高一數(shù)學新人教版(A版) 必修第1冊：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)-教學設(shè)計

課程基本信息

課例編號2020QJ10SXRA050學科數(shù)學年級高一學期第一學期

課題正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)

教科書書名：普通高中教科書數(shù)學必修第一冊A版

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月

教學人員

姓名單位

授課教師黃天琦北京市第五十中學

指導教師李穎北京市東城區(qū)教師研修中心

教學目標

教學目標：

1.初步理解函數(shù)的周期性，在周期性和單調(diào)性的指導下把握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的其

他性質(zhì)；

2.深入周期性和奇偶性的綜合，加強多角度認識函數(shù)性質(zhì)；

3.借助單位圓深刻理解性質(zhì)，提升數(shù)學直觀和數(shù)學推理的數(shù)學素養(yǎng).

教學重點：在周期性和奇偶性的指導下整合正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的其然性質(zhì)．

教學難點：周期函數(shù)、（最小正）周期的意義．

教學過程

時間教學環(huán)節(jié)主要師生活動

導語：通過前期對指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的學習，我們已經(jīng)知道對

函數(shù)性質(zhì)的研究思路:

繪制函數(shù)圖象——觀察圖象、發(fā)現(xiàn)性質(zhì)——證明性質(zhì)

上節(jié)課我們已經(jīng)學習正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象，本節(jié)課讓我們一起

利用函數(shù)的圖象研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì).

問題1：類比以往對函數(shù)性質(zhì)的研究，思考本節(jié)課可研究正弦函

數(shù)、余弦函數(shù)的哪些性質(zhì)？

師生活動：學生思考總結(jié)：根據(jù)研究函數(shù)的經(jīng)驗，我們可探究正

（一）

3分鐘弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、最大（小）值

新知引入

等.

問題2：觀察正弦函數(shù)圖象并結(jié)合其自身特點，思考正弦函數(shù)有

哪些保持不變的特征.

師生活動：學生觀察正弦函數(shù)圖象可以發(fā)現(xiàn)：正弦函數(shù)在，

內(nèi)的圖象，向左或向右平移個單位長度，即在區(qū)間，，

02π

，內(nèi)會出現(xiàn)相同的圖象.教師適當啟發(fā)，引導學生發(fā)現(xiàn)橫坐標

2π?2π0

每隔4或個單位長度，也會出現(xiàn)縱坐標相同的點.直至推廣至

2π4π

.

π?4π

2?π?∈?

追問:如何用代數(shù)方法解釋以上猜想？

師生活動：學生思考、討論.當自變量的值增加整數(shù)倍時所

對應(yīng)的函數(shù)值，與所對應(yīng)的函數(shù)值相等.可利用誘導公式

?2π

從代數(shù)的角度解釋猜想的正確性.

?sin?+

教師可引導學生分別討論和兩種情況所對應(yīng)的兩

2?π=sin?(?∈?)

段圖象，從而讓數(shù)與形從特殊到一般進行對應(yīng)，體會周期描述的周而

?=1?=?1

復(fù)始的含義.

設(shè)計意圖：通過對函數(shù)性質(zhì)的研究思路的回顧，引導學生明確函

數(shù)性質(zhì)的研究內(nèi)容，選擇適當?shù)难芯糠椒?

問題3：請閱讀教科書5.4.2節(jié)“1.周期性”中的內(nèi)容，回答下

列問題：什么是周期函數(shù)？什么叫做周期？

師生活動：學生閱讀教科書，回答周期函數(shù)的定義：

一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，如果存在一個非零常數(shù),使

得對每一個都有，且

?(?)??

，

?∈??+?∈?

那么函數(shù)就叫做周期函數(shù).非零常數(shù)叫做這個函數(shù)的周期.

??+?=?(?)

為學生更好的理解定義，教師可通過以下追問強調(diào)對“存在”和“每

?(?)?

一個”的理解.

?追∈問?：你是如何理解定義中的“存在一個非零常數(shù)”?

師生活動：對于函數(shù)“若對任意一個非零常數(shù),都不能使

?

得恒成立”，即“在函數(shù)定義域中總能找到某個

???

值，使得，”在這種情況下，就不是周期函數(shù).

??+?=????

（二）0追問：正弦0函數(shù)是否為周期函數(shù)?

10分鐘???+?≠?(?)??

周期性

追問：，，

2??2????

sin?3+3=sin?3sin3+3=sin3

，，那么是正弦函數(shù)的一個周期嗎？

4??4??

為sin什么3+？3=sin3?3?=sin?

師生活動：學生思考并回答，在正弦函數(shù)的定義域中，可以找一

個值，比如當時，，所以不是正弦函數(shù)一個

?????

周期.教師引導?學=生6注意s，in在6已+知3函≠數(shù)sin6是周期3函數(shù)的前提下，只

要函數(shù)定義域中有一個值，使得，則就不是

?(?)

函數(shù)的周期.所以研究函數(shù)的周期要特別關(guān)注“每一個”的

?(?)?0??0+?≠?(?)?

含義.

?(?)?∈?

問題4：正弦函數(shù)的周期是多少？

師生活動：由關(guān)系式可知正弦函數(shù)的

sin?+2?π=sin?(?∈?)

周期是且

追問：對于一般的周期函數(shù)，如果常數(shù)是這個函數(shù)的周期，

2?π(?∈??≠0)

你能證明且也是它?(?的)周期嗎？?

師生活動：共同探究并證明，讓學生試著證明，若學生有困難教

?T(?∈??≠0)

師給予必要的幫助.

從周期函數(shù)的定義可以得到，如果是的一個周期，它可以

是正數(shù)也可以是負數(shù)，并且對定義域內(nèi)的每一個，都有

??(?)

，于是

???+?=

所以也是的周期.同理可證，都是它的周期.進而

?(?)??+2?=??+?+?=??+?=??.

得到都是它的周期.

2??(?)3?,4?,5?,?

類似地，如?果，那么

??(?∈N)

，由此可知都是它

??+?=?(?)??=??+??=??+

的周期.從而得到，也都是它的周期.即證明

??+??=??+?2??2?,?3?,?4?,?

?

且都是它的周?期?.?(?∈N)?T?∈

教師引導學生注意，以上推導過程成立的基礎(chǔ)是，若是周期函

??≠0

數(shù)定義域中的任意一個實數(shù)，那么，，?也都

必須在函數(shù)定義域中，因此周期函數(shù)的定義域一定既無上界也無

???+??+2????,?

下界，即無界.

?(?)

問題5：在正弦函數(shù)的所有周期中，是否存在一個最小的正數(shù)？

師生活動：根據(jù)正弦函數(shù)的周期是且，當

時得到最小的正數(shù)為.

2?π?∈??≠0?=1

教師總結(jié)：如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個最小的正

2π

數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做的最小正周期.

??

在后續(xù)的學習中，如果不加特別說明，那么所涉及的周期，一般

??

都是指函數(shù)的最小正周期.最小正周期是最具有代表性的一個周期，

但不是每個周期函數(shù)都存在最小正周期.

問題6：余弦函數(shù)是否為周期函數(shù)，若是，請指出其周期和最小

正周期.

師生活動：學生觀察余弦函數(shù)圖象得出結(jié)論，余弦函數(shù)也是周期

函數(shù)，且都是它的周期，最小正周期是.

設(shè)計意圖：直觀理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性，了解最小正

2?π(?∈??≠0)2π

周期.

問題7：知道了一個函數(shù)的周期，對研究它的圖象與性質(zhì)有什么

幫助？

師生活動：學生獨立完成，之后進行展示交流，在此基礎(chǔ)上教師

進行梳理總結(jié).

教師總結(jié)：函數(shù)的周期性可以簡化對圖象和性質(zhì)的研究過程.對

于一個周期函數(shù)，如果知道了周期，在對函數(shù)的探究過程中就可以從

一個周期入手，只要認識到一個周期上函數(shù)的圖象與性質(zhì)，那么整個

定義域上函數(shù)的圖象和性質(zhì)就都完全清楚了.另外，以正弦函數(shù)為例，

已知是它的周期后，不一定必須從，開始研究，只要從左向

后平移取個單位長度都可以理解為正弦函數(shù)的一個周期進行探

2π02π

究.

2π

設(shè)計意圖：了解周期性的意義，為下面的研究做鋪墊.

問題8：觀察正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象，完成下面的表格.

正弦函數(shù)余弦函數(shù)

定義域

值域

周期性

奇偶性

對稱軸

對稱中心

每一個單調(diào)遞增區(qū)間

每一個單調(diào)遞減區(qū)間

最大值

最小值

師生活動：教師布置該任務(wù)后，學生通過觀察圖象，進行直觀想

象、數(shù)形結(jié)合，完成上述表格；之后互相交流討論，進行修改完善，

（三）

7分鐘并進行展示交流.

其他性質(zhì)

在填寫表格時，學生可以較準確地填寫出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的

定義域、值域、周期性、奇偶性.學生在猜想并寫出單調(diào)區(qū)間、最值

點時可能會產(chǎn)生遺漏，在寫出對稱軸、對稱中心時可能會有疑惑.通

過以下追問促進學生的思考，幫助他們理解.

追問：觀察正弦函數(shù)圖象，找出在內(nèi)的對稱軸和對稱

?3?

中心.[?2,2]

追問：觀察正弦函數(shù)圖象，探究在內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性.

?3?

師生活動：學生能夠在一個周期內(nèi)找[?到正2,弦2函]數(shù)的對稱軸、對稱

中心以及圖象的變化趨勢.教師引導學生結(jié)合正弦函數(shù)的周期性，將

對稱軸，對稱中心和單調(diào)性進行歸納，并得到正弦函數(shù)的最大（?。?/p>

值.