各地中考數(shù)學(xué)壓軸題解析

目錄

第一部分函數(shù)圖象中點的存在性問題..............................................1

1.1因動點產(chǎn)生的相似三角形問題.............................................1

1.2因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題............................................15

1.3因動點產(chǎn)生的直角三角形問題...........................................27

1.4因動點產(chǎn)生的平行四邊形問題...........................................43

1.5因動點產(chǎn)生的梯形問題..................................................57

1.6因動點產(chǎn)生的面積問題.................................................68

1.7因動點產(chǎn)生的相切問題..................................................83

1.8因動點產(chǎn)生的線段和差問題.............................................89

第二部分函數(shù)圖象中點的存在性問題.............................................96

2.1由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題........................................96

2.2由面積產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題.............................................104

第三部分圖形運動中的計算說理問題............................................115

3.1代數(shù)計算及通過代數(shù)計算進(jìn)行說理問題.................................116

3.2幾何證明及通過幾何計算進(jìn)行說理問題.................................122

第四部分圖形的平移翻折與旋轉(zhuǎn)................................................127

4.1圖形的平移...........................................................127

4.2圖形的翻折............................................................129

4.3圖形的旋轉(zhuǎn)............................................................131

4.4三角形................................................................133

4.5四邊形................................................................135

4.6圓....................................................................137

4.7函數(shù)圖像的性質(zhì).......................................................139

第一部分函數(shù)圖象中點的存在性問題

1.1因動點產(chǎn)生的相似三角形問題

例12015年上海市寶山區(qū)嘉定區(qū)中考模擬第24題

如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線(20)與直線y=x+2都經(jīng)過點

A⑵曲.

(1)求k與7的值；

(2)此雙曲線又經(jīng)過點B(n,2),過點8的直線比與直線尸x+2平行交

y軸于點G聯(lián)結(jié)被AC,求△板的面積；

(3)在(2)的條件下，設(shè)直線尸x+2與y軸交于點A,在射線沖上有

一點凡如果以點從C、￡所組成的三角形與相似，且相似比不為1,求

點后的坐標(biāo).

圖1

動感體驗

請打開幾何畫板文件名“15寶山嘉定24”，拖動點￡在射線面上運動，可

以體驗到，應(yīng)與相似，存在兩種情況.

思路點撥

1.宜鼓ADHBC,與坐標(biāo)軸的夾角為45°.

2.求△上的面積，一般用割補法.

3.討論△水萬與△45相似，先尋找一組等角，再根據(jù)對應(yīng)邊成比例分兩

種情況列方程.

滿分解答

(1)將點4(2,而代入產(chǎn)=x+2,得片4.所以點力的坐標(biāo)為(2,4).

將點Z(2,4)代入y=K,得4=8.

X

(2)將點夙〃，2),代入y=g,得A=4.『

所以點8的坐標(biāo)為(4,2).\A/

設(shè)直線%為y=x+A代入點夙4,2),得QI/R/

所以點。的坐標(biāo)為(0,—2).______

由4(2,4)、8(4,2)、C(0,-2),可知2、夕/\L/

兩點間的水平距離和豎直距離都是2,B、。兩點間的/T

水平距離和豎直距離都是4.

所以"=2正，BC=46,ZABC=9Q°.圖2

==

所以SAABC=—BA-BC-x2>/2x4\/28.

22

(3)由4(2,4)、〃(0,2)、C(0,-2),得AD=26,AC=2V10.

由于N物什NZ〃=45°,ZACE+ZACP=45°,所以N必4/4龍.

所以△力"與△力切相似，分兩種情況：

①如圖3,當(dāng)生=四時，CE=AD=2V2.

CAAC

此時△九陵相似比為1.

②如圖4,當(dāng)名=4G時，_^=冬膽.解得龍=10夜.此時0、￡兩點

CAAD2布2百

間的水平距離和豎直距離都是10,所以夕(10,8).

考點伸展

第(2)題我們在計算△板的面積時，恰好△板是直角三角形.

一般情況下，在坐標(biāo)平面內(nèi)計算圖形的面積，用割補法.

如圖5,作△胸的外接矩形幽屈W/y軸.

=

由S矩形gj產(chǎn)24,5kx?76>5AX?8=2>得5k板=8.

圖5

例22014年武漢市中考第24題

如圖1,Rt△板中，ZACB=9Q°,AC=6cm,BC=8cm,動點尸從點B

出發(fā)，在物邊上以每秒5cm的速度向點4勻速運動，同時動點0從點C出發(fā)，

在〃邊上以每秒4cm的速度向點8勻速運動，運動時間為t秒(0<t<2),

連接做

(1)若△即0與△胸相似，求t的值；

(2)如圖2,連接四、CP,若四上CP,求匕的值；

(3)試證明：網(wǎng)的中點在△胸的一條中位線上.

圖1圖2

動感體驗

請打開幾何畫板文件名“14武漢24”，拖動點尸運動，可以體驗到，若^

第0可以兩次成為直角三角形，與△板相似.當(dāng)時，MACSXCDP.PQ

的中點，在

ZU5C的中位線跳'上.

思路點撥

1.△喇與△府有公共角，按照夾角相等，對應(yīng)邊成比例，分兩種情況

列方程.

2.作PDLBC于D,動點只0的速度，暗含了BD=CQ.

3.印的中點〃在哪條中位線上？畫兩個不同時刻尸、Q、，的位置，一目了

然.

滿分解答

(1)Rt△胸中，AC=6,BC=8,所以居=10.

△8圖與△被相似，存在兩種情況：

.解得t=l.

?解得昔

圖3圖4

(2)忤PDLBC,垂足為A.

在Rt△用力中，BP=5t,cos^-,所以即=8"osB=4t,PD=3t.

5

當(dāng)Z0L6F時，MACSXCDP.

所以卷嚼，即『怨?解得W

(3)

由于，是網(wǎng)的中點，HF//PD,所以尸是磔的中點.

又因為BD=CQ=4t,所以BF=CF.

因此尸是宛的中點，￡是四的中點.

所以N的中點〃在△板的中位線EF上.

考點伸展

本題情景下，如果以尸。為直徑的與△儂:的邊相切，求1的值.

如圖7,當(dāng)。，與血相切時，QPLAB,就是竺=生，/=%.

BQBA41

如圖8,當(dāng)。，與回相切時，PQ工BC,就是竺=絲，t=l.

BQBC

如圖9,當(dāng)。，與47相切時，直徑PQ=^PCT+QE^=7(302+(8-8?)2,

半徑等于心=4.所以&于+(8-8。2=8.

解得或匕=0(如圖10,但是與已知0V6V2矛盾).

例32012年蘇州市中考第29題

如圖1,已知拋物線產(chǎn)上2」（。+1?+幺"是實數(shù)且6>2）與x軸的正半

444

軸分別交于點4、6（點Z位于點8是左側(cè)），與y軸的正半軸交于點C.

（1）點8的坐標(biāo)為,點。的坐標(biāo)為（用含力的代數(shù)式表

示）；

（2）請你探索在第一象限內(nèi)是否存在點P,使得四邊形PCOB的面積等于

2b,且是以點尸為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，求出點尸的坐

標(biāo)；如果不存在，請說明理由；

（3）請你進(jìn)一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點0,使得△口力、XQOA於X

Q仿中的任意兩個三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求

出點。的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

動感體驗

請打開幾何畫板文件名“12蘇州29”，拖動點8在x軸的正半軸上運動，

可以體驗到，點P到兩坐標(biāo)軸的距離相等，存在四邊形尸6緲的面積等于2力的

時刻.雙擊按鈕“第（3）題”，拖動點B,可以體驗到，存在40QA=/B的時

刻，也存在N8'4=/夕的時刻.

思路點撥

1.第（2）題中，等腰直角三角形儂1暗示了點尸到兩坐標(biāo)軸的距離相等.

2.聯(lián)結(jié)仍把四邊形尸a勿重新分割為兩個等高的三角形，底邊可以用含

力的式子表示.

3.第（3）題要探究三個三角形兩兩相似，第一直覺這三個三角形是直角

三角形，點0最大的可能在經(jīng)過點A與x軸垂直的直線上.

滿分解答

（D夕的坐標(biāo)為6,0）,點。的坐標(biāo)為（0,

4

（2）如圖2,過點夕作四〃_x軸，血y軸，垂足分別為仄E,那么△板

94PEC.

因此PD=PE.設(shè)點P的坐標(biāo)為（x,x）.

如圖3,聯(lián)結(jié)0P.

所以S四邊形PCOB=SXKO+-x—x+—xbx=-bx=2b.

2428

解得x=3.所以點尸的坐標(biāo)為（3,3）.

555

(3)由y=工乂-，S+l)x+2=J_(x-l)(x-8)，得4(1,0),0/1=1.

4444

①如圖4,以以、力為鄰邊構(gòu)造矩形出仇；那么△歐宿△仇隊

當(dāng)?shù)?=國，即Q42=BA.OA時，△園4s△仇私

QAOA

所以(配二人1.解得z，=8±4g.所以符合題意的點0為(1,2+百).

②如圖5,以況1為直徑的圓與直線戶1交于點0,那么N破X90°。

因此△比‘gZk0Q4.

當(dāng)空=0時，盤即XQOA.此時/力490。.

QAOA

所以C、0、8三點共線.因此空=義，即2=國.解得QA=4.此時0(1,4).

COOAbI

考點伸展

第(3)題的思路是，A.C、。三點是確定的，8是x軸正半軸上待定的點,

而/初與/幽是互余的，那么我們自然想到三個三角形都是直角三角形的情

況.

這樣，先根據(jù)曲與△明相似把點。的位置確定下來，再根據(jù)兩直角邊

對應(yīng)成比例確定點8的位置.

如圖中，圓與直線戶1的另一個交點會不會是符合題意的點0呢？

如果符合題意的話，那么點3的位置距離點4很近，這與加4%矛盾.

例42012年黃岡市中考模擬第25題

如圖1,已知拋物線的方程Cl：),=_l(x+2)(x_附(。>0)與x軸交于點A

m

C,與y軸交于點￡且點夕在點。的左側(cè).

(1)若拋物線61過點”(2,2),求實數(shù)必的值；

(2)在(1)的條件下，求△睡的面積；

(3)在(1)的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點〃使得最小,

求出點〃的坐標(biāo)；

(4)在第四象限內(nèi)，拋物線Q上是否存在點月使得以點反C.尸為頂點

的三角形與△比F相似？若存在，求加的值；若不存在，請說明理由.

動感體驗

請打開幾何畫板文件名“12黃岡25”，拖動點。在x軸正半軸上運動，觀

察左圖，可以體驗到，死與加'保持平行,但是在無限遠(yuǎn)處也不等于45°.觀

察右圖，可以體驗到，/以戶保持45°,存在/班XN8位的時刻.

思路點撥

1.第(3)題是典型的“牛喝水”問題，當(dāng)〃落在線段比上時，BH+EH最

小.

2.第(4)題的解題策略是：先分兩種情況畫直線BF,作乙CBF=4EBC=

45°,或者作則/況：再用含卬的式子表示點尸的坐標(biāo).然后根據(jù)夾角相等，

兩邊對應(yīng)成比例列關(guān)于R的方程.

滿分解答

(1)將〃(2,2)代入y=--—(x+2)(x-m)>得2=-■—x4(2-m)?解得R=4.

mm

(2)當(dāng)勿=4時，y=—；(x+2)(x-4)=—；f+gx+2?所以C(4,0),E(0,2).

所以5^=，COE」X6X2=6.

22

(3)如圖2,拋物線的對稱軸是直線x=l,當(dāng)〃落在線段比上時，BH+

EH最小.

設(shè)對稱軸與x軸的交點為尸，那么竺=殷.

CPCO

因此里」.解得小＞=3.所以點〃的坐標(biāo)為"!)?

342

(4)①如圖3,過點8作優(yōu)的平行線交拋物線于用過點尸作即_Lx軸

于〃.

由于/BCE=NFBC,所以當(dāng)笠=生，即3。2=庭.3尸時，△氏如△陽C.

CBBF

1口gs—(x+2)(xr%)

設(shè)點尸的坐標(biāo)為(x,---(x+2)(x-/?/))9由---=---9得〃----------_2_

mBF'COx+2m

解得x=/zz+2.所以廠’(ZZT+2,0).

由普票得min+4所以§尸_(m+4W"/+4

y/m2+4BFm

2得5+2)2二斤NXQMH

^BC=CEBF9

圖4

②如圖4,作/儂'=45°交拋物線于尸，過點尸作印J_x軸于尸，

由于/EBC=/CBF,所以生=生，即8c2=8EB尸時，△"方s△哥'C.

BCBF

在RtZkBFF'中，由m=BF,得Lx+2)(x-m)=x+2?

m

解得X=2E.所以尸(2m,0).所以BF'=2*2,BF=0(2%+2).

由BC2=BEBF,得(W+2)2=2也X0(2W+2).解得，〃=2±2&.

綜合①、②，符合題意的必為2+2立.

考點伸展

第(4)題也可以這樣求BF的長：在求得點尸、戶的坐標(biāo)后，根據(jù)兩點間

的距離公式求加'的長.

例52010年義烏市中考第24題

如圖1,已知梯形OABC,拋物線分別過點0（0,0）、A（2,0）、B（6,3）.

（1）直接寫出拋物線的對稱軸、解析式及頂點〃的坐標(biāo)；

（2）將圖1中梯形西。的上下底邊所在的直線OA、而以相同的速度同時

向上平移，分別交拋物線于點Q、4、G、得到如圖2的梯形。4瓜兄設(shè)梯

形QA5G的面積為S4、5的坐標(biāo)分別為（尾，歷）、（也，㈤.用含S的代數(shù)

式表示后一不，并求出當(dāng)5=36時點4的坐標(biāo)；

（3）在圖1中，設(shè)點〃的坐標(biāo)為（1,3）,動點尸從點夕出發(fā)，以每秒1個

單位長度的速度沿著線段比運動，動點0從點，出發(fā)，以與點尸相同的速度沿

著線段則運動.只0兩點同時出發(fā)，當(dāng)點0到達(dá)點〃時，P、0兩點同時停止

運動.設(shè)尸、。兩點的運動時間為t,是否存在某一時刻t,使得直線尸0、直線

AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似？

若存在，請求出1的值；若不存在，請說明理由.

動感體驗

請打開幾何畫板文件名“10義烏24"，拖動點/上下運動，觀察圖形和圖

象，可以體驗到，用一為隨S的增大而減小.雙擊按鈕“第（3）題”，拖動點0

在ZW上運動，可以體驗到，如果/在=NG@；那么△在與△儂1相似.

思路點撥

1.第（2）題用含S的代數(shù)式表示應(yīng)一帚，我們反其道而行之，用小及表

示S.再注意平移過程中梯形的高保持不變，即為一％=3.通過代數(shù)變形就可

以了.

2.第（3）題最大的障礙在于畫示意圖，在沒有計算結(jié)果的情況下，無法

畫出準(zhǔn)確的位置關(guān)系，因此本題的策略是先假設(shè)，再說理計算，后驗證.

3.第（3）題的示意圖，不變的關(guān)系是：直線四與x軸的夾角不變，直線

相與拋物線的對稱軸的夾角不變.變化的直線N的斜率，因此假設(shè)直線網(wǎng)與

四的交點G在x軸的下方，或者假設(shè)交點G在x軸的上方.

滿分解答

(1)拋物線的對稱軸為直線X=1,解析式為y=Lx2_l.x,頂點為

848

(2)梯形OMG的面積S=乂芭一1+；2一1)*3=3(內(nèi)+々)_6,由此得到

+%=■—H2.由于必—y=3，所以%—y1=—九;—“2——%=3.整理，

238484

得(Z一玉)§(“2+%)一4=3.因此得至!j4一%=.

當(dāng)袋36時，1%+X=14,解得["=6,此時點兒的坐標(biāo)為"，3).

x2-x1-2.[x2=8.

(3)設(shè)直線四與可交于點G,直線四與拋物線的對稱軸交于點￡,直線

N與x軸交于點尸，那么要探求相似的尸與△G3；有一個公共角NG.

在△糜中，NG制是直線四與拋物線對稱軸的夾角，為定值.

在△曲尸中，NG4b是直線相與x軸的夾角，也為定值，而且N必杼/力五

因此只存在/傀后=N/產(chǎn)的可能，XGQEsXGAF.這時N渤QNG但N

PQD.

由于tan/GAF=3,tanNPQO=^='，所以3='.解得/=型.

4QP5-t45-t7

圖3圖4

考點伸展

“第(3)題是否存在點G在x軸上方的情況？如圖4,假如存在，說理過程

相同，求得的方的值也是相同的.事實上，圖3和圖4都是假設(shè)存在的示意圖,

實際的圖形更接近圖3.

例62009年臨沂市中考第26題

如圖L拋物線經(jīng)過點4(4,0)、B(1,0)、＜7(0,-2)三點.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)戶是拋物線上的一個動點，過刀作用軸，垂足為機是否存在點只

使得以A.P、〃為頂點的三角形與△而C相似？若存在，請求出符合條件的點

。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

(3)在直線4C上方的拋物線是有一點A,使得AZO的面積最大，求出點

。的坐標(biāo).

圖1

動感體驗

請打開幾何畫板文件名“09臨沂26”，拖動點尸在拋物線上運動，可以體

驗到，4/W的形狀在變化，分別雙擊按鈕“尸在8左側(cè)”、“夕在x軸上方”和

“尸在4右側(cè)”，可以顯示△44〃與△物。相似的三個情景.

雙擊按鈕“第(3)題”，拖動點〃在x軸上方的拋物線上運動，觀察

的形狀和面積隨〃變化的圖象，可以體驗到，少是4。的中點時，的面積

最大.

思路點撥

1.已知拋物線與x軸的兩個交點，用待定系數(shù)法求解析式時，設(shè)交點式比

較簡便.

2.數(shù)形結(jié)合，用解析式表示圖象上點的坐標(biāo)，用點的坐標(biāo)表示線段的長.

3.按照兩條直角邊對應(yīng)成比例，分兩種情況列方程.

4.把△加4可以分割為共底的兩個三角形，高的和等于處.

滿分解答

(D因為拋物線與x軸交于4(4,0)、8(1,0)兩點，設(shè)拋物線的解析式

為y=a(x-l)(x-4),代入點。的坐標(biāo)(0,-2),解得a=-g.所以拋物線的

解析式為y=_}xT)(x_4)=+梟_2.

222

(2)設(shè)點尸的坐標(biāo)為(x,」(x-l)(x-4)).

2

①如圖2,當(dāng)點尸在x軸上方時，1VXV4,PM=--(x-l)(x-4),

2

AM=4-x.

一1(x-l)(x-4)

4r由AMAO

如1果——=—2,那么I=2.解得x=5不合題意.

PMCO

-^(x-l)(x-4)

田AMAO

4如1rt果——=—那么2F解得、=2-

PMCO2

此時點尸的坐標(biāo)為(2,1).

②如圖3,當(dāng)點尸在點N的右側(cè)時，x>4,FM=-(x-l)(x-4),AM^x-4.

2

—(x-l)(x-4)

解方程----------=2,得x=5.此時點尸的坐標(biāo)為(5,-2).

x-4

一(x—1)(x—4)

解方程-------——=-,得x=2不合題意.

x—42

③如圖4,當(dāng)點尸在點6的左側(cè)時，xVL=—l)(x—4),AM=4-x.

2

_(x-l)(x-4)

解方程----------=2,得x=—3.此時點尸的坐標(biāo)為(-3,74).

4-x

—(x—l)(x-4)

解方程.....——得x=O.此時點P與點0重合，不合題意.

4一x2

綜上所述，符合條件的點P的坐標(biāo)為(2,1)或(-3,-14)或(5,-2).

>x

圖2圖3圖4

(3)如圖5,過點〃作x軸的垂線交NC于E.直線4C的解析式為y=-x-2.

設(shè)點〃的橫坐標(biāo)為R(1<7〃<4),那么點，的坐標(biāo)為(m,-L/+*加一2),點

22

E的坐標(biāo)為.所以DE=(-?-m2=--m2+2m.

22222

因此SAOAC+2，〃)X4=T”2+4m=-(/?-2)2+4.

當(dāng)〃?=2時，的面積最大，此時點〃的坐標(biāo)為(2,1).

圖5圖6

考點伸展

第(3)題也可以這樣解：

如圖6,過〃點構(gòu)造矩形⑶見那么△a%的面積等于直角梯形。獨的面

積減去△曲和羽的面積.

設(shè)點。的橫坐標(biāo)為(R,n)(1<m<4),那么

S=—(2n+2)x4一』m(n+2)——〃(4—in)=-m+2〃+4?

222

由于〃=--m2+—m-2,所以S=-m2+4m.

22

1.2因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題

例12015年重慶市中考第25題

如圖1,在△48。中，ZACS=90°,ZBAC=6Q°,點E是NBAC的平分線

上一點，過點￡作的垂線，過點Z作四的垂線，兩垂線交于點〃連接施,

點尸是物的中點，DHVAC,垂足為H,連接用HF.

(1)如圖1,若點〃是熊的中點，AC=2^,求被切的長；

(2)如圖1,求證：HF=EF.

(3)如圖2,連接6F、CE,猜想：△儂■是否是等邊三角形？若是，請證

明；若不是，請說明理由.

動感體驗

請打開幾何畫板文件名“15重慶25”，拖動點后運動，可以體驗到，XFAE

與△河歸保持全等，△叱與保持全等，△呼保持等邊三角形的形狀.

思路點撥

1.把圖形中所有30°的角都標(biāo)注出來，便于尋找等角和等邊.

2.中點戶有哪些用處呢？聯(lián)想到斜邊上的中線和中位線就有思路構(gòu)造輔助

線了.

滿分解答

(1)如圖3,在Rt△胸中，N胡仁60°,AC=2^/3,所以居=4百.

在RtZUZ組中，ZDAH=3Q°,AH=&所以淅4,AD=2.

在Rt△板中，AD=2,AB=4&由勾股定理，得〃=2a.

(2)如圖4,由/加Q90°,N物3=60°,/￡平分4必C,得/物￡=60°,

ZZZ4^=30°.

在Rt△/應(yīng)中，AE=-AD.在Rt△4汗中，DH=-AD.所以AB=DH.

22

因為點尸是Rt△板的斜邊上的中線，所以FA=FD,/FAD=/FDA.

所以NFAE=NFDH.所以△必匡△發(fā)況所以EF=HF.

B

(3)如圖5,作/<L四于掰聯(lián)結(jié)或

^FM//DA,尸是龍的中點，得〃是血的中點.

因此騰=』AO,△/或是等邊三角形.

2

又因為4￡=，A￡>,所以班.

2

又因為陰。，ZCMF^ZCAE=3Q°,所以△QCN△。及

所以NJO-NZ綏CF=CE.

所以N￡gNH的60°.所以△呼是等邊三角形.

考點伸展

我們再看幾個特殊位置時的效果圖，看看有沒有熟悉的感覺.

如圖6,如圖7,當(dāng)點方落在回邊上時，點，與點C重合.

圖6圖7

B

圖8圖9圖10

圖11

例22014年長沙市中考第26題

如圖L拋物線y=aV+8x+c(a、b、c是常數(shù)，aWO)的對稱軸為y軸,

且經(jīng)過(0,0)和(&,')兩點，點尸在該拋物線上運動，以點尸為圓心的。尸總經(jīng)

16

過定點力(0,2).

(1)求a、b、c的值；

(2)求證：在點尸運動的過程中，。尸始終與x軸相交；

(3)設(shè)。尸與x軸相交于〃(荀，0)、M&,0)兩點，當(dāng)△制為等腰三角形

時，求圓心產(chǎn)的縱坐標(biāo).

動感體驗

請打開幾何畫板文件名“14長沙26”，拖動圓心產(chǎn)在拋物線上運動，可以

體驗到，圓與x軸總是相交的，等腰三角形胸存在三種情況.

思路點撥

1.不算不知道，一算真奇妙，原來。尸在x軸上截得的弦長加14是定值.

2.等腰三角形胸存在三種情況，其中例=磔和胡=幽兩種情況時，點

尸的縱坐標(biāo)是相等的.

滿分解答

(1)已知拋物線的頂點為(0,0),所以尸af.所以6=0,c=0.

將(6-)代入尸aZ得2=解得“=!(舍去了負(fù)值).

(2)拋物線的解析式為y=設(shè)點尸的坐標(biāo)為

44

已知4(0,2),所以+($2—2)2+4>.

而圓心尸到X軸的距離為,所以半徑用＞圓心尸到X軸的距離.

4

所以在點尸運動的過程中，。尸始終與X軸相交.

(3)如圖2,設(shè)射的中點為〃那么用垂直平分脈

在RtZX/W中，PM2=PA2=-X4+4,PH2=(-x)2=-x4,所以施=4.

16416

所以般=2.因此磔=4,為定值.

等腰△4W存在三種情況：

①如圖3,當(dāng)加4V時，點尸為原點0重合，此時點尸的縱坐標(biāo)為0.

此時x=OH=26+2.所以點P的縱坐標(biāo)為

-x2=-(2＞/3+2)2=(石+1)2=4+28.

44

③如圖5,當(dāng)也=照時，點尸的縱坐標(biāo)為也為4+26.

如果點尸在拋物線＞=1/上運動，以點尸為圓心的。尸總經(jīng)過定點8(0,1),

4

那么在點尸運動的過程中，。尸始終與直線尸一1相切.這是因為：

設(shè)點尸的坐標(biāo)為(x」V).

4

已知夙0,1),所以PB=-所=J(；x，+1)2=；f+l.

而圓心P到直線尸一1的距離也為工萬2+1,所以半徑陽=圓心尸到直線y

4

=-1的距離.所以在點尸運動的過程中，。尸始終與直線尸一1相切.

例32013年上海市虹口區(qū)中考模擬第25題

如圖1,在Rt△板中，NH=90°,AB=6,AC=8,點〃為邊勿的中點,

DE1BC交邊AC于技E,點尸為射線四上的一動點，點0為邊4c上的一動點，

且乙如g90°.

（1）求助、￡C的長；

（2）若BP=2,求。的長；

動感體驗

請打開幾何畫板文件名“13虹口25”，拖動點尸在射線相上運動，可以體

驗到，a/w與△aw保持相似.艱察叢PDF,可以看到，P、尸可以落在對邊的

垂直平分線上，不存在所=分的情況.

請打開超級畫板文件名“13虹口25”，拖動點尸在射線相上運動，可以體

驗到，△也"與△&W保持相似.觀察△包戶，可以看到，只尸可以落在對邊的

垂直平分線上，不存在加=分的情況.

思路點撥

1.第（2）題步=2分兩種情況.

2.解第（2）題時，畫準(zhǔn)確的示意圖有利于理解題意，觀察線段之間的和

差關(guān)系.

3.第（3）題探求等腰三角形包戶時，根據(jù)相似三角形的傳遞性，轉(zhuǎn)化為

探求等腰三角形CDQ.

滿分解答

（1）在Rt△板中，AB=6,AC=8,所以比=10.

Q1s9S

在Rt△核中，CD=3,所以EO=COtanNC=5x-=—,EC=—.

444

（2）如圖2,過點，作DMLAB,DN工AC,垂足分別為M、N,那>么DM、DN

是

△放的兩條中位線，DM=4,DN=3.

由/加=90。，NMDN=90°,司得/PDM=/QDN.

因此△包物心△沖

圖4

①如圖3,當(dāng)g=2,P在布上時，PM=\.

319

此時QN=qPM=1.所以CQ=CN+QN=4+3=N.

一一44

②如圖4,當(dāng)冊=2,尸在加的延長線上時，PM=5.

3151ca1

此時°N=*PM=—?所以CQ=CN+QN=4+—=—.

'一44

(3)如圖5,如圖2,在Rt△吶中，tan/QPD=22=里=3

PDDM4

在Rt△腦中，tan/C=g^=3.所以NQPANC.

CA4

由N/W=90。，Z<7^=90°,可得/PDF=/CDQ.

因此△物s△郎.

當(dāng)△曲是等腰三角形時，△郎也是等腰三角形.

①如圖5,當(dāng)卬=02=5時，QN=CQ~Cg3—4=\（如圖3所示）.

此時PM=3QN=9.所以BP=5M-PM=3-3=9.

3333

②如圖6,當(dāng)冷初時，由cosC=空，可得CQ=3'=竺.

CQ258

所以加加。=4-"=工（如圖2所示）.

88

此時PM=3QN=N.所以=+=3+2=史.

3666

③不存在W的情況.這是因為NDFP2NDQP>NDPQ（如圖5,圖6所

示）.

圖5圖6

考點伸展

如圖6,當(dāng)△3是等腰三角形時，根據(jù)等角的余角相等，可以得到△校

也是等腰三角形，PB=PD.在△應(yīng)「中可以直接求解8P=紀(jì).

6

例42012年揚州市中考第27題

如圖1,拋物線尸a，+"+c經(jīng)過4(-1,0)、夙3,0)、。(0,3)三點，直

線］是拋物線的對稱軸.

(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

(2)設(shè)點尸是直線I上的一個動點，當(dāng)△必。的周長最小時，求點尸的坐

標(biāo)；

(3)在直線1上是否存在點M,使△物。為等腰三角形，若存在，直接寫

出所有符合條件的點〃的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

動感體驗

請打開幾何畫板文件名“12揚州27”，拖動點尸在拋物線的對稱軸上運動,

可以體驗到，當(dāng)點尸落在線段■上時，陽+產(chǎn)。最小，△陽。的周長最小.拖動

點〃在拋物線的對稱軸上運動，觀察△物。的三個頂點與對邊的垂直平分線的位

置關(guān)系，可以看到，點〃有1次機會落在4c的垂直平分線上；點兒有2次機會

落在加'的垂直平分線上；點。有2次機會落在MA的垂直平分線上，但是有1

次M、A、。三點共線.

思路點撥

1.第(2)題是典型的“牛喝水”問題，點尸在線段寬上時△玄。的周長

最小.

2.第(3)題分三種情況列方程討論等腰三角形的存在性.

滿分解答

(1)因為拋物線與x軸交于4(-1,0)、M3,0)兩點，設(shè)尸a(x+l)(x-

3),

代入點。(0,3),得一3a=3.解得a=-l.

所以拋物線的函數(shù)關(guān)系式是y=—(x+l)(x—3)=-/

+2x+3.

(2)如圖2,拋物線的對稱軸是直線戶1.

當(dāng)點尸落在線段回上時，必+W最小，△用C的周長最小.

設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點為H.

由理_=型,BO=CO,得PH=BH=2.

BOCO

所以點尸的坐標(biāo)為(1,2).

⑶點〃的坐標(biāo)為(1,1)、(1,Q(1,-#)或(1,0).

考點伸展

第(3)題的解題過程是這樣的：

設(shè)點〃的坐標(biāo)為(1,血.

在△心。中，/62=10,必=l+(k3)2,畫=4+方.

①如圖3,當(dāng)場=比時，MA=MC.解方程4+/=1+(9一3):得R=1.

此時點〃的坐標(biāo)為(1,1).

②如圖4,當(dāng)4^=4。時，加=初.解方程4+/=10,得加=±#.

此時點〃的坐標(biāo)為(1,遙)或(1,-V6).

③如圖5,當(dāng)陰。時，3=Ch解方程1+(。-3)2=10,得卬=0或6.

當(dāng)”(1,6)時，M、A.。三點共線，所以此時符合條件的點〃的坐標(biāo)為(1,0).

圖3圖4圖5

例52012年臨沂市中考第26題

如圖1,點/在x軸上，04=4,將線段處繞點。順時針旋轉(zhuǎn)120°至OB

的位置.

(1)求點B的坐標(biāo)；

(2)求經(jīng)過4、0、8的拋物線的解析式；

(3)在此拋物線的對稱軸上，是否存在點尸，使得以點尸、0、6為頂點的

動感體驗

請打開幾何畫板文件名“12臨沂26”，拖動點尸在拋物線的對稱軸上運動,

可以體驗到，。。和。夕以及陽的垂直平分線與拋物線的對稱軸有一個共同的

交點，當(dāng)點尸運動到。。與對稱軸的另一個交點時，B、0、尸三點共線.

請打開超級畫板文件名“12臨沂26”，拖動點尸，發(fā)現(xiàn)存在點尸，使得以點

只0、3為頂點的三角形是等腰三角形

思路點撥

1.用代數(shù)法探求等腰三角形分三步：先分類，按腰相等分三種情況；再根

據(jù)兩點間的距離公式列方程；然后解方程并檢驗.

2.本題中等腰三角形的角度特殊，三種情況的點尸重合在一起.

滿分解答

(1)如圖2,過點6作軸，垂足為C.

在RtZXQ%中，/BOC=30°,08=4,所以31=2,0C=2^.

所以點8的坐標(biāo)為(-2,-26).

(2)因為拋物線與x軸交于。、4(4,0),設(shè)拋物線的解析式為尸ax(x—

4),

代入點伙-2,-2/),-2>/3=-2ax(-6).解得“=_且.

6

所以拋物線的解析式為)?=-立x(x-4)=--X2?

663

(3)拋物線的對稱軸是直線―2,設(shè)點尸的坐標(biāo)為(2,9.

①當(dāng)如=必=4時，印=16.所以4+/=16.解得沖士2G.

當(dāng)產(chǎn)在(2,26)時，B、0、尸三點共線(如圖2).

②當(dāng)方=:3=4時，BP—16.所以4。+(y+26)2=16.解得乂=、2=-2>/5.

③當(dāng)期=尸0時，P^=PO.所以42+(y+2G)=22+y2.解得y=_26.

綜合①、②、③，點P的坐標(biāo)為(2,-26),如圖2所示.

考點伸展

如圖3,在本題中，設(shè)拋物線的頂點為A,那么△她與42姐是兩個相似

的等腰三角形.

由y=--^x(x-4)=-^-(x-2)2+竿，得拋物線的頂點為。(2,半).

因此tan/ZXM=述.所以N%4=30°,/物=120°.

3

例62011年鹽城市中考第28題

如圖1,已知一次函數(shù)尸一*+7與正比例函數(shù)丫=9'的圖象交于點4且

3

與x軸交于點B.

(1)求點火和點夕的坐標(biāo)；

(2)過點力作ZC_Ly軸于點。，過點夕作直線

〃/y軸.動點尸從點0出發(fā)，以每秒1個單位長的

速度，沿—Z的路線向點/運動；同時直線］

從點8出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過程中，

直線1交x軸于點R,交線段BA或線段40于點Q.當(dāng)

點尸到達(dá)點4時，點尸和直線］都停止運動.在運

動過程中，設(shè)動點尸運動的時間為匕秒.

①當(dāng)C為何值時，以力、只A為頂點的三角形

的面積為8?

②是否存在以AP、。為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求匕的值;

若不存在，請說明理由.

圖1

動感體驗

請打開幾何畫板文件名“11鹽城28”，拖動點斤由8向0運動，從圖象中

可以看到，的面積有一個時刻等于8.觀察可以體驗到，尸在3

上時，只存在的情況；尸在。上時，有三個時刻，△板是等腰三角形.

思路點撥

1.把圖1復(fù)制若干個，在每一個圖形中解決一個問題.

2.求△■的面積等于8,按照點尸的位置分兩種情況討論.事實上，戶在

。上運動時，高是定值4,最大面積為6,因此不存在面積為8的可能.

3.討論等腰三角形綱，按照點尸的位置分兩種情況討論，點產(chǎn)的每一