浙江省杭州市臨平區(qū)杭州高級中學臨平學校2024-2025學年高一下學期4月月考 數(shù)學試題（含解析）

杭高臨平高一數(shù)學階段考一、單選題（每題5分，共40分）1.已知點，，向量，若⊥，則實數(shù)y的值為（）A. B. C.7 D.【答案】D【解析】【分析】由垂直向量的坐標表示求接即可得出答案.【詳解】因為，，所以，向量，若⊥，則，解得：故選：D.2.用一個平面截半徑為3的球，截面面積為，則球心到截面的距離為（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)球的截面的性質(zhì)即可求解.【詳解】根據(jù)截面面積為可知：截面圓的半徑，根據(jù)球心與截面圓的圓心的連線垂直于截面可知：球心到截面的距離為故選：C3.已知，則“為純虛數(shù)”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分不必要條件的定義及復數(shù)的相關概念可確定選項.【詳解】當為純虛數(shù)時，設，則，∴.當時，可取，則為純虛數(shù)不成立.綜上得，“為純虛數(shù)”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出相關參數(shù)得到解析式，再將自變量代入求函數(shù)值即可.【詳解】由題設且，則，故，又，則，所以，則.故選：B5.在中，為的角平分線，若，，，則邊的長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)，利用面積公式可得，再利用余弦定理求解即可.【詳解】由可得，，所以，所以，所以，所以，故選：C6.根據(jù)畢達哥拉斯定理，以直角三角形的三條邊為邊長作正方形，從斜邊上作出的正方形的面積正好等于在兩直角邊上作出的正方形面積之和，現(xiàn)在對直角三角形CDE按上述操作作圖后，得如圖所示的圖形，若，則=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依題意，建立平面直角坐標系，設，求得的坐標，再由列式求解即可.【詳解】建立如圖所示平面直角坐標系：設，則，則，，所以，即，所以，因為，所以，則，則，化簡得，故選：B.【點睛】關鍵點點睛：涉及幾何圖形中的向量運算，根據(jù)圖形特征建立平面直角坐標系，求出相關點的坐標是解題的關鍵.7.已知一個圓臺的上、下底面半徑分別為1和4，高為．若該圓臺內(nèi)有一個球，則該球的表面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，作出圓臺軸截面，分析可知，當球與相切時，其表面積最大，再結合條件求得球的半徑，得到結果即可.【詳解】如圖，作出圓臺的軸截面，要使球的表面積最大，則球需要與相切，設圓的半徑為，則，因為，所以，作，，因為，所以，而，由勾股定理得，則，且，而，即得到，解得，則該球的表面積的最大值為，故B正確.故選：B【點睛】關鍵點點睛：解題關鍵是判斷出表面積最大時的情況，然后利用勾股定理建立方程，得到球的半徑，進而得到所要求的表面積即可．8.點P在邊長為1的正三角形的外接圓上，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先證明，然后給出的例子，即可得到的最大值是.【詳解】設外接圓圓心為，則，.①一方面，我們有.故一定有.②另一方面，當時，有，故在的外接圓上，此時.綜合①②兩個方面，可知的最大值是.故選：A.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點在于對數(shù)量積的運算性質(zhì)的使用.二、多選題（每題6分，共18分）9.[多選]下列說法正確的是（）A.圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形B.圓錐過軸的截面是一個等腰三角形C.直角三角形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐D.圓臺平行于底面的截面是圓面【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)空間幾何體的結構特征判斷即可.【詳解】圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形，A正確；因為母線長相等，得到圓錐的軸截面是一個等腰三角形，B正確；圓臺平行于底面截面是圓面，D正確；直角三角形繞它的斜邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是兩個圓錐的組合體，C不正確，故選：ABD.10.已知函數(shù)，若方程，則（）A當或時，方程有個解B.當時，方程有個解C.當或時，方程有個解D.當時，方程有個解【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)單調(diào)性與最值情況，數(shù)形結合，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像與直線交點情況.【詳解】由已知，當時，，此時函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且此時，做出函數(shù)圖像如圖所示，方程的解可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的交點橫坐標，當時，函數(shù)與函數(shù)有一個交點，即方程有個解；當時，函數(shù)與函數(shù)有兩個交點，即方程有個解；當時，函數(shù)與函數(shù)有三個交點，即方程有個解；當時，函數(shù)與函數(shù)有兩個交點，即方程有個解；即A選項錯誤，BCD選項正確；故選：BCD.11.已知平面向量滿足，則下列結論正確的是（）A. B.與的夾角為C. D.的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】由模長的計算可得A錯誤、C正確；由夾角的計算可得B正確；設，由模長的計算和可得D正確；【詳解】選項A：由得，又，所以，所以A錯誤；選項B：設與的夾角為，則，因為，所以，所以B正確；選項C：，所以，所以C正確；選項D：設，則，所以，因為，所以，因，所以，所以當且僅當與反向共線時，取得最大值，且最大值為，所以D正確．故選：BCD三、填空題（每題5分，共15分）12.已知，則__________.【答案】【解析】【分析】由復數(shù)的除法求得復數(shù)，然后得到向量的模長.【詳解】,則，故答案為：13.如圖，矩形是水平放置的一個平面圖形由斜二測畫法得到的直觀圖，其中，，則原圖形面積是________.【答案】【解析】【分析】由直觀圖還原為原圖，分別求得邊長從而得到面積.【詳解】如圖1，設與交點為，因為，，所以，.的平面圖如圖2所示：則，.故答案為：.14.勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”，它能在兩個平行平面間自由轉(zhuǎn)動，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動（如圖甲），利用這一原理，科技人員發(fā)明了轉(zhuǎn)子發(fā)動機.勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的相交部分圍成的幾何體如圖乙所示，若正四面體的棱長為2，則勒洛四面體能夠容納的最大球的表面積為_____.【答案】【解析】【分析】需要利用正四面體的高以及外接球半徑與棱長的關系，得到外接球半徑，再根據(jù)圖形得到勒洛四面體的內(nèi)切球半徑，而內(nèi)切球半徑即為該勒洛四面體的能夠容納的最大球的半徑，進而結合球的面積公式求解即可.【詳解】由對稱性知，勒洛四面體內(nèi)切球球心是正四面體的內(nèi)切球、外接球球心，如圖：

正外接圓半徑，正四面體的高，令正四面體的外接球半徑為，在中，，解得，此時我們再次完整地抽取部分勒洛四面體如圖所示：圖中取正四面體中心為，連接..交平面于點，交曲面于點，其中即為正四面體外接球半徑，因為點..均在以點B為球心的球面上，所以，設勒洛四面體內(nèi)切球半徑為，則由圖得，勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體的4個弧面都相切，即為勒洛四面體內(nèi)切球，所以勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為，則勒洛四面體能夠容納的最大球的表面積為.故答案為：.思路點睛：本題實際上是勒洛三角形在三維層面的推廣，對計算能力，空間想象能力要求高，記住正四面體的高，內(nèi)切球半徑，外接球半徑與棱長關系的二級結論將會加快對本題的求解.四、解答題（共77分）15.在平面直角坐標系xOy中，已知點，，．（1）若點，，，試用基底表示；（2）若，且點P在第四象限，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題設求出的坐標，根據(jù)平面向量的基本定理有求出，即可得結果.（2）設，由已知得求出關于的表達式，結合所在象限列不等式求的范圍.【小問1詳解】，，，，，所以．由題意，知存在實數(shù)m，n，使得，即，可得解得所以．【小問2詳解】設，則．又，則即又點P在第四象限，所以解得，故的取值范圍是．16.某校開展數(shù)學專題實踐活動，要求就學校新建的體育館進行研究，為了提高研究效率，小王和小李打算分工調(diào)查測量并繪圖，完成兩個任務的研究．（1）小王獲得了以下信息：．教學樓和體育館之間有一條筆直的步道；．在步道上有一點，測得到教學樓頂?shù)难鼋鞘?，到體育館樓頂?shù)难鼋鞘牵唬畯捏w育館樓頂測教學樓頂?shù)难鼋鞘?；．教學樓的高度是20米．請幫助小王完成任務一：求體育館的高度．（2）小李獲得了以下信息：．體育館外墻大屏幕的最低處到地面的距離是4米；．大屏幕的高度是2米；．當觀眾所站的位置到屏幕上下兩端，所張的角最大時，觀看屏幕的效果最佳．請幫助小李完成任務二：求步道上觀看屏幕效果最佳地點的位置．【答案】（1）10米（2）ND為米【解析】【分析】（1）先得到，，由正弦定理求出，求出；（2）設，則，，利用正切差角公式表達出，由基本不等式求出最值，得到答案.【小問1詳解】由題意知，⊥，由勾股定理得，且可知，，由正弦定理可得，則體育館的高度為10米.【小問2詳解】設，則，，，當且僅當時，取到最大值，即米時，觀看效果最佳．17.在中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，且（1）求角B的值；（2）若，求的周長的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將條件用正弦定理角化邊，再結合余弦定理求得答案；（2）根據(jù)題意，可判斷是銳角三角形，由正弦定理可得，，利用三角恒等變換求出的范圍，進而得解.【小問1詳解】由，可得，，即，由余弦定理得：，因為，所以.【小問2詳解】由，則，，，所以均為銳角，在銳角中，，，由正弦定理得：，故，，則，因為銳角中，，則，，解得：，故，，則，，故，所以三角形周長的取值范圍是.18.高一年級舉辦立體幾何模型制作大賽，某同學想制作一個頂部是正四棱錐、底部是正四棱柱的模型，并畫出了如圖所示的直觀圖.其中正四棱柱.的高是正四棱錐.的高的4倍.（1）若；(i)求該模型的體積；(ii)求頂部正四棱錐的側(cè)面積；（2）若頂部正四棱錐的側(cè)棱長為6，當為多少時，底部正四棱柱的側(cè)面積S最大?并求出S的最大值.【答案】（1）（i）312；（ii）；（2），.【解析】【分析】（1）（i）利用棱錐、棱柱的體積公式計算即得；（ii）求出棱錐的斜高，再利用側(cè)面積.（2），求出棱柱的底面邊長，再把棱柱側(cè)面積表示為，再求出函數(shù)最大值即可.【小問1詳解】（i）由，得，又，因此正四棱錐的體積，正四棱柱的體積，所以模型有體積.（ii）取的中點，連接，由，得，所以正四棱錐的側(cè)面積.【小問2詳解】設，正四棱柱的側(cè)面積為，則，于是，而，因此當，即時，，所以當時，下部分正四棱柱的側(cè)面積最大，最大面積是.19.“凸凹性”是函數(shù)的重要性質(zhì).若函數(shù)的圖像在定義域區(qū)間上連續(xù)不斷，且對任意，恒有，則稱函數(shù)是區(qū)間上的上凸函數(shù)；若恒有，則稱函數(shù)是區(qū)間上的下凸函數(shù)（也稱凹函數(shù)）.將上述定義進行推廣，即若是上凸函數(shù)，則對任意恒有，若是下凸函數(shù)，則對任意恒有，當且僅當時等號成立，這個不等式即為著名的琴生不等式.（1）判斷是上凸還是下凸函數(shù)？（直接寫出結論即可）；（2）判斷在上是上凸還是下凸函數(shù)？并證明你的結論；（3）已知銳角滿足，求的最大值.【答案】（1）下凸函數(shù)（2）上凸函數(shù)，證明見解析（3）【解析】【分析】（1）利用下凸