2024年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編（全國）：專題28 幾何綜合壓軸題（29題）（教師版）

專題28幾何綜合壓軸題（29題）（解析版）一、單選題1．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，在中，是的中點，，與交于點，且．下列說法錯誤的是（

）

A．的垂直平分線一定與相交于點B．C．當(dāng)為中點時，是等邊三角形D．當(dāng)為中點時，【答案】D【分析】連接，根據(jù)，點是的中點得，則，進而得點在線段的垂直平分線上，由此可對選項Ａ進行判斷；設(shè)，根據(jù)得，的，再根據(jù)得，則，由此可對選項Ｂ進行判斷；當(dāng)為中點時，則，是線段的垂直平分線，由此得，然后根據(jù)，，得，由此可對選項Ｃ進行判斷；連接并延長交于，根據(jù)是等邊三角形得，則，進而得，，由此得，，由此可對選項Ｄ進行判斷，綜上所述即可得出答案．【詳解】解：連接，如圖1所示：

，點是的中點，為斜邊上的中線，，，，點在線段的垂直平分線上，即線段的垂直平分線一定與相交于點，故選項A正確，不符合題意；設(shè)，，，，，，，即，故選B正確，不符合題意；當(dāng)為中點時，則，，是線段的垂直平分線，，，，，，，是等邊三角形，故選C正確，不符合題意；連接，并延長交于，如圖2所示：

當(dāng)為中點時，點為的中點，根據(jù)三角形三條中線交于一點得：點為的中點，當(dāng)為中點時，是等邊三角形，，，平分，平分，，，在中，，，，，，，故選項D不正確，符合題意．故選：D．【點睛】此題主要考查了直角三角形斜邊上的中線，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，理解直角三角形斜邊上的中線，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．2．（2024·山東濟南·中考真題）如圖，在正方形中，分別以點A和為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點和，作直線，再以點A為圓心，以的長為半徑作弧交直線于點（點在正方形內(nèi)部），連接并延長交于點．若，則正方形的邊長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接，設(shè)交于點H，正方形邊長為，由作圖知，，垂直平分，得到，，由勾股定理得到，證明，推出，推出，得到，即得．【詳解】連接，設(shè)交于點H，正方形邊長為，由作圖知，，垂直平分，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故選：D．【點睛】本題主要考查了正方形和線段垂直平分線綜合．熟練掌握正方形性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，平行線分線段成比例定理，梯形中位線性質(zhì)，是解決問題的關(guān)鍵．3．（2024·安徽·中考真題）如圖，在中，，點在的延長線上，且，則的長是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)，勾股定理，過點作的延長線于點，則，由，，可得，，進而得到，，即得為等腰直角三角形，得到，設(shè)，由勾股定理得，求出即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過點作的延長線于點，則，∵，，∴，，∴，，∴為等腰直角三角形，∴，設(shè)，則，在中，，∴，解得，（舍去），∴，∴，故選：．

4．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，，，，則的半徑是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】延長至點E，使，連接，連接并延長交于點F，連接，即可證得，進而可求得，再利用圓周角定理得到，結(jié)合三角函數(shù)即可求解．【詳解】解：延長至點E，使，連接，連接并延長交于點F，連接，∵四邊形內(nèi)接于，∴∴∵∴，∴是的直徑，∴∴是等腰直角三角形，∴∵∴∴，,∵∴又∵∴∴是等腰直角三角形∴∵∴∵∴∴故選：A．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，圓周角定理，銳角三角函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)與判定等知識點，熟練掌握圓周角定理以及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．5．（2024·山東濟南·中考真題）如圖1，是等邊三角形，點在邊上，，動點以每秒1個單位長度的速度從點出發(fā)，沿折線勻速運動，到達點后停止，連接．設(shè)點的運動時間為，為．當(dāng)動點沿勻速運動到點時，與的函數(shù)圖象如圖2所示．有以下四個結(jié)論：①；②當(dāng)時，；③當(dāng)時，；④動點沿勻速運動時，兩個時刻，分別對應(yīng)和，若，則．其中正確結(jié)論的序號是（

）A．①②③

B．①②

C．③④

D．①②④【答案】D【分析】由圖知當(dāng)動點沿勻速運動到點時，，作于點，利用解直角三角形和勾股定理，即可得到，即可判斷①，當(dāng)時，證明是等邊三角形，即可判斷②，當(dāng)時，且時，最小，求出最小值即可判斷③，利用勾股定理分別表示出和進行比較，即可判斷④．【詳解】解：由圖知當(dāng)動點沿勻速運動到點時，，作于點，是等邊三角形，點在邊上，，，，，，，，故①正確；當(dāng)時，，，，是等邊三角形，，，故②正確；當(dāng)時，且時，最小，，，，最小為，即能取到，故③錯誤；動點沿勻速運動時，，，，，，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，，；，；同理，當(dāng)時，，，，，；故④正確；綜上所述，正確的有①②④，故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，等邊三角形性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，涉及到動點問題、讀懂函數(shù)圖象、正確理解題意，利用數(shù)形結(jié)合求解是解本題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2024·河北·中考真題）如圖，的面積為，為邊上的中線，點，，，是線段的五等分點，點，，是線段的四等分點，點是線段的中點．（1）的面積為；（2）的面積為．【答案】【分析】（1）根據(jù)三角形中線的性質(zhì)得，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）證明，得，推出、、三點共線，得，繼而得出，，證明，得，推出，最后代入即可．【詳解】解：（1）連接、、、、，∵的面積為，為邊上的中線，∴，∵點，，，是線段的五等分點，∴，∵點，，是線段的四等分點，∴，∵點是線段的中點，∴，在和中，，∴，∴，，∴的面積為，故答案為：；（2）在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴、、三點共線，∴，∵，∴，∵，，∴，在和中，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴的面積為，故答案為：．【點睛】本題考查三角形中線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等分點的意義，三角形的面積．掌握三角形中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2024·河南·中考真題）如圖，在中，，，線段繞點C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，過點B作的垂線，交射線于點E．若，則的最大值為，最小值為.【答案】//【分析】根據(jù)題意得出點D在以點C為圓心，1為半徑的圓上，點E在以為直徑的圓上，根據(jù)，得出當(dāng)最大時，最大，最小時，最小，根據(jù)當(dāng)與相切于點D，且點D在內(nèi)部時，最小，最大，當(dāng)與相切于點D，且點D在外部時，最大，最小，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可．【詳解】解：∵，，∴，∵線段繞點C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，，∴點D在以點C為圓心，1為半徑的圓上，∵，∴，∴點E在以為直徑的圓上，在中，，∵為定值，∴當(dāng)最大時，最大，最小時，最小，∴當(dāng)與相切于點D，且點D在內(nèi)部時，最小，最大，連接，，如圖所示：則，∴，∴，∵，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴，∴，即的最大值為；當(dāng)與相切于點D，且點D在外部時，最大，最小，連接，，如圖所示：則，∴，∴，∵四邊形為圓內(nèi)接四邊形，∴，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴，∴，即的最小值為；故答案為：；．【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形的相關(guān)計算，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)，找出取最大值和最小值時，點D的位置．8．（2024·浙江·中考真題）如圖，在菱形中，對角線，相交于點O，．線段與關(guān)于過點O的直線l對稱，點B的對應(yīng)點在線段上，交于點E，則與四邊形的面積比為【答案】/【分析】此題考查了菱形的性質(zhì)，軸對稱性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．設(shè)，，首先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，連接，，直線l交于點F，交于點G，得到點，D，O三點共線，，，，然后證明出，得到，然后證明出，得到，進而求解即可．【詳解】∵四邊形是菱形，∴設(shè)，∴，如圖所示，連接，，直線l交于點F，交于點G，∵線段與關(guān)于過點O的直線l對稱，點B的對應(yīng)點在線段上，∴，，∴∴點，D，O三點共線∴，∴∴∵∴由對稱可得，∴∴又∵∴∴∵∴又∵，∴∴∴．故答案為：．9．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A在直線上，且點A的橫坐標(biāo)為4，直角三角板的直角頂點C落在x軸上，一條直角邊經(jīng)過點A，另一條直角邊與直線交于點B，當(dāng)點C在x軸上移動時，線段的最小值為．【答案】【分析】利用一次函數(shù)求出點A的坐標(biāo)，利用勾股定理求出，當(dāng)點C在x軸上移動時，作與關(guān)于對稱，且交x軸于點，由對稱性質(zhì)可知，，，當(dāng)軸于點時，最短，記此時點C所在位置為，作于點，有，設(shè)，則，利用銳角三角函數(shù)建立等式求出，證明，再利用相似三角形性質(zhì)求出，最后根據(jù)求解，即可解題．【詳解】解：點A在直線上，且點A的橫坐標(biāo)為4，點A的坐標(biāo)為，，當(dāng)點C在x軸上移動時，作與關(guān)于對稱，且交x軸于點，由對稱性質(zhì)可知，，當(dāng)軸于點時，最短，記此時點C所在位置為，由對稱性質(zhì)可知，，作于點，有，設(shè)，則，，，解得，經(jīng)檢驗是方程的解，，，，，，，，解得，．故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，相似三角形性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)，垂線段最短，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對稱性質(zhì)和垂線段最短找出最短的情況．10．（2024·湖北·中考真題）如圖，由三個全等的三角形(，，)與中間的小等邊三角形拼成一個大等邊三角形．連接BD并延長交于點G，若，則：（1）的度數(shù)是；（2）的長是．【答案】30°【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形等知識，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）利用三角形相似及可得，再利用三角形的外角性質(zhì)結(jié)合可求得；（2）作交的延長線于點，利用直角三角形的性質(zhì)求得，，證明，利用相似三角形的性質(zhì)列式計算即可求解．【詳解】解：(已知)，，，，，為等邊三角形，，，，，，如圖，過點作的延長線于點，，，，，，，，．故答案為：30°，．11．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，在中，，，則的最大值為．

【答案】【分析】過點作，垂足為，如圖所示，利用三角函數(shù)定義得到，延長到，使，連接，如圖所示，從而確定，，再由輔助圓-定弦定角模型得到點在上運動，是的弦，求的最大值就是求弦的最大值，即是直徑時，取到最大值，由圓周角定理及勾股定理求解即可得到答案．【詳解】解：過點作，垂足為，如圖所示：

，在中，設(shè)，則，由勾股定理可得，，即，，延長到，使，連接，如圖所示：

，，，是等腰直角三角形，則，在中，，，由輔助圓-定弦定角模型，作的外接圓，如圖所示：

由圓周角定理可知，點在上運動，是的弦，求的最大值就是求弦的最大值，根據(jù)圓的性質(zhì)可知，當(dāng)弦過圓心，即是直徑時，弦最大，如圖所示：

是的直徑，，，是等腰直角三角形，，，則由勾股定理可得，即的最大值為，故答案為：．【點睛】本題考查動點最值問題，涉及解三角形、勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、圓的性質(zhì)、圓周角定理、動點最值問題-定弦定角模型等知識，熟練掌握動點最值問題-定弦定角模型的解法是解決問題的關(guān)鍵．12．（2024·吉林長春·中考真題）如圖，是半圓的直徑，是一條弦，是的中點，于點，交于點，交于點，連結(jié)．給出下面四個結(jié)論：①；②；③當(dāng)，時，；④當(dāng)，時，的面積是．上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號有．【答案】①②③【分析】如圖：連接，由圓周角定理可判定①；先說明、可得、，即可判定②；先證明可得,即,代入數(shù)據(jù)可得，然后運用勾股定理可得，再結(jié)合即可判定③；如圖：假設(shè)半圓的圓心為O，連接，易得，從而證明是等邊三角形，即是菱形，然后得到，再解直角三角形可得，根據(jù)三角形面積公式可得，最后根據(jù)三角形的中線將三角形平分即可判定④．【詳解】解：如圖：連接，∵是的中點，∴,∴，即①正確；∵是直徑，∴，∴，∵∴,∵，∴，∴，∵，,∴，∵，∴，∴，∴,即②正確；在和,，∴，∴,即,∴，即,∴,∵，∴，即③正確；如圖：假設(shè)半圓的圓心為O，連接，∵，，是的中點，∴∴，∵，∴是等邊三角形，∴，即是菱形，∴，∵，∴，即，解得：,∴，∵∴，即④錯誤．故答案為：①②③．【點睛】本題主要考查了圓周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、菱形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識點，靈活運用相關(guān)知識成為解題的關(guān)鍵．13．（2024·山東濟南·中考真題）如圖，在矩形紙片中，，為邊的中點，點在邊上，連接，將沿翻折，點的對應(yīng)點為，連接．若，則．【答案】/【分析】如圖：連接，延長交的延長線于H，根據(jù)折疊的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，證明，進而得到為直角三角形，設(shè)，則，證明為等腰三角形，求出，進而完成解答．【詳解】解：如圖：連接，延長交的延長線于H，∵矩形中，為邊的中點，，∴，，∵將沿翻折，點的對應(yīng)點為，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即，∴為直角三角形，設(shè)，則，∴，∴，∴為等腰三角形，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理、折疊的性質(zhì)等知識點，靈活運用相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．三、解答題14．（2024·遼寧·中考真題）如圖，在中，，．將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，過點作，垂足為．

圖1

圖2

圖3(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，的平分線與的延長線相交于點，連接，的延長線與的延長線相交于點，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3)如圖3，在（2）的條件下，將沿折疊，在變化過程中，當(dāng)點落在點的位置時，連接．①求證：點是的中點；②若，求的面積．【答案】(1)見詳解(2)(3)30【分析】（1）利用“”即可證明；（2）可知，證明，則，可得，則，故；（3）①翻折得，根據(jù)等角的余角相等得到，故，則，即點F是中點；②過點F作交于點M，連接，設(shè)，，則，由翻折得，故，因此，在中，由勾股定理得：，解得：或（舍，此時），在中，由勾股定理得：，解得：，則，由，得到，，因此，故．【詳解】（1）證明：如圖，

由題意得，，∴∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2）猜想：證明：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴；（3）解：①由題意得，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，即點F是中點；②過點F作交于點M，連接，

∵，∴，設(shè)，，∴，由翻折得，∴，∴，在中，由勾股定理得：，整理得，，解得：或（舍，此時），在中，由勾股定理得：，解得：，∴，∵，∴，，∴點M為中點，∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，翻折的性質(zhì)，勾股定理解三角形，平行線分線段成比例定理，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．15．（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，已知內(nèi)接于，是的直徑，的平分線交于點，過點作，交的延長線于點，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的直徑．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（）連接，由角平分線可得，又由可得，即得，由得，進而可得，即得，即可求證；（）是的直徑可得，又由（）知，由，，進而可得，再根據(jù)，，，可得，得到，，解得到，再解即可求解；本題考查了角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定，圓周角定理，三角函數(shù)，掌握圓的有關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：連接，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，∵是半徑，∴是的切線；（2）解：∵是的直徑，∴，∴，即，∵，∴，∴∵，，∴，∵，，，∴∴，，在中，，∴，∴，在中，，∴，即的直徑為．16．（2024·四川資陽·中考真題）（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖1，在中，點D在邊上．若，則，請證明；（2）【靈活運用】如圖2，在中，，點D為邊的中點，，點E在上，連接，．若，求的長；（3）【拓展延伸】如圖3，在菱形中，，點E，F(xiàn)分別在邊，上，，延長，相交于點G．若，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）證明，得出，即可證明結(jié)論；（2）過點C作于點F，過點D作于點G，解直角三角形得出，，證明，得出，求出，根據(jù)勾股定理得出，得出，證明，得出，求出；（3）連接，證明，得出，求出，證明為直角三角形，得出，根據(jù)勾股定理求出，證明，得出，求出結(jié)果即可．【詳解】解：（1）∵，，∴，∴，∴；（2）過點C作于點F，過點D作于點G，如圖所示：則，∴，∵，∴，，∵為的中點，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得：；（3）連接，如圖所示：∵四邊形為菱形，∴，，，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，解得：，負值舍去，∴，∴，∵，∴為直角三角形，，∴，∴在中根據(jù)勾股定理得：，∴，∵，∴，∴，即，解得：．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，三角函數(shù)的應(yīng)用，三角形相似的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定方法．17．（2024·山東濟南·中考真題）如圖，為的直徑，點在上，連接，點在的延長線上，．(1)求證：與相切；(2)若，求的長．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）證明，即可證明是的切線；（2）連接，先計算，再計算，后得到解答即可．本題考查了切線的證明，圓周角定理，三角形函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握切線的判定定理，三角函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：所對的弧是同弧，，，即，為直徑，，，，，，與相切．（2）解：連接所對的弧是同弧，，為直徑，，在中，，，，．18．（2024·浙江·中考真題）如圖，在圓內(nèi)接四邊形中，，延長至點E，使，延長至點F，連結(jié)，使．(1)若，為直徑，求的度數(shù)．(2)求證：①；②．【答案】(1)(2)①見詳解；②見詳解【分析】（1）根據(jù)圓周角定理即可求解，由為直徑，得到，故，由，得到；（2）①由四點共圓得，而，等量代換得到，故；②過點D作平行線交于點G，可證明，，因此得到，由，得到．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵為直徑，∴，∴，∵，∴；（2）證明①：∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴，∴；②過點D作平行線交于點G，∵，∴，，∵，∴，∵由（1）知，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了圓周角定理，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．19．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點．三個頂點都是格點．僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成四個畫圖任務(wù)，每個任務(wù)的畫線不得超過三條．(1)在圖（1）中，畫射線交于點D，使平分的面積；(2)在（1）的基礎(chǔ)上，在射線上畫點E，使；(3)在圖（2）中，先畫點F，使點A繞點F順時針旋轉(zhuǎn)到點C，再畫射線交于點G；(4)在（3）的基礎(chǔ)上，將線段繞點G旋轉(zhuǎn)，畫對應(yīng)線段（點A與點M對應(yīng)，點B與點N對應(yīng)）．【答案】(1)作圖見解析(2)作圖見解析(3)作圖見解析(4)作圖見解析【分析】本題考查了網(wǎng)格作圖．熟練掌握全等三角形性質(zhì)，平行四邊形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．（1）作矩形，對角線交于點D，做射線，即可；（2）作,射線于點Q，連接交于點E，即可；（3）在下方取點F，使，是等腰直角三角形，連接，，交于點G，即可；（4）作，交于點M，作，交于點N，連接，即可．【詳解】（1）如圖，作線段，使四邊形是矩形，交于點D，做射線，點D即為所求作；（2）如圖，作,作于點Q，連接交于點E，點E即為作求作；（3）如圖，在下方取點F，使，連接，連接并延長，交于點G，點F，G即為所求作；（4）如圖，作，交射線于點M，作，交于點N，連接，線段即為所求作．20．（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，在中，．(1)尺規(guī)作圖：作的角平分線，在角平分線上確定點，使得；（不寫作法，保留痕跡）(2)在（1）的條件下，若，，，則的長是多少？（請直接寫出的值）【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）作的角平分線和線段的垂直平分線相交于點D，即為所求．（2）過點D作交與點E，過點D作交與點F，先利用角平分線的性質(zhì)定理證明四邊形為正方形，設(shè)，則，，以為等量關(guān)系利用勾股定理解出x，在利用勾股定理即可求出．【詳解】（1）解：如下圖：即為所求．（2）過點D作交與點E，過點D作交與點F，則，又∵∴四邊形為矩形，∵是的平分線，∴，∴四邊形為正方形，∴，設(shè)，∴，，在中，，在中，，∵∴∴解得：，∴．【點睛】本題主要考查了作角平分線以及垂直平分線，角平分線的性質(zhì)定理，正方形的判定以及勾股定理的應(yīng)用，作出圖形以及輔助線是解題的關(guān)鍵．21．（2024·江蘇常州·中考真題）將邊長均為的等邊三角形紙片疊放在一起，使點E、B分別在邊上（端點除外），邊相交于點G，邊相交于點H．(1)如圖1，當(dāng)E是邊的中點時，兩張紙片重疊部分的形狀是________；(2)如圖2，若，求兩張紙片重疊部分的面積的最大值；(3)如圖3，當(dāng)，時，與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試說明理由．【答案】(1)菱形(2)(3)，理由見解析【分析】（1）連接，由等邊三角形的性質(zhì)可得，則四點共圓，由三線合一定理得到，則為過的圓的直徑，再由，得到為過的圓的直徑，則點H為圓心，據(jù)此可證明，推出四邊形是平行四邊形，進而可證明四邊形是菱形，即兩張紙片重疊部分的形狀是菱形；（2）由等邊三角形的性質(zhì)得到，，則由平行線的性質(zhì)可推出，進而可證明四邊形是平行四邊形，再證明是等邊三角形，則可設(shè)，則，，由勾股定理得到，可得，則當(dāng)時，有最大值，最大值為；（3）過點B作于M，過點E作于N，連接，則，，，證明，進而可證明，得到，則，即．【詳解】（1）解：如圖所示，連接∵都是等邊三角形，∴，∴四點共圓，∵點E是的中點，∴，∴為過的圓的直徑，又∵，∴為過的圓的直徑，∴點H為圓心，∴，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴四邊形是菱形，∴兩張紙片重疊部分的形狀是菱形；（2）解：∵都是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴是等邊三角形，過點E作，∴設(shè)，則，，∴，∴，∵，∴當(dāng)時，有最大值，最大值為；（3）解：，理由如下：如圖所示，過點B作于M，過點E作于N，連接，∵都是邊長為的等邊三角形，∴，，∴由勾股定理可得，，∴，又∵，∴，∴，∴，即．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，等邊三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，四點共圓，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．22．（2024·山東濟南·中考真題）某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在學(xué)習(xí)了圖形的相似后，對三角形的相似進行了深入研究．（一）拓展探究如圖1，在中，，垂足為．（1）興趣小組的同學(xué)得出．理由如下：①______②______請完成填空：①______；②______；（2）如圖2，為線段上一點，連接并延長至點，連接，當(dāng)時，請判斷的形狀，并說明理由．（二）學(xué)以致用（3）如圖3，是直角三角形，，平面內(nèi)一點，滿足，連接并延長至點，且，當(dāng)線段的長度取得最小值時，求線段的長．【答案】（1）①；②；（2）是直角三角形，證明見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)余角的性質(zhì)和三角形相似的性質(zhì)進行解答即可；（2）證明，得出，證明，得出，即可得出答案；（3）證明，得出，求出，以點為圓心，2為半徑作，則都在上，延長到，使，交于，連接，證明，得出，說明點在過點且與垂直的直線上運動，過點作，垂足為，連接，根據(jù)垂線段最短，得出當(dāng)點E在點處時，最小，根據(jù)勾股定理求出結(jié)果即可．【詳解】解：（1），，，，，，，，，；（2）是直角三角形；理由如下：，，，由（1）得，，，，，，是直角三角形．（3），，，，如圖，以點為圓心，2為半徑作，則都在上，延長到，使，交于，連接，則，∵為的直徑，∴，，∴，，，，點在過點且與垂直的直線上運動，過點作，垂足為，連接，∵垂線段最短，∴當(dāng)點E在點處時，最小，即的最小值為的長，∵，∴四邊形是矩形，∴，在中根據(jù)勾股定理得：，即當(dāng)線段的長度取得最小值時，線段的長為．【點睛】本題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，圓周角定理，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定方法．23．（2024·江蘇常州·中考真題）對于平面內(nèi)有公共點的兩個圖形，若將其中一個圖形沿著某個方向移動一定的距離后與另一個圖形重合，則稱這兩個圖形存在“平移關(guān)聯(lián)”，其中一個圖形叫做另一個圖形的“平移關(guān)聯(lián)圖形”．(1)如圖，是線段的四等分點．若，則在圖中，線段的“平移關(guān)聯(lián)圖形”是________，________（寫出符合條件的一種情況即可）；(2)如圖，等邊三角形的邊長是．用直尺和圓規(guī)作出的一個“平移關(guān)聯(lián)圖形”，且滿足（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；(3)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)分別是、1,0、0,4，以點為圓心，為半徑畫圓．若對上的任意點，連接所形成的圖形都存在“平移關(guān)聯(lián)圖形”，且滿足，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)，(2)圖見解析（答案不唯一）(3)或【分析】（）根據(jù)平移的性質(zhì)，進行求解即可；（）延長，在射線上截取線段，分別以為圓心，的長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接，即為所求；（）分在圓內(nèi)和圓外兩種情況，進行求解即可．【詳解】（1）解：∵是線段的四等分點．，∴，∴，∴線段的平移圖形是，；故答案為：，；（2）解：如圖所示，即為所求；由作圖可知：，∴四邊形為菱形，∴，∵，∴四邊形為菱形，∴，∴即為所求；（3）∵點的坐標(biāo)分別是、1,0、0,4，∴，∵對上的任意點，連接所形成的圖形都存在“平移關(guān)聯(lián)圖形”，且滿足，且，∴，當(dāng)在圓外，點在軸上，時，∴，，∴，當(dāng)在圓內(nèi)，點在軸上，時，∴，，∴，綜上：或．【點睛】本題考查圖形的平移，點到圓上一點的最值，坐標(biāo)與圖形，勾股定理，菱形的判定，尺規(guī)作圖等知識點，熟練掌握相關(guān)知識點，理解新定義，是解題的關(guān)鍵．24．（2024·江蘇宿遷·中考真題）在綜合實踐活動課上，同學(xué)們以折疊正方形紙片展開數(shù)學(xué)探究活動【操作判斷】操作一：如圖①，對折正方形紙片，得到折痕，把紙片展平；操作二：如圖②，在邊上選一點E，沿折疊，使點A落在正方形內(nèi)部，得到折痕；操作三：如圖③，在邊上選一點F，沿折疊，使邊與邊重合，得到折痕把正方形紙片展平，得圖④，折痕與的交點分別為G、H．根據(jù)以上操作，得________．【探究證明】（1）如圖⑤，連接，試判斷的形狀并證明；（2）如圖⑥，連接，過點G作的垂線，分別交于點P、Q、M．求證：．【深入研究】若，請求出的值（用含k的代數(shù)式表示）．【答案】[操作判斷]45；[探究證明]（1）等腰直角三角形，理由見詳解；（2）見詳解；[深入研究]【分析】[操作判斷]根據(jù)正方形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)即可求解；[探究證明]（1）先證明，再證明，則，繼而得到，因此，，即是等腰直角三角形；（2）由翻折得，，由，得到，故，因此，而由，得到，則，因此；[深入研究]連接，先證明，則，由，設(shè)，則，而，

則，可得，，，那么，故．【詳解】[操作判斷]解：如圖，由題意得，，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴，即，故答案為：45；[探究證明]解：（1）如圖，∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴是等腰直角三角形；（2）如圖，由翻折得，，∵四邊形是正方形，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；[深入研究]解：如圖，連接，∵四邊形是正方形，∴，，，∵是對角線，∴，∵，∴，∴，∴，∴，在中，，∴，∴,∵，∴設(shè)，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了正方形背景下的折疊問題，相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定，解直角三角形，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．25．（2024·湖北·中考真題）如圖，在中，，點在上，以CE為直徑的經(jīng)過AB上的點，與交于點，且．(1)求證：AB是的切線；(2)若，，求的長．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（）連接，可得，得到，即得，即可求證；（）設(shè)的半徑為，則，在中由勾股定理得，可得，即得，得到，進而得到，最后利用弧長公式即可求解．【詳解】（1）證明：連接，則，，，，，．是的半徑，AB是的切線；（2）解：設(shè)的半徑為，則，∵，∴，在中，，，解得，，，，，的長為．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定，勾股定理，三角函數(shù)及弧長公式，求出是解題的關(guān)鍵．26．（2024·湖北·中考真題）在矩形中，點E，F(xiàn)分別在邊AD，上，將矩形沿折疊，使點A的對應(yīng)點P落在邊CD上，點B的對應(yīng)點為點G，交于點H．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，當(dāng)P為CD的中點，，時，求的長；(3)如圖3，連接，當(dāng)P，H分別為CD，的中點時，探究與AB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)(3)，見解析【分析】（1）證明對應(yīng)角相等，即可得到；（2）根據(jù)，求得的長度，從而得出長度；（3）延長，交于一點，連接，先證明，得到相等的邊，再根據(jù)，得出大小關(guān)系．【詳解】（1）證明：如圖，四邊形是矩形，，，，分別在，上，將四邊形沿翻折，使的對稱點落在上，，，，；（2）解：四邊形是矩形，，，，為中點，，設(shè)，，在中，，即，解得，，，，，即，，，．（3）解：如圖，延長，交于一點，連接，，分別在，上，將四邊形沿翻折，使的對稱點落在上，，直線，，，，，是等腰三角形，，為中點，設(shè)，，為中點，，，，，，，，，在中，，，，在中，，，，，，，，即．【點睛】本題考查了矩形與折疊、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握以上基礎(chǔ)知識是解題關(guān)鍵．27．（2024·四川巴中·中考真題）綜合與實踐(1)操作與發(fā)現(xiàn)：平行四邊形和梯形都可以剪開拼成一個矩形，拼接示意圖如圖1、圖2．在圖2中，四邊形為梯形，，是邊上的點．經(jīng)過剪拼，四邊形為矩形．則______．(2)探究與證明：探究將任意一個四邊形剪開拼成一個平行四邊形，拼接示意圖如圖3、圖4、圖5．在圖5中，是四邊形邊上的點．是拼接之后形成的四邊形．①通過操作得出：與的比值為______．②證明：四邊形為平行四邊形．(3)實踐與應(yīng)用：任意一個四邊形能不能剪開拼成一個矩形？若能，請將四邊形剪成4塊，按圖5的方式補全圖6，并簡單說明剪開和拼接過程．若不能，請說明理由．【答案】(1)(2)①1；②見詳解(3)見詳解【分析】（1）由“角角邊”即可證明；（2）①由操作知，將四邊形繞點E旋轉(zhuǎn)得到四邊形，故，因此；②由兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形證明；（3）取為中點為，連接，過點，點分別作，，垂足為點，將四邊形繞點旋轉(zhuǎn)至四邊形，將四邊形繞點旋轉(zhuǎn)至四邊形，將四邊形放置左上方空出，使得點C與點A重合，與重合，與重合，點N的對應(yīng)點為點，則四邊形即為所求矩形．【詳解】（1）解：如圖，∵，∴，由題意得為中點，‘∴’，∵，∴故答案為：；（2）解：①如圖，由操作知，點E為中點，將四邊形繞點E旋轉(zhuǎn)得到四邊形，∴，∴，故答案為：1；②如圖，由題意得，是的中點，操作為將四邊形繞點E旋轉(zhuǎn)得到四邊形，將四邊形繞點H旋轉(zhuǎn)得到四邊形，將四邊形放在左上方空出，則，，∵，，，∴，∵∴，∴三點共線，同理三點共線，由操作得，，∵，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形；（3）解：如圖，

如圖，取為中點為，連接，過點，點分別作，，垂足為點，將四邊形繞點旋轉(zhuǎn)至四邊形，將四邊形繞點旋轉(zhuǎn)至四邊形，將四邊形放置左上方空出，使得點C與點A重合，與重合，與重合，點N的對應(yīng)點為點，則四邊形即為所求矩形．由題意得，，，∴，∴，由操作得，，∵，∴，∴三點共線，同理三點共線，∵，∴四邊形為矩形，如圖，連接，∵為中點，∴，同理，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，由操作得，，而，∴，同理，，∵，，，∴，∵四邊形為矩形，∴，∴，∴，∴，同理，∴四邊形能放置左上方空出，∴按照以上操作可以拼成一個矩形．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)，三角形的中位線，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．28．（2024·甘肅蘭州·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義：點P是圖形W外一點，點Q在的延長線上，使得，如果點Q在圖形W上，則稱點P是圖形W的“延長2分點”，例如：如圖1，是線段外一點，在的延長線上，且，因為點Q在線段上，所以點P是線段的“延長2分點”．(1)如圖1，已知圖形：線段，，，在中，______是圖形的“延長2分點”；(2)如圖2，已知圖形：線段，，，若直線上存在點P是圖形的“延