高考數學復習第八章立體幾何初步第5節(jié)垂直關系

第5節(jié)垂直關系1/45最新考綱1.以立體幾何定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和了解空間中線面垂直相關性質與判定定理；2.能利用公理、定理和已取得結論證實一些空間圖形垂直關系簡單命題.2/451.直線與平面垂直 (1)直線和平面垂直定義

假如一條直線和一個平面內______一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個平面垂直.知

識

梳

理任何3/45(2)判定定理與性質定理兩條相交直線l⊥αl⊥bα⊥αα

αb

αb⊥α平行4/452.直線和平面所成角 (1)定義：一條斜線和它在平面上______所成______叫作這條直線和這個平面所成角，一條直線垂直于平面，則它們所成角是______；一條直線和平面平行或在平面內，則它們所成角是0°角. (2)范圍：_________.射影直角銳角5/453.二面角 (1)定義：從一條直線出發(fā)____________所組成圖形叫作二面角； (2)二面角平面角：以二面角棱上任一點為端點，在兩個半平面內分別作__________兩條射線，這兩條射線所成角叫作二面角平面角. (3)二面角范圍：[0，π].4.平面與平面垂直 (1)平面與平面垂直定義

兩個平面相交，假如它們所成二面角是__________，就說這兩個平面相互垂直.兩個半平面垂直于棱直二面角6/45(2)判定定理與性質定理

文字語言圖形表示符號表示判定定理假如一個平面經過另一個平面一條______，那么這兩個平面相互垂直性質定理假如兩個平面相互垂直，則在一個平面內垂直于它們______直線垂直于另一個平面垂線交線l⊥αl

βl⊥αl

βα⊥βα∩β7/45[慣用結論與微點提醒]1.兩個主要結論 (1)若兩平行線中一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面. (2)若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內任何一條直線(證實線線垂直一個主要方法).2.使用線面垂直定義和線面垂直判定定理，不要誤解為“假如一條直線垂直于平面內無數條直線，就垂直于這個平面”.8/453.線線、線面、面面垂直間轉化9/451.思索辨析(在括號內打“√”或“×”) (1)直線l與平面α內無數條直線都垂直，則l⊥α.(

) (2)垂直于同一個平面兩平面平行.(

) (3)若兩平面垂直，則其中一個平面內任意一條直線垂直于另一個平面.(

) (4)若平面α內一條直線垂直于平面β內無數條直線，則α⊥β.(

)診

斷

自

測10/45解析(1)直線l與平面α內無數條直線都垂直，則有l(wèi)⊥α或l與α斜交或l

α或l∥α，故(1)錯誤.(2)垂直于同一個平面兩個平面平行或相交，故(2)錯誤.(3)若兩個平面垂直，則其中一個平面內直線可能垂直于另一平面，也可能與另一平面平行，也可能與另一平面相交，也可能在另一平面內，故(3)錯誤.(4)若平面α內一條直線垂直于平面β內全部直線，則α⊥β，故(4)錯誤.答案(1)×

(2)×

(3)×

(4)×11/452.(教材習題改編)以下命題中不正確是(

) A.假如平面α⊥平面β，且直線l∥平面α，則直線l⊥平面β B.假如平面α⊥平面β，那么平面α內一定存在直線平行于平面β C.假如平面α不垂直于平面β，那么平面α內一定不存在直線垂直于平面β D.假如平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ

解析依據面面垂直性質，A不正確，直線l∥平面β或l

β或直線l與β相交.

答案

A12/453.(·湖南六校聯考)已知m和n是兩條不一樣直線，α和β是兩個不重合平面，下面給出條件中一定能推出m⊥β是(

) A.α⊥β且m

α B.m⊥n且n∥β C.m∥n且n⊥β D.m⊥n且α∥β

解析由線線平行性質傳遞性和線面垂直判定定理，可知C正確.

答案

C13/454.(·全國Ⅲ卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CD中點，則(

) A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC解析如圖，由題設知，A1B1⊥平面BCC1B1且BC1

平面BCC1B1，從而A1B1⊥BC1.又B1C⊥BC1，且A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E

平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1.答案C14/455.邊長為a正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，則折疊后AC長為________.解析如圖所表示，取BD中點O，連接A′O，CO，則∠A′OC是二面角A′－BD－C平面角，即∠A′OC＝90°.答案

a15/45考點一線面垂直判定與性質【例1】

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC中點.證實： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE.16/45證實(1)在四棱錐P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD

平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.又AE

平面PAC，∴CD⊥AE.17/45(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC中點，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.又PD

平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，AB

平面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，又PD

平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.18/45規(guī)律方法

1.證實直線和平面垂直慣用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面?zhèn)鬟f性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；(3)面面平行性質(a⊥α，α∥β?a⊥β)；(4)面面垂直性質(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l

β?l⊥α).2.證實線面垂直關鍵是證線線垂直，而證實線線垂直則需借助線面垂直性質.所以，判定定理與性質定理合理轉化是證實線面垂直基本思想.19/4520/45證實因為AB為圓O直徑，所以AC⊥CB.由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos30°＝3，所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AB.因為PD⊥平面ABC，CD

平面ABC，所以PD⊥CD，由PD∩AB＝D得，CD⊥平面PAB，又PA

平面PAB，所以PA⊥CD.21/45考點二面面垂直判定與性質【例2】

如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC中點，求證： (1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD.22/45證實(1)∵平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于這兩個平面交線AD，PA

平面PAD，∴PA⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E為CD中點，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四邊形ABED為平行四邊形.∴BE∥AD.又∵BE

平面PAD，AD

平面PAD，∴BE∥平面PAD.23/45(3)∵AB⊥AD，而且ABED為平行四邊形.∴BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知PA⊥底面ABCD，CD

平面ABCD，∴PA⊥CD，且PA∩AD＝A，PA，AD

平面PAD，∴CD⊥平面PAD，又PD

平面PAD，∴CD⊥PD.∵E和F分別是CD和PC中點，∴PD∥EF.∴CD⊥EF，又BE⊥CD且EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF，又CD

平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.24/45規(guī)律方法

1.證實平面和平面垂直方法：(1)面面垂直定義；(2)面面垂直判定定理.2.已知兩平面垂直時，普通要用性質定理進行轉化，在一個平面內作交線垂線，轉化為線面垂直，然后深入轉化為線線垂直.25/45【訓練2】

(·北京卷)如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D為線段AC中點，E為線段PC上一點. (1)求證：PA⊥BD；(2)求證：平面BDE⊥平面PAC；(3)當PA∥平面BDE時，求三棱錐E－BCD體積.26/45(1)證實

∵PA⊥AB，PA⊥BC，AB

平面ABC，BC

平面ABC，且AB∩BC＝B，∴PA⊥平面ABC，又BD

平面ABC，∴PA⊥BD.(2)證實∵AB＝BC，D是AC中點，∴BD⊥AC.由(1)知PA⊥平面ABC，∵PA

平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC.∵平面PAC∩平面ABC＝AC，BD

平面ABC，BD⊥AC，∴BD⊥平面PAC.∵BD

平面BDE，∴平面BDE⊥平面PAC，27/45(3)解∵PA∥平面BDE，又平面BDE∩平面PAC＝DE，PA

平面PAC，∴PA∥DE.由(1)知PA⊥平面ABC，∴DE⊥平面ABC.∵D是AC中點，∴E為PC中點，28/45考點三平行與垂直綜合問題(多維探究)命題角度1多面體中平行與垂直關系證實【例3－1】

(·山東卷)由四棱柱ABCD－A1B1C1D1截去三棱錐C1－B1CD1后得到幾何體如圖所表示.四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD交點，E為AD中點，A1E⊥平面ABCD.(1)證實：A1O∥平面B1CD1；(2)設M是OD中點，證實：平面A1EM⊥平面B1CD1.29/45證實(1)取B1D1中點O1，連接CO1，A1O1，因為ABCD－A1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，所以四邊形A1OCO1為平行四邊形，所以A1O∥O1C，又O1C

平面B1CD1，A1O

平面B1CD1，所以A1O∥平面B1CD1.30/45(2)因為AC⊥BD，E，M分別為AD和OD中點，所以EM⊥BD，又A1E⊥平面ABCD，BD

平面ABCD，所以A1E⊥BD，因為B1D1∥BD，所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1，又A1E，EM

平面A1EM，A1E∩EM＝E，所以B1D1⊥平面A1EM，又B1D1

平面B1CD1，所以平面A1EM⊥平面B1CD1.31/45規(guī)律方法1.三種垂直綜合問題，普通經過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間轉化.2.垂直與平行結合問題，求解時應注意平行、垂直性質及判定綜合應用.32/45命題角度2平行垂直中探索性問題【例3－2】

如圖所表示，平面ABCD⊥平面BCE，四邊形ABCD為矩形，BC＝CE，點F為CE中點. (1)證實：AE∥平面BDF.(2)點M為CD上任意一點，在線段AE上是否存在點P，使得PM⊥BE？若存在，確定點P位置，并加以證實；若不存在，請說明理由.33/45(1)證實連接AC交BD于O，連接OF，如圖①.∵四邊形ABCD是矩形，∴O為AC中點，又F為EC中點，∴OF為△ACE中位線，∴OF∥AE，又OF

平面BDF，AE

平面BDF，∴AE∥平面BDF.34/45(2)解當P為AE中點時，有PM⊥BE，證實以下：取BE中點H，連接DP，PH，CH.∵P為AE中點，H為BE中點，∴PH∥AB，又AB∥CD，∴PH∥CD，∴P，H，C，D四點共面.35/45∵平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，CD

平面ABCD，CD⊥BC.∴CD⊥平面BCE，又BE

平面BCE，∴CD⊥BE，∵BC＝CE，H為BE中點，∴CH⊥BE，又CD∩CH＝C，∴BE⊥平面DPHC，又PM

平面DPHC，∴BE⊥PM，即PM⊥BE.36/45規(guī)律方法

1.求條件探索性問題主要路徑：(1)先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證實；(2)先經過命題成立必要條件探索出命題成立條件，再證實充分性.2.包括點位置探索性問題普通是先依據條件猜測點位置再給出證實，探索點存在問題，點多為中點或三等分點中某一個，也能夠依據相同知識建點.37/45命題角度3空間位置關系與幾何體度量計算【例3－3】

(·天津卷)如圖，在四棱錐P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2. (1)求異面直線AP與BC所成角余弦值； (2)求證：PD⊥平面PBC； (3)求直線AB與平面PBC所成角正弦值.38/45(1)解如圖，由已知AD∥BC，故∠DAP或其補角即為異面直線AP與BC所成角.因為AD⊥平面PDC，PD

平面PDC，所以AD⊥PD.39/45(2)證實由(1)知AD⊥PD，又因為BC∥AD，所以PD⊥BC.又PD⊥PB，BC∩PB＝B，所以PD⊥平面PBC.(3)解過點D作DF∥AB，交BC于點F，連接PF，則DF與平面PBC所成角等于AB與平面PBC所成角.因PD⊥平面PBC，故PF為DF在平面PBC上射影，所以∠DFP為直線DF和平面PBC所成角.40/45因為AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1.由已知，得CF＝BC－BF＝2.又AD⊥DC，故BC⊥DC.41/45規(guī)律方法1.本題證實關鍵是垂直與平行轉化，如由AD∥BC，AD⊥PD，得PD⊥BC，進而利用線面垂直判定定理證實PD⊥平面PBC.2.利用綜正當求空間線線角、線面角、二面角