高中數(shù)學(xué)要點(diǎn)重溫

集合、邏輯

1.集合運(yùn)算中一定要分清代表元的含義。

［舉例］已知集合P={y|y=x'xSR},Q={y|y=2\xGR}求PCQ。

解析：集合P、Q均為函數(shù)值域（不要誤以為是函數(shù)圖象，{（x,y）|y=x'xGR}才表示函

數(shù)圖象）,P=［0,+8）,Q=（0,+8）,pnQ=Qo

［提高］A={x|y=3x+l,yeZ},B={y|y=3x+l,xGZ},求AAB。

2.空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

［舉例］若人=僅，3}B={x|x>2}且AC1B=6,求a的范圍（注意A有可能為①）。

解析：當(dāng)a>0時，集A=（-6，Ja）,要使ACIB=6,則W2,得0<aW4,

當(dāng)aWO時，A=①，此時ACB=①，綜上：a<4（A=①的情況很容易疏漏！）

［鞏固］若人=以|ax=l},B={xIx』}且BCA=A,求a的所有可能的值的集合。

［關(guān)注］AAB=A等價于A=B

3.充要條件可利用集合包含思想判定：若1B則A是B充分條件；若&B則A是B必

要條件；若忙B且？QB即師則塌B充要條件。換言之：由0B則稱幅B的充分

條件，此時B是A|的必要條件；由gA則稱B是耶充分條件，此時幅B的必要條件。

有時利用原命題與逆否命題等價，“逆命題"與“否命題”等價轉(zhuǎn)換去判定也很方便。

充要條件的問題要十分細(xì)心地去辨析：“哪個命題”是“哪個命題”的充分（必要）條件；

注意區(qū)分：“甲是乙的充分條件（甲n乙）”與“甲的充分條件是乙（乙n甲），

［舉例］若非空集合A/uN,則或aeN”是“aeMPlN”的（）

（A）充分非必要條件（B）必要非充分條件（C）充要條件（D）既非充分又非必要條件

解析：命題"aeV或"N”等價于"ae"uN"，顯然A/CN是MuN的真子集，

“aeM或aeN”是“aeMDN”的必要不充分條件。

［鞏固］已知直線機(jī)、〃和平面。，則相〃〃的一個必要但不充分條件是（）

（A）加〃a且〃〃a（B）加_La且〃_La

（C）tn、〃與a成等角（。）加〃a且〃ua

4.命題"A或B真當(dāng)且僅當(dāng)“AB中至少要一個真"；命題"A或B假當(dāng)且僅當(dāng)“AB

全假"。命題“A且g真當(dāng)且僅當(dāng)“AB全真"；命題“A且E假當(dāng)且僅當(dāng)“AB中至少

要一個假”。“P真"則"非P假"，“P假"則"非P真"；注意："非P和"既勺否命題”是

不同的，“非P只否定命題的結(jié)論，“P的否命題”則是分別否定命題的條件和結(jié)論；如R

兩直線平行內(nèi)錯角相等，"非P：兩直線平行內(nèi)錯角不相等，“P的否命題”：兩直線不平行

內(nèi)錯角不相等。

［舉例］已知p:函數(shù)f（x尸lg（ax?-x+—a）的定義域?yàn)镽；q:不等式,2x+1<l+ax對一切正

16

實(shí)數(shù)均成立。若p或q為真，p且q為假，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是。

r<7>o

解析：f(x)的定義域?yàn)镽=>ax2-x+'a>0對一切實(shí)數(shù)x恒成立=><1

16A=l--672<0

4

=>a>2,即命題p：a>2；不等式J^ITTvl+ax對一切正實(shí)數(shù)均成立=>a>—如±J——I對

X

一切正實(shí)數(shù)X恒成立，記g(X)=2-+1則q>gmax(X)，令J2x+1=t、(t>1)，

X

叵"=*=后"可見函數(shù)g⑴無最大值'它的極大值為L”即

命題q：a>l；而p或q為真，p且q為假即p、q一真一假；若p真q假，則a>2且a<l,

這不可能，舍去；若p假q真，貝lja<2且a>l即l<aW2；

［鞏固1］設(shè)p：x<-1,或x>1，q:x<—2或x>l,則一>p是一的()

(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件

(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件

［鞏固2］若或飛”是真命題，則---------------------------------()

(A)“p或q”是真命題(B)“邛且飛”是真命題

(C)“p或q”是假命題(D)“p且q”是假命題

簡答

2.［鞏固］｛-1,1,0),3.［舉例］B,［鞏固］C,4.［鞏固1］A,［鞏固2］D,

要點(diǎn)重溫之函數(shù)概念、圖象、性質(zhì)

1.一條曲線是函數(shù)圖象的必要條件是：圖象與平行于y軸的直線至多只有一個交點(diǎn)。一個函

數(shù)存在反函數(shù)的充要條件是：定義域與值域須一一對應(yīng)，反應(yīng)在圖象上平行于賺的直線與

圖象至多有一個交點(diǎn)。單調(diào)函數(shù)必存在反函數(shù)嗎？(是的，任何函數(shù)在它的一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)

總有反函數(shù))；

［舉例］函數(shù)f(x)=x2-tx+2在［1,2］上有反函數(shù)，則t的一切可取值的范圍是.

解析：對于“連續(xù)”函數(shù)而言，函數(shù)有反函數(shù)即單調(diào)；f(x)=x?-tx+2在［1,2］上單調(diào)即區(qū)間

［1,2］在對稱軸*=,的?-側(cè)，’>2或,W1,即］tW2或t24。

2.求一個函數(shù)的反看數(shù)必須標(biāo)明費(fèi)函數(shù)的全義域，即要求出原函數(shù)的值域。求反函數(shù)的表達(dá)

式的過程就是解(關(guān)于x的)方程的過程。注意：⑨一定是唯一的。

［舉例］函數(shù)丁=由年,》6(1,+8)的反函數(shù)為

x-1

(A)y=^~~^”(0什)y=^-^-,xG(0,+oo)

ex+1ex-1

ex—1/\ex4-1/、

(C)y=-------(-8,0)(D)y=-------,XG(-00,0)

ex+1ex-1

Ii2YI1

解析：???xe(l,+8),...土一=1+——>1(關(guān)注分離常數(shù))，...y=lnJ—c(0,+8)

XX-1x-\

又由y=ln'里得史］="，不難解出x="tL互換后得丁=巴匕1,xe(0,+8)

x—1x-1ey-1ex-1

(互換是“全面”的，表達(dá)式上換，定義域、值域也要換)故選B。

3.原函數(shù)的定義域是反函數(shù)的值域，原函數(shù)的值域是反函數(shù)的定義域；原函數(shù)與反函數(shù)的圖

象關(guān)于尸對稱；若函數(shù)尸f?的定義域?yàn)锳值域?yàn)閝aeAteQfLf'(b)］由

f1［f@］=a

［舉例1］已知函數(shù)〃x)=_L的反函數(shù)/T(X)的圖象的對稱中心是(0,2),WiJa=

x-a

解析：原函數(shù)/(》)=_1_是有反比例函數(shù)(奇函數(shù))平移而來，其圖象關(guān)于(a,0)對稱，二

x-a

它的反函數(shù)/T(x)的圖象應(yīng)關(guān)于(0,a)對稱，g|Ja=2

［舉例2］已知f(x)=X2+2X+3,(X>-1),貝ij(3)=。

解析：此題不宜求反函數(shù)(麻煩)，注意到3是反函數(shù)y=f'(X)的自變量，就是原函數(shù)y=f(x)

的函數(shù)值，令x?+2x+3=3,得x=0或x=-2,又x>-l,.\x=0,此即反函數(shù)的函數(shù)值f'(3)(原

函數(shù)的自變量)。

［遷移］已知f(x)=2sinxcosx+2V3cos2x-V3,xe,衛(wèi)］，求f'⑴的值。

122

4.奇函數(shù)對定義域內(nèi)的在點(diǎn)x滿足fT+f⑨小偶函數(shù)對定義域內(nèi)的狂看x滿足

f卬—f?F注意：使用函數(shù)奇偶性的定義解題時，得到的是關(guān)于x的坦物而不是方程。

若函數(shù)f⑨是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則f區(qū)定義域必關(guān)于原點(diǎn)對稱；反之，函數(shù)定義域不關(guān)于

原點(diǎn)對稱，該函數(shù)既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)。若f3是奇函數(shù)且f(0存在，則f(0)F友之

不然。

［舉例］函數(shù)人》)=1。&卜1|是偶函數(shù)的充要條件為

解析：思路一：函數(shù)./(X尸Iogjt-6|是由偶函數(shù)y=loga|x|平移所得，，函數(shù)/(x)=log4r-目的圖象

關(guān)于直線X=b對稱，而它自身又是偶函數(shù)，圖象又關(guān)于y軸(x=0)對稱，...brO。

思路二：危尸lo&,|x-6|是偶函數(shù)則log/-x-b|=log“|x-臼恒成立，即|x+b|=|x-b|恒成立，；.b=0。

4X-b

［鞏固］設(shè)f(x)=lg(10x+l)+ax是偶函數(shù),g(x尸------是奇函數(shù)，那么a+b的值為()

2X

11

A.lB.-lC.--D.-

22

5.偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，推廣：函數(shù)f⑨對定義域內(nèi)的任意x都有f心力=f(a■網(wǎng)=

函數(shù)f儂的圖象關(guān)于E寸稱，再推廣：函數(shù)f⑨對定義域內(nèi)的任意潴B有f⑶⑻=f匕⑷，

=f⑨的圖象關(guān)于菖山對稱。奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，關(guān)推廣：函數(shù)f3對定義域

內(nèi)的任意X都有f—對Q函數(shù)f⑨的圖象關(guān)于(2。對?稱。注意：兩個函數(shù)

圖象之間的對稱問題不同于函數(shù)自身的對稱問題。函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線目的對稱

曲線是函數(shù)y=f(2a^)的圖象，函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)的對稱曲線是函數(shù)

y=-f(2a-x)的圖象。，

［舉例1］若函數(shù)y=f(x-l)是偶函數(shù)，則y=f(x)的圖象關(guān)于對稱

解析：思路一：y=f(x-l)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，向左平移1個單位后得到函數(shù)

y=f(x)的圖象，對稱軸也隨之平移至x=T,即函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于x=-l對稱；

思路二：y=f(x-l)是偶函數(shù)，則有f(-xT)=f(x-l),由軸對稱的等價定義知函數(shù)y=f(x)的圖

象關(guān)于x=_l對稱。

［舉例2］若函數(shù)f(x)=(x-aM滿足f(l+x)=-f(1-x),則f(2)=.

解析：由f(l+x)=-f(l-x)知,函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于(1,0)對稱，事實(shí)上函數(shù)f(x)=(x-a)3

的圖象關(guān)于(a,0)對稱,；.a=l,于是象美于X-1Hf(2)=l。

［鞏固］函數(shù)y=f(a+x)與函數(shù)y=f(a-x)的圖象

A.關(guān)于y軸對稱B.關(guān)于直線x=a對稱

C.關(guān)于點(diǎn)M(a,0)對稱D.關(guān)于點(diǎn)M(-a,0)對稱

6.若函數(shù)f⑨滿足：f依同=f徒④，則f?是以2a為周期的函數(shù)。注意：不要和對稱

性相混淆。若函數(shù)f因滿足：f出㈤一f⑨婚。，則f⑨是以2a為周期的函數(shù)。類似的

條件還有f(x+。)=—^―,/(x+。)=——^―等。

/(x)/(x)

［舉例］已知函數(shù)y=f(x)(xGR)滿足f(x+l)=/(x—1),且當(dāng)x€［—1,1］時，/(x)=x2,

則N=/'(X)與N=10g5X的圖象的交點(diǎn)個數(shù)為()

A、2B、3C、4D、5

解析：由/(x+l)=/(x-l)知函數(shù)

y=/(x)的周期為2,作出其圖象

如右，當(dāng)x=5時,f(x)=l,log5x=l;

當(dāng)x>5時，f(x)=ie[0,1L-1O

log5x>l,y=/(x)與y=log5X/

的圖象不再有交點(diǎn)，故選C。

［鞏固］設(shè)奇函數(shù)7W的定義域?yàn)镽,且對任意實(shí)數(shù)x滿足f(x+l)=-f(x),若當(dāng)xG［0,1］時,

f(x)=2"T,則f(log,6)=.

7.判斷函數(shù)的單調(diào)性可用有關(guān)單調(diào)性的性質(zhì)（如復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的“同增異減”法則），研

究三次或三次以上的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)性多用導(dǎo)數(shù)；證明函數(shù)單調(diào)性只能用定義或?qū)?shù)，不

能用關(guān)于單調(diào)性的任何性質(zhì),用定義證明函數(shù)單調(diào)性的關(guān)鍵步驟往往是因式分解。記住并會

證明：函數(shù)歹=》+@,（。>0）的單調(diào)性。了解單調(diào)性定義的變形：對區(qū)間歷切內(nèi)的任意

X

“都有‘"）一""）》0,則函數(shù)f⑨在歷目遞增（小于0則遞減）。

［舉例1］證明函數(shù)丁=》+@,（“>0）在（0,、石］上遞減，在［JZ,+8）上遞增。

X

解析：記/1X）=X+q，思路一：用定義證明，任取0<項(xiàng)〈工2W右，/（再）一/（工2）二

X

a

%1-x2+---=（Xj-x2）（1-）,V0<x1<x20<XjX2<a,—>1,

xxx2x}x2x}x2

（Xj-X2）（1--）>0,即/（Xj）>/（工2），工函數(shù)y=x+@,（Q>0）在（O,4a］上遞減.

x}x2x

在［G,+8）上遞增的證明留給讀者自己完成。思路二：用導(dǎo)數(shù)，/"（X）二1-二，

X

若（0,6］,則二21,/（x）=l-2W0,???函數(shù)/（x）在（0,右］上遞減.

XX

（7—1

［舉例2］函數(shù)y=x+——在區(qū)間（0,3）上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為

x

A.a210B.Ka^lOC.a24D.l<a<4

解析：函數(shù)y=x+3匚在區(qū)間（0,而二I］上遞減，；.（0,3）是（0,而二I］

X

的子集，即3W八-1,；.4210。

V4-/J

［遷移］求函數(shù)f（x）==2在（-1,+8）單調(diào)遞減的充要條件.

x+b

（如果把區(qū)間的左端變?yōu)椤伴]”，結(jié)果如何？）

8.函數(shù)圖象的幾種變換：平移變換、伸縮變換遵循“圖進(jìn)標(biāo)退”原理:即曲線（函數(shù)圖象）

向上（右）平移m3內(nèi)個單位，則方程（表達(dá)式）中的y因應(yīng)變?yōu)橄耼僅-n）;曲線（函數(shù)

圖象）橫（縱）坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膎倍，則方程（表達(dá)式）中的x@應(yīng)變?yōu)槎遥?。對稱

nn

（翻折）變換，如函數(shù)產(chǎn)fFR的圖象是由尸f⑨的圖象沿y軸翻折得到，的圖象

是由kf⑨的圖象沿x軸翻折得到，產(chǎn)If⑨|的圖象是由尸f⑨的圖象保留x軸上方的部

分并翻折x軸下方的部分得到，尸f（|x|）是由尸f⑨的圖象保留y軸右側(cè)的部分，擦去左

側(cè)部分并將右側(cè)的部分沿y軸翻折得到。記住兩個函數(shù)圖象：尸1XF|的圖象是“V字形”，

“尖頂”是（40）;歹=竺”的圖象是由一個反比例函數(shù)平移（分離常數(shù)）而來。

［舉例］奇函數(shù)產(chǎn)f（x）（xWO）,當(dāng)x￡（0,+8）時，f（x尸x-l,則函數(shù)f（x-l）的圖象是（）

o■>o

12

ABCD

解析：函數(shù)kf(x)的圖象為C圖，將尸f(x)的圖象向右平移1個單位即得到函數(shù)f(x-l)的圖

象，故選D。

［鞏固］函數(shù)f(x尸Sin2x+2cos2x的圖象向右平移m個單位后為偶函數(shù)，則最小正數(shù)m的值為

［遷移］使得函數(shù)y=x2+a|x|有四個單調(diào)區(qū)間的a的取值范圍。

簡答

4.［鞏固］D；5.［鞏固］A,6.［鞏固］-L7.［遷移"(%)=1+^^,當(dāng)>1?時在(一6,+8)

2x+b

3

上遞減，，-6W-L即a>bel;若變?yōu)椤伴]”則a>b>l；8.［鞏固］一乃，［遷移］滿足條件

8

的函數(shù)圖象在y軸的右側(cè)要“拐彎”，即對稱軸在y軸的右側(cè)，a<0

要點(diǎn)重溫之指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)

1.指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)。特別關(guān)注：axb=(at?)\如：0)。

Yl1

等；logx"=-log“x,(x>0,a〉0,a，l);log?b=------,

mlogAa

(a>0,aW1,6>0,bH1)

［舉例］設(shè)fi<x)=4x+4-x-(2,+x+2,-x)+2則f(x)的最小值為:

解析：記2x+2*=t,t22,4x+4-x+2=t2,g(t)=t2-2t=(t-1)2-l,函數(shù)g(t)在［2,+8)上遞增，

.?.g(t-g⑵=0,即f(x)的最小值為0；注意：此題如果使用基本不等式,有:4X+4-X22,

2l+x+2'-x24,貝ijf(x)=4x+4-x-(21+x+2'-x)+2>2-4+2=0,看似巧妙，結(jié)果也正確，其實(shí)荒唐，

因?yàn)樯鲜鲞^程的實(shí)質(zhì)是“同向不等式相減”。

2.指數(shù)函數(shù)尸a*與對數(shù)函數(shù)產(chǎn)log.x,(a>0,a1)是互為反函數(shù)即

/=bQX=log/它是實(shí)現(xiàn)指數(shù)式與對數(shù)式相互轉(zhuǎn)換的橋梁。當(dāng)a>l時，兩個函數(shù)在定

義域內(nèi)都遞增；當(dāng)時，兩個函數(shù)在定義域內(nèi)都遞減。

［舉例1］光線透過塊玻璃板，其強(qiáng)度要減弱:，要使光線的強(qiáng)度減弱到原來的;以下，至

少需要這樣的玻璃板塊。(參考數(shù)據(jù)：lg2=0.3010,lg3=0.477l)

解析：記光線原來的強(qiáng)度為“，透過一塊玻璃板后其強(qiáng)度變?yōu)槎?，透過〃塊玻璃板后其

10

強(qiáng)度變?yōu)椋?2)%，(―)na<-o,BU(―)n<-,=>?(21g3-1)<-lg3=>H>LG3

10103103l-21g3

10.4,(注意：21g3-l<0),An=11.

7

[舉例2]loga-<1，則a的取值范圍是()

3

2、、2、

(A)(0.—)U(1,+8)(B)(一,+8)

33

I」)22

(C)(D)(0,-)U(-

33

272

解析:若a>L則一<a,；.a〉l；若0<a<L貝U—>a,，0<a〈一;綜上,選A。(本題中視1為

333

log“a是化"數(shù)”為“對數(shù)”的通法)。

［鞏固］若3"=0.618,ae［左,左+1),k&Z,則左=。

［提高］方程x+lgx=3,x+10*=3的解分別為xi,X2,則xi+x2=

3.關(guān)注對數(shù)函數(shù)的定義域，特別是在解對數(shù)不等式(留意對數(shù)變形的等價性)和研究對數(shù)

函數(shù)的單調(diào)性(函數(shù)有意義才談得上增減)時。

［舉例1］函數(shù)f(x)的圖像與函數(shù)g(x)=(,)x的圖像關(guān)于直線y=x對稱，則f(2x-/)的單調(diào)

2

減區(qū)間為()

(A)(0,1)(B)［1,+oo］(C)(，，1)(D)［1,2］

解析:f(x)與g(x)互為反函數(shù),即f(x)=log,x,f(2X-X2)=log,(2x-x2),記h(x)=2x-x2,

22

則h(x)遞增(“外層”遞減)且h(x)〉0(真數(shù))，.?.xG(0,1］,故選A。(在函數(shù)定義域內(nèi)區(qū)間

的“開”“閉”不影響函數(shù)的單調(diào)性，所以求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時一般用開區(qū)間比較“穩(wěn)妥”)。

2

［舉例2］已知命題p：—<x；命題q：log-,X->1；則命題p是命題q的：()

x

A.充分不必要條件，B.必要不充分條件，

C.充要條件D.既不必要也不充分條件

O2o

解析：命題P：一<x,移項(xiàng)通分得：>0,“序軸標(biāo)根”得：xe(-72,0)u(72,4-00),

XX

命題q：10g2，>l等價于：，>2,即xe(_8,—拒)5后,+8)(注意：不等式10g2*>l

與不等式：210g2》>1不等價，10g2，>l等價于210g2從集合包含關(guān)系更容易

看清兩個命題的邏輯關(guān)系，選D。

［鞏固］已知函數(shù)Kx)=bg2(x2-ax+3a)在區(qū)間［2,+oo)上遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是。

4.函數(shù)E的值域?yàn)?Q8)。特別關(guān)注函數(shù)內(nèi)的值與1的大小，函數(shù)產(chǎn)log“x的值

與0的大小。

［舉例1］函數(shù)y=」一的值域是()

2A'-1

(A)(-00,-1)(B)(-00,0)U(0,+oo)

(C)(-1,+8)(D)(-OO,-1)U(0,+8)

解析：思路一：“逆求”：2、=上土>0得：夕>0或丁<-1,選D。思路二：2'—1>—1,

y

“取倒數(shù)''要特別注意不等式兩邊同號，若-1<2、一1<0,則」一<-1；若2、-1>0,則

2V-1

—二>0,綜上，選D。

2V-1

［舉例2］.若Iogm9<logn9<0,那么m,n滿足的條件是()

(A)m>n>l(B)n>m>l(C)0<n<m<l(D)0<m<n<l

解析：10gm9與logQ底數(shù)不同，比較大小不甚方便，注意到bgm9=—!—,則由

10g9tn

?ogm9<logn9<0=>——-——<——-——<0=>Iog9n<log9m<0=>0<n<m<1Co

log9mlog9n

［鞏固］已知g(x)=l0glik+l|(a>0且a#l)在(-1,0)上有g(shù)(x)>0,貝(f(x尸a””是()

(A)在(-8,0)上的增函數(shù)(B)在(-oo,0)上的減函數(shù)

(C)在(-8,-1)上的增函數(shù)(D)在(-co,-1)上的減函數(shù)

5.函數(shù))Tog“g(x),。>0,aH1)的值域主要取決于g⑨。如：—⑨W4,則log?g(x)

2

eH3),其中N區(qū)只是保證對數(shù)值存在的，并不限制對數(shù)值的范圍。若g⑨無最

(極)大值(即上無界)，則函數(shù)月Ogag(x),a>0,aH1)的值域?yàn)間g⑨血K0(特

別地：當(dāng)g儂是二次項(xiàng)系數(shù)為正的二次函數(shù)時g(x),nin<(Xn/AQ)；函數(shù)月Ogag(X)有

最值Qgrnin>Q>

［舉例］函數(shù)y=log］(2x?-2x+l)的值域?yàn)閛

2

解析：2X2-2X+1=2(X--)2+—>—,log］(2x?-2x+l)Wl,.,.函數(shù)值域?yàn)?-8,1］。

2221

［鞏固］設(shè)函數(shù)f(x)=lg(x2+ax-a-l),給出下列命題:①f(x)有最小值;②當(dāng)a=0時,f(x)值域

為R;③當(dāng)a>0時，在⑵+8)上有反函數(shù);④若f(x)在區(qū)間⑵+8)上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的

取值范圍是a2-4.其中正確命題的序號是

簡答

2、［鞏固］-1,［提高］在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫函數(shù)y=3?x,y=lgx,y=l()x的圖象，交點(diǎn)為A、B,A、

B關(guān)于直線y=x對稱，得XI=3-X2；3、［鞏固］g(x)=x?—ax+3a在區(qū)間［2,+s)上遞增且

g(x)=x2—ax+3a>0在區(qū)間［2,+oo)上恒成立,即aW4且g(2)>0得>4vaW4；

4、［鞏固］C；5、［鞏固］②③

要點(diǎn)重溫之函數(shù)綜合

1.奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間內(nèi)單調(diào)性一致(在整個定義域內(nèi)未必單調(diào))，推廣：函數(shù)在

其對?稱中心兩側(cè)單調(diào)性相同。偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間內(nèi)單調(diào)性相反，推廣：函數(shù)在其

對稱軸兩側(cè)的單調(diào)性相反；此時函數(shù)值的大小取決于離對稱軸的遠(yuǎn)近。解“抽象不等式(即

函數(shù)不等式)”多用函數(shù)的單調(diào)性，但必須注意定義域。關(guān)注具體函數(shù)“抽象化”。

［舉例1］設(shè)偶函數(shù)f(x)=log“l(fā)『引在(-8,0)上遞增，則笈a+1)與/■(加2)

的大小關(guān)系是

A.f(a+l)=/■(42)B.Aa+1)>/(M2)C.f(Kl)<F(〃2)D.不確定

解析：函數(shù)外)=1。&3*切為偶函數(shù)，則b=0,.危尸Io4|x|,令g(x)=|x|,函數(shù)g(x)(圖象為“V”

字形)在(-8,0)遞減，而函數(shù)尸k?g"g(x)在(-8,0)上遞增，,0〈a〈l,/.l<a+K2=b+2,

又函數(shù)/(x)為偶函數(shù)且在(-8,0)上遞增，.7/(x)在(0,+8)上遞減，.?.如汁1)寸(/>+2),

故選B。

［舉例2］設(shè)函數(shù)/(x)=d+x,若時，/(加5皿8)+/(1-機(jī))>0恒成立，則

實(shí)數(shù)用的取值范圍是

解析：此題不宜將msin。及l(fā)-m代入函數(shù)/(x)=/+》的表達(dá)式，得到一個“龐大”的不

等式，因?yàn)檫\(yùn)算量過大，恐怕很難進(jìn)行到底。注意到：函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，原不等式等價于：

/(msin^)>/(w-l),又函數(shù)f(x)遞增，...msineAm-l對0亙成立，分離參變

量m(這是求參變量取值范圍的通法)得：m<―5—,(0<l-sinOWl,事實(shí)上當(dāng)sin6=l

1-sinC

時不等式恒成立，即對m沒有限制，所以無需研究)，記g(。尸一--，則m<g(9)min，

1一sine

又,「Ovl-sineWl,，g(e)min=l(當(dāng)且僅當(dāng)6=0時等號成立)，，m〈l。

［鞏固］定義在［T,a］上的函數(shù)￡6)滿足:六2+幻=儀2-幻，且在［2,5］上遞增,方程f(x)=0

的一根為4,解不等式f(3+x)>0

［提匐定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足:f(x+l)=—,且f(x)在［-3,-2］上是減函數(shù),又

/(x)

夕是鈍角三角形的兩銳角，則下列結(jié)論中正確的是：

A.f(sina)>f(cos/)B.f(sinaXf(cos/?)

C.f(sincr)<f(sin^)D.f(cos￡Z)<f(cos

2.關(guān)注“分段函數(shù)”。分段函數(shù)的反函數(shù)、值域一般分段求，分段函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性一

般要借助于圖象。f3=max他⑨，h3｝、f因=min也⑨，h⑨｝也是一種分段函數(shù),作出它

的圖象是研究這類函數(shù)的有效途徑。

sinx當(dāng)sinx2cosx時

［舉例］對于函數(shù)/(x)=,w.，…給出下列四個命題:

cosxssinx<cosx時

①該函數(shù)的值域?yàn)椋?1,1］

②當(dāng)且僅當(dāng)x=2左左+：TT(左€Z)時，該函數(shù)取得最大值1

③該函數(shù)是以不為最小正周期的周期函數(shù)

3兀

④當(dāng)且僅當(dāng)2A%+7T<x<lk7i+—(k^Z｝時,/(x)<0

上述命題中等送的命題個數(shù)為()

A、1B、2C、3D、4

解析：作出函數(shù)產(chǎn)f(x)在［-殳，—］±

22

的圖象如右(先分別作函數(shù)產(chǎn)sinx,y=cosx

的圖象，觀察圖象，保留兩者中之較“高”者)。

從圖象上不難看出：該函數(shù)的值域?yàn)椴啡唬?當(dāng)x=2后%+Z)或x=2左〃時函數(shù)

取得最大值1,該函數(shù)是以2%為最小正周期的周期函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)

37r

2癡+乃<x<2左乃+(左eZ)時,/(x)<0,命題中謂誤的命題個數(shù)為3個，選C。

(3a—l)x+4a,x<1

［鞏固］已知/(x)=4是(…，+8)上的減函數(shù)，那么a取值范圍

log(,x,x>l

是。

3.研究方程根的個數(shù)、超越方程(不等式)的解(特別是含有參量的)、二次方程根的分布、

二次函數(shù)的值域、三角函數(shù)的性質(zhì)(包括值域)、含有絕對值的函數(shù)性質(zhì)、已知函數(shù)值域研

究定義域等一般用函數(shù)圖象(作圖要盡可能準(zhǔn)確)。

［舉例1］若在［0,內(nèi)有兩個不同的實(shí)數(shù)值滿足等式cos2x+百sin2x=左+1,則左的范圍

是_____________

解析：cos2x+V3sin2x=2sin(2x+—),Vxe［0,—］,將2x+工視為,?個角。，06

626

,—］,作函數(shù)y=2sm。在［一,—］上的圖象￥

6666

47"

(注意：無需作函數(shù)歹=2sin(2x+—)的圖象)，容/\工~/2

易看出，當(dāng)y=4+l￡［l,2)時，函數(shù)y=2sin。與~J

函數(shù)歹二人+1的圖象有兩個交點(diǎn)，此時左e［0,1)。

［舉例2］不等式7x2-l>ax的解集為［1,2),則a的值為

解析：分別作函數(shù)y=dx?-1和函數(shù)y=ax

的圖象如右，(函數(shù)y=J.2_i即x2_y2=1,

y>0,雙曲線在x軸上方的部分)。

兩圖象交于M點(diǎn)，要使不等式解集為［1,2),

則M(2,6)，即。=也

2

［鞏固］已知函數(shù)f(x)=|log2x|的定義域?yàn)椋踑,b］,值域?yàn)椋?,2］,則a,b滿足：

A.a=-，b=l或a=l,b=4,B.a=-，lWbW4,

44

C.』WaWl,b=4,D.a=—,1WbW4或1WaWl,b=4。

444

4.求最值的常用方法：①單調(diào)性：研究函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)情況是求函數(shù)值域的最重

要也是最根本的方法。②基本不等式：滿足條件“一正、二定、三相等”時方可使用，如果

“不相等”，常用函數(shù)丁=%+旦,(。>0)的單調(diào)性解決。③逆求法：用y表示力使關(guān)于x

x

的方程有解的y的范圍即為值域，常用于求分式函數(shù)的值域，判別式法就是其中的一種。

④換元法：需要把一個式子看作一個整體即可實(shí)施換元，“三角換元”是針對“平方和等于

r實(shí)施的，目的多為“降元”；求值域時的換元主要是為了“去根號”。⑤數(shù)形結(jié)合。

X?+2x+2

［舉例1］已知函數(shù)y=(x>—1),則其圖象的最低點(diǎn)的坐標(biāo)是()

X+1

A、(1,2)B、(1,-2)C、(0,2)D、不存在

解析：求函數(shù)圖象的最低點(diǎn)的坐標(biāo)即求函數(shù)當(dāng)x取何值時函數(shù)取得最小值，最小值是多少；

此題不宜“逆求”(判別式法)，因?yàn)?20不能保證x>-l(這是使用“判別式法”時需特別

注意的)。記x+l=t,(t>0),此時x=t-l,設(shè)g(t)=——I+2"_D+2='+1=/+->2(當(dāng)且

ttt

僅當(dāng)t=l即x=0時等號成立，(注意這里的“換元”實(shí)質(zhì)是“整體化”的具體落實(shí)，將需要

“整體化”的部分換成一個變量，比“湊”更具一般性也更易實(shí)施)，選C。

［舉例2］已知a+b=T,a,beR,,則的最小值為_______

ab

解析：本題關(guān)注。b的取值范圍，對。力+,使用基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)二±1時等號成

ah

立，事實(shí)上：0<。64(苫2)2=；,?,?等號不成立，即不能使用基本不等式。記。6=/

(0</,ab+一=/+l=g(Z),函數(shù)g(/)在(0,—］上遞減，.??gCDmXgC—)="。

4aht444

5.求參變量的取值范圍通常采用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求某函數(shù)的值域或最值；也可以整體研

究函數(shù)kf(a,x)的最值。

［舉例］關(guān)于x的方程2?Jn2?+4=0(x<0)有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

解析:令2*=t,原方程變?yōu)椋簍Z-mt+4=0在(0,1)上有解，這里顯然不能簡單地用

判別式處理，因?yàn)椴荒鼙ＷC方程在(0,1)上有解，還需附加更多的條件才成，繁！

事實(shí)匕求參變量范圍的問題首先考慮的是“分離參變量"：m=，+：=g⑴,所謂方程有

解，即加在函數(shù)g(/)的值域內(nèi)(這也是解決方程有解問題的通法)，(0,1),.?.不能

使用基本不等式(等號不成立)，注意到函數(shù)g⑺在(0,1)上遞減，...8(/)6(5,+8)

即加e(5,+8)。

2

［遷移］若函數(shù)f(x)=loga(x-ax+3),(a>0且aH1)滿足:對任意x.,當(dāng)xj<x2<—時,f(xi)-f(X2)>0,

2

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A.(0,l)U(l,3)B.(l,3)C.(0,l)U(l,2V3)D.(1,273)

簡答

1.［鞏固］函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于x=2對稱，得a=5,圖示可得l〈xW2或-4Wx<-3。

jr

［提高］函數(shù)產(chǎn)f(x)的周期為2,得f(x)在［0,1］上遞增，又a移項(xiàng)得sina〈cos"

選B；2、［鞏固］關(guān)注兩段函數(shù)在x=l時的函數(shù)值的大小，得.［鞏固］D；

要點(diǎn)重溫之等差、等比數(shù)列

1.公差不為0的等差數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)于n的一次函數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)是公差；前n項(xiàng)和是關(guān)

于n的二次函數(shù),二次項(xiàng)系數(shù)是公差之半且常數(shù)項(xiàng)為0;即等差數(shù)列為｝中，%=?/〃W(d

為公差，n￡NQ,+c〃(/?€N+)a證明某數(shù)列是等差(比)數(shù)列，通常

利用等差(比)數(shù)列的定義加以證明，即證：a>-ai=g'數(shù)—=常數(shù))(〃？2),也可

a?-\

以證明連續(xù)三項(xiàng)成等差(比)數(shù)列。

［舉例］｛冊｝、｛4,｝都是各項(xiàng)為正的數(shù)列，對任意的都有為、1、“向成等差數(shù)歹U，

b；、。向、成等比數(shù)列.試問｛〃｝是否為等差數(shù)列，為什么？

解析:由解+1=b；%得an+l=bnbn+l,于是a“=如bn(M>2),又26；=a“+a?+l,

???2b；=b“b“+/beb“(〃N2),即2〃,=%+%(〃22)，.?.數(shù)列｛九｝是等差數(shù)列。

注意：當(dāng)用定義證明等差(比)數(shù)列受阻時，別忘了這“一招”！上述思路的關(guān)鍵是由

"%+1=切2+1”到"%=2Ta(〃22)”的過渡，即所謂“升降標(biāo)”,這也是處理數(shù)列

問題的一個通法。

［鞏固］已知等差數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和為S“，且S2=10,S5=55,則過兩點(diǎn)

P(D、。("+2,3-)的直線的斜率為：

n〃+2

(A)4(B)3(02(D)l

［遷移］公差非零的等差數(shù)列｛4｝中，前n項(xiàng)之和為S”，則數(shù)列￡,$2,…S,…中

A.不存在等于零的項(xiàng)B.最多有一項(xiàng)等于零

C.最多有2項(xiàng)等于零D.可有2項(xiàng)以上等于零

2.等差數(shù)列中，nHfp^yk］,則“+a尸^+a］,等比數(shù)列/｝中，1什『>坨，則%(m

ap華CN+);等差(等比)數(shù)列中簡化運(yùn)算的技巧多源于這條性質(zhì)。

［舉例1］在等差數(shù)列｛4｝中，%+%+。9為常數(shù)，則其前()項(xiàng)和也為常數(shù)

(A)6(B)7(C)11(D)12

解析：等差數(shù)列｛凡｝的前k項(xiàng)和為常數(shù)即q+%為常數(shù)，而牝+%+%=34為常數(shù)，

.?.2。6=卬+卬1為常數(shù)，即前11項(xiàng)和為常數(shù)，選C。注意：千萬不要以為的+%+%=

48=4+4”，那就大錯特錯了！所謂“下標(biāo)和相等則對應(yīng)項(xiàng)的和相等”，是指兩項(xiàng)和等于

兩項(xiàng)和，三項(xiàng)和等于三項(xiàng)和……。等差數(shù)列中“n項(xiàng)和”與“兩項(xiàng)和(轉(zhuǎn)化為a,+a?)”有關(guān),

某一項(xiàng)或某幾項(xiàng)和均需轉(zhuǎn)化為“兩項(xiàng)和”才能與“n項(xiàng)和”聯(lián)系起來。

［舉例2］等比數(shù)列｛〃”｝中，a4+a?=3,則a$(a3+2a5+a7)=

2222=

解析：a5(a3+2a5+a7)=a5a3+2a5+a5a7=a4+2a4a6+a6=(a4+a<,)9

［鞏固］在正項(xiàng)的等差數(shù)列｛%｝和正項(xiàng)的等比數(shù)列｛〃｝中，有q=4，。2"1=與1，試比

較生與%的大小。

［遷移］等比數(shù)列｛冊｝中，％、是方程/+mx+3=0(w>0)的兩根，則。5。=-

若把條件中的“加>0”換成“加<0”呢？若把條件中的“內(nèi)、％8”換成“卬、%9”

呢？

［提高］在等差數(shù)列［“｝中，前n項(xiàng)之和為S,