人教版九年級數學：24.1.2 垂直于弦的直徑（導學案）

24.1.2垂直于弦的直徑

——垂徑定理及其推論

一、新課導入

1.導入課題：圓是軸對稱圖形嗎？這節(jié)課我們從圓的軸對稱性出發(fā)探究圓的相關性

質.(板書課題)

2.學習目標：

(1)能通過折紙?zhí)骄繄A的軸對稱性，能證明圓是軸對稱圖形.

(2)能由圓的軸對稱性推導垂徑定理及其推論.

(3)能利用垂徑定理解決相應問題.

3.學習重、難點：

重點：圓的軸對稱性、垂徑定理及其推論.

難點：利用垂徑定理進行計算或證明.

二、分層學習

1.自學指導：

(1)自學內容：教材第81頁“探究”——圓的軸對稱性.

(2)自學時間：2分鐘.

(3)自學方法：完成探究提綱.

(4)探究參考提綱：

①操作：用紙剪一個圓形紙片，沿著圓的任意一條直徑所在直線對折，重復幾次.

a.通過上面的折紙，圓是軸對稱圖形嗎？有幾條對稱軸？

是軸對稱圖形，有無數條對稱軸.

b.“圓的任意一條直徑都是它的對稱軸”這種說法對嗎？若不對，應該怎樣說？

不對，應該說圓的任意一條直徑所在的直線都是它的對稱軸.

②猜想：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸.

③證明：怎樣證明圓是軸對稱圖形呢？

a.要證圓是軸對稱圖形，只需證明圓上任意一點關于直徑所在直線的對稱點也在圓上.

b.怎樣證明兩點關于已知直線對稱？

兩點的連線被已知直線垂直平分.

c.如圖，設CD是⊙O的任意一條直徑，A為⊙O上異于點C,D的任意一點，過A作

AA′⊥CD，垂足為M.交⊙O于點A′，下面只需證明A′是點A關于直線CD的對稱點.

如圖，連接OA,OA′.

在△OAA′中，∵OA=OA′，

∴△OAA′是等腰三角形.

又AA′⊥CD,

∴AM=MA′.

即CD是AA′的垂直平分線.

∴點A′、A關于直徑所在的直線對稱

即圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸.

2.自學：學生可結合探究提綱，相互研討學習.

3.助學：

(1)師助生：

①明了學情：關注證明過程的邏輯性與規(guī)范性.

②差異指導：指導學生探究證明思路.

(2)生助生：小組內相互交流、研討.

4.強化：

(1)圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸.

(2)要證某圖形是軸對稱圖形，只需證明該圖形上任意一點關于對稱軸的對稱點也在這

個圖形上.

1.自學指導：

(1)自學內容：教材第82頁例2之前的部分.

(2)自學時間：8分鐘.

(3)自學方法：完成探究提綱.

(4)探究參考提綱：

①垂徑定理：

b.歸納：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.

②垂徑定理的推論：

b.反例：當弦AA′為直徑時，結論還成立嗎？為什么？

不成立，因為任意兩條直徑都互相平分，但不一定垂直.

c.限定：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

2.自學：學生可結合自學指導相互研討學習.

3.助學：

(1)師助生：

①明了學情：了解學生由數學現象概括數學結論時出現的困惑和錯誤.

②差異指導：依據學情進行個別指導或分類指導.

(2)生助生：小組內相互交流研討、訂正結論.

4.強化:

(1)從圖形、文字和式子三個方面對垂徑定理及其推論進行解讀.

(2)垂徑定理的條件：過圓心，垂直于弦；結論：平分弦，平分弦所對的兩條弧.

1.自學指導：

(1)自學內容：教材第83頁“練習”第1題.

(2)自學時間：4分鐘.

(3)自學方法：完成探究提綱.

(4)探究提綱：

①線段OE滿足垂徑定理的題設條件：條件1：AB是弦；條件2：OE⊥AB.

②依據垂徑定理得，AE=12AB=BE.

③要求⊙O的半徑，只需連接OA，在Rt△AOE中，由勾

股定理，就可求得⊙O的半徑為5.

④給出你的解答過程：

2.自學:同學們可結合自學指導進行自學.

3.助學:

(1)師助生：

①明了學情：觀察學生是否會構造直角三角形，書寫過程是否規(guī)范.

②差異指導：從解題思路的探究、輔助線的添加和解題過程的書寫等方面給予指導.

(2)生助生：生生互動交流、研討、訂正.

4.強化:

(1)常規(guī)輔助線：過圓心作弦的垂線段.

(2)設圓的半徑為r，弦長為a，圓心到弦的距離為d，則有因此，在這三

個量中已知其中兩個量就可以求出第三個量.

(3)練習：如圖，已知⊙O的半徑為1，弦AB的長為，求圓心O到弦AB的距離.

解：如圖，作OE⊥AB，垂足為E，則OE垂直平分AB.

1.自學指導：

(1)自學范圍：教材第82頁例2.

(2)自學時間：6分鐘.

(3)自學方法：閱讀、思考、總結、提高.

(4)自學參考提綱：

2.自學：學生依據自學指導自主學習.

3.助學：

(1)師助生：

①明了學情：從解題思路的探究、輔助線的添加和解題過程的書寫等方面了解學生的學

習情況.

②差異指導：根據學情合理指導.

(2)生助生：小組內相互交流、研討.

3.強化：

(1)強調常規(guī)輔助線和解題規(guī)范.

(2)練習：如圖是一條水平鋪設的直徑為2m的通水管道橫截面，其水面寬為1.6m，則

這條管道中的水最深為0.4m.

三、評價

1.學生的自我評價(圍繞三維目標)：在這節(jié)課的學習中你有哪些收

獲？還有何困惑？

2.教師對學生的評價：

(1)表現性評價：點評學生學習的態(tài)度、積極性、小組交流協(xié)作情況和存在的問題等.

(2)紙筆評價：課堂評價檢測.

3.教師的自我評價(教學反思)：

(1)這節(jié)課的教學從利用垂徑定理來解決趙州橋橋拱半徑問題開始，引入課題從實驗入

手，得到圓的軸對稱性，進而推出垂徑定理及推論.教學設計中，從具體、簡單、特殊到抽

象、復雜、一般，層層遞進，有利于提高學生的數學思維能力，同時，注意加強對學生的啟

發(fā)和引導，培養(yǎng)學生大膽猜想，小心求證的科學研究素質.

(2)本課時的教學方法是將垂徑定理和勾股定理有機結合，將圓的問題轉化為直角三角

形，常作的輔助線是半徑或垂直于弦的直徑.

(時間：12分鐘滿分：100分)

一、基礎鞏固(80分)

1.(10分)下列說法中正確的是(B)

A.在同一個圓中最長的弦只有一條

B.垂直于弦的直徑必平分弦

C.平分弦的直徑必垂直于弦

D.圓是軸對稱圖形，每條直徑都是它的對稱軸

2.(10分)如圖，⊙O的弦AB垂直于半徑OC，垂足為D，則下列結

論中錯誤的是(C)

A.∠AOD=∠BODB.AD=BD

C.OD=DC

3.(10分)半徑為5的⊙O內有一點P，且OP=4，則過點P的最長弦的長是10，最短弦

的長是6.

4.(10分)如圖，在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于D，OE

⊥AC于E.求證：四邊形ADOE是正方形.

證明：∵AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC.

∴四邊形ADOE是矩形.

又∵OD垂直平分AB，OE垂直平分AC,AB＝AC,

∴AE＝AC＝AB＝AD,

∴四邊形ADOE是正方形.

5.(10分)如圖，在半徑為50mm的⊙O中，弦AB的長為50mm.求：

(1)∠AOB的度數；

(2)點O到AB的距離.

解：(1)∵OA=OB=AB=50mm，

∴△AOB是等邊三角形，∴∠AOB=60°.

(2)作OM⊥AB，則∠AOM=∠AOB=30°.

即點O到AB的距離為25mm.

6.(10分)如圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以點O為圓心的圓的一部分，如果M

是⊙O中弦CD的中點，EM經過圓心O交⊙O于點E,并且CD=4m,EM=6m.求⊙O的半徑.

解：連接OC.

∵OM平分CD,OM⊥CD且CM=MD=CD=2m.

設半徑為r，在Rt△OCM中，OC=r，OM=EM-OE=6-r,

由勾股定理得OC2=cm2+Om2，即r2=22+(6-r)2.解得r=，即⊙O的半徑為m.

8.(10分)如圖，兩個圓都以點O為圓心.求證：AC=BD.

證明：過O作OE⊥AB，垂足為E，連接OA,OC,OD,OB,

則AE=BE，CE=DE，

∴AE-CE=BE-DE，即AC=BD.

二、綜合應用(10分)

9.(10分)⊙O的半徑為13cm，AB、CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，

求AB和CD之間的距離.

解：分兩種情況討論.

第一種情況：當AB、CD在圓心O的同側時.

如圖(1)，過點O作OM⊥CD，垂足為M，交AB于點E.

∵AB∥CD.∴OE⊥AB.

第二種情況：當AB、CD在圓心O的異側時，

如圖(2)，同第一種情況可得OE=5cm,OM=12cm，

∴EM=OM+OE=17cm.

即AB和CD之間的距離為7cm或17cm.

三、拓展延伸(10分)

10.(10分)如圖，AB和CD分別是⊙O上的兩條弦，圓心O到它們的垂線段分