2—a2=12,

72

所求的雙曲線方程為]一為=1.

I例2】(1)解過點P(2,0)且斜率為上的直線方程為：y=k(x-2).

把y=《x—2)代入y1—lx,

消去了得Ff-(4F+2)x+4妤=0,

由于直線與拋物線交于不同兩點，

故3#0且/=(43+2)2—16六=16后+4>0,

2

X|X2—4,Xl+x2—4+^2,

'：M.N兩點在拋物線上，

，冰免=4X-X2=16,

而yry2<0,.??yiy2=14.

(2)證明OM=(x\fyi),ON={xi,及),

OM-^=x\-X2+y\-y2=4—4=0.

OM±ON,即OMLON.

【例3】解設直線OA的方程為y=Ax(Z#±l,因為當々=±1時，直線AB的斜率不存

在)，則直線08的方程為〉=一去Y

進而可求A侈，崎、B(4plc,-4pk).

于是直線A8的斜率為&.=1片，

d一1

從而koM=~工~,

p—1

二直線0M的方程為y=-T1，①

直線的方程為y+4pk=￡ga-4pE).②

將①(②相乘，得尸+4”6=-x(x—4pd),

即x2+y2=-4pky+4pl^x=4p(l^x—ky),③

又Fx—口二x，代入向式并化簡，

得(x—2〃)2+9=4〃2.

當后=±1時，易求得直線AB的方程為x=4p.

故此時點M的坐標為(4p,0),也在2P)2+V=4p2(xWO)上.

/.點、M的軌跡方程為(x—2p)2+y2=4p2(xWO),

??.其軌跡是以(2p,0)為圓心，半徑為2P的圓，去掉坐標原點.

I例41

證明設4乃，yi),

5(X2,J2)，

y=kx+m,

得(3+4F)f+8〃7fcl+4。層-3)=0,

<J=64w2Ar—1